Chuyên đề "Thẳng hàng và đồng quy"

Đường thẳng qua M, vuông góc với MC cắt tiếp tuyến qua A của nửa đường tròn tại N.. Đường thẳng qua C, vuông góc với NC cắt tiếp tuyến qua B của nửa đường tròn tại P.. Chứng minh tương t

BÀI TOÁ THẲG HÀG

A MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG

1 Ba điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự đó khi và chỉ khi
ABC = 180 0

Ví dụ 1: Cho nửa đường tròn đường kính AB Lấy điểm C thuộc AB

sao cho CA < CB và điểm M thuộc nửa đường tròn đó Đường thẳng qua M, vuông góc với MC cắt tiếp tuyến qua A của nửa đường tròn tại N Đường thẳng qua C, vuông góc với NC cắt tiếp tuyến qua B của nửa đường tròn tại P Chứng minh M, N, P thẳng hàng

Giải:

P N

lại có ANC∆ và BCP∆ đồng dạng ⇒NCA
=CPB

Vậy
CMB CPB=
⇒ tứ giác CMPB nội tiếp
0

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Các tiếp tuyến qua

A, C cắt nhau ở M Vẽ hình bình hành ACMN Đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN cắt (O) ở D Chứng minh N, D, C thẳng hàng

Giải:

D N

CBA+CDA 180= ( vì tứ giác ABCD nội tiếp đường tron (O))

Vậy
ADN+CDA 180
= 0 hay ba điểm N, D, C thẳng hàng

2 Ba điểm A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi đường thẳng AB và AC cùng song song hoặc cùng vuông góc với một đường thẳng nào đó

Ví dụ 3: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Gọi C là trung

điểm của cung AB, K là trung điểm của đoạn BC AK cắt (O) tại M Kẻ CH vuông góc với AM OH cắt BC tại N MN cắt (O) tại D Chứng minh rằng B,

C

O

AMB 90= ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính AB) hay

BM⊥AM mà CM⊥AM ⇒ MB // CH lại có KC = KB nên tam giác KMB = tam giác KHC ⇒ BH // CM (1)

lại có OC = OM ⇒ O∈ trung trực của CM

CMA=45 ,
CHM=900 ⇒ tam giác CHM vuông cân⇒CH=MH⇒ H ∈ trung trực của CM Vậy OH là trung trực của CM ⇒N∈trung trực của CM hay NC = NM ⇒ tam giác NCM cân ⇒NCM
=NMC

lại có
DMC=
DBC ( hai góc nội tiếp đường tròn (O) cùng chắn DC

Vậy
BCM=CBD
⇒ DB // CM (2)

Từ (1) và (2) ⇒ D, H, B thẳng hàng

Ví dụ 4: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Gọi A ;B ;C là 1 1 1trung điểm của các cung   BC;CA;AB của đường tròn (O) và I là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác ABC A C cắt AB ở M, 1 1 A B cắt AC ở N Chứng 1 1minh M, I, N thẳng hàng

Giải:

NM

NCI=ICB ⇒NIC
=ICB
⇒IN // BC

Chứng minh tương tự ta được IM // BC

Vậy N, I, M thẳng hàng

Ví dụ 5: Cho nửa đường tròn đường kính AB Về cùng một phía với

nửa đường tròn đó, vẽ hình vuông ABCD M là điểm tùy ý thuộc nửa đường tròn Về phía ngoài tam giác MAB vẽ hình vuông BMNE Chứng minh C, E,

N thẳng hàng

Giải:

E

N

CD

M

Xét tam giác ABM và tam giác CBE có;

Vì
ABC=MBE
=900 ⇒ABM
=CBE
; AB = CB; MB = EB

Mà
AMB 90= 0 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính AB)

Vậy BE⊥CE lại có BE⊥NE vậy E, N, C thẳng hàng

3 Sử dụng định lí Menelaus vào chứng minh 3 điểm thẳng hàng

NA

Ví dụ 6: Cho tam giác ABC không cân, AD là phân giác ngoài, BE, CF

là các phân giác trong của tam giác Chứng minh rằng D, E, F thẳng hàng

Giải:

x

EF

DC

B

A

Trong tam giác ABC:

( D thuộc đường thẳng BC) và DC EA FB 1

DB EC FA = Theo định lí Menelaus ta có

D, E, F thẳng hàng

Ví dụ 7: Cho tam giác ABC không cân nội tiếp đường tròn (O) Tiếp

tuyến của (O) tại A cắt BC ở M, tiếp tuyến của (O) tại B cắt AC ở N, tiếp tuyến của (O) tại C cắt AB ở P Chứng minh M, N, P thẳng hàng

C

A

Có
CBN=CAB
( góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng

chắn cung CB của (O)) ⇒∆NBC và ∆NAB đồng dạng

2 2

MC = AC (2) ;

2 2

PB = CB (3) Nhân vế với vế của (1); (2); (3) ta được

Chứng minh tương tự ta có

1AMC=AOB

Bài tập 2: Cho tam giác ABC có các góc nhọn nội tiếp đường tròn (O)

H là trực tâm của tam giác, M là một điểm trên cung BC không chứa A Gọi

N, E lần lượt là các điểm đối xứng của M qua các đường thẳng AB, AC Chứng minh ba điểm N, H, E thẳng hàng

Giải:

CH cắt AB ở P, cắt (O) tại Q

Có
QAB QCB=
(hai góc nội tiếp (O) cùng chắn BQ ) (1)

APC=AGC 90= ⇒ tứ giác APGC nội tiếp đường tròn đường kính

AC⇒PAG
=PCG
hay
QCB BAH=
(2)

