mot so de thi HSG cac nam

V c Mu Giỏo ỏn bi dng Toỏn 7 đề thi Ô-lim -pic huyện Môn Toán Lớp 7 Năm học 2005-2006 (Thời gian làm bài 120 phút) Bài 1. Tính 101.96 1 16.11 1 11.6 1 6.1 1 ++++ Bài 2. Tìm giá trị nguyên dơng của x và y, sao cho: 5 1 y 1 x 1 =+ Bài 3. Tìm hai số dơng biết: tổng, hiệu và tích của chúng tỷ lệ nghịch với các số 20, 140 và 7 Bài 4. Tìm x, y thoả mãn: 4x3y2x1x +++ = 3 Bài 5. Cho tam giác ABC có góc ABC = 50 0 ; góc BAC = 70 0 . Phân giác trong góc ACB cắt AB tại M. Trên MC lấy điểm N sao cho góc MBN = 40 0 . Chứng minh: BN = MC. Hớng dẫn chấm ôlim pic Môn toán lớp 7 năm học 2005-2006 Bài 1 . (4 điểm) Tính 101.96 1 16.11 1 11.6 1 6.1 1 ++++ = ) 101 1 96 1 11 1 11 1 6 1 6 1 1 1 ( 5 1 +++ (2đ) = 101 20 101 100 . 5 1 ) 101 1 1 1 ( 5 1 == (2đ) Bài 2 . (4 điểm) Tìm giá trị nguyên dơng của x và y, sao cho: 5 1 y 1 x 1 =+ Do vai trò của x và y nh nhau nên giả sử x y ta có: (0,5đ) 5ynờn 5 1 y 1 >< x y 1 nên y 1 x 1 (1đ) y 2 y 1 y 1 y 1 x 1 5 1 =++= (1đ) => 10y610y 5 1 y 2 (0,5đ) Với y = 6 => x = 30; y=7; 8; 9 thì giá trị của x không nguyên y = 10 => x = 10 (0,5đ) Vậy các giá trị x, y cần tìm là: x = 30, y = 6 x = 10, y = 10 x = 6, y = 30 (0,5đ) Cách khác: 5 1 y 1 x 1 =+ => 5 1 xy yx = + => xy - 5x - 5y = 0 => xy - 5x - 5y + 25 = 25 => (x - 5)(y - 5) = 25 => x - 5 = 25 => x = 30, y = 6 x - 5 = 5 => x = 10, y = 10 x - 5 = 1 => x = 6, y = 30 Bài 3 . (4 điểm) Tìm hai số dơng biết: tổng, hiệu và tích của chúng tỷ lệ nghịch với các số 20, 140 và 7 Gọi 2 số cần tìm là x và y ta có: V c Mu Giỏo ỏn bi dng Toỏn 7 20 (x + y) = 140 (x - y) = 7 xy (1đ) => x3 xy y4 xy 3 y 4 x 17 yxyx 17 yxyx 20 xy 1 yx 7 yx ==== ++ = + ++ == = + => (2đ) 3x = 20 => x = 3 2 6 ; 4y = 20 => y = 5 Vậy các số cần tìm là : 3 2 6 và 5 (1đ) Bài 4 . (4 điểm) Tìm x, y thoả mãn: 4x3y2x1x +++ = 3 Đặt A = 4x3y2x1x +++ Với mọi y: + Xét x 4 ta có A > 3 => Không thoả mãn (1đ) + Xét x 1 ta có A > 3 => Không thoả mãn (1đ) + Xét 1 < x < 2 ta có A = x - 1- x + 2 + 3y - x + 4 = - x + 5 + 3y >3 => Không thoả mãn (0,5đ) + Xét x = 2 ta có A = 423y2212 +++ = 3 => y = 3 (0,5đ) + Xét 2 < x < 4 ta có A = x - 1+ x - 2 + 3y - x + 4 = x + 1 + 3y > 3 => Không thoả mãn (0,5đ) Vậy khi x = 2, y = 3 thoả mãn đẳng thức trên. (0,5đ) Bài 5 . (4 điểm) Cho tam giác ABC có góc ABC = 50 0 ; góc BAC = 70 0 . Phân giác trong góc ACB cắt AB tại M. Trên MC lấy điểm N sao cho góc MBN = 40 0 . Chứng minh: BN = MC. MNB = MCB + NBC Góc ngoàI của NBC. = 30 0 + 10 0 = 40 0 => MNB cân tại M (1đ) Từ M vẽ MH BC ta có MH = 2 1 MC (1) (1đ) Từ M vẽ MK BN => BK = KN = 2 1 BN (2) (1đ) MKB = BHM ( vuông