Phân tích dao động ngẫu nhiên phi tuyến bằng phương pháp tuyến tính hóa tương đương ngẫu nhiên.

Hướng nghiên cứu của luận án tập trung vào việc giải quyết nhược điểm này phương pháp tuyến tính hóa tương đương ngẫu nhiên với mục tiêu, đối tượng và phương pháp nghiên cứu cụ thể như s

VIỆN CƠ HỌC o0o

NGUYỄN NGỌC LINH

PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG NGẪU NHIÊN PHI TUYẾN

BẰNG PHƯƠNG PHÁP TUYẾN TÍNH HÓA

TƯƠNG ĐƯƠNG

LUẬN ÁN TIẾN SĨ

HÀ NỘI – 2015

VIỆN CƠ HỌC o0o

NGUYỄN NGỌC LINH

PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG NGẪU NHIÊN PHI TUYẾN

BẰNG PHƯƠNG PHÁP TUYẾN TÍNH HÓA

TƯƠNG ĐƯƠNG

Chuyên ngành: Cơ kỹ thuật

Mã số: 62 52 01 01

LUẬN ÁN TIẾN SĨ

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

1 GS.TSKH Nguyễn Đông Anh

2 TS Lưu Xuân Hùng

HÀ NỘI – 2015

LỜI CÁM ƠN

Tôi xin chân thành cám ơn các thầy hướng dẫn khoa học, đặc biệt là GS.TSKH Nguyễn Đông Anh, đã tận tâm hướng dẫn khoa học, truyền niềm say

mê nghiên cứu và giúp đỡ tôi hoàn thành luận án này

Tôi xin bày tỏ sự cám ơn tới Phòng Cơ học Công Trình, Khoa Đào tạo sau đại học và bạn bè, đồng nghiệp trong Viện Cơ học đã giúp đỡ tôi ngay từ những ngày đầu ở Viện Cơ học

Tôi xin bày tỏ sự cám ơn tới đơn vị công tác là Trường Cao đẳng Xây dựng số 1 đã ủng hộ, tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình làm nghiên cứu sinh

Tôi cũng xin bày tỏ sự cám ơn tới TS Lã Đức Việt, chủ nhiệm đề tài “Tối

ưu hóa tham số các hệ tiêu tán hoặc tích trữ năng lượng trong điều khiển và giám sát kết cấu”, mã số 107.04-2011.14- Nafosted đã tạo điều kiện cho tôi được tham gia đề tài và có những hỗ trợ tài chính giúp ích cho quá trình làm nghiên cứu sinh

Cuối cùng tôi xin bày tỏ sự biết ơn đến gia đình đã động viên ủng hộ tôi trong thời gian làm luận án

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi Các số liệu, kết quả nêu trong luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất

kỳ công trình nào khác

Tác giả luận án

Nguyễn Ngọc Linh

MỤC LỤC LỜI CÁM ƠN II LỜI CAM ĐOAN III MỤC LỤC IV DANH MỤC MỘT SỐ KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT VI DANH MỤC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ VIII DANH MỤC BẢNG VÀ SƠ ĐỒ KHỐI IX

MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG NGẪU NHIÊN PHI TUYẾN 4

1.1 Các khái niệm cơ bản về xác suất 4

1.1.1 Xác suất của sự kiện ngẫu nhiên 4

1.1.2 Biến ngẫu nhiên và các đặc trưng xác suất 5

1.2 Quá trình ngẫu nhiên 7

1.2.1 Các đặc trưng của quá trình ngẫu nhiên 8

1.2.2 Các quá trình ngẫu nhiên đặc biệt 12

1.3 Phương trình Fokker-Planck-Kolgomorov (FPK) 16

1.4 Dao động ngẫu nhiên chịu kích động ồn trắng Gauss 17

1.4.1 Dao động ngẫu nhiên tuyến tính chịu kích động ồn trắng Gauss 19

1.4.2 Dao động ngẫu nhiên phi tuyến chịu kích động ồn trắng Gauss 20

1.5 Một số phương pháp xấp xỉ trong phân tích dao động ngẫu nhiên phi tuyến 22

1.5.1 Phương pháp nhiễu 22

1.5.2 Phương pháp trung bình hóa ngẫu nhiên 22

1.5.3 Phương pháp tuyến tính hóa tương đương ngẫu nhiên 23

1.5.4 Phương pháp phi tuyến hóa tương đương ngẫu nhiên 24

1.5.5 Phương pháp sử dụng hàm mật độ phổ 24

1.5.6 Phương pháp xấp xỉ cho phương trình FPK 25

1.5.7 Phương pháp mô phỏng số Monte Carlo 26

1.5.8 Nhận xét 26

Kết luận chương 1 28

CHƯƠNG 2 PHƯƠNG PHÁP TUYẾN TÍNH HÓA TƯƠNG ĐƯƠNG NGẪU NHIÊN 29

2.1 Tiêu chuẩn kinh điển 33

2.2 Tiêu chuẩn cực tiểu sai số thế năng 35

2.3 Tiêu chuẩn tuyến tính hóa tương đương có điều chỉnh 35

2.4 Tuyến tính hóa tương đương dựa trên phân bố khác Gauss 37

2.5 Tiêu chuẩn tuyến tính hóa từng phần 38

Kết luận chương 2 39

CHƯƠNG 3 TIÊU CHUẨN ĐỐI NGẪU CỦA PHƯƠNG PHÁP TUYẾN TÍNH HÓA TƯƠNG ĐƯƠNG NGẪU NHIÊN 40

3.1 Ý tưởng cơ bản của tiêu chuẩn đối ngẫu có trọng số tổng quát 40

3.2 Tiêu chuẩn đối ngẫu 42

3.2.1 Khái niệm về tiêu chuẩn đối ngẫu 42

3.2.2 Mức độ phụ thuộc tuyến tính trong tiêu chuẩn đối ngẫu 44

3.2.3 Ý nghĩa hình học của tiêu chuẩn đối ngẫu 46

3.2.4 Áp dụng tiêu chuẩn đối ngẫu để phân tích mô men bậc hai của dao động ngẫu nhiên phi tuyến 50

3.3 Các ví dụ áp dụng của phương pháp tuyến tính hóa tương đương theo tiêu chuẩn đối ngẫu 52

3.3.1 Dao động Van der pol 52

3.3.2 Dao động có cản phi tuyến bậc ba 54

3.3.3 Dao động Duffing 55

3.3.4 Dao động có cản và đàn hồi phi tuyến 58

3.3.5 Dao động Lutes Sarkani 60

CHƯƠNG 4 TIÊU CHUẨN ĐỐI NGẪU CÓ TRỌNG SỐ CỦA PHƯƠNG PHÁP TUYẾN TÍNH HÓA TƯƠNG ĐƯƠNG NGẪU NHIÊN 66

4.1 Tiêu chuẩn đối ngẫu có trọng số 66

4.1.1 Khái niệm về tiêu chuẩn đối ngẫu có trọng số 66

4.1.2 Xác định dạng giải tích của trọng số 68

4.1.3 Một số tính chất khác của tiêu chuẩn đối ngẫu có trọng số được đề xuất 74

4.1.4 Áp dụng tiêu chuẩn đối ngẫu có trọng số để phân tích mô men bậc hai của dao động ngẫu nhiên phi tuyến 76

