Đề thi Olympic 2010 (Toan 8) Amsterdam

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI Trường THPT Chuyên Hà Nội – Amsterdam KỲ THI OLYMPIC MÔN: TOÁN LỚP 8 Ngày thi 27/03/2010 (Thời gian: 120’) Bài 1: Cho M = 4a − 3 15a − 4 ( ) 3a + 5         1 + 3a 12 + 9a − a 3a − 4 + 7 − 2a 16 − 9a 2       a) Rút gọn M. b) Tìm các giá trị a ∈ Z sao cho M ∈ Z. Bài 2: Tìm các hệ số a, b, c, d sao cho đa thức f(x) = x 4 + (2a – 1)x 3 + bx 2 – 8x + 9 là bình phương đúng của đa thức g(x) = x 2 + cx + d. Bài 3: a) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức A = x x + x − 2009 x − 2009 + x − 2010 x − 2010 b) Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho (n – 1)! chia hết cho n. Bài 4: Cho hình thang cân ABCD có góc C = góc D = 60 0 và đáy nhỏ AB = BC. Phân giác góc BAC giao BC tại M. Điểm N trên tia MC sao cho BM = MN. Chứng minh rằng CA + CN = CD. Bài 5: Cho tia Ax và điểm E cố định trên Ax. Tia Ey tùy ý (không thuộc đường thẳng chứa tia Ax). Hai điểm C, D cố định lần lượt thuộc Ey. Điểm B thay đổi trên tia Ex. Các đường thẳng AC và BD cắt nhau tại M ; đường BC và AD cắt nhau tại N. a) Chứng minh rằng MN luôn đi qua F cố định. b) Xác định B trên Ey sao cho diện tích tam giác MCD bằng diện tích tam giác NCD. (Mỗi bài 4 điểm) . SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI Trường THPT Chuyên Hà Nội – Amsterdam KỲ THI OLYMPIC MÔN: TOÁN LỚP 8 Ngày thi 27/03 /2010 (Thời gian: 120’) Bài 1: Cho M = 4a − 3 15a − 4 ( ) 3a + 5         1 + 3a 12 + 9a − a 3a − 4 + 7 − 2a 16 − 9a 2       a). d. Bài 3: a) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức A = x x + x − 2009 x − 2009 + x − 2010 x − 2010 b) Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho (n – 1)! chia hết cho n. Bài 4: Cho hình