có cạnh huyền và góc nhọn bằng nhau) => MH = KB (3) (0,5đ) Từ (1), (2) và (3) => BN = MC (ĐPCM) (0,5đ) đề thi Ô-lim -pic huyện Môn Toán Lớp 7 Năm học 2006-2007 (Thời gian làm bài 120 phút) Bài 1. Tìm giá trị n nguyên dơng: a) 1 .16 2 8 n n = ; b) 27 < 3 n < 243 Bài 2. Thực hiện phép tính: 1 1 1 1 1 3 5 7 49 ( ) 4.9 9.14 14.19 44.49 89 + + + + Bài 3. a) Tìm x biết: 2x3x2 +=+ A M B C N K H 70 0 50 0 10 0 30 0 30 0 V c Mu Giỏo ỏn bi dng Toỏn 7 b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x20072006x + Khi x thay đổi Bài 4. Hiện nay hai kim đồng hồ chỉ 10 giờ. Sau ít nhất bao lâu thì 2 kim đồng hồ nằm đối diện nhau trên một đờng thẳng. Bài 5. Cho tam giác vuông ABC ( A = 1v), đờng cao AH, trung tuyến AM. Trên tia đối tia MA lấy điểm D sao cho DM = MA. Trên tia đối tia CD lấy điểm I sao cho CI = CA, qua I vẽ đờng thẳng song song với AC cắt đờng thẳng AH tại E. Chứng minh: AE = BC Đáp án toán 7 Bài 1. Tìm giá trị n nguyên dơng: (4 điểm mỗi câu 2 điểm) a) 1 .16 2 8 n n = ; => 2 4n-3 = 2 n => 4n 3 = n => n = 1 b) 27 < 3 n < 243 => 3 3 < 3 n < 3 5 => n = 4 Bài 2. Thực hiện phép tính: (4 điểm) 1 1 1 1 1 3 5 7 49 ( ) 4.9 9.14 14.19 44.49 89 + + + + = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 (1 3 5 7 49) ( ). 5 4 9 9 14 14 19 44 49 12 + + + + + + + + + = 1 1 1 2 (12.50 25) 5.9.7.89 9 ( ). 5 4 49 89 5.4.7.7.89 28 + = = Bài 3. (4 điểm mỗi câu 2 điểm) a) Tìm x biết: 2x3x2 +=+ Ta có: x + 2 0 => x - 2. + Nếu x - 2 3 thì 2x3x2 +=+ => 2x + 3 = x + 2 => x = - 1 (Thoả mãn) + Nếu - 2 x < - 2 3 Thì 2x3x2 +=+ => - 2x - 3 = x + 2 => x = - 3 5 (Thoả mãn) + Nếu - 2 > x Không có giá trị của x thoả mãn b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x20072006x + Khi x thay đổi + Nếu x < 2006 thì: A = - x + 2006 + 2007 x = - 2x + 4013 Khi đó: - x > -2006 => - 2x + 4013 > 4012 + 4013 = 1 => A > 1 + Nếu 2006 x 2007 thì: A = x 2006 + 2007 x = 1 + Nếu x > 2007 thì A = x - 2006 - 2007 + x = 2x 4013 Do x > 2007 => 2x 4013 > 4014 4013 = 1 => A > 1. Vậy A đạt giá trị nhỏ nhất là 1 khi 2006 x 2007 Bài 4. Hiện nay hai kim đồng hồ chỉ 10 giờ. Sau ít nhất bao lâu thì 2 kim đồng hồ nằm đối diện nhau trên một đờng thẳng. (4 điểm mỗi) Gọi x, y là số vòng quay của kim phút và kim giờ khi 10giờ đến lúc 2 kim đối nhau trên một đờng thẳng, ta có: V c Mu Giỏo ỏn bi dng Toỏn 7 x y = 3 1 (ứng với từ số 12 đến số 4 trên đông hồ) và x : y = 12 (Do kim phút quay nhanh gấp 12 lần kim giờ) Do đó: 33 1 11: 3 1 11 yx 1 y 12 x 1 12 y x == ===>= => x = 11 4 x)vũng( 33 12 ==> (giờ) Vậy thời gian ít nhất để 2 kim đồng hồ từ khi 10 giờ đến lúc nằm đối diện nhau