4.2 Các ví dụ áp dụng của phương pháp tuyến tính hóa tương đương theo tiêu chuẩn đối ngẫu có trọng số 78

4.2.1 Dao động đàn hồi phi tuyến không cản 78

4.2.2 Dao động đàn hồi phi tuyến theo qui luật mũ 80

4.2.3 Dao động đàn hồi phi tuyến bậc 3 và bậc 5 83

4.2.4 Dao động có cản phi tuyến phụ thuộc năng lượng 85

4.2.5 Dao động tự do 88

Kết luận chương 4 91

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 93

DANH SÁCH CÔNG TRÌNH ĐÃ ĐƯỢC CÔNG BỐ CỦA LUẬN ÁN 95

TÀI LIỆU THAM KHẢO 96

PHỤ LỤC 103

DANH MỤC MỘT SỐ KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT

 , 

a x t véc tơ hệ số dịch chuyển

, , c

b, k hệ số tuyến tính hóa tương đương

d  tỉ số các hệ số tuyến tính hóa theo các tiêu chuẩn

đối ngẫu có trọng số và kinh điển

DANH MỤC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ

Hình 1.1 Hàm mật độ của tải trọng tác dụng lên dầm 6

Hình 1.2 Một tổng thể các hàm ngẫu nhiên theo thời gian (các hàm mẫu) 7

Hình 1.3 Hàm mật độ xác suất 8

Hình 1.4 Tương quan dương và tương quan âm 11

Hình 1.5 Hàm mật độ phổ và hàm tự tương quan của quá trình ồn trắng 14

Hình 1.6 Mô hình hệ cơ học một bậc tự do 17

Hình 2.1 Các cách tiếp cận chủ yếu của các phương pháp tuyến tính hóa và phi tuyến hóa tương đương ngẫu nhiên 31

Hình 3.1 Phép chiếu véc tơ của tiêu chuẩn đối ngẫu 49

Hình 3.2 Hàm thế năng dạng giếng đơn và giếng đôi 56

Hình 3.3 Mô hình hệ một bậc tự do chuyển động có ma sát 60

Hình 4.1 Mức độ phụ thuộc tuyến tính mạnh nhất và yếu nhất 68

Hình 4.2 Hàm nội suy tuyến tính p(µ) 72

Hình 4.3 Đồ thị hàm tuyến tính từng đoạn p(µ) 73

Hình 4.4 Tỉ số d k  75

Hình 4.5 Các tỉ số d S_ts  ,d S_kd  76

DANH MỤC BẢNG VÀ SƠ ĐỒ KHỐI

Bảng 1.1 Phân loại mức độ tương quan tuyến tính của Cohen 12 Bảng 3.1 Đáp ứng trung bình bình phương với  o  1, h 0.5,  2;  thay đổi 42

Bảng 3.2 Đáp ứng trung bình bình phương của dao động Van der Pol với

α=0.2; =1; =2; σ2 thay đổi 54

Bảng 3.3 Đáp ứng trung bình bình phương của dao động có cản phi tuyến bậc

ba với h 0.05, o  1,  4h , và γ thay đổi 55

Bảng 3.4 Đáp ứng trung bình bình phương của dao động Duffing với   o 1, 0.5

h  ,   2,c1 1; c3 thay đổi 57

Bảng 3.5 Đáp ứng trung bình bình phương của dao động Duffing với   o 1, 0.1

h  ,   2,c1   1; c3 thay đổi 57

Bảng 3.6 Đáp ứng trung bình bình phương của dao động có cản và đàn hồi phi

tuyến, với h 0.1,0  1,  1 và  thay đổi 60

Bảng 3.7 Đáp ứng trung bình bình phương của dao động Lutes Sarkani với

Bảng 4.4 Đáp ứng trung bình bình phương của dao động đàn hồi phi tuyến

không cản với   1,   2 và  thay đổi 79

Bảng 4.5 Đáp ứng trung bình bình phương của dao động đàn hồi phi tuyến theo

qui luật mũ với h 0.5;  0 1;   2, a = 1/5 và γ thay đổi 81

Bảng 4.6 Đáp ứng trung bình bình phương của dao động đàn hồi phi tuyến theo

qui luật mũ với h 0.5;  0 1;   2, a = 1/3 và γ thay đổi 82

Bảng 4.7 Đáp ứng trung bình bình phương của dao động đàn hồi phi tuyến theo

qui luật mũ với h 0.5;  0 1;   2, a = 5 và γ thay đổi 82

Bảng 4.8 Đáp ứng trung bình bình phương của dao động đàn hồi phi tuyến theo

qui luật mũ với h 0.5;  0 1;   2, a = 7 và γ thay đổi 82

Bảng 4.9 Đáp ứng trung bình bình phương của dao động đàn hồi phi tuyến bậc 3

và bậc 5 với 2hc1c3  1,   2 và c5 thay đổi 85

Bảng 4.10 Đáp ứng trung bình bình phương của dao động có cản phi tuyến phụ

thuộc năng lượng, a thay đổi 87

Bảng 4.11 Tần số góc của dao động tự nhiên với n thay đổi 90

Bảng 4.12 Sai số của các tiêu chuẩn đối ngẫu có trọng số, đối ngẫu và kinh điển

theo giá trị của mức độ phụ thuộc tuyến tính 92

Dao động ngẫu nhiên thường gặp trong trong các bài toán kỹ thuật như kết cấu chịu tác động của tải trọng gió hay tải trọng sóng, ổ, trục đỡ của cơ cấu di chuyển Do đặc điểm của các tải trọng này là ngẫu nhiên theo thời gian, nên các bài toán dao động được mô hình hóa dựa trên lý thuyết xác suất và quá trình ngẫu nhiên Việc xây dựng mô hình cho các bài toán nêu trên thường dẫn tới việc thiết lập và giải các phương trình vi phân ngẫu nhiên phi tuyến Do kích động là các lực ngẫu nhiên nên các đáp ứng như dịch chuyển, vận tốc cũng có tính chất ngẫu nhiên Bởi vậy, trong phân tích dao động ngẫu nhiên, kết quả của các đáp ứng được biểu diễn dưới dạng trung bình theo nghĩa xác suất Sự tồn tại nghiệm chính xác rất quan trọng, thứ nhất nó cho phép khẳng định tính đúng đắn của mô hình được thiết lập khi đối chiếu với các số liệu đo đạc trong thực tế, thứ hai nó cho phép ước lượng được các thông số cần điều chỉnh và điều khiển trong các bài toán thiết sơ bộ, thiết kế chính xác hay kiểm tra Tuy nhiên, do những hạn chế về phương pháp giải tích nên rất ít bài toán ngẫu nhiên phi tuyến có nghiệm chính xác Mặc dù các phương pháp số giúp cho các bài toán phi tuyến trở nên giải được, nhưng một hệ phi tuyến có thể cho kết quả bằng nghiệm số không có nghĩa là đã đáp ứng các yêu cầu thực tiễn khi phân tích hệ Ví dụ, đối với hệ có nhiều bậc tự do cần rất nhiều thời gian cho việc xây dựng mô hình tính toán chính xác, ngay cả đối với các hệ ngẫu nhiên có một bậc tự do gồm nhiều thông số đầu vào thì khối lượng cần giải là rất lớn và mất nhiều thời gian tính toán Do vậy, phương pháp giải tích xấp xỉ là cần thiết để phân tích các hệ phi tuyến

