Bài giảng Môn Toán 5- Xác suất Thống kê Ti ến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ 2011 -2 012 1 Bài số 10 BÀI TOÁN ƯỚC LƯỢNG TỶ LỆ I. ƯỚC LƯỢNG TỶ LỆ. 1.Định nghĩa. Giả sử tổng thể được chia làm hai loại phần tử. Tỷ lệ phần tử có dấu hiệu ℑ là p chưa biết. Ước lượng tỷ lệ là chỉ ra khoảng 1 2 ( , ) p p chứa p sao cho 1 2 ( ) 1 P p p p α < < = − . Một ước lượng điểm có tỷ lệ p trong một phép thử nhị thức được xác định bằng thống kê ˆ / P X n = , trong đó X là số các thành công trong n lần thử nghiệm. Vì thế, tỷ lệ mẫu ˆ / p x n = sẽ được dùng làm ước lượng điểm của tham số p. Ký hiệu thất bại trong thử nghiệm nhị thức là 0 và thành công là 1, số thành công x có thể được hiểu là tổng n các giá trị chỉ bao gồm các số 0 và số 1, và ˆ p chỉ là trung bình mẫu của n các giá trị này. Vì thế, theo Định lý giới hạn trung tâm, với n đủ lớn ˆ P có phân bố chuNn tắc với kỳ vọng là: ˆ ( ) p X np E P E p n n µ = = = = và phương sai 2 2 2 ˆ / 2 2 x X m P npq pq n n n σ σ σ= = = = vì thế, chúng ta có thể kết luận rằng /2 /2 ( ) 1 P z Z z α α α − < < = − trong đó ˆ / P p Z pq n − = và /2 z α là giá trị của biểu đồ chuNn trên đó chúng ta có thể xác định được một diện tích α/2. Thay cho Z, chúng ta viết /2 /2 ˆ 1 / P p P z z pq n α α α − − < < = − Nhân mỗi số hạng của bất đẳng thức với / pq n , và sau đó trừ với ˆ P và nhân với -1, chúng ta thu được: /2 /2 ˆˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 1 ; 1 pq pq P P z p P z q p n n α α α − < < + = − = − Khi n lớn, rất ít sai số xảy ra khi thay thế ước lượng điểm ˆ / p x n = cho p dưới dấu căn. Khi đó chúng ta có thể viết Bài giảng Môn Toán 5- Xác suất Thống kê Ti ến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ 2011 -2 012 2 /2 /2 ˆˆ ˆˆ ˆ ˆ 1 pq pq P P z p P z n n α α α − < < + − Đối với mẫu ngẫu nhiên có cỡ n , tỷ lệ mẫu ˆ / p x n = được xác định và khoảng tin cậy (1-α) % ước lượng sau đối với p được xác định. 2. Khoảng tin cậy đối với p khi mẫu cỡ lớn. Định lý 1. Nếu ˆ p là tỷ lệ của các thành công trong một mẫu ngẫu nhiên có kích thước n và ˆ ˆ 1 q p = − , khoảng tin cậy (1 ) α − cho tham số p được xác định bởi /2 /2 ˆˆ ˆˆ ˆ ˆ pq pq p z p p z n n α α − < < + trong đó /2 z α là giá trị sao cho: 2 2 P Z z α α > = . Chú ý. + Khi n nhỏ, tỷ lệ p chưa biết nhưng gần 0 hoặc 1, thì khoảng tin cậy được xác định sẽ không chính xác. + Tuy nhiên, nếu cả ˆ ˆ hay np nq lớn hơn hoặc bằng 5 thì ta vẫn nhận được kết quả tốt. Phương pháp xác định khoảng tin cậy cho tham số p cũng có thể áp dụng khi phân bố nhị thức được sử dụng để ước lượng phân bố siêu bội, nghĩa là khi n tương đối nhỏ so với N . Ví dụ 1. Trong một mẫu ngẫu nhiên 500 N = gia đình có ti vi tại thành phố Hamilton, Canada, xác định được rằng 340 X = đăng ký HBO. Tìm khoảng tin