trên một đờng thẳng là 11 4 giờ Bài 5. Cho tam giác vuông ABC ( A = 1v), đờng cao AH, trung tuyến AM. Trên tia đối tia MA lấy điểm D sao cho DM = MA. Trên tia đối tia CD lấy điểm I sao cho CI = CA, qua I vẽ đờng thẳng song song với AC cắt đờng thẳng AH tại E. Chứng minh: AE = BC (4 điểm mỗi) Đờng thẳng AB cắt EI tại F ABM = DCM vì: AM = DM (gt), MB = MC (gt), ã AMB = DMC (đđ) => BAM = CDM =>FB // ID => ID AC Và FAI = CIA (so le trong) (1) IE // AC (gt) => FIA = CAI (so le trong) (2) Từ (1) và (2) => CAI = FIA (AI chung) => IC = AC = AF (3) và E FA = 1v (4) Mặt khác EAF = BAH (đđ), BAH = ACB ( cùng phụ ABC) => EAF = ACB (5) Từ (3), (4) và (5) => AFE = CAB =>AE = BC đề thi Ô-lim -pic huyện Năm học 2007-2008 Môn Toán Lớp 7 (Thời gian làm bài 120 phút) Bài 1. Tính tổng: S = 5 13 25 41 181 1.2 2.3 3.4 4.5 9.10 + + + + Bài 2. Tìm giá trị x, y nguyên dơng trong biểu thức sau: 1 1 1 1 2x 2y xy 2 + + = Bài 3. Tìm x biết: a) 3 1 3 = x x ; b) 1 1 x x 5 5 = D B A H I F E M V c Mu Giỏo ỏn bi dng Toỏn 7 Bài 4. Trong đợt phát động trồng cây đầu Xuân năm mới, ba lớp học sinh khối 7 của một trờng THCS đã trồng đợc một số cây. Biết tổng số cây trồng đợc của lớp 7A và 7B; 7B và 7 C; 7C và 7A tỷ lệ với các số 4, 5, 7 . Tìm tỷ lệ số cây trồng đợc của các lớp. Bài 5. Cho tam giác nhọn ABC, trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa B vẽ tam giác vuông cân ACD ( ã 0 ADC 90= ), trên nửa mặt phẳng bờ BD không chứa C vẽ tam giác vuông cân BDE ( ã 0 BDE 90= ). Đờng thẳng ED cắt đờng thẳng BC tại F, đờng thẳng EA cắt đờng thẳng BD tại M. Chứng minh: DF = DM Hớng dẫn thi Ô-lim -pic huyện Môn Toán Lớp 7 Năm học 2007-2008 Bài 1. Tính tổng: S = 5 13 25 41 181 1.2 2.3 3.4 4.5 9.10 + + + + + (3,5 điểm) Giải: Nhận xét: tử số có dạng 2n(n + 1) + 1. Mẫu số có dạng n(n + 1), n { } 1; 2; 3; 4; 5; 6;7; 8; 9 Nên 2n(n 1) 1 1 1 1 2 2 ( ) n(n 1) n(n 1) n n 1 + + = + = + + + + .Lần lợt thay giá trị n từ 1 đến 9 ta có: S = 18 +( 1- 1 1 1 1 1 1 . . . 2 2 3 3 9 10 + + + ) = 18 + (1 - 1 10 ) = 18,9 Bài 2. Tìm giá trị x, y nguyên dơng trong biểu thức sau: 1 1 1 1 2x 2y xy 2 + + = (3,5 điểm) Giải: Giả sử x y thì 1 1 1 1 , 2x 2y xy y < nên 1 1 1 1 2 2 2x 2y xy y = + + < => y < 4. Mặt khác y > 1 xét y { } 2; 3 ta đợc y = 2 => x = 4; y = 3 => không có gía trị x thoả mãn Vậy x = 2 => y = 4 hoặc y = 2 => x = 4 Bài 3. Tìm x biết: a) 3 1 3 = x x (3điểm) Giải: Ta có 1 3x 0 => x 1 3 => 3 3 = x x . Ta có pt 3 - x = 1 - 3x => x = -1 thoả mãn đ/k bài toán. Vậy x = -1 b) 1 1 x x 5 5 = (3điểm) Giải: 1 1 x x 5 5 = = - ( 1 x ) 5 => 1 x 0 5 hay 1 x 5 Vậy với x 1 5 thoả mãn đ/k