hình học không gian cổ điển trong kì thi tuyển sinh đại học

Hình học không gian cổ ñiển trong các kỳ thi tuyển sinh ñại học Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối A-2014 Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, 3 2 a SD = . Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng ñáy (ABCD) là trung ñiểm của cạnh AB. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ A ñến mặt phẳng (SBD). Hướng dẫn giải Gọi H là trung ñiểm của AB, suy ra ( ) SH ABCD⊥ . Do ñó: SH HD⊥ . Ta có ( ) 2 2 2 2 2 SH SD DH SD AH AD a= − = − + = Suy ra 3 . 1 . . 3 3 S ABCD ABCD a V SH S= = Gọi K là hình chiếu vuông góc của H lên BD và E là hình chiếu vuông góc của H lên SK. Ta có ( ) BD HK BH SHK BD SH ⊥  ⇒ ⊥  ⊥  Suy ra BD HE ⊥ mà ( ) HE SK HE SBD ⊥ ⇒ ⊥ Ta có:  2 .sin 4 a HK HB KBH= = . Suy ra 2 2 . 3 HS HK a HE HS HK = = + Do ñó: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ; 2 ; 3 3 a d A SBD d H SBD HE= = = Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối B-2014 Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có ñáy là tam giác ñều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của A’ lên mặt phẳng (ABC) là trung ñiểm của cạnh AB, góc giữa ñường thẳng A’C và mặt phẳng ñáy bằng 60 0 . Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách từ ñiểm B ñến mặt phẳng (ACC’A’). H ướ ng d ẫ n gi ả i Gọi H là trung ñiểm của AB, ( ) 'A H ABC⊥ và  0 ' 60A CH = Do ñó  3 ' .tan ' 2 a A H CH A CH= = . Do ñó thể tích khối lăng trụ là 3 . ' ' ' 3 3 8 ABC A B C a V = Gọi I là hình chiếu vuông góc của H lên AC; K là hình chiếu vuông góc của H lên A’I. Suy ra ( ) ( ) , ' ' HK d H ACC A = Ta có:  3 .sin 4 a HI AH IAH= = ; 2 2 2 2 1 1 1 52 3 13 ' 9 26 a HK HK HI HA a = + = ⇒ = Do ñó: ( ) ( ) ( ) ( ) 3 13 ; ' ' 2 ; ' ' 2 13 a d B ACC A d H ACC A HK= = = Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối D-2014 Cho hình chóp S.ABC có ñáy ABC là tam giác vuông cân tại A, mặt phẳng bên SBC là tam giác ñều cạnh a và mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng ñáy. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai ñường thẳng SA, BC. Hướng dẫn giải Gọi H là trung ñiểm của BC, suy ra 2 2 BC a AH = = ( ) 3 , 2 a SH ABC SH⊥ = và 2 1 . 2 4 ABC a S BC AH ∆ = = Thể tích của khối chóp là 3 . 1 3 . 3 24 S ABC ABC a V SH S ∆ = = Gọi K là hình chiếu vuông góc của H lên SA, Suy ra HK SA ⊥ . Ta có ( ) BC SAH BC HK ⊥ ⇒ ⊥ Do ñó: HK là ñường vuông góc chung của BC và SA. Ta có 2 2 2 2 1 1 1 16 3 HK SH AH a = + = . Do ñó: ( ) 3 ; 4 a d BC SA HK= = Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối A-2013 Cho hình chóp S.ABC có ñáy là tam giác vuông tại A,  0 30 ABC = , SBC là tam giác ñều cạnh a và mặt bên SBC vuông góc với ñáy. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách từ ñiểm C ñến mặt phẳng (SAB) H ướ ng d ẫ n gi ả i Gọi H là trung ñiểm của BC, suy ra SH BC⊥ . Mà ( ) SBC vuông góc với ( ) ABC theo giao tuyến BC, nên ( ) SH ABC⊥ Ta có: 0 0 3 ; sin30 ; 2 2 3 .cos30 2 a a BC a SH AC BC a AB BC = ⇒ = = = = = Do ñó: 3 . 1 . . 