cậy 95% cho tỷ lệ các gia đình trong thành phố này đăng ký sử dụng HBO. Giải. Ước lượng điểm của p là ˆ 340 / 500 0,68. p = = + Sử dụng Bảng A.3, chúng ta xác định được rằng 0,25 1,96 z = , vì thế, khoảng tin cậy 95% cho p là (0.68)(0.32) (0.68)(0.32) 0.68 196 0.68 1.96 500 500 p− < < + tức là: 0, 64 0, 72 p < < . Nhận xét. Nếu p là giá trị tâm của khoảng tin cậy (1-α)%, khi đó ˆ p ước lượng p không có sai số. Tuy nhiên, thường thì ˆ p sẽ không chính xác bằng p và ước lượng điểm có sai số. Cỡ sai số này sẽ là sai số dương tách p và ˆ p , và chúng ta có thể tin cậy (1-α)% rằng sai số này sẽ không vượt quá /2 ˆˆ pq z n α . Bi ging Mụn Toỏn 5- Xỏc sut Thng kờ Ti n s: Nguyn Hu Th 2011 -2 012 3 Định lý 2. Nếu p là một ớc lợng của p , vi tin cy (1- ) chúng ta có thể khẳng định rằng sai số của ớc lợng không vợt quá /2 pq z n , tc l /2 pq p p z n . Bây giờ cn xác định một mẫu cần có độ lớn là bao nhiêu để đảm bảo sai số p p khi ớc lợng p sẽ không nhỏ hơn giá trị e. Định lý 3. Nếu p là ớc lợng của p vi tin cy 1 , sai s p p sẽ nhỏ hơn giá trị xác định e khi kích thớc mẫu gần bằng 2 2 . pq n z e = Ví dụ 2. Trong Ví dụ 1 cần mẫu ln bao nhiờu nu chỳng ta mun tin cy 95% sao cho c lng p p ca p nm trong khong 0,02? Gii. Chỳng ta coi 500 gia ỡnh l mt mu ngu nhiờn có ớc lợng im p = 0,68 . Khi đó theo ịnh lý 3: 2 2 (1.96) (0.68).(0.32) 2090. (0.02) n = = Vì thế, nếu căn cứ vào ớc lợng ca p trên một biến ngẫu nhiên có kích thớc 2090, chúng ta có thể tin tởng 95% rằng tỷ lệ mẫu sẽ không khác so với tỷ lệ chân thực một khoảng lớn hơn 0,02. Ta vn cú th a ra c ca mu m trong cụng thc tớnh khụng cn n q nh trong nh lý sau: Định lý 4. Nếu p l mt ớc lợng của p vi tin cy (1 ) , khi ú sai số p p e khi kích thớc mẫu là 2 /2 2 . 4 z n e = Bi ging Mụn Toỏn 5- Xỏc sut Thng kờ Ti n s: Nguyn Hu Th 2011 -2 012 4 Ví dụ 3. Trong Ví dụ 2 cần một mẫu lớn n c no nếu chúng ta muốn tin cậy ít nhất 95% v ớc lợng p p của chúng ta nằm trong khoảng 0,02? Gii. chúng ta có thể tin cậy 95% rằng tỷ lệ mẫu này sẽ không khác so với tỷ lệ chân thực lớn hơn 0,02 nếu chúng ta lựa chọn mẫu kích thớc. ( ) ( ) 2 2 1.96 2401. 4 (0.02) n = = II. C LNG HIU HAI T L 1. Bi toỏn: Xột hai tng th 1 v 2 m mi phn t trong cỏc tng th ú u cú th mang du hiu . Gi 1 2 ; p p tng ng l t l cỏc cỏ th mang du hiu ang xột trong hai tng th ú. Ta s tỡm khong tin cy ( ) 1 cho 1 2 p p . 2. Khong tin cy cho p 1 p 2 khi c mu ln Nếu p 1 và p 2 là tỷ lệ thành công trong các mẫu ngẫu nhiên có c n 1 và n 2 tơng ứng. t 1 1 2 2 1 ; 1 q p q p = = . Khoảng tin cậy với độ tin cậy (1- ) cho sự sai khác 1 2 p p đợc xác định bằng công thức: ( ) 1 2 2 2 1 2 /2 1 2 1 1 p q p q p p z p p n n + < ( ) 1 1 2 2 1 2 /2 1 2 p q p q p p z n n < + + , trong đó /2 z là giá trị z sinh ra mt diện tích 2 về bên phía phải, tc l 2 . 