bài toán Bài 4. Trong đợt phát động trồng cây đầu Xuân năm mới, ba lớp học sinh khối 7 của một trờng THCS đã trồng đợc một số cây. Biết tổng số cây trồng đợc của lớp 7A và 7B; 7B và 7 C; 7C và 7A tỷ lệ với các số 4, 5, 7 . Tìm tỷ lệ số cây trồng đợc của các lớp. (3điểm) Giải: Gọi số cây trồng đợc của các lớp là a, b, c. Theo bài ra ta có: (a + b) : (b + c) : (c + a) = 4 : 5 : 7. Hay: a b b c c a k (k Q) 4 5 7 + + + = = = => a + b = 4k; b + c = 5k; c + a = 7k => a + b + c = 8k => c = 4k ; a = 3k ; b = k => a: b: c =3 : 1 : 4. Vậy số cây trồng đợc của các lớp 7 tỷ lệ với các số 3, 1, 4 Bài 5. Cho tam giác nhọn ABC, trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa B vẽ tam giác vuông cân ACD ( ã 0 90=ADC ), trên nửa mặt phẳng bờ BD không chứa C vẽ tam giác vuông cân BDE ( ã 0 90=BDE ). Đờng thẳng ED cắt đờng thẳng BC tại F, đờng thẳng EA cắt đờng thẳng BD tại M. Chứng minh: DF = DM (4 điểm) Giải: +) Xét CBD và ADE có: CD = AD (gt), BD = DE (gt) ã ã CDB ADE= (cùng phụ ã BDA ) A B C F D E M V c Mu Giỏo ỏn bi dng Toỏn 7 => CDB = ADE (c.g.g) => ã ã CBD AED= (1) +) Xét FDB và MDE có: ã ã 0 FDB MDE 90= = (gt), BD = ED (gt) ã ã CBD AED= ( theo 1) => FDB = MDE => DF = DM (Đpcm) Phòng gd-đt đức thọ đề thi olympic huyện Năm học 2008-2009 M: Toán Lớp 7 (Thời gian làm bài 120 phút) ôn Bài 1. Xác định hệ số a, b của đa thức f(x) = ax + b; Biết f(1) = -1; f(2) = 2 Bài 2. Cho A = 1x - (2x 5) a) Rút gọn biểu thức A b) Với giá trị nào của x thì A = 0 Bài 3. a) Tìm x, y biết: (x 1) 2 + (y 4 ) 2 = 0 b) Tìm x: 1 1 (3 ).4 12,13 4 25 2 3 1 2 ( 1 ) :1 7 49 5 x x = + Bài 4. Một cửa hàng kinh doanh hàng hóa, sau khi mua hàng về họ đã định giá bán, nhng thấy không ổn, nên họ quyết định giảm giá 15%; Vẫn không bán đợc, nên đã giảm giá Bài 5. Cho tam giác đều ABC, trên cạnh AB lấy điểm M sao cho AM = 1 3 AB, trên cạnh tiếp 10% giá mới thì bán hết số hàng, tính ra vẫn lãi 7,1%. Tính tỷ số giá định bán với giá nhập vào. BC lấy điểm N sao cho BN = 1 3 BC, AN cắt CM tại K. a) Tính góc NKC. b) Vẽ đờng cao CH của tam giác ABC cắt MN tại O. Chứng minh BO vuông góc với MC đáp án thi olympic huyện Năm học 2008-2009 Môn: Toán lớp 7 Bài 1. a) Tìm x, y biết: (x 1) 2 + (y 4 ) 2 = 0 Giải: (x 1) 2 + (y 4 ) 2 = 0 <=> (x 1) 2 = 0 và (y 4 ) 2 = 0 <=> x = 1 và y = 4 b) Tìm x: 1 1 (3 ).4 12,13 4 25 2 3 1 2 ( 1 ) :1 7 49 5 x x = + Giải: Tìm x: 1 1 (3 ).4 12,13 4 25 2 3 1 2 ( 1 ) :1 7 49 5 x x = + => 13 101 ( ). 12,13 4 25 2 10 50 2 ( ) : 7 49 5 x x = + => 1313 101 . 12,13 100 25 2 49 49 10 2 . . 50 50 7 5 x x = + => 101 1 . 25 2 49 . 1 50 x x = => 25 101. 49. 50 2. 