Phần 2: Lý thuyết ước lượng ppt

c Ước lượng vững- Trung bình mẫu là ước lượng vững của tham số X µ - Tần suất mẫu f là ước lượng vững của xác suất p của X Một vài kết luận của phương pháp ước lượng điểm + là ước lượng

θ θ =

θ

*Bài toán:Giả sử ĐLNN X có tham số chưa biết.

Ước lượng θ là dựa vào mẫu ngẫu nhiên W= X , ( 1 X2 , , X n)

1 , 2 , , n

X X X

*Có hai phương pháp ước lượng:

+) Ước lượng khoảng:chỉ ra một

chứa θ sao cho P(θ θ θ 1 < < 2 ) = − 1 α

( 1 − α là độ tin cậy của ước lượng )

Các tiêu chuẩn lựa chọn hàm ước lượng:

+) Ước lượng không chệch +) Ước lượng hiệu quả

+) Ước lượng vững

a) Ước lượng không chệch

Thống kê G gọi là ước lượng không chệch của θ của X nếu E G( ) = θ Ngược lại, nếu E G( ) ≠ θ

thì G là ước lượng chệch.

Ý nghĩa: Ước lượng không chệch là ước lượng có

sai số trung bình bằng 0

Vì: E G( − θ ) = E G( ) − E ( ) θ = − = θ θ 0

Chú ý:Một giá trị của G có thể lệch rất lớn so với θ Một số kết quả:

+) Trung bình của mẫu ngẫu nhiên là ước lượng không chệch của trung bình tổng thể θ = E X( ) = µ

+) Phương sai điều chỉnh của mẫu ngẫu nhiên là ước lượng không chệch của phương sai tổng thể

( )'2 = σ 2

Ví dụ: Độ cao trung bình của cây gỗ được cho bởi

Chiều cao (m) Số cây

6,25 – 6,75 6,75 – 7,25 7,25 – 7,75 7,75 – 8,25 8,25 – 8,75 8,75 – 9,25 9,25 – 9,75 9,75 – 10,25

2 5 7 9 10 15 7 5

- Hãy chỉ ra ước lượng

điểm cho chiều cao trung

bình của cây

- Hãy chỉ ra ước lượng

điểm cho độ tản mát của

các chiều cao cây so với

chiều cao trung bình

-Hãy chỉ ra ước lượng điểm

cho p với p P= ( 7,75 ≤ ≤X 8,75)

Chiều cao (m) Số cây

6,25 – 6,75

6,75 – 7,25

7,25 – 7,75

7,75 – 8,25

8,25 – 8,75

8,75 – 9,25

9,25 – 9,75

9,75 – 10,25

2 5 7 9 10 15 7 5

6,5 7,0 7,5 8 8,5 9,0 9,5 10,0

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3

-8 -15 -14 -9 0 15 14 15

32 45 28 9 0 15 28 45

i

i

Ta lập bảng tính cho X; S2

8,5

0,5

i i

x

Ta có

( )

0 1

1

2

0,03 8,5 0,5.0,03 8, 485 60

0,5 0,03 0,84 0,92

60

0,92 1

k

i i i

k

i i i

n

n n

n

=

=

−

−

∑

∑

- Chiều cao trung bình được ước lượng là 8,55m

- Độ tản mát được ước lượng là 0,9m

- Trong số 60 quan sát đã cho có 9+10=19 quan sát cho chiều cao cây thuộc khoảng [7,75;8,75] Vậy ước lượng điểm cho p là:

* 19

0,32 60

b) Ước lượng hiệu quả

Định nghĩa: Thống kê G của mẫu được gọi là

ước lượng hiệu quả của tham số của X nếu nó có phương sai nhỏ nhất so với mọi thống kê khác

được xây dựng trên cùng mẫu đó

θ

Kết quả: Nếu X ∈ N ( µ σ ; 2 ) thì trung bình mẫu X

là ước lượng hiệu quả của kỳ vọng E X( ) = µ

c) Ước lượng vững

- Trung bình mẫu là ước lượng vững của

tham số

X

µ

- Tần suất mẫu f là ước lượng vững của xác

suất p của X

Một vài kết luận của phương pháp ước lượng

điểm

+) là ước lượng không chệch, hiệu quả và

vững,do đó nếu chưa biết thì có thể dùng để ước lượng

X

+) Nếu chưa biết phương sai có thể dùng

hoặc để ước lượng

+) f là ước lượng không chệch,hiệu quả

và vững nên nếu chưa biết p thì dùng f ước lượng

2

'2

S

*Nhận xét: Ước lượng điểm có nhược điểm là

khi kích thước mẫu nhỏ thì kết quả tìm được có sai số lớn và không đánh giá được khả năng mắc sai lầm là bao nhiêu Vì vậy ta thường dùng ước lượng khoảng tin cậy khi mẫu nhỏ