6 16 S ABC a V SH AB AC= = Tam giác ABC vuông tại A và H là trung ñiểm của BC nên HA HB = . Mà ( ) SH ABC⊥ , suy ra . SA SB a= = Gọi I là trung ñiểm của AB, suy ra SI AB⊥ Do ñó: 2 2 13 4 4 AB a SI SB= − = . Suy ra : ( ) ( ) . . 3 6 39 ; . 13 S ABC S ABC SAB V V a d C SAB S SI AB ∆ = = = Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối B-2013 Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình vuông cạnh a. Mặt SAB là tam giác ñều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng ñáy. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và tính khoảng cách từ A ñến mặt phẳng (SCD) theo a. Hướng dẫn giải Gọi H là trung ñiểm của AB, suy ra SH vuông góc với AB và 3 2 a SH = . Mà mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (ABCD) theo giao tuyến AB, nên ( ) SH ABCD⊥ . Do ñó: 3 . 1 3 . 3 6 S ABCD ABCD a V SH S= = Do AB song song với CD và H thuộc AB nên ( ) ( ) ( ) ( ) , ,d A SCD d H SCD= Gọi K là trung ñiểm của CD và I là hình chiếu vuông góc của H trên SK. Ta có: HK CD ⊥ . Mà SH CD⊥ ( ) CD SHK⇒ ⊥ CD HI⊥ . Do ñó: ( ) HI SCD ⊥ Suy ra: ( ) ( ) ,d A SCD 2 2 . 21 7 SH HK a HI SH KH = = = + Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối D-2013 Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình thoi cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với ñáy,  0 120BAD = , M là trung ñiểm của cạnh BC và  0 45SMA = . Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ D ñến mặt phẳng (SBC) H ướ ng d ẫ n gi ả i   0 120 BAD ABC ABC = ⇒ ⇒ ∆ ñều 3 3 3 2 2 ABCD a a AM S⇒ = ⇒ = SAM∆ vuông tại A có  0 45SMA SAM= ⇒ ∆ vuông tại A 3 2 a SA AM= = Do ñó: 3 . 1 . 3 4 S ABCD ABCD a V SA S= = Do AD song song với BC nên ( ) ( ) ( ) ( ) , ,d D SBC d A SBC= Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SM Ta có: ( ) AM BC BC SAM SA BC ⊥  ⇒ ⊥  ⊥  ( ) ( ) ( ) , BC AH AH SBC d A SBC AH ⇒ ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ = Ta có: ( ) ( ) 2 6 6 , 2 4 4 AM a a AH d D SBC= = ⇒ = Trích từ ñề thi tuyển sinh Cao ñẳng-2013 Cho lăng trụ ñều ABC.A’B’C’ có AB = a và ñường thẳng A’B tạo với ñáy một góc bằng 60 0 . Gọi M và N lần lượt là trung ñiểm của các cạnh AC và B’C’. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và ñộ dài MN Hướng dẫn giải ( )  ' 'AA ABC A BA⊥ ⇒ là góc giữa A’B với ñáy. Suy ra:   0 ' 60 ' .tan ' 3A BA AA AB A BA a= ⇒ = = Do ñó 3 . ' ' ' 3 '. 4 ABC A B C ABC a V AA S ∆ = = Gọi K là trung ñiểm của cạnh BC. Suy ra MNK ∆ vuông tại K, có , ' 3 2 2 AB a MK NK AA a = = = = Do ñó: 2 2 13 2 a MN MK NK= + = Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối A-2012 Cho hình chóp S.ABC có ñáy là tam giác ñều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABC) là H thuộc cạnh AB sao cho 2 HA HB = . Góc giữa hai ñường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng 0 60 . Tính thể tích của khối chóp S.ABC và tính khoảng cách giữa hai ñường thẳng SA và BC theo a Hướng dẫn giải Ta có:  SCH là góc giữa SC và mặt phẳng (ABC). Suy ra  0 60 SCH = Gọi D là trung ñiểm của cạnh AB. Ta có: 3 , 6 2 a a HD CD= = 2 2 0 7 21 , .tan 60 3 3 a a HC HD CD SH HC= + = = = 2 3 . 