Một số đề thi HSG các năm có đáp án(hay)

đề thi Ô-lim -pic huyện Môn Toán Lớp 7 Năm học 2005-2006 (Thời gian làm bài 120 phút) Bài 1. Tính 101.96 1 16.11 1 11.6 1 6.1 1 ++++ Bài 2. Tìm giá trị nguyên dơng của x và y, sao cho: 5 1 y 1 x 1 =+ Bài 3. Tìm hai số dơng biết: tổng, hiệu và tích của chúng tỷ lệ nghịch với các số 20, 140 và 7 Bài 4. Tìm x, y thoả mãn: 4x3y2x1x +++ = 3 Bài 5. Cho tam giác ABC có góc ABC = 50 0 ; góc BAC = 70 0 . Phân giác trong góc ACB cắt AB tại M. Trên MC lấy điểm N sao cho góc MBN = 40 0 . Chứng minh: BN = MC. Hớng dẫn chấm ôlim pic Môn toán lớp 7 năm học 2005-2006 Bài 1 . (4 điểm) Tính 101.96 1 16.11 1 11.6 1 6.1 1 ++++ = ) 101 1 96 1 11 1 11 1 6 1 6 1 1 1 ( 5 1 +++ (2đ) = 101 20 101 100 . 5 1 ) 101 1 1 1 ( 5 1 == (2đ) Bài 2 . (4 điểm) Tìm giá trị nguyên dơng của x và y, sao cho: 5 1 y 1 x 1 =+ Do vai trò của x và y nh nhau nên giả sử x y ta có: (0,5đ) 5ynờn 5 1 y 1 >< x y 1 nên y 1 x 1 (1đ) y 2 y 1 y 1 y 1 x 1 5 1 =++= (1đ) => 10y610y 5 1 y 2 (0,5đ) Với y = 6 => x = 30; y=7; 8; 9 thì giá trị của x không nguyên y = 10 => x = 10 (0,5đ) Vậy các giá trị x, y cần tìm là: x = 30, y = 6 x = 10, y = 10 x = 6, y = 30 (0,5đ) Cách khác: 5 1 y 1 x 1 =+ => 5 1 xy yx = + => xy - 5x - 5y = 0 => xy - 5x - 5y + 25 = 25 => (x - 5)(y - 5) = 25 => x - 5 = 25 => x = 30, y = 6 x - 5 = 5 => x = 10, y = 10 x - 5 = 1 => x = 6, y = 30 Bài 3 . (4 điểm) Tìm hai số dơng biết: tổng, hiệu và tích của chúng tỷ lệ nghịch với các số 20, 140 và 7 Gọi 2 số cần tìm là x và y ta có: 20 (x + y) = 140 (x - y) = 7 xy (1đ) => x3 xy y4 xy 3 y 4 x 17 yxyx 17 yxyx 20 xy 1 yx 7 yx ==== ++ = + ++ == = + => (2đ) 3x = 20 => x = 3 2 6 ; 4y = 20 => y = 5 Vậy các số cần tìm là : 3 2 6 và 5 (1đ) Bài 4 . (4 điểm) Tìm x, y thoả mãn: 4x3y2x1x +++ = 3 Đặt A = 4x3y2x1x +++ Với mọi y: + Xét x 4 ta có A > 3 => Không thoả mãn (1đ) + Xét x 1 ta có A > 3 => Không thoả mãn (1đ) + Xét 1 < x < 2 ta có A = x - 1- x + 2 + 3y - x + 4 = - x + 5 + 3y >3 => Không thoả mãn (0,5đ) + Xét x = 2 ta có A = 423y2212 +++ = 3 => y = 3 (0,5đ) + Xét 2 < x < 4 ta có A = x - 1+ x - 2 + 3y - x + 4 = x + 1 + 3y > 3 => Không thoả mãn (0,5đ) Vậy khi x = 2, y = 3 thoả mãn đẳng thức trên. (0,5đ) Bài 5 . (4 điểm) Cho tam giác ABC có góc ABC = 50 0 ; góc BAC = 70 0 . Phân giác trong góc ACB cắt AB tại M. Trên MC lấy điểm N sao cho góc MBN = 40 0 . Chứng minh: BN = MC. MNB = MCB + NBC Góc ngoàI của NBC. = 30 0 + 10 0 = 40 0 => MNB cân tại M (1đ) Từ M vẽ MH BC ta có MH = 2 1 MC (1) (1đ) Từ M vẽ MK BN => BK = KN = 2 1 BN (2) (1đ) MKB = BHM ( vuông có