Kinh nghiệm giúp học sinh tránh mắc sai lầm khi giải bài toán cực trị. A-Đặt vấn đề: Trong các bài tập đại số,có một số dạng bài mà khi giải, học sinh rất dễ mắc sai lầm. Đặc biệt trong đó có dạng bài Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức, mà ta gọi chung là các bài toán cực trị. Các bài toán cực trị thờng khó, song lại rất hấp dẫn với học sinh, bởi vấn đề mà nó đặt ra là tìm một giá trị đặc biệt của biểu thức. Tuy nhiên trong quá trình giải các em hay mắc sai lầm nếu không nắm vững các b- ớc giải và cách vận dụng các kiến thức đã học trong quá trình biến đổi, đặc biệt là tính chất của bất đẳng thức. Trong nội dung bài viết này tôi muốn đề cập tới: Những sai lầm mà học sinh thờng mắc và cách khắc phục khi giải các bài toán cực trị B- Giải quyết vấn đề: Một sai lầm thờng mắc và cách khắc phục khi giải các bài toán cực trị Trớc hết ta nhắc lại các bớc giải một bbài toán cực trị: Cho biểu thức A có tập xác định là: D. Để tìm giá trị nhỏ nhất (hay giá trị lớn nhất) của biểu thức A ta phải thực hiện các bớc sau: + B ớc 1: Chứng minh A k (hoặc A k ) với mọi giá trị của biến thuộc D. + B ớc 2: Tìm giá trị của biến thuộc D để A = k. *Sau đây là các sai lầm mà học sinh thờng mắc hay vấp phải khi thực hiện các bớc trên và cách khắc phục. I-Sai lầm khi thức hiện b ớc1: 1-Ví dụ 1: Tìm GTLN của biểu thức: A = 5 1 2 + xx Bài giải: Phân thức A có tử thức không đổi, nên A có GTLN khi mẫu thức có GTNN. Ta có: 4 19 4 19 ) 2 1 (5 22 +=+ xxx với mọi x. Suy ra: A = 19 4 4 19 1 4 19 ) 2 1 ( 1 5 1 2 2 = + = + x xx Dấu = xẩy ra khi 0) 2 1 ( 2 =x hay x = 2 1 Vậy A max = 19 4 khi x = 2 1 Kết quả này tuy không sai, nhng sai lầm ở cách lập luận A có tử thức không đổi, nên A có GTLN khi mẫu có GTNN. Với cách lập luận trên sẽ mắc sai lầm khi giải bài tập sau: 2-Ví dụ 2: Tìm x để biểu thức: B = 36 1 2 + xx có GTLN. Bài giải: -Phân thức B có tử thức không đổi, nên B có GTLN khi mẫu thức có GTNN. Ta có: 1212)3(36 22 +=+ xxx với mọi x. Suy ra: B = 12 1 12 1 12)3( 1 36 1 22 = + = + xxx Dấu = xẩy ra khi 0)3( 2 =+x hay x =-3 Vậy B max = 12 1 khi x =-3 -Xong ta thấy với x =1 thì B = 4 1 , mà 12 1 4 1 > Do đó 12 1 không phải kà GTLN của B. *Trong bài tập này biểu thức B có GTLN. Vì theo tính chất của bất đẳng thức: Với A k; k >0 thì A 1 đạt GTLN khi A đạt GTNN. Còn trong bài tập trên k = -12 < 0. Do đó bài toán trên sai lầm ở chỗ mẫu thức không luôn dơng với mọi x. 3-Ví dụ 3: Cho biểu thức C = )1( 1 xx Với giá trị nào của x thì C đạt GTNN. (Tài liệu hớng dẫn ôn thi tốt nghiệp THCS của Bộ GD năm 2000- 2001) Bài giải: -TXĐ: x > 0; x 1 - Ta có C đạt GTNN khi )1( xx đạt GTLN. -Đặt yx = (y>0; y 1) )1( xx = =+= 4 1 ) 2 1 ()1( 22 yyyyy = 4 1 ) 2 1 ( 4 1 2 y Dấu = xảy ra khi ( 2 ) 2 1 y = 0 hay y = 2 1 2 1 = x nên x = 4 1 ta thấy x = 4 1 TXĐ Suy ra: C = )1( 1 xx 4 4 1 1 = Vậy C min = 4 khi x = 4 1 (+Hoặc có học sinh biến đổi nh sau: áp dụng bất đẳng thức: x.y 2 ) 2 ( yx + Ta có: 4 1 ) 2 1 ()1( 2 = + xx xx Suy ra C 4 và rồi cũng kết luận nh trên .) Tuy nhiên ta thấy với x = 9 TXĐ thì C = - 6 1 mà - 6 1 < 4 nên C = 4 không phải là GTNN của biểu thức. -Vậy biểu thức C không có GTNN. Bài toán này mắc sai ở việc sử dụng lập luận trên. *Tóm lại: Để giúp học sinh tránh mắc sai lầm nh trên ta cần nhấn mạnh cho học sinh các chú ý sau: -Nếu A m với m > 0 thì A 1 không có GTNN. -Nếu A m với m < 0 thì A 1 không có GTLN. -Ta chỉ có thể tìm GTLN của biểu thức A 1 khi A > 0 với mọi giá trị của biến . và chỉ có thể tìm GTNN của biểu thức A 1 khi A < 0 với mọi giá trị của biến . *Trong khi thức hiện bớc 1 ta còn hay mắc sai lầm sau: 4-Ví dụ 4: Tìm GTNN của biểu thức sau: D = x+y biết 2=+ yx Bài giải: Từ bất đẳng thức: ( yx ) 2 0 xyyxxyyx 202 ++ Dấu =xảy ra khi x = y Mà 2=+ yx Suy ra: x = y = 1 Khi đó D min = 2 khi x = y =1. *Sai lầm trong cách giải trên: Đáp án tuy không sai nhng lập luận mắc sai lầm ở chỗ, học sinh chỉ chứng minhđợc ),(),( yxyx FD , mà cha chứng minh đợc D (x,y) m, với m là hằng số. Với cách lập luận trên các em sẽ mắc sai lầm ngay khi giải bài toán sau: 5-Ví dụ 5: Tìm GTNN của biểu thức: M = x 2 -1 Bài giải: Từ bất đẳng thức đúng:(x -3) 2 0 x 2 - 6x +9 0 x 2 -1 6x -10 Suy ra: M = x 2 -1 đạt GTNN x 2 -1= 6x -10 khi đó :(x -3) 2 = 0 hay x = 3. Vậy M min = 8 khi x = 3 Song ta dễ thấy kết quả đúng phải là: M min = -1 khi x = 0 *Lời giải đúng cho ví dụ 4: Ta có: 422 =++=+ xyyxyx (1) Mà 020)( 2 + xyyxyx (2) Từ (1) và (2) suy ra 2(x +y) 4 (x+y) 2 Dấu = xảy ra khi =+ = 2 0) 2 yx yx hay x = y = 1 Vậy minD = 2 khi x = y=1 *Để khắc phục sai lầm trên, giáo viên cần lu ý cho học sinh : Khi chứng minh A k ( hoặc A k) thì k phải là hằng số. II-Sai lầm khi thực hiện b ớc 2: 1-Ví dụ 6: Tìm GTNN của biểu thức : E = x 2 + xy + y 2 -3x-3y Bài giải : Ta có: 2E =2x 2 + 2xy + 2y 2 -6x-6y = (x+y) 2 + (x-3) 2 + (y-3) 2 -18 -18 E -9 Vậy E có GTNN bằng -9 *Sai lầm ở chỗ : Sau khi chứng minh E -9 học sinh cha chỉ ra E = -9 khi nào. Ta thấy : Dấu = xảy ra khi : x+y = 0 x-3=0 y-3=0 Không có giá trị nào của x; y thoả mãn điều kiện trên . +Lời giải đúng : Ta có : 4E =4x 2 + 4xy + 4y 2 -12x- 12y = (2x+y-3) 2 + 3(y-1) 2 -12 - 12 E -3 Dấu = xảy ra khi : 2x+y-3 = 0 và y-1 = 0 hay x=y=1 Vậy Min E = -3 khi x=y=1 2-Ví dụ 7: Với a; b; c là các số dơng. Hãy tìm GTNN của biểu thức : P= )5 1)( 5 1)( 5 1( a c c b b a +++ Lời giải: Ap dụng bất đẳng thức Cô-Si ta có : a c a c c b c b b a b a 5 2 5 1; 5 2 5 1; 5 2 5 1 +++ Nhân vế với vế của các bất đăbgr thức tên ta đợc : P 25 58 55 . 