1 1 21 3 7 . . . 3 3 3 4 12 S ABC ABC a a a V SH S ∆ = = = Kẻ Ax song song với BC, gọi N và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của H lên Ax và SN. Ta có BC song song với mặt phẳng (SAN) và 3 2 BA HA = Nên ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 , , . 2 d SA BC d B SAN d H SAN= = Ta cũng có: ( ) Ax SHN Ax HK⊥ ⇒ ⊥ . Do ñó: ( ) ( ) ( ) , HK SAN d H SAN HK ⊥ ⇒ = 0 2 2 2 3 . 42 , .sin60 , 3 3 12 a a SH HN a AH HN AH HK SH HN = = = = = + vậy ( ) 42 , 8 a d SA BC = Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối B-2012 Cho hình chóp tam giác ñều S.ABC với 2 SA a= , AB a= . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên cạnh SC. Chứng minh SC vuông góc với mặt phẳng ( ) ABH . Tính thể tích của khối chóp S.ABH theo a H ướ ng d ẫ n gi ả i Gọi D là trung ñiểm của cạnh AB và O là tâm của tam giác ABC. Ta có AB CD AB SO ⊥   ⊥  nên ( ) ,AB SCD⊥ Do ñó AB SC⊥ Mặt khác SC AH⊥ , Suy ra ( ) SC ABH⊥ Ta có: 3 2 a CD = , 3 3 a OC = nên 2 2 33 3 a SO SC OC= − = Do ñó: 2 . 11 1 11 . 4 2 8 ABH SO CD a a DH S AB DH SC ∆ = = ⇒ = = Ta có: 2 2 7 4 a SH SC HC SC CD DH= − = − − = . Do ñó: 3 . 1 7 11 . 3 96 S ABH ABH a V SH S ∆ = = Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối D-2012 Cho hình hộp ñứng ABCD.A’B’C’D’ có ñáy là hình vuông, tam giác A’AC vuông cân ' A C a= . Tính thể tích của khối tứ diện ABB’C’ và khoảng cách từ ñiểm A ñến mặt phẳng (BCD’) theo a Hướng dẫn giải Tam giác A’AC vuông cân tại A và ' A C a= nên ' 2 a A A AC= = . Do ñó: ' ' 2 a AB B C= = 3 ' ' ' 1 1 2 ' '. ' '. . ' 3 6 48 ABB C ABB a V B C S B C AB BB ∆ = = = Gọi H là chân ñường cao kẻ từ A của tam giác A’AB. Ta có ( ) ' ' AH A B AH A BC AB BC ⊥  ⇒ ⊥  ⊥  . Nghĩa là : ( ) ( ) ( ) ' , 'AH BCD AH d A BCD⊥ ⇒ = Ta có: 2 2 2 1 1 1 'AH AB AA = + Do ñó: ( ) ( ) 6 , ' 6 a d a BCD AH= = Trích từ ñề thi tuyển sinh Cao ñẳng khối A-2012 Cho khối chóp S.ABC có ñáy ABC là tam giác vuông cân tại A, 2,AB a SA SB SC= = = . Góc giữa ñường thẳng và mặt phẳng (ABC) bằng 0 60 . Tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a. Hướng dẫn giải Gọi H là trung ñiểm của BC HA HB HC ⇒ = = Kết hợp với giả thiết ,SA SB SC SH BC SHA SHB SHC= = ⇒ ⊥ ∆ = ∆ = ( )  0 60 SH ABC SAH ⊥   =   Tam giác ABC là tam giác vuông cân tại A. 2 2AC AB a BC a AH a= = ⇒ = ⇒ = Tam giác SHA vuông 3 0 . 1 1 3 tan60 3 . . . 3 2 3 S ABC a SH AH a V AB AC SH= × = ⇒ = = Gọi O;R lần lượt là tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC. Suy ra O thuộc ñường thẳng SH, nên O thuộc mặt phẳng (SBC). Do ñó: R là bán kính ñường tròn ngoại tiếp tam giác SBC. Xét tam giác SHA ta có: 0 2 sin 60 SH SA a SBC= = ⇒ ∆ là tam giác ñều có ñộ dài cạnh bằng 2a. Suy ra : 0 2 2 3 2sin 60 3 a a R = = Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối A-2011 Cho hình chóp S.ABC có ñáy ABC là tam giác vuông cân tại B, 2 ;AB BC a= = hai mặt phẳng ( ) SAB và ( ) SAC cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M là trung ñiểm của AM; mặt phẳng qua SM và song song với B, cắt AC tại N. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 0 60 . Tính thể tích của khối chóp S.BCNM và khoảng cách giữa hai ñường thẳng AB và SN theo a Hướng dẫn giải Hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với (ABC) ( ) SA ABC⇒ ⊥ .  AB BC SB BC SBA⊥ ⇒ ⊥ ⇒ là góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và mặt phẳng (ABC)   0 60 .tan 2 3SBA SA AB SBA a⇒ = ⇒ = = Mặt phẳng qua SM và song song với BC, cắt AC tại N. // MN BC ⇒ và N là trung ñiểm của AC. ; 2 2 BC AB MN a BM a = = = = Diện tích : ( ) 2 3 2 2 BCNM BC MN BM a S + = = . Thể tích 3 . 1 . 3 3 S BCNM BCNM V S SA a= = Kẻ ñường thẳng ∆ ñi qua N, song song với AB. Hạ ( ) ( ) //AD D AB SND⊥ ∆ ∈∆ ⇒ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ; , ,d AB SN d AB SND d A SND⇒ = = . Hạ ( ) ( ) ( ) ( ) ,AH SD H SD AH SND d A SND AH⊥ ∈ ⇒ ⊥ ⇒ = Tam giác SAD vuông tại A: AH SD AD MN a ⊥   = =  ( ) 2 2 . 2 39 , 13 SA AD a d AB SN AH SA AD ⇒ = = = + Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối B-2011 Cho lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có ñáy ABCD là hình chữ nhật, , 3AB A AD a= = . Hình chiếu vuông góc của ñiểm A 1 lên mặt phẳng (ABCD) trung với giao ñiểm của AC và BD. Góc giữa hai mặt phẳng ( ) 1 1 ADD A và (ABCD) bằng 0 60 . Tính thể tích của khối lăng trụ ñã cho và khoảng cách từ ñiển 1 B ñến mặt phẳng ( ) 1 A BD theo a. Hướng dẫn giải Gọi O là giao ñiểm của AC và BD. ( ) 1 AO ABCD⇒ ⊥ Gọi E là trung ñiểm của AD 1 OE AD A E AD ⊥  ⇒  ⊥  Suy ra  1 A EO là góc giữa hai mặt phẳng ( ) 1 1 ADD A và (ABCD)  0 1 60 A EO⇒ = Suy ra:   1 1 1 3 .tan tan 2 2 AB a AO OE A EO A EO= = = Diện tích ñáy 2 . 3 ABCD S AB AD a= = Thể tích 3 . ' ' ' ' 1 3 2 ABCD A B C D ABCD a V S AO= × = Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 // // , , B C A D B C A BD d B A BD d C ABD CH ⇒ ⇒ = = Suy ra ( ) ( ) 1 1 2 2 . 3 2 CD CB a d B ABD CH CD CB = = = + Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối D-2011 Cho hình chóp S.ABC có ñáy ABC là tam giác vuông tại B, 3 , 4 BA a BC a = = , mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết 2 3SB a= và  0 30 .SBC = Tính thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách từ ñiểm B ñến mặt phẳng (SAC) theo a. Hướng dẫn giải Hạ ( ) ( )  ; .sin 3 SH BC SBC ABC SH BC SH SB SBC a ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥ = = Diện tích: 2 12 . 6 ABC S BA BC a= = Thể tích 3 . 1 . 2 3 3 S ABC ABC V S SH a= = Hạ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )  ( ) ( ) ( ) , , . .cos 3 4 , 4 , HD AC D AC HK SD K SD HK SAC HK d H SAC BH SB SBC a BC HC d B SAC d H SAC ⊥ ∈ ⊥ ∈ ⇒ ⊥ ⇒ = = = ⇒ = ⇒ = Ta có 2 2 3 5 ; . 5 HC a AC BA BC a HC BC BH a HD BA AC = + = = − = ⇒ = = 2 2 . 3 7 14 SH HD a HK SH HD = = + . Vậy ( ) ( ) 6 7 , 4 7 a d B SAC HK= = Trích từ ñề thi tuyển sinh Cao ñẳng khối A-2011 Cho hình chóp S.ABC có ñáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 0 30 . Gọi M là trung ñiểm của cạnh SC. Tính thể tích của khối chóp S.ABM theo a H ướ ng d ẫ n gi ả i Ta có SA BC SB BC AB BC ⊥  ⇒ ⊥  ⊥  Do ñó: góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng  0 30SBA = . . 