2 P Z z > = Chỳ ý. Nu 1 2 ( , ) . 0 p p a b a b < ta s khụng so sỏnh t l ca tng th ny vi t l ca tng th kia. Bi ging Mụn Toỏn 5- Xỏc sut Thng kờ Ti n s: Nguyn Hu Th 2011 -2 012 5 Ví dụ 4. Xột s thay đổi nhất định trong quá trình sản xuất Các mẫu thu đợc sử dụng cả quá trình mới và quá trình hiện tại để xác định liu quá trình mới có hiệu quả hơn hay không. Gi s 75 trong số 1500 linh kiện trong quy trình hiện tại đợc xác định có lỗi và 80 trong số 2000 linh kiện của quá trình mới đợc xác định có lỗi. Tìm khoảng tin cậy 90% cho sai số chân thực trong phần các sản phẩm bị lỗi giữa quá trình hiện tại và quá trình mới. Gii. Lấy p 1 và p 2 là các tỷ lệ chân thực của các thiết bị có lỗi cho các quy trình hiện tại và mới tơng ứng. Khi đó 1 2 75 80 0,05; 0, 04 1500 2000 p p= = = = và ớc lợng điểm p 1 - p 2 bằng. 1 2 0, 05 0,04 0,01 p p = = S dng Bng A.3, chỳng ta xỏc nh c 0,05 Z 1,645 = . Vỡ vy thay vo cụng thc ta c khong tin cy 90% l: ( ) ( ) 1 2 0.5 (0.95 0.04 (0.96) 0.01 1.645 1500 2000 p p + < (0.05)(0.95) (0.04)(0.96) 0.01 1.645 1500 2000 < + + Rút gọn thành 1 2 0, 0017 0, 0217 p p < < . Vì khoảng này cha giá trị 0, cho nên quá trình mới không giảm nhiều về tỷ lệ các sản phẩm có lỗi so với phơng pháp hiện đại. III.C LNG PHNG SAI. 1. Khoảng tin cậy cho 2 Nếu 2 s là phơng sai của một mẫu ngẫu nhiên kích thớc n của một tổng thể vi phõn phi chuNn, thỡ khoảng tin cậy (1 ) cho 2 là: ( ) 2 2 2 2 2 /2 1 /2 1 ( 1) n s n X X < < trong đó 2 2 X và 2 1 2 X c xỏc nh bi 2 2 2 2 1 2 2 1 , 2 2 P X X P X X > = > = v h tr bi Bng A.5. Bài giảng Môn Toán 5- Xác suất Thống kê Ti ến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ 2011 -2 012 6 2. Khoảng tin cậy cho 2 2 1 2 / δ δ Nếu 2 1 s và 2 2 s là các phương sai của các mẫu độc lập có cỡ 1 n và 2 n từ các tổng thể có phân phối chuNn, khi đó khoảng tin cậy ( ) 1 α − cho 2 2 1 2 / δ δ là: 2 2 2 1 1 2 2 2 /2 1 2 2 2 1 3,07 (3, 87) ( , ) 0, 80 S f S α σ υ υ σ < < trong đó 2 1 2 ( , ) f α υ υ là giá trị f với 1 1 2 2 1, 1 n n υ υ = − = − bậc tự do. Về nhà: Tự đọc: Mục Mục 9.13; 9.14 Bài tập: Tr. 299; 304; 316 Đọc trước các Mục từ 10.1 đến 10.9 chuNn bị cho Bài số 11: Kiểm định giả thiết về trung bình . 10 BÀI TOÁN ƯỚC LƯỢNG TỶ LỆ I. ƯỚC LƯỢNG TỶ LỆ. 1.Định nghĩa. Giả sử tổng thể được chia làm hai loại phần tử. Tỷ lệ phần tử có dấu hiệu ℑ là p chưa biết. Ước lượng tỷ lệ là chỉ ra. cỡ n , tỷ lệ mẫu ˆ / p x n = được xác định và khoảng tin cậy (1-α) % ước lượng sau đối với p được xác định. 2. Khoảng tin cậy đối với p khi mẫu cỡ lớn. Định lý 1. Nếu ˆ p là tỷ lệ của. − . Một ước lượng điểm có tỷ lệ p trong một phép thử nhị thức được xác định bằng thống kê ˆ / P X n = , trong đó X là số các thành công trong n lần thử nghiệm. Vì thế, tỷ lệ mẫu ˆ / p