cạnh huyền và góc nhọn bằng nhau) => MH = KB (3) (0,5đ) Từ (1), (2) và (3) => BN = MC (ĐPCM) (0,5đ) đề thi Ô-lim -pic huyện Môn Toán Lớp 7 Năm học 2006-2007 (Thời gian làm bài 120 phút) A M B C N K H 70 0 50 0 10 0 30 0 30 0 Bài 1. Tìm giá trị n nguyên dơng: a) 1 .16 2 8 n n = ; b) 27 < 3 n < 243 Bài 2. Thực hiện phép tính: 1 1 1 1 1 3 5 7 49 ( ) 4.9 9.14 14.19 44.49 89 + + + + Bài 3. a) Tìm x biết: 2x3x2 +=+ b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x20072006x + Khi x thay đổi Bài 4. Hiện nay hai kim đồng hồ chỉ 10 giờ. Sau ít nhất bao lâu thì 2 kim đồng hồ nằm đối diện nhau trên một đờng thẳng. Bài 5. Cho tam giác vuông ABC ( A = 1v), đờng cao AH, trung tuyến AM. Trên tia đối tia MA lấy điểm D sao cho DM = MA. Trên tia đối tia CD lấy điểm I sao cho CI = CA, qua I vẽ đờng thẳng song song với AC cắt đờng thẳng AH tại E. Chứng minh: AE = BC Đáp án toán 7 Bài 1. Tìm giá trị n nguyên dơng: (4 điểm mỗi câu 2 điểm) a) 1 .16 2 8 n n = ; => 2 4n-3 = 2 n => 4n 3 = n => n = 1 b) 27 < 3 n < 243 => 3 3 < 3 n < 3 5 => n = 4 Bài 2. Thực hiện phép tính: (4 điểm) 1 1 1 1 1 3 5 7 49 ( ) 4.9 9.14 14.19 44.49 89 + + + + = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 (1 3 5 7 49) ( ). 5 4 9 9 14 14 19 44 49 12 + + + + + + + + + = 1 1 1 2 (12.50 25) 5.9.7.89 9 ( ). 5 4 49 89 5.4.7.7.89 28 + = = Bài 3. (4 điểm mỗi câu 2 điểm) a) Tìm x biết: 2x3x2 +=+ Ta có: x + 2 0 => x - 2. + Nếu x - 2 3 thì 2x3x2 +=+ => 2x + 3 = x + 2 => x = - 1 (Thoả mãn) + Nếu - 2 x < - 2 3 Thì 2x3x2 +=+ => - 2x - 3 = x + 2 => x = - 3 5 (Thoả mãn) + Nếu - 2 > x Không có giá trị của x thoả mãn b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x20072006x + Khi x thay đổi + Nếu x < 2006 thì: A = - x + 2006 + 2007 x = - 2x + 4013 Khi đó: - x > -2006 => - 2x + 4013 > 4012 + 4013 = 1 => A > 1 + Nếu 2006 x 2007 thì: A = x 2006 + 2007 x = 1 + Nếu x > 2007 thì A = x - 2006 - 2007 + x = 2x 4013 Do x > 2007 => 2x 4013 > 4014 4013 = 1 => A > 1. Vậy A đạt giá trị nhỏ nhất là 1 khi 2006 x 2007 Bài 4. Hiện nay hai kim đồng hồ chỉ 10 giờ. Sau ít nhất bao lâu thì 2 kim đồng hồ nằm đối diện nhau trên một đờng thẳng. (4 điểm mỗi) Gọi x, y là số vòng quay của kim phút và kim giờ khi 10giờ đến lúc 2 kim đối nhau trên một đờng thẳng, ta có: x y = 3 1 (ứng với từ số 12 đến số 4 trên đông hồ) và x : y = 12 (Do kim phút quay nhanh gấp 12 lần kim giờ) Do đó: 33 1 11: 3 1 11 yx 1 y 12 x 1 12 y x == ===>= => x = 11 4 x)vũng( 33 12 ==> (giờ) Vậy thời gian ít nhất để 2 kim đồng hồ từ khi 10 giờ đến lúc nằm đối diện nhau trên một đờng thẳng là 