Trong số các phương pháp giải tích xấp xỉ, phương pháp tuyến tính hóa tương đương là một trong những phương pháp được sử dụng phổ biến nhất vì tính đơn giản, có thể áp dụng được cho hệ một hoặc nhiều bậc tự do, hệ dừng hoặc không dừng, hệ có trễ Theo thống kê trong [57], kể từ khi được đề xuất trong những năm 1950-1960 cho đến năm 1998 đã có hơn 400 bài báo về chủ đề tuyến tính hóa ngẫu nhiên, còn theo thống kê trong [64] chỉ tính từ năm 1990 đến 2005 đã

có hơn 200 bài báo trên các tạp chí và hội nghị liên quan đến tuyến tính hóa

ngẫu nhiên áp dụng cho các hệ động lực học gắn với mô hình ngẫu nhiên Tuy nhiên, một trong những nhược điểm cơ bản của phương pháp này là độ chính xác giảm khi mức độ phi tuyến tăng, lên đến hơn 20% [31],[49], [69] Do đó, vấn đề nâng cao độ chính xác của nghiệm xấp xỉ rất được quan tâm trong nghiên cứu, ứng dụng Hướng nghiên cứu của luận án tập trung vào việc giải quyết nhược điểm này phương pháp tuyến tính hóa tương đương ngẫu nhiên với mục tiêu, đối tượng và phương pháp nghiên cứu cụ thể như sau:

Mục tiêu của luận án là xây dựng một tiêu chuẩn đối ngẫu có trọng số

của phương pháp tuyến tính hóa tương đương để phân tích mô men đáp ứng bậc hai của dao động phi tuyến chịu kích động ngẫu nhiên với mức độ phi tuyến thay đổi khác nhau, sai số của nghiệm xấp xỉ vào khoảng 10%

Đối tượng nghiên cứu của luận án là các dao động phi tuyến một bậc tự

do chịu kích động ồn trắng có hàm phi tuyến dạng đa thức

Phương pháp nghiên cứu của luận án sử dụng phương pháp giải tích, phương pháp hình học giải tích và phương pháp số Các phương pháp giải tích, phương pháp hình học giải tích được sử dụng để phân tích các tính chất, đặc điểm cơ bản của tiêu chuẩn đối ngẫu và tiêu chuẩn đối có trọng số Phương pháp

số được sử dụng chương trình có sẵn trong phần mềm Matlab để tính toán cho bài toán nội suy và các thuật toán xác định nghiệm của một số dao động ngẫu nhiên phi tuyến một bậc tự do Các dao động này có nghiệm chính xác hoặc nghiệm mô phỏng số, được sử dụng làm cơ sở để xây dựng một số đặc điểm của tiêu chuẩn được đề xuất và để đánh giá hiệu quả của tiêu chuẩn này

Nội dung của luận án bao gồm phần mở đầu và bốn chương, bao gồm:

Chương 1 Sơ lược về lý thuyết xác suất và quá trình ngẫu nhiên, một

số phương pháp phân tích dao động ngẫu nhiên phi tuyến Trong chương

này các vấn đề cơ bản của lý xác suất và quá trình ngẫu nhiên liên quan tới dao động ngẫu nhiên được giới thiệu Một số phương pháp phân tích dao động ngẫu nhiên phi tuyến được liệt kê

Chương 2 Phương pháp tuyến tính hóa tương đương ngẫu nhiên

Trong chương này trình bày về phương pháp tuyến tính hóa tương đương ngẫu

nhiên trong phân tích dao động ngẫu nhiên phi tuyến Các phát triển của phương pháp tuyến tính hóa tương đương được giới thiệu tóm tắt

Chương 3 Tiêu chuẩn đối ngẫu của phương pháp tuyến tính hóa tương đương ngẫu nhiên Trong chương này xây dựng tiêu chuẩn đối ngẫu dựa

trên cách thay thế tương đương đối ngẫu Các tính chất và đặc điểm cơ bản của tiêu chuẩn này được mô tả có quan hệ chặt chẽ với mức độ phụ thuộc tuyến tính dưới dạng giải tích và hình học giải tích Đánh giá sai số của nghiệm xấp xỉ xác định theo tiêu chuẩn này được so sánh với nghiệm chính xác và nghiệm theo tiêu chuẩn kinh điển khi phân tích mô men bậc hai của một số dao động ngẫu nhiên phi tuyến một bậc tự do chịu kích động ồn trắng Gauss Xác định được phạm vi hiệu quả của tiêu chuẩn đối ngẫu theo mức độ phụ thuộc tuyến tính

Chương 4 Tiêu chuẩn đối ngẫu có trọng số của phương pháp tuyến tính hóa tương đương ngẫu nhiên Để cải tiến hạn chế về phạm vi áp dụng của

tiêu chuẩn đối ngẫu, trong chương này phát triển tiêu chuẩn đối ngẫu thành dạng tổng quát hơn thu được tiêu chuẩn đối ngẫu có trọng số Phân loại mức độ phụ thuộc tuyến tính áp dụng cho tuyến tính hóa ngẫu nhiên được đề xuất Xác định được biểu thức giải tích của trọng số dưới dạng hàm tuyến tính từng đoạn của mức độ phụ thuộc tuyến tính dựa trên việc phân tích ảnh hưởng của trọng số và bài toán nội suy từ dao động Lutes Sarkani Hiệu quả của tiêu chuẩn này được đánh giá thông qua việc so sánh với nghiệm chính xác và nghiệm xác định theo tiêu chuẩn kinh điển khi phân tích mô men bậc hai của một số dao động ngẫu nhiên phi tuyến một bậc tự do chịu kích động ồn trắng Gauss Ngoài ra, áp dụng

mở rộng cho dao động tự do cũng được trình bày

Kết luận chung Trình bày các kết quả chính đã thu được trong luận án

và các vấn đề cần nghiên cứu tiếp

Danh sách công trình đã được công bố thuộc luận án bao gồm 06 bài báo,

trong đó các bài báo 2, 3, 4, 6 được công bố trong nước; các bài báo 1, 5 được công bố quốc tế

CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG NGẪU NHIÊN PHI TUYẾN

Trong phân tích dao động, có hai cách tiếp cận chủ yếu là các phương pháp của cơ học tiền định và các phương pháp của cơ học ngẫu nhiên Khi các thông số đầu vào của hệ đã biết hoặc có thể dự đoán được, các phương pháp của

cơ học tiền định sẽ được sử dụng để nghiên cứu các trạng thái có tính chất đơn

lẻ của hệ Trong khi đó, các phương pháp của cơ học ngẫu nhiên hướng tới việc nghiên cứu toàn bộ các trạng thái có khả năng xảy ra của hệ, các thông số đầu vào thường được biểu diễn theo các quy luật xác suất và thống kê do không thể