1 1 . . 2 12 S ABM S ABC V V SA AB BC= = 0 3 ; .tan30 3 a BC AB a SA AB= = = = Vậy 3 . 3 36 S ABM a V = Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối A-2010 Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M và N lần lượt là trung ñiểm của các cạnh AB và AD; H là giao ñiểm của N và DM. Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và 3SH a= . Tính thể tích của khối chóp S.CDNM và khoảng cách giữa hai ñường thằng DM và SC theo a. H ướ ng d ẫ n gi ả i Thể tích của khối chóp S.CDNM 2 2 2 2 2 1 1 . . 2 2 5 8 4 8 CDNM ABCD AMN S S S SBC AB AM AN BC BM a a a a = − − = − − = − − = Vậy 3 1 5 3 . 3 24 SCDNM CDNM a V S SH= = Khoảng cách giữa hai ñường thẳng DM và SC.   ADM DCN ADM DCN DM CN∆ = ∆ ⇒ = ⇒ ⊥ kết hợp với ñiều kiện ( ) DM SH DM SHC ⊥ ⇒ ⊥ Hạ ( ) HK SC K SC HK ⊥ ∈ ⇒ là ñoạn vuông góc chung của DM và SC. Do ñó: ( ) ,d DM SC HK= Ta có : ( ) 2 2 2 2 5 2 3 , 19 . 2 3 19 CD a HC CN a d DM SC SH HC a HK SH HC  = =   ⇒ =   = =  +  Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối B-2010: Cho hình lăng trụ tam giác ñều ABC.A’B’C’ có AB a= , góc giữa hai mặt phẳng (A’BC) và (ABC) bằng 0 60 . Gọi G là trọng tâm của tam giác A’BC. Tính thể tích của khối lăng trụ ñã cho và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a. Hướng dẫn giải Thể tích khối lăng trụ. Gọi D là trung ñiểm của BC ta có:  0 ' ' 60BC AD BC A D ADA⊥ ⇒ ⊥ ⇒ = Ta có:  2 3 3 ' .tan ' ; 2 4 ABC a a AA AD ADA S= = = Do ñó: 3 . ' ' ' 3 3 ' 8 ABC A B C ABC a V S AA= × = Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC Gọi H là trọng tâm của tam giác ABC, suy ra: ( ) // ' //GH AA GH ABC⇒ Gọi I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC, ta có I là giao ñiểm của GH với ñường trung trực của AG trong mặt phẳng (AGH. Gọi E là trung ñiểm của AG, ta có: 2 . 2 GE GA GA R GI GH GH = = = Ta có 2 2 2 2 ' 3 7 ; ; 3 2 3 12 AA a a a GH AH GA GH AH= = = = + = Do ñó: 2 7 2 7 2.12 12 a a R a = × = Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối D-2010 Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA = a; hình chiếu vuông góc của ñỉnh S lên mặt phẳng (ABCD) là ñiểm H thuộc ñoạn AC, 4 AC AH = . Gọi CM là ñường cao của tam giác SAC. Chứng minh M là trung ñiểm của SA và tính thể tích của khối tứ diện SMBC theo a H ướ ng d ẫ n gi ả i Chứng minh M là trung ñiểm của SA. 2 2 2 14 ; 4 4 a a AH SH SA AH= = − = 2 2 3 2 ; 2 4 a HC SC SH HC a SC AC = = + = ⇒ = Do ñó: tam giác SAC cân tại C, Suy ra M là trung ñiểm của SA Tính thể tích của khối tứ diện SBCM. M là trung ñiểm của SA suy ra . . 1 1 2 2 SCM SCA SBCM B SCA S ABC S S V V V= ⇒ = = 3 1 14 6 48 SBCM ABC a V S SH⇒ = × = Trích từ ñề thi tuyển sinh Cao ñẳng khối A-2010 Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng ñáy, SA = SB, góc giữa ñường thẳng SC và mặt phẳng ñáy bằng 0 45 . Tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo a. Hướng dẫn giải Gọi I là trung ñiểm của AB. Ta có .SA SB SI AB= ⇒ ⊥ Mà hai mặt phẳng (SAB) và mặt phẳng (ABCD) vuông góc với nhau nên suy ra ( ) SI ABCD⊥ Góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD bằng  0 45 SCI = , Suy ra 2 2 5 2 a SI IC IB BC= = + = Thể tích của khối chóp là 3 . 