11 4 giờ Bài 5. Cho tam giác vuông ABC ( A = 1v), đờng cao AH, trung tuyến AM. Trên tia đối tia MA lấy điểm D sao cho DM = MA. Trên tia đối tia CD lấy điểm I sao cho CI = CA, qua I vẽ đờng thẳng song song với AC cắt đờng thẳng AH tại E. Chứng minh: AE = BC (4 điểm mỗi) Đờng thẳng AB cắt EI tại F ABM = DCM vì: AM = DM (gt), MB = MC (gt), ã AMB = DMC (đđ) => BAM = CDM =>FB // ID => ID AC Và FAI = CIA (so le trong) (1) IE // AC (gt) => FIA = CAI (so le trong) (2) Từ (1) và (2) => CAI = FIA (AI chung) => IC = AC = AF (3) và E FA = 1v (4) Mặt khác EAF = BAH (đđ), BAH = ACB ( cùng phụ ABC) D B A H I F E M => EAF = ACB (5) Từ (3), (4) và (5) => AFE = CAB =>AE = BC đề thi Ô-lim -pic huyện Năm học 2007-2008 Môn Toán Lớp 7 (Thời gian làm bài 120 phút) Bài 1. Tính tổng: S = 5 13 25 41 181 1.2 2.3 3.4 4.5 9.10 + + + + Bài 2. Tìm giá trị x, y nguyên dơng trong biểu thức sau: 1 1 1 1 2x 2y xy 2 + + = Bài 3. Tìm x biết: a) 3 1 3 = x x ; b) 1 1 x x 5 5 = Bài 4. Trong đợt phát động trồng cây đầu Xuân năm mới, ba lớp học sinh khối 7 của một trờng THCS đã trồng đợc một số cây. Biết tổng số cây trồng đợc của lớp 7A và 7B; 7B và 7 C; 7C và 7A tỷ lệ với các số 4, 5, 7 . Tìm tỷ lệ số cây trồng đợc của các lớp. Bài 5. Cho tam giác nhọn ABC, trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa B vẽ tam giác vuông cân ACD ( ã 0 ADC 90= ), trên nửa mặt phẳng bờ BD không chứa C vẽ tam giác vuông cân BDE ( ã 0 BDE 90= ). Đờng thẳng ED cắt đờng thẳng BC tại F, đờng thẳng EA cắt đờng thẳng BD tại M. Chứng minh: DF = DM Hớng dẫn thi Ô-lim -pic huyện Môn Toán Lớp 7 Năm học 2007-2008 Bài 1. Tính tổng: S = 5 13 25 41 181 1.2 2.3 3.4 4.5 9.10 + + + + + (3,5 điểm) Giải: Nhận xét: tử số có dạng 2n(n + 1) + 1. Mẫu số có dạng n(n + 1), n { } 1; 2; 3; 4; 5; 6;7; 8; 9 Nên 2n(n 1) 1 1 1 1 2 2 ( ) n(n 1) n(n 1) n n 1 + + = + = + + + + .Lần lợt thay giá trị n từ 1 đến 9 ta có: S = 18 +( 1- 1 1 1 1 1 1 . . . 2 2 3 3 9 10 + + + ) = 18 + (1 - 1 10 ) = 18,9 Bài 2. Tìm giá trị x, y nguyên dơng trong biểu thức sau: 1 1 1 1 2x 2y xy 2 + + = (3,5 điểm) Giải: Giả sử x y thì 1 1 1 1 , 2x 2y xy y < nên 1 1 1 1 2 2 2x 2y xy y = + + < => y < 4. Mặt khác y > 1 xét y { } 2; 3 ta đợc y = 2 => x = 4; y = 3 => không có gía trị x thoả mãn Vậy x = 2 => y = 4 hoặc y = 2 => x = 4 Bài 3. Tìm x biết: a) 3 1 3 = x x (3điểm) Giải: Ta có 1 3x 0 => x 1 3 => 3 3 = x x . Ta có pt 3 - x = 1 - 3x => x = -1 thoả mãn đ/k bài toán. Vậy x = -1 b) 1 1 x x 5 5 = (3điểm) Giải: 1 1 x x 5 5 = = - ( 1 x ) 5 => 1 x 0 5 hay 1 x 5 Vậy với x 1 5 thoả mãn đ/k bài toán Bài 