đo đạc hoặc dự đoán chính xác được Để phân biệt, dao động ngẫu nhiên được định nghĩa là các chuyển động không phải là tiền định Mục tiêu chính trong phân tích dao động ngẫu nhiên là xác định các đặc trưng xác suất của đáp ứng Trong chương này, sẽ trình bày sơ lược các khái niệm cơ bản của lí thuyết xác suất, một số quá trình ngẫu nhiên đặc biệt và một số phương pháp phân tích dao động ngẫu nhiên phi tuyến

1.1 Các khái niệm cơ bản về xác suất

1.1.1 Xác suất của sự kiện ngẫu nhiên

Trong nghiên cứu dao động ngẫu nhiên, các thuật ngữ và định nghĩa của lý thuyết xác suất thường được sử dụng là:

Phép thử: là sự thực hiện một nhóm các điều kiện cơ bản để quan sát một hiện

tượng nào đó có xảy ra hay không

Kết cục: là kết quả của phép thử

Tập hợp: chứa tất cả các kết cục trong miền D

Không gian mẫu: là tập hợp của tất cả các kết cục trong một phép thử

Sự kiện: là hiện tượng có thể xảy ra trong kết quả của phép thử hoặc còn gọi là

một quá trình nếu kết cục của phép thử là một hàm của thời gian Sự kiện là tập

hợp của các kết cục có liên quan trong một phép thử nên là tập con của không

gian mẫu Sự kiện ngẫu nhiên: là một sự kiện có thể xảy ra, hoặc có thể không

xảy ra khi thực hiện phép thử Ngược lại, sự kiện tiền định là một sự kiện mà ta biết chắc chắn nó sẽ phải xảy ra hoặc không thể xảy ra

Xác suất: là độ đo khả năng xuất hiện của một sự kiện khi thực hiện phép thử,

được ký hiệu là P(I), theo định nghĩa của Von Mises là [53]

I

P(I) lim

n

n n



trong đó n là số lần thực hiện một phép thử, nI là số lần xuất hiện của sự kiện I

1.1.2 Biến ngẫu nhiên và các đặc trưng xác suất

Biến ngẫu nhiên là một đại lượng X được gán cho kết cục của một phép thử Nói một cách khác, biến ngẫu nhiên là một hàm có miền xác định là tập hợp của các kết cục thỏa mãn hai điều kiện sau

a) Tập hợp X  x là một sự kiện I đối với mỗi số thực x,

b) Xác suất của các sự kiện

Hình 1.1 Hàm mật độ của tải trọng tác dụng lên dầm

Hàm mật độ xác suất ký hiệu là p x , dùng để mô tả mức độ tập trung xác suất

của biến ngẫu nhiên X tại điểm x Biểu diễn của hàm mật độ xác suất của các

biến ngẫu nhiên liên tục và rời rạc là khác nhau Như ví dụ ở hình 1.1a thể hiện hàm mật độ của tải trọng tác dụng lên dầm là đường liên tục còn ở hình 1.1b thể hiện hàm mật độ của tải trọng rời rạc tác dụng lên dầm Đối với biến ngẫu nhiên liên tục p x  được định nghĩa là đạo hàm

  , 0

x x

Hàm mật độ xác suất (1.9) cũng thỏa mãn các tính chất đã nêu trong (1.8)

Trong lý thuyết dao dộng ngẫu nhiên, thường sử dụng biến ngẫu nhiên X phụ thuộc vào thời gian Các khái niệm và đặc trưng cơ bản của quá trình ngẫu nhiên

ở phần kế tiếp được sử dụng để mô tả các trường hợp như vậy

1.2 Quá trình ngẫu nhiên

Quá trình ngẫu nhiên được định nghĩa một cách vắn tắt là một dãy các thể hiện của biến ngẫu nhiên thay đổi theo thời gian (hình 1.2) hoặc không gian một chiều Nếu số lượng các thể hiện là hữu hạn thì quá trình gọi là rời rạc, nếu số lượng các thể hiện tập hợp vô hạn thì quá trình gọi là liên tục Trong thực tế thường gặp các quá trình ngẫu nhiên liên tục chẳng hạn như vận tốc gió, tuy nhiên ta không thể thu thập được các tập hợp vô hạn này trong không gian và thời gian Phương án khả thi là thu thập một lượng thông tin đủ lớn, kết hợp với các kinh nghiệm có được trong quá khứ sẽ cho phép việc mô tả một quá trình ngẫu nhiên ở mức độ gần đúng theo mong muốn Ví dụ như Bản đồ phân vùng

áp lực gió lãnh thổ Việt Nam được thiết lập cho chu kỳ lặp 20 năm

Hình 1.2 Một tổng thể các hàm ngẫu nhiên theo thời gian (các hàm mẫu)

t1 t2

Để đơn giản, ta có thể sử dụng ký hiệu x(t) cho quá trình ngẫu nhiên x theo thời gian t Hình 1.2 mô tả tổng thể hay các thể hiện x t1 , x t2 , x t n  của một quá trình ngẫu nhiên Mỗi thể hiện x t i  được gọi là một hàm mẫu, chứa các mẫu x i

Trung bình của tất cả các mẫu tại thời điểm t 1 hay t 2 được gọi là các trung bình

tổng thể Tại mỗi thời điểm t=t 1 thì quá trình ngẫu nhiên là một biến ngẫu nhiên

 1

i

x t Vì vậy, ta có thể sử dụng các định nghĩa và khái niệm về biến ngẫu nhiên

áp dụng cho quá trình ngẫu nhiên Để mô tả một quá trình ngẫu nhiên thường liên quan đến việc sử dụng các đặc trưng là các hàm không ngẫu nhiên như hàm mật độ xác suất, trung bình, trung bình bình phương, phương sai, hàm tương quan, mật độ phổ

1.2.1 Các đặc trưng của quá trình ngẫu nhiên

Ký hiệu F x t ;  là phân bố bậc nhất của quá trình ngẫu nhiên x t  với mỗi t xác

định, thì đạo hàm bậc nhất của F x t ;  theo x là mật độ xác suất bậc nhất của

Biểu thức (1.12) là xác suất để x t  nằm trong khoảng (a, b) có giá trị bằng diện tích nằm dưới đường cong p x t ;  trong khoảng này (hình 1.3)

Phân bố bậc hai F x x t t 1, 2; ,1 2 của quá trình x t  là phân bố liên kết của các biến ngẫu nhiên x t 1 và x t 2 có đạo hàm bậc hai của nó theo x là mật độ xác

suất bậc hai Hàm mật độ xác suất bậc hai có tính chất

2 1

( , )( / )

x t Giá trị trung bình dùng để phản ánh giá trị trung tâm của phân phối xác suất của quá trình x t  là mô men bậc nhất