G

RQ

B

C

M

Từ (1) và (2) ⇒QAP
=HAP
Xét tam giác AQH có AP vừa là đường cao vừa

là phân giác nên tam giác AQH cân hay H và Q đối xứng qua AB

Mà M và N đối xứng qua AB nên
MQA và
NHA đối xứng qua

AB⇒AHN
=AQM

Chứng minh tương tự ta được
AHE=ARM

⇒ + = + , lại có tứ giác AQMR nội tiếp (O) nên

AQM+ARM 180= Vậy
AHN+AHE 180
= 0 hay N, H, E thẳng hàng

Bài tập 3: Cho tam giác ABC vuông tại A, trên AC lấy D bất kì, từ D

kẻ đường thẳng vuông góc với BC cắt BC ở E và cắt đường thẳng BA tại F Đường tròn ngoại tiếp tam giác ADF và đường tròn ngoại tiếp tam giác CDE cắt nhau tại điểm thứ hai P Chứng minh

Tương tự ta chứng minh được ⇒DPF 90
= 0

DPC+DPF 180= hay C, P, F thẳng hàng

b) Xét tam giác BCF có FE, CA là hai đường cao ⇒ D là trực tâm của tam giác BCF ⇒BP⊥CF Đã có DP⊥CF Vậy P, D, B thẳng hàng

Bài tập 4: Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm I BC tiếp xúc

với (I) tại D, gọi E là trung điểm của AD, F là trung điểm của BC Chứng minh ba điểm E, I, F thẳng hàng

AB = AC bài toán hiển nhiên đúng

Giả sử AC > AB Gọi K là giao điểm của AI và BC

Xét tam giác ABK, BI là phân giác IK BK

C BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Bài tập 5: Cho tam giác ABC với trực tâm H, trọng tâm G, tâm đường

tròn ngoại tiếp O Chứng minh G, H, O thẳng hàng ( đường thẳng Ơ-le)

Bài tập 6: Giả sử M là một điểm tùy ý trên đường tròn ngoại tiếp tam

giác ABC H, I, K lần lượt là hình chiếu của M trên các đường thẳng BC, CA,

AB Chứng minh H, I, K thẳng hàng ( đường thẳng Sim-sơn)

Bài tập 7: Cho nửa đường tron (O) đường kính AB M là điểm tùy ý

trên nửa đường tròn sao cho MA < MB Trên nửa mặt phẳng bờ AM không chứa B vẽ hình vuông MACD MC cắt nửa đường tròn (O) ở E BE cắt tiếp tuyến tại A của nửa đường tròn (O) ở F Chứng minh C, D, F thẳng hàng (Tương tự ví dụ 5)

Bài tập 8: Chứng minh rằng các hành chiếu của chân đường cao AA1

của tam giác ABC lên các cạnh AB, AC và lên hai đường cao BB1, CC1 của tam giác ABC là bốn điểm thẳng hàng

BÀI TOÁ ĐỒG QUY

A MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY

1 Đưa bài toán đồng quy về bài toán thẳng hàng

Ví dụ 1 Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự đó Vẽ hai đường

tròn (O1), (O2), đường kính AB và đường kính BC Gọi DE là tiếp tuyến chung ngoài của (O1) và (O2) (D∈( )O , E1 ∈(O2) ) Chứng minh rằng đường thẳng BD, đường thẳng vuông góc với AC tại C và đường thẳng vuông góc với AE tại E đồng quy

Vẽ tiếp tuyến chung trong BS

Dễ thấy: SB = SE; SB = SD (tính chất tuyết tuyến)

⇒ tam giác DBE vuông tại B hay BE⊥BD Lại có
BEC 90= 0(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính BC) hay BE⊥EC Vậy EC // DB

Lại có
ADE 1sdDBA

Từ (1) và (2) ta có
ADE+ECA 180
= 0 ⇒ tứ giác ADEC nội tiếp

Lai có
REA=RCA 90
= 0 ⇒ tứ giác AECR nội tiếp đường tròn đường kính

B

A

Giả sử AA1 và BB1 cắt nhau tại G Ta đi chứng minh C, G, C1 thẳng hàng

Xét tam giác CBB1 và tam giác CA1A có: CB = CA1; CB1 = CA;

Ví dụ 3: Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn (O) Gọi M, N, P, Q

lần lượt là các tiếp điểm của (O) với các cạnh AB, BC, CD, DA Chứng minh rằng bốn đường thẳng AC, BD, MP, NQ đồng quy

Xét tam giác HAC, M AH;I AC;P HC∈ ∈ ∈ , trong đó có một điểm nằm ngoài

cạnh tam giác Áp dụng menelaus ta được: IC PH MA 1

2 Ba đường thẳng đang xét là ba đường đặc biệt trong tam giác (phân giác, đường cao, )

Ví dụ 4: Cho tam giác ABC Gọi (O1), (O2) là hai đường tròn đường kính AB và đường kính AC (O1) cắt đường thẳng AC ở B1 (O2) cắt đường thẳng AB ở C1 (O1) và (O2) cắt nhau tại A1 Chứng minh ba điểm B, A1, C thảng hàng và ba đường thẳng AA1, BB1, CC1 đồng quy

AA1, BB1, CC1 là ba đường cao trong tam giác ABC nên đồng quy

Ví dụ 5: Cho đường tròn (O) và dây BC không phải là đường kính

Tiếp tuyến của (O) tại B, C cắt nhau ở A M là điểm tùy ý thuộc cung nhỏ

ED

A

O

B

CM

Ta có OM⊥DE (t/c tiếp tuyến) hay OM là đường cao của tam giác