4. Trong đợt phát động trồng cây đầu Xuân năm mới, ba lớp học sinh khối 7 của một trờng THCS đã trồng đợc một số cây. Biết tổng số cây trồng đợc của lớp 7A và 7B; 7B và 7 C; 7C và 7A tỷ lệ với các số 4, 5, 7 . Tìm tỷ lệ số cây trồng đợc của các lớp. (3điểm) Giải: Gọi số cây trồng đợc của các lớp là a, b, c. Theo bài ra ta có: (a + b) : (b + c) : (c + a) = 4 : 5 : 7. Hay: a b b c c a k (k Q) 4 5 7 + + + = = = => a + b = 4k; b + c = 5k; c + a = 7k => a + b + c = 8k => c = 4k ; a = 3k ; b = k => a: b: c =3 : 1 : 4. Vậy số cây trồng đợc của các lớp 7 tỷ lệ với các số 3, 1, 4 Bài 5. Cho tam giác nhọn ABC, trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa B vẽ tam giác vuông cân ACD ( ã 0 90=ADC ), trên nửa mặt phẳng bờ BD không chứa C vẽ tam giác vuông cân BDE ( ã 0 90=BDE ). Đờng thẳng ED cắt đờng thẳng BC tại F, đờng thẳng EA cắt đờng thẳng BD tại M. Chứng minh: DF = DM (4 điểm) Giải: +) Xét CBD và ADE có: CD = AD (gt), BD = DE (gt) ã ã CDB ADE= (cùng phụ ã BDA ) => CDB = ADE (c.g.g) => ã ã CBD AED= (1) +) Xét FDB và MDE có: ã ã 0 FDB MDE 90= = (gt), BD = ED (gt) ã ã CBD AED= ( theo 1) => FDB = MDE => DF = DM (Đpcm) Phòng gd-đt đức thọ đề thi olympic huyện Năm học 2008-2009 M: Toán Lớp 7 (Thời gian làm bài 120 phút) ôn Bài 1. Xác định hệ số a, b của đa thức f(x) = ax + b; Biết f(1) = -1; f(2) = 2 Bài 2. Cho A = 1x - (2x 5) a) Rút gọn biểu thức A b) Với giá trị nào của x thì A = 0 Bài 3. a) Tìm x, y biết: (x 1) 2 + (y 4 ) 2 = 0 b) Tìm x: 1 1 (3 ).4 12,13 4 25 2 3 1 2 ( 1 ) :1 7 49 5 x x = + Bài 4. Một cửa hàng kinh doanh hàng hóa, sau khi mua hàng về họ đã định giá bán, nhng thấy không ổn, nên họ quyết định giảm giá 15%; Vẫn không bán đợc, nên đã giảm giá Bài 5. Cho tam giác đều ABC, trên cạnh AB lấy điểm M sao cho AM = 1 3 AB, trên cạnh tiếp 10% giá mới thì bán hết số hàng, tính ra vẫn lãi 7,1%. Tính tỷ số giá định bán với giá nhập vào. BC lấy điểm N sao cho BN = 1 3 BC, AN cắt CM tại K. a) Tính góc NKC. A B C F D E M b) Vẽ đờng cao CH của tam giác ABC cắt MN tại O. Chứng minh BO vuông góc với MC Hết đáp án thi olympic huyện Năm học 2008-2009 Môn: Toán lớp 7 Bài 1. a) Tìm x, y biết: (x 1) 2 + (y 4 ) 2 = 0 Giải: (x 1) 2 + (y 4 ) 2 = 0 <=> (x 1) 2 = 0 và (y 4 ) 2 = 0 <=> x = 1 và y = 4 b) Tìm x: 1 1 (3 ).4 12,13 4 25 2 3 1 2 ( 1 ) :1 7 49 5 x x = + Giải: Tìm x: 1 1 (3 ).4 12,13 4 25 2 3 1 2 ( 1 ) :1 7 49 5 x x = + => 13 101 ( ). 12,13 4 25 2 10 50 2 ( ) : 7 49 5 x x = + => 1313 101 . 12,13 100 25 2 49 49 10 2 . . 50 50 7 5 x x = + => 101 1 . 25 2 49 . 1 50 x x = => 25 101. 49. 50 2. 