Mô men liên kết trung tâm của x t  tại hai thời điểm t và 1 t cho bởi 2

Nếu x 1 và x 2 có trung bình không thì hiệp phương sai trùng với hàm tự tương

quan Nếu x 1 và x 2 độc lập lẫn nhau thì hiệp phương sai bằng 0 Nếu t1t2  t

thì hiệp phương sai trùng với phương sai Trong phân tích quan hệ của hai hàm ngẫu nhiên x t 1 X, x t 2 Y, thường sử dụng phương sai được chuẩn hóa

a) Tương quan dương, 0   / 2 b) Tương quan âm,  / 2  

Hình 1.4 Tương quan dương và tương quan âm

Trong nhiều trường hợp khi phân tích tương quan, ta có thể sử dụng hệ số tương

quan bình phương r 2 thay cho r Vì r  nên không cần quan tâm đến hướng 2 0của X và Y Trong bài toán xấp xỉ đại lượng ngẫu nhiên X bằng một hàm tuyến tính của đại lượng nhiên Y, có dạng aY b, áp dụng tiêu chuẩn bình phương tối

thiểu Soong [66] chứng minh rằng xấp xỉ tuyến tính là tốt nhất khi r 2 1, ngược lại là tồi nhất khi r  X và Y được gọi là không tương quan nếu 2 0

0

và được gọi là trực giao nếu

Do đó, hệ số tương quan r hay hệ số tương quan bình phương r 2 được sử dụng là

độ đo mức độ phụ thuộc tuyến tính của hai đại lượng ngẫu nhiên X và Y Trong

xác suất và thống kê, hệ số ảnh hưởng (effect size) được định nghĩa là một độ đo định lượng cường độ của một hiện tượng (phenomenon) [24], theo đó r hay r 2

cũng là hệ số ảnh hưởng Việc phân loại hệ số ảnh hưởng có thể được đề xuất, ví

dụ Cohen [24] phân loại mức độ tương quan tuyến tính dựa trên giá trị của r và

1.2.2 Các quá trình ngẫu nhiên đặc biệt

Quá trình ngẫu nhiên được gọi là dừng theo nghĩa rộng nếu các tính chất thống

kê của nó không đổi theo thời gian, nghĩa là

 1, , ; , ,1   1, , ; 1 , , ,

với  t2  là độ trễ t1

Quá trình ngẫu nhiên được gọi là dừng bậc k nếu (1.34) đúng với n  k Quá

trình dừng bậc hai còn gọi là quá trình dừng theo nghĩa hẹp Quá trình dừng có các tính chất

Nói một cách khác mật độ xác suất một chiều không phụ thuộc vào thời gian, có giá trị trung bình là một đại lượng không đổi, mật độ xác suất hai chiều và hàm tương quan chỉ phụ thuộc vào độ trễ 

Như vậy, định nghĩa quá trình dừng đã làm đơn giản hóa đáng kể việc mô tả một quá trình ngẫu nhiên Bởi vậy, các ứng dụng kỹ thuật thường chú ý đến việc giả thiết quá trình ngẫu nhiên xảy ra trong khoảng thời gian hoặc không gian không lớn là quá trình dừng

Hàm tự tương quan R x  của quá trình ngẫu nhiên dừng x t  theo công thức cuối cùng trong (1.35) là hàm chẵn, liên tục, xác định không âm theo độ trễ  Biến đổi Fourier của hàm tự tương quan là hàm mật độ phổ S x  Lấy tích phân Fourier cho hàm R x  được

 

2

2 0

với  là cường độ của ồn trắng, 2 2 S  0 Các điều kiện này cho thấy ồn trắng

là quá trình dừng, có mật độ phổ không phụ thuộc tần số, khi thay S x   S0

vào công thức (1.38) cho thấy trung bình bình phương hay phương sai là vô cùng Hình 1.5 mô tả hàm mật độ phổ và hàm tự tương quan của quá trình ồn trắng Về mặt vật lý thì quá trình ồn trắng là không có thực vì không có quá trình nào có công suất vô hạn Tuy nhiên, một quá trình ngẫu nhiên thực có thể được

mô tả gần đúng là ồn trắng nếu mật độ phổ của nó ít thay đổi khi xét trên một dải tần số đủ rộng và bỏ qua các tần số lớn

Hình 1.5 Hàm mật độ phổ và hàm tự tương quan của quá trình ồn trắng

Quá trình ngẫu nhiên chuẩn hay Gauss là một trong những quá trình ngẫu nhiên thường được sử dụng nhất, được định nghĩa là quá trình mà tất cả phân bố hữu hạn chiều của nó đều là phân bố chuẩn Hàm mật độ xác suất của quá trình

và mô men bậc hai là đủ để nhận biết các đặc trưng xác suất khác Cụ thể, quá

trình chuẩn có các mô men bậc lẻ bằng không, còn các mômen bậc cao chẵn đều

có thể biểu diễn được qua mômen bậc hai

Trường hợp quá trình ngẫu nhiên là ồn trắng Gauss sẽ có các đặc điểm như

 ( )n n ( n 1) n 1, , ( )1 1  ( )n n ( n 1) n 1

với mọi t1t2  t n, trong đó x x1, 2, ,x là các số thực bất kỳ Như vậy, hàm n

mật độ xác suất (1.46) của mẫu x t n tại thời điểm t chỉ phụ thuộc vào mẫu n

 n 1

x t  tại thời điểm trước đó t n1 nên quá trình Markov còn được gọi là quá

trình không nhớ Đối với quá trình Markov mọi phân phối nhiều chiều đều có thể biểu diễn qua phân phối một chiều và hai chiều

- Có số gia độc lập x t i x t i1 là dừng Nghĩa là các quá trình ngẫu nhiên

 i  i 1

x t x t và x t i hx t i1h có cùng phân phối xác suất,

- x(0) = 0,

- Với t > 0 có x t  0,

- Với t > 0, x(t) có phân phối chuẩn

Quá trình Wiener và quá trình ồn trắng cũng là quá trình Markov Quá trình Wiener (t) cũng có thể coi như tích phân của ồn trắng Gauss [66]

suất px;t Tuy nhiên, phương trình FPK phụ thuộc thời gian nên khó giải, chỉ cho nghiệm giải tích trong một số trường hợp với điều kiện đầu phù hợp Do vậy, người ta thường quan tâm đến các hệ có đáp ứng ở trạng thái bình ổn, nghĩa

là xác suất để trạng thái biến đổi lặp lại là hằng số để hàm mật độ xác suất không phụ thuộc thời gian Quá trình dừng đồng nghĩa với trạng thái bình ổn, với px;t/ t 0, dẫn tới dạng đơn giản hơn của phương trình FPK là:

1.4 Dao động ngẫu nhiên chịu kích động ồn trắng Gauss

Xuất phát từ định luật II Newton, chuyển động của hệ cơ học một bậc tự

do như hình 1.6 được mô tả bởi phương trình

 ,   

mxb xk xg x x u t (1.51)

Hình 1.6 Mô hình hệ cơ học một bậc tự do

trong đó x, x và x lần lượt là dịch chuyển, vận tốc và gia tốc của dao động, m là

khối lượng, b tt là hệ số cản của lực cản tuyến tính, k tt là hệ số độ cứng của lực đàn hồi tuyến tính, g ptx x,  là hàm của các lực cản và đàn hồi phi tuyến, u t 

trong đó 0 có ý nghĩa là tần số dao động tự do của hệ khi g x x  , 0

Khi kích động ngoài là các lực ngẫu nhiên thì phương trình (1.52) gọi là phương trình vi phân ngẫu nhiên Trong ứng dụng kỹ thuật, do sự thiếu hụt về số liệu đo đạc nên để đơn giản hóa, quá trình kích động ngẫu nhiên thường được giả thiết

là ồn trắng Gauss, f t  t với  t là ồn trắng Gauss như ký hiệu trong (1.48),  là cường độ của kích động Về cơ bản, phương trình vi phân bậc hai (1.52) có thể được chuyển đổi về hệ phương trình trạng thái bao gồm hai phương trình vi phân bậc nhất