1 5 . 3 6 S ABCD ABCD a V SI S= = (ñơn vị thể tích) Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối A-2009: Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình thang vuông tại A và D; 2AB AD a= = , CD a= ; góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 0 60 . Gọi I là trung ñiểm của cạnh AD. Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo a Hướng dẫn giải ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) SIB ABCD SI ABCD SIC ABCD ⊥   ⇒ ⊥  ⊥   Kẻ ( ) ( )  0 60IK BC K BC BC SIK SKI⊥ ∈ ⇒ ⊥ ⇒ = Diện tích hình thang ABCD : 2 3 ABCD S a= Tổng diện tích các tam giác ABI và CDI bằng 2 3 2 a , suy ra 2 3 2 IBC a S ∆ = ( )  2 2 2 3 5 3 15 5 .tan 5 5 IBC S a a BC AB CD AD a IK SI IK SKI BC ∆ = − + = ⇒ = = ⇒ = = Thể tích của khối chóp S.ABCD: 3 1 3 15 . 3 5 ABCD a V S SI= = Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối B-2009: Cho hình trụ tam giác ABC.A’B’C’ có ' BB a = , góc giữa ñường thẳng BB’ và mặt phẳng (ABC) bằng 0 60 ; tam giác ABC vuông tại C và  0 60BAC = . Hình chiếu vuông góc của B’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Tính thể tích của khối tứ diện A’ABC theo a Hướng dẫn giải [...]... BC 1 AD ⇒  ⇒ BCNM là hình bình hành (1) 2  MN = BC M t khác  BC ⊥ AB ⇒ { BC ⊥ ( SAB ) ⇒ BC ⊥ BM   BC ⊥ SA ( 2) T (1) và (2) ta suy ra BCNM là hình ch nh t Ta có: S BCNM = 2 S ∆BCM ⇒ VS BCNM = 2VS BCM 1 1 1 1 a3 VS BCM = VC SBM = CB.S ∆SBM = CB.S ∆SAB = CB SA AB = 3 6 6 2 6 3 a V y Vs BCNM = (ñvtt) 3 Trích t ñ thi tuy n sinh ð i h c A-2007 Cho hình chóp S.ABCD có ñáy là hình vuông c nh a, m t... BA BM BE h a a a a 7 V y: kho ng cách gi a hai ñư ng th ng B’C và AM b ng a 7 7 Trích t ñ thi tuy n sinh Cao ñ ng-2008: Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình thang, BAD = ABC = 900 ; AB = BC = a , AD = 2a , SA vuông góc v i ñáy và SA = 2a G i M, N l n lư t là trung ñi m c a SA và SD Ch ng minh r ng BCNM là hình ch nh t và tính th tích c a kh i chóp S.BCNM theo a Hư ng d n gi i Ta có: MN là ñư ng... ⇒ A ' H = a 3 1 a3 V y VA ' ABC = A ' H × S∆ABC = (ñơn v th tích) 3 2 Trong tam giác vuông A’B’H có: HB ' = A ' B '2 + A ' H 2 = 2a nên tam giác B’BH cân t i B’ ð t ϕ là góc gi a hai ñư ng th ng AA’ và B’C’ thì ϕ = B ' BH V y cos ϕ = 1 a = 2.2a 4 Trích t ñ thi tuy n sinh ð i h c kh i B-2008: Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình vuông c nh 2a, SA = a , SB = a 3 và m t ph ng (SAB) vuông góc v i... × CP = ⇒ VCMNP = 2 8 96 Trích t ñ thi tuy n sinh ð i h c B-2007 Cho hình chóp t giác ñ u S.ABCD có ñáy ABCD là hình vuông c nh a E là ñi m ñ i x ng c a D qua trung ñi m c a SA, M là trung ñi m c a AE, N là trung ñi m c a BC Ch ng minh MN vuông góc v i BD và tính theo a kho ng cách gi a hai ñư ng th ng MN và AC Hư ng d n gi i G i P là trung ñi m c a SA Ta có MNCP là hình bình hành nên MN song song v... nên d ( MN , AC ) = d ( N , ( SAC ) ) a 2 1 1 d ( B; ( SAC ) ) = BD = 2 4 4 a 2 V y d ( MN ; AC ) = 4 = Trích t ñ thi tuy n sinh ð i h c D-2007 Cho hình chóp S.ABCD có ñáy là hình thang ABC = BAD = 900 , BA = BC = a; AD = 2a C nh bên SA vuông góc v i m t ph ng ñáy và SA = a 2 G i H là hình chóp vuông góc c a A lên SB Ch ng minh tam giác SCD là tam giác vuông và tính theo a kho ng cách t H ñ n m t... A ' B ( K ∈ A ' B ) Vì BC ⊥ ( ABB ' A ') nên AK ⊥ BC Suy ra AK ⊥ ( IBC ) Kho ng cách t A ñ n m t ph ng (IBC) là AK AK = 2 S ∆AA ' B = A' B AA ' AB A ' A2 + AB 2 = 2a 5 5 Trích t ñ thi tuy n sinh Cao ñ ng kh i A-2009: Cho hình chóp t giác ñ u S.ABCD có AB = a, SA = a 2 G i M, N và P l n lư t là trung ñi m c a các c nh SA, SB và CD Ch ng minh r ng ñư ng th ng MN vuông góc v i ñư ng th ng SP Thính theo... i O là tâm c a ñáy ABCD Ta có : SO = SA2 − OA2 = VAMNP a 6 2 1 1 1 1 a3 6 2 = VABSP = VS ABCD = SO AB = 4 8 8 3 48 Trích t ñ thi tuy n sinh ð i h c kh i A-2008: Cho lăng tr tam giác ABC.A’B’C’ có ñ dài c nh bên b ng 2a, ñáy ABC là tam giác vuông t i A, AB = a, AC = a 3 và hình chi u vuông góc c a ñ nh A’ lên m t ph ng (ABC) là trung ñi m c a c nh BC Tính theo a th tích c a kh i chóp A’.ABC và tính... 9a 2 3a 13 9a 2 3 Ta l i có: BC 2 + CD 2 = BD 2 ⇒ + = ⇒ AB = ; S ∆ABC = 4 16 16 26 104 3 1 9a Th tích c a kh i t di n A’ABC: VA ' ABC = VB ' ABC = B ' G.S∆ABC = 3 208 BC = Trích t ñ thi tuy n sinh ð i h c kh i D-2009: Cho hình lăng tr ñ ng ABC.A’B’C’ có ñáy ABC là tam giác vuông t i B, AB = a; AA ' = 2a; A ' C = 3a G i M là trung ñi m c a ño n th ng A’C’, I là giao ñi m c a AM và A’C Tính theo a th... giác cân t i E nên  2 = 5 cos α = 5 a 5   2  Trích t ñ thi tuy n sinh ð i h c kh i D-2008: Cho lăng tr ñ ng tam giác ABC.A’B’C’ có ñáy ABC là tam giác vuông, AB = BC = a , c nh bên AA ' = a 2 G i M là trung ñi m c a c nh BC Tính theo a th tích c a kh i lăng tr ABC.A’B’C’ và kho ng cách gi a hai ñư ng th ng AM, B’C Hư ng d n gi i T gi thi t ta suy ra tam giác ABC là tam giác vuông cân t i B 1 2... n lư t là trung ñi m c a các c nh AB, BC Tính theo a th tích c a kh i chóp S.BMDN và tính cosin c a góc gi a hai ñư ng th ng SM và DN Hư ng d n gi i G i H là hình chi u vuông góc c a S lên AB, suy ra SH ⊥ ( ABCD ) Do ñó, SH là ñư ng cao c a hình chóp S.BMDN Ta có: SA2 + SB 2 = a 2 + 3a 2 = AB 2 nên tam giác SAB là tam giác vuông t i S Suy ra AB a 3 = a Do ñó tam giác SAM là tam giác ñ u, suy ra SH . Hình học không gian cổ ñiển trong các kỳ thi tuyển sinh ñại học Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối A-2014 Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, 3 2 a SD = . Hình. SAB S SI AB ∆ = = = Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối B-2013 Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình vuông cạnh a. Mặt SAB là tam giác ñều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt. 2 7 2.12 12 a a R a = × = Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối D-2010 Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA = a; hình chiếu vuông góc của ñỉnh S lên mặt phẳng