25 50 x x = => 25 - 101.x = 49.x 50 => 49.x 50 + 101.x = 25 => 150.x -50 = 25 => 150.x =75 x = 1 2 Bài 2. Một cửa hàng kinh doanh hàng hóa, sau khi mua hàng về họ đã định giá bán, nhng thấy không ổn, nên họ quyết định giảm giá 15%, vẫn không bán đợc, nên đã giảm giá tiếp 10% giá mới thì bán hết số hàng, tính ra vẫn lãi 7,1%. Tính tỷ số giá định bán với giá nhập vào. Giải: Gọi giá nhập vào là a, giá định bán là b; Ta có: Sau khi giảm giá lần thứ nhất giá bán còn lại là 15 85 . . 100 100 b b b = ; Sau khi giảm giá lần thứ hai giá bán là 85 85 10 765 . . . . 100 100 100 1000 b b b = . Nhng sau khi bán lãi 3.5% nên ta có: a + 7,1 765 . . 100 1000 a b= => 107,1 765 . . 100 1000 a b= => 107,1 1000 . 100 765 b a = = 1,4 Bài 3. Xác định hệ số a, b của đa thức f(x) = ax + b; Biết f(1) = -1; f(2) = 2 Giải: Khi f(1) = -1 ta có -1 = a + b; Khi f(2) = 2 ta có 2 = 2a + b; => a = 3, b = - 4 Bài 4. Cho A = 1x - (2x 5) Giải: c) Rút gọn biểu thức A Nếu 1 thì A = x - 1 - 2x + 5 = -x + 4 Nếu x< 1 thì A = - x + 1 - 2x + 5 = - 3x + 6 d) Với giá trị nào của x thì A = 0 Trờng hợp thứ nhất: x 4 0 x 1 ỡ - + = ù ù ớ ù ù ợ <=> x 2 x 1 ỡ = ù ù ớ ù ù ợ Thỏa mãn Trờng hợp thứ hai: 3x 6 0 x 1 ỡ - + = ù ù ớ ù < ù ợ <=> x 2 x 1 ỡ = ù ù ớ ù < ù ợ Không thỏa mãn Vậy khi A = 0 Bài 5 . Cho tam giác đều ABC, trên cạnh AB lấy điểm M sao cho AM = 1 3 AB, trên cạnh BC lấy điểm N sao cho BN = 1 3 BC, AN cắt MN tại K. b) Tính góc NKC. c) Vẽ đờng cao CH của tam giác ABC cắt MN tại O. Chứng minh BO vuông góc với MC Giải: a) D ABN = D CAM vì AB = CA (gt), BN = AM = 1/3 AB ã ã 0 ABN CAM 60= = (gt) => ã ã BAN ACM= ã ã 0 0 AMC MCA 60 180+ + = (Xét D AMC) => ã ã ã 0 0 AMK BAK 120 MAK 60+ = ị = (Xét D AMK) => ã 0 NKC 60= (Đpcm) b) Gọi I là trung điểm của BM ta có: BI = IM = MA = BN => D BNI cân mà ã 0 NIB 60= (gt) => IN = IM và ã 0 INB 60= => D INM cân => ã ã 0 INM IMN 30= = => ã 0 MNB 90= => O là trực tâm tam giác BMC suy ra BO ^ MN (Đpcm) A B C M K N H A B C M N H O I . đầu Xuân năm mới, ba lớp học sinh khối 7 của một trờng THCS đã trồng đợc một số cây. Biết tổng số cây trồng đợc của lớp 7A và 7B; 7B và 7 C; 7C và 7A tỷ lệ với các số 4, 5, 7 . Tìm tỷ lệ số cây. đầu Xuân năm mới, ba lớp học sinh khối 7 của một trờng THCS đã trồng đợc một số cây. Biết tổng số cây trồng đợc của lớp 7A và 7B; 7B và 7 C; 7C và 7A tỷ lệ với các số 4, 5, 7 . Tìm tỷ lệ số cây. nhau trên một đờng thẳng. (4 điểm mỗi) Gọi x, y là số vòng quay của kim phút và kim giờ khi 10giờ đến lúc 2 kim đối nhau trên một đờng thẳng, ta có: x y = 3 1 (ứng với từ số 12 đến số 4 trên