Đối với trường hợp hệ có n bậc tự do thì phương trình Ito (1.53) sẽ bao gồm 2n

phương trình vi phân bậc nhất và số chiều của hàm mật độ xác suất tương ứng là

2n, việc giải phương trình FPK dừng (1.50) trở nên khó khăn Ngay cả đối với

trường hợp hệ có một bậc tự do như (1.53) thì không phải lúc nào cũng thu được hàm mật độ xác suất hai chiều, cụ thể là khi hàm g x x ,  chứa thành phần cản phi tuyến Sau đây sẽ trình bày áp dụng của phương pháp phương trình FPK cho

dao động ngẫu nhiên tuyến tính và dao động ngẫu nhiên phi tuyến có hàm mật

độ xác suất chính xác

1.4.1 Dao động ngẫu nhiên tuyến tính chịu kích động ồn trắng Gauss

Xét trường hợp hệ (1.52) khi g x x  , 0, thu được phương trình chuyển động

của hệ tuyến tính

2 0

- Các đáp ứng dịch chuyển x t  và vận tốc x t( ) là các quá trình Gauss, nghĩa là

hệ tuyến tính chịu kích động là quá trình chuẩn thì đáp ứng của hệ cũng là quá

trình chuẩn (tính bất biến qua phép biến đổi tuyến tính)

- Mật độ xác suất hai chiều có thể biểu diễn qua các mật độ xác suất một chiều

- Các mô men bậc lẻ của đáp ứng bằng không, còn các mômen bậc cao chẵn đều

có thể biểu diễn được qua mômen bậc hai như công thức (1.42)

1.4.2 Dao động ngẫu nhiên phi tuyến chịu kích động ồn trắng Gauss

Xét trường hợp dao động (1.52) dưới dạng

0

1,

2

x

H x x  x g u du (1.63) Trong phương trình (1.63) tích phân của thành phần lực đàn hồi phi tuyến g x 

là thế năng Sử dụng (1.54) và (1.50), phương trình FPK tương ứng của hàm mật

độ xác suất dừng ( , )p x x có dạng

2 0

2

02

- Các đáp ứng dịch chuyển x(t) và vận tốc x t( ) là các quá trình không độc lập và

có thể không phải là các quá trình Gauss

- Hệ số cản phi tuyến f H x x  ,   là hàm của tổng năng lượng trong khi đối với nhiều hệ động lực thực tế thì hệ số cản này chỉ phụ thuộc vào vận tốc hoặc dịch chuyển

Xét trường hợp hệ (1.62) có cản tuyến tính f H x x  , 2h, và đàn hồi phi tuyến, dao động (1.62) có dạng



Dựa trên hàm mật độ xác suất (1.69), (1.71) dao động phi tuyến một bậc tự do

có cản tuyến tính và đàn hồi phi tuyến chịu kích động ồn trắng Gauss có một số đặc điểm

- Các đáp ứng dịch chuyển x(t) và vận tốc x t( ) là các quá trình độc lập với x t( )

là quá trình Gauss

Khi mở rộng cho các hệ dao động ngẫu nhiên tuyến tính nhiều bậc tự do chịu kích động ngoài là ồn trắng Gauss thì phương pháp phương trình FPK có thể xác

định được hàm mật độ xác suất dừng có bậc bất kỳ [60], [66] Nhưng đối với trường hợp phi tuyến thì có rất ít hệ cơ học cho phép tìm được hàm mật độ xác suất dừng dưới dạng giải tích Cho đến nay, lớp các dao động ngẫu nhiên phi tuyến có hàm mật độ xác suất chính xác là lớp bài toán thế năng dừng tổng quát Tuy nhiên, các kết quả nêu trên chỉ giới hạn ở một và hai chiều tương ứng với các đáp ứng của hệ cơ học một bậc tự do là dịch chuyển và vận tốc, khó có khả năng xác định được hàm mật độ xác suất nhiều chiều cho hệ phi tuyến nhiều bậc

tự do Mặc dù có nhiều hạn chế song phương pháp phương trình FPK vẫn đóng một vai trò rất quan trọng trong lý thuyết dao động ngẫu nhiên vì có thể cung cấp hàm mật độ xác suất chính xác Do đó, kết quả thu được từ phương pháp này được thường sử dụng để làm cơ sở đối chiếu với kết quả của các phương pháp xấp xỉ khác

1.5 Một số phương pháp xấp xỉ trong phân tích dao động ngẫu nhiên phi tuyến

1.5.1 Phương pháp nhiễu

Xuất phát từ áp dụng cho dao động tiền định, phương pháp nhiễu được Crandall [26] sử dụng để đánh giá các mô men đáp ứng của hệ một và nhiều bậc tự do chịu kích động dừng Gauss Ý tưởng cơ bản của phương pháp là khai triển nghiệm của dao động phi tuyến dưới dạng chuỗi lũy thừa của các tham số bé, thường là hệ số phi tuyến của hàm phi tuyến Số hạng đầu tiên của khai triển là đáp ứng của dao động tuyến tính, các số hạng tiếp theo biểu thị ảnh hưởng của tính phi tuyến Phương pháp này phù hợp cho hệ có số hạng phi tuyến dạng đa thức, và hữu ích khi tính toán các mô men của đáp ứng [50] Tuy nhiên, khi tăng mức độ chính xác thì khối lượng tính toán cũng tăng lên theo bậc của tham số khai triển trong khi để đơn giản trong áp dụng thực tế, thường chỉ sử dụng đến bậc nhất Do vậy, phương pháp nhiễu chỉ có hiệu quả cho hệ phi tuyến yếu với nhiễu nhỏ Một số áp dụng của phương pháp này được trình bày trong [50]

1.5.2 Phương pháp trung bình hóa ngẫu nhiên

Dựa trên phương pháp trung bình áp dụng cho các hệ tiền định của Bogoliubov

và Mitropolski, Stratonovich [73] chứng minh đáp ứng của hệ một bậc tự do có cản yếu chịu kích động băng rộng có thể được xấp xỉ bằng quá trình khuếch tán Markov, nghĩa là hàm mật độ xác suất có thể xác định được bằng phương trình FPK Để xác định được hệ số khuếch tán, ý tưởng của phương pháp là đơn giản hóa hay giảm bậc của phương trình FPK bằng cách lấy trung bình theo thời gian của các đại lượng biến đổi chậm Như vậy quá trình hai chiều của dịch chuyển

và vận tốc trong phương trình dao động có thể thay thế bằng quá trình một chiều của biên độ Phương pháp này được Roberts và Spanos [59] tổng quát hóa cho

hệ nhiều bậc tự do, được Lin [47] áp dụng hệ có kích động không dừng, và được Zhu [81] hệ thống hóa lại Mặc dù có thể áp dụng cho hệ chịu kích động ngoài cũng như kích động tham số, nhưng phương pháp này thường chỉ áp dụng được cho hệ một bậc tự do có cản yếu vì bị giới hạn bởi việc giải phương trình FPK nhiều chiều