25 50 x x = => 25 - 101.x = 49.x 50 => 49.x 50 + 101.x = 25 => 150.x -50 = 25 => 150.x =75 x = 1 2 V c Mu Giỏo ỏn bi dng Toỏn 7 Bài 2. Một cửa hàng kinh doanh hàng hóa, sau khi mua hàng về họ đã định giá bán, nhng thấy không ổn, nên họ quyết định giảm giá 15%, vẫn không bán đợc, nên đã giảm giá tiếp 10% giá mới thì bán hết số hàng, tính ra vẫn lãi 7,1%. Tính tỷ số giá định bán với giá nhập vào. Giải: Gọi giá nhập vào là a, giá định bán là b; Ta có: Sau khi giảm giá lần thứ nhất giá bán còn lại là 15 85 . . 100 100 b b b = ; Sau khi giảm giá lần thứ hai giá bán là 85 85 10 765 . . . . 100 100 100 1000 b b b = . Nhng sau khi bán lãi 3.5% nên ta có: a + 7,1 765 . . 100 1000 a b= => 107,1 765 . . 100 1000 a b= => 107,1 1000 . 100 765 b a = = 1,4 Bài 3. Xác định hệ số a, b của đa thức f(x) = ax + b; Biết f(1) = -1; f(2) = 2 Giải: Khi f(1) = -1 ta có -1 = a + b; Khi f(2) = 2 ta có 2 = 2a + b; => a = 3, b = - 4 Bài 4. Cho A = 1x - (2x 5) Giải: c) Rút gọn biểu thức A Nếu 1 thì A = x - 1 - 2x + 5 = -x + 4 Nếu x< 1 thì A = - x + 1 - 2x + 5 = - 3x + 6 d) Với giá trị nào của x thì A = 0 Trờng hợp thứ nhất: x 4 0 x 1 ỡ - + = ù ù ớ ù ù ợ <=> x 2 x 1 ỡ = ù ù ớ ù ù ợ Thỏa mãn Trờng hợp thứ hai: 3x 6 0 x 1 ỡ - + = ù ù ớ ù < ù ợ <=> x 2 x 1 ỡ = ù ù ớ ù < ù ợ Không thỏa mãn Vậy khi A = 0 Bài 5 . Cho tam giác đều ABC, trên cạnh AB lấy điểm M sao cho AM = 1 3 AB, trên cạnh BC lấy điểm N sao cho BN = 1 3 BC, AN cắt MN tại K. b) Tính góc NKC. c) Vẽ đờng cao CH của tam giác ABC cắt MN tại O. Chứng minh BO vuông góc với MC Giải: a) D ABN = D CAM vì AB = CA (gt), BN = AM = 1/3 AB ã ã 0 ABN CAM 60= = (gt) => ã ã BAN ACM= ã ã 0 0 AMC MCA 60 180+ + = (Xét D AMC) => ã ã ã 0 0 AMK BAK 120 MAK 60+ = ị = (Xét D AMK) => ã 0 NKC 60= (Đpcm) b) Gọi I là trung điểm của BM ta có: BI = IM = MA = BN => D BNI cân mà ã 0 NIB 60= (gt) => IN = IM và ã 0 INB 60= => D INM cân => ã ã 0 INM IMN 30= = => ã 0 MNB 90= => O là trực tâm tam giác BMC suy ra BO ^ MN (Đpcm) A B C M K N H A B C M N H O I Vũ Đức Mậu – Giáo án bồi dưỡng Toán 7 . cân BDE ( ã 0 90=BDE ). Đờng thẳng ED cắt đờng thẳng BC tại F, đờng thẳng EA cắt đờng thẳng BD tại M. Chứng minh: DF = DM (4 điểm) Giải: +) Xét CBD và ADE có: CD = AD (gt), BD = DE (gt) . (gt) ã ã CDB ADE= (cùng phụ ã BDA ) A B C F D E M V c Mu Giỏo ỏn bi dng Toỏn 7 => CDB = ADE (c.g.g) => ã ã CBD AED= (1) +) Xét FDB và MDE có: ã ã 0 FDB MDE 90= = (gt),. không chứa C vẽ tam giác vuông cân BDE ( ã 0 BDE 90= ). Đờng thẳng ED cắt đờng thẳng BC tại F, đờng thẳng EA cắt đờng thẳng BD tại M. Chứng minh: DF = DM Hớng dẫn thi Ô-lim -pic huyện Môn Toán Lớp