5 8 = a c c b b a Do đó Min P = 25 58 *Sai lầm ở chỗ : Cha chỉ ra dấu = xẩy ra khi nào . Mà ta thấy không có giá trị nào của a,b,c để dấu = xẩy ra. *Để khắc phục sai lầm trên, giáo viên cần lu ý cho học sinh : Khi chứng minh A k ( hoặc A k), phải tìm điều kiện của biến thuộc TXĐ, để dấu = xấy ra. Lời giải đúng: Với a,b,c là số dơng, áp dụng bất đẳng thức Cô-Si Ta có : 6 5 6 55 1 5 1 5 1 5 1 5 1 5 1 b a b a b a +++++=+ Tơng tự : 6 5 6 5 1 c b c b + 6 5 6 5 1 a c a c + Nhân từng vế của các bất đẳng thức trên ta có : P 125 216 Dấu = xẩy ra a c c b b a 555 == cba == Vậy Min P = cba == 125 216 *Để khắc phục sai lầm trên sau khi chứng minh A k ( hoặc A k), phải tìm xem có giá trị của biến thuộc tập xác định để dấu = xảy ra hay không. C-Kết luận : Những sai lầm thờng mắc khi giải toán cực trị cho thấy : Sự linh hoạt trong giải toán tuy rất cần thiết, song không thể tuỳ tiện mà vẫn phải đảm bảo theo những nguyên tắc nhất định. Khi giải toán cực trị đòi hỏi một t duy sáng suốt và phải hiểu rõ bản chất của kiến thức, còn chỉ mấp mờ đôi chút là có thể dẫn đến sai lầm. Trong quá trình giảng dạy, đặc biệt khi bồi dỡng học sinh giỏi tôi thờng gặp rất nhiều những sai lầm trên đây. Để hạn chế những sai lầm ấy, qua mỗi dạng bài tập tôi thờng lấy ví dụ về những sai sót học sinh có thể gặp phải, rồi từ đó rút ra nhận xét và chốt lại những sai lầm thờng mắc và đặc biệt mỗi dạng bài giáo viên cố gắng đa ra phơng pháp giải và các bớc trong cách trình bày cho học sinh. Thực tế đã có nhiều học sinh nắm khá vững các phép biến đổi để tìm cực trị của một biểu thức. Đứng trớc một số dạng bài(chẳng hạn nh các ví dụ trên) các em đã rất tỉnh táo, không phạm phải các sai lầm trong quá trình giải. Tuy nhiên các dạng bài cực trị rất phong phú, sự sai lầm của học sinh cũng rất đa dạng mà kinh nghiệm của bản thân tôi về vấn đề này cha nhiều. Rất mong đợc sự góp ý, bổ xung của các đồng nghiệp . Lào cai ngày 26 thăng 4 năm 2010 Ngời viết NguyÔn ThÞ Sù . Kinh nghiệm giúp học sinh tránh mắc sai lầm khi giải bài toán cực trị. A-Đặt vấn đề: Trong các bài tập đại số,có một số dạng bài mà khi giải, học sinh rất dễ mắc sai lầm. Đặc. giá trị nhỏ nhất của một biểu thức, mà ta gọi chung là các bài toán cực trị. Các bài toán cực trị thờng khó, song lại rất hấp dẫn với học sinh, bởi vấn đề mà nó đặt ra là tìm một giá trị đặc biệt. phục khi giải các bài toán cực trị B- Giải quyết vấn đề: Một sai lầm thờng mắc và cách khắc phục khi giải các bài toán cực trị Trớc hết ta nhắc lại các bớc giải một bbài toán cực trị: Cho biểu