1.5.3 Phương pháp tuyến tính hóa tương đương ngẫu nhiên

Phương pháp tuyến tính hóa tương đương được đề xuất độc lập dưới dạng các tiêu chuẩn bởi Booton [16], Kazakov [38], [39] và Caughey [20] Trong khi các tiêu chuẩn Kazakov I, Kazakov II và của Booton được áp dụng trong kỹ thuật điện tử và điều khiển thì tiêu chuẩn của Caughey được phổ biến trong nghiên cứu dao động ngẫu nhiên Ý tưởng cơ bản của phương pháp tuyến tính hóa tương đương là thay thế hệ phi tuyến ban đầu bằng một hệ tuyến tính tương đương có cùng kích động Trong hệ tuyến tính tương đương, các hàm phi tuyến được thay thế bằng các hàm tuyến tính với hệ số tuyến tính hóa được lựa chọn tối ưu theo một tiêu chuẩn xác suất nào đó Tiêu chuẩn Kazakov I đề nghị cân bằng trung bình bình phương của sai số phương trình phương trình Các tiêu chuẩn của Caughey, Booton và Kazakov II đề nghị điều kiện cực tiểu trung bình bình phương của sai số phương trình, còn được biết đến với các tên gọi khác như tiêu chuẩn kinh điển, tiêu chuẩn tuyến tính hóa tương đương Gauss do giả thiết kích động là ồn trắng Gauss nên đáp ứng của hệ tuyến tính hóa cũng là Gauss Các tiêu chuẩn này có thể áp dụng cho hệ một bậc tự do hay nhiều bậc tự

do, hệ dừng hay không dừng, hệ có trễ với quy trình tính toán khá đơn giản, rất

có hiệu quả khi áp dụng để phân tích mô men bậc hai Tuy nhiên, một trong những nhược điểm cơ bản của tiêu chuẩn kinh điển là độ chính xác giảm khi mức độ phi tuyến tăng Spanos [69] có nhận xét khi nghiên cứu một số hệ động lực học kết cấu là kết quả xác định bằng tiêu chuẩn kinh điển thường nhỏ hơn kết quả xác định bằng phương pháp phương trình FPK hay phương pháp mô phỏng số Monte Carlo khoảng 20% Do đó, một số tiêu chuẩn mới đã được đề xuất và cải tiến không những cho tiêu chuẩn kinh điển mà còn cho cả phương pháp tuyến tính hóa tương đương với mục tiêu giảm thiểu sai số của nghiệm xấp

xỉ, như được liệt kê trong các tài liệu [28], [57], [60], [64]

1.5.4 Phương pháp phi tuyến hóa tương đương ngẫu nhiên

Trong phương pháp phi tuyến hóa tương đương được đề xuất bởi Caughey [20],

là phát triển của phương pháp tuyến tính hóa tương đương, trong đó hệ phi tuyến ban đầu được thay thế bằng một hệ phi tuyến tương đương thuộc lớp hệ phi tuyến có nghiệm chính xác Về cơ bản, hệ phi tuyến tương đương thường có thành phần cản phi tuyến là hàm của tổng năng lượng với hệ số phi tuyến hóa đóng vai trò trọng số Hệ số phi tuyến hóa được xác định từ điều kiện cực tiểu trung bình bình phương của sai số phương trình Việc lựa chọn được dạng cụ thể của hàm tổng năng lượng thường được đề xuất dựa trên kinh nghiệm Do thu được đáp ứng có phân bố khác Gauss, độ chính xác của nghiệm xấp xỉ thường tốt hơn so với kết quả thu được từ tiêu chuẩn kinh điển [60] Các tiêu chuẩn tuyến tính hóa từng phần do Elishakoff và Cai [29], Zhao và Chen [79] đề xuất được coi là các dạng riêng của phương pháp phi tuyến hóa tương đương Tuy nhiên, phương pháp này chỉ thích hợp để áp dụng cho hệ một bậc tự do vì các hệ phi tuyến có hàm mật độ xác suất nhiều chiều chính xác rất hạn chế

1.5.5 Phương pháp sử dụng hàm mật độ phổ

Việc xác định hàm mật độ phổ đáp ứng có vai trò quan trọng trong phân tích dao động ngẫu nhiên phi tuyến vì thông qua đó có thể xác định được các đặc trưng xác suất khác như các mô men Tuy nhiên, phương pháp này cũng có những hạn

chế do nhiều hệ phi tuyến không xác định được hàm mật độ phổ chính xác, thay vào đó hàm mật độ phổ xấp xỉ dựa trên hệ tuyến tính hóa tương đương được sử dụng Do dựa trên giả thiết phân bố của đáp ứng xấp xỉ là Gauss nên kết quả thu được không tốt đối với đáp ứng không phải là Gauss Để giải quyết vấn đề này

số cách tiếp cận sử dụng thành phần tuyến tính hóa ở dạng khác với thông thường Soize [65] xác định hàm mật độ phổ xấp xỉ bằng cách sử dụng phương pháp trung bình hóa ngẫu nhiên cho hệ tuyến tính hóa tương đương có thành phần đàn hồi là tham số ngẫu nhiên chịu kích động ồn trắng và kích động băng rộng Spanos và cộng sự [67] phát triển cách tiếp cận của Soize trong [65] cho

hệ tuyến tính hóa tương đương có thành phần đàn hồi là hàm của biên độ chịu kích động băng rộng Tuy nhiên, các cách tiếp cận nêu trên mới chỉ áp dụng được cho hệ một bậc tự do Một số cách tiếp cận khác được đề xuất bởi N C Menh trong [51], [52], N T Khiem trong [40]

1.5.6 Phương pháp xấp xỉ cho phương trình FPK

Do những hạn chế trong việc xác định nghiệm giải tích chính xác của phương trình FPK, một số phương pháp số đã được đề xuất để xác định nghiệm số như phương pháp ánh xạ mảng (Sun và Hsu [74]), phương pháp phần tử hữu hạn (Langley [45], Langtangeh [46], Spencer và Bergman [72], Wojtkiewich và cộng sự [77]), kết quả thu được hàm mật độ xác suất dừng có số chiều nhỏ hơn bốn Kết quả đáng chú ý gần đây do Kumar và Narayanan [44] phát triển phương pháp phần tử hữu hạn thu được hàm mật độ xác suất dừng hai chiều cho dao động chịu kích động ngoài và kích động tham số, đồng thời phát triển phương pháp sai phân hữu hạn thu được hàm mật độ xác suất bốn chiều của hệ tuyến tính Các phương pháp số nêu trên đòi hỏi khá nhiều thời gian tính toán và mới chỉ dừng lại ở bài toán bốn chiều với kích động ngoài thường là ồn trắng Gauss Một số phương pháp giải tích xấp xỉ cũng được đề xuất để giải phương trình FPK như N.Đ Anh [7] sử dụng cách khai triển theo tọa độ ẩn suy rộng thu được hàm mật độ xác suất dừng cho một lớp hệ phi tuyến có tải trọng tuần hoàn

và chịu kích động ngẫu nhiên, N.T Khiem [41] thu được nghiệm tổng quát của

phương trình FPK với các biến biên độ và pha

1.5.7 Phương pháp mô phỏng số Monte Carlo

Phương pháp mô phỏng số Monte Carlo là công cụ rất hữu ích để giải các bài toán không thể giải quyết được bằng các phương pháp giải tích chính xác và phương pháp xấp xỉ, có thể áp dụng cho các hệ phi tuyến khác nhau cũng như các dạng kích động khác nhau với độ chính xác cao Cơ sở lý thuyết và áp dụng cho phân tích ngẫu nhiên của phương pháp này được Rubinstein trình bày trong [62] Các phát triển của phương pháp này cho hệ động lực học ngẫu nhiên được

hệ thống hóa bởi Spanos và Mignolet [71], Johnson và cộng sự [37], Prope và cộng sự [57] Trình tự tính toán khi áp dụng cho việc phân tích hệ chịu kích động ngẫu nhiên gồm hai bước cơ bản, trước hết cần tạo hàm mẫu của kích động, sau đó tiến hành lấy tích phân phương trình vi phân chuyển động thu được hàm mẫu của đáp ứng Các đặc trưng xác suất cần tìm là trung bình đại số của các mẫu Để đạt được độ chính xác cần thiết thì số lượng mẫu phải đủ lớn, nghĩa

là phải tiến hành lấy tích phân rất nhiều lần Do đó, khi áp dụng cho các hệ có nhiều bậc tự do mất rất nhiều thời gian tính toán

1.5.8 Nhận xét

Trong những phương pháp kể trên, phương pháp tuyến tính hóa tương đương ngẫu nhiên và phương pháp mô phỏng số Monte Carlo được coi là hai phương pháp thường được sử dụng nhất hiện nay để phân tích dao động ngẫu nhiên trong nghiên cứu và trong ứng dụng kỹ thuật ([28], [49], [50], [57], [60], [64], [80]) Lí do chủ yếu là hai phương pháp này có thể áp dụng đối với hệ nhiều bậc tự do hay bài toán nhiều chiều vốn rất phổ biến trong thực tế, trong khi các phương pháp khác như đã liệt kê đều bị giới hạn bởi số chiều của bài toán Phương pháp phương trình FPK mặc dù là phương pháp giải tích chính xác nhưng bị hạn chế bởi rất ít hệ phi tuyến xác định được hàm mật độ xác suất chính xác từ phương trình FPK và số chiều thường chỉ là hai Các phương pháp

số để giải phương trình FPK như phương pháp phần tử hữu hạn, phương pháp sai phân hữu hạn mới chỉ thu được hàm mật độ xác suất có số chiều nhỏ hơn

hoặc bằng bốn Phương pháp trung bình ngẫu nhiên, phương pháp phi tuyến hóa tương đương ngẫu nhiên đều sử dụng các xấp xỉ giải tích để tìm hàm mật độ xác suất bằng phương pháp phương trình FPK nên cũng bị giới hạn bởi các nhược điểm của phương pháp này Phương pháp nhiễu, mặc dù có thể áp dụng cho bài toán nhiều chiều, nhưng chỉ phù hợp với hệ phi tuyến yếu và khi tăng mức độ chính xác thì khối lượng tính toán cũng tăng theo bậc của khai triển xấp xỉ Phương pháp mô phỏng số Monte Carlo mặc dù cho độ chính xác cao nhưng kèm theo đó khối lượng và thời gian tính toán rất lớn nên chưa thực sự tiện dụng trong ứng dụng kỹ thuật Do tính toán đơn giản và khả năng áp dụng đa dạng cho hệ nhiều bậc tự do với kích động dừng hoặc không dừng hay hệ có trễ, phương pháp tuyến tính hóa tương đương ngẫu nhiên đã được các kỹ sư sử dụng trong phân tích động lực học, độ tin cậy của kết cấu phi tuyến và được xem là một công cụ tính toán chuẩn của động lực học kết cấu ngẫu nhiên [57] Tuy nhiên phương pháp tuyến tính hóa tương đương ngẫu nhiên vẫn tồn tại một số nhược điểm cơ bản cần phải giải quyết, một là không ước lượng được mức độ chính xác của nghiệm xấp xỉ, hai là sai số của nghiệm xấp xỉ tăng khi mức độ phi tuyến tăng, ba là chỉ cho kết quả dưới dạng mô men bậc hai của đáp ứng Đối với nhược điểm thứ nhất của phương pháp tuyến tính hóa tương đương cần xác định liên hệ toán học giữa tiêu chuẩn tuyến tính hóa được đề xuất với sai số của nghiệm xấp xỉ, nhưng hiện nay vẫn chưa có chứng minh lí thuyết cho một tiêu chuẩn cụ thể nào về sự liên hệ này, do đó để đánh giá sai số của nghiệm xấp

xỉ cần phải dựa trên các hệ có nghiệm chính xác hoặc nghiệm mô phỏng số Để giải quyết nhược điểm thứ hai, một số tiêu chuẩn tuyến tính hóa mới đã được đề xuất theo các cách tiếp cận dựa trên các tiêu chuẩn về năng lượng hay mô men xác suất, nhưng vẫn chưa có tiêu chuẩn nào được khẳng định là thay thế hoàn toàn tiêu chuẩn kinh điển Nhược điểm thứ ba xuất phát từ giả thiết phân bố xác suất của đáp ứng xấp xỉ là Gauss với trung bình không nên chỉ cần biết mô men bậc hai là xác định được toàn bộ các đặc trưng xác suất khác của đáp ứng, do đó một số tiêu chuẩn tuyến tính hóa đề xuất sử dụng phân bố của đáp ứng khác Gauss, tuy nhiên dạng của phân bố phải giả thiết nên cũng chỉ phù hợp cho một

số hệ phi tuyến nhất định Cho đến nay vẫn chưa có cách tiếp cận nào có thể giải quyết đồng thời ba nhược điểm cơ bản của phương pháp tuyến tính hóa tương đương ngẫu nhiên

Kết luận chương 1

Trong chương này trình bày sơ lược về lý thuyết xác suất và dao động ngẫu nhiên sẽ được áp dụng trong các chương kế tiếp Ở đây đã giới thiệu về các đặc trưng xác suất cơ bản của biến ngẫu nhiên và quá trình ngẫu nhiên Ý nghĩa

và tính chất của hệ số tương quan và hệ số tương quan bình phương được trình bày trong bài toán xác định quan hệ tuyến tính của hai biến ngẫu nhiên Các quá trình dừng đặc biệt đóng vai trò quan trọng trong lí thuyết dao động ngẫu nhiên như quá trình ồn trắng, quá trình Gauss, quá trình Markov và phương trình FPK được giới thiệu Các đặc điểm cơ bản của dao động ngẫu nhiên một bậc tự do chịu kích động ồn trắng Gauss được trình bày thông qua hàm mật độ xác suất chính xác xác định bằng phương pháp phương trình FPK Một số phương pháp xấp xỉ trong phân tích dao động ngẫu nhiên phi tuyến được liệt kê cùng với ưu nhược điểm của từng phương pháp Các ưu điểm và nhược điểm cơ bản của phương pháp tuyến tính hóa tương đương ngẫu nhiên, một trong những phương pháp được sử dụng phổ biến nhất trong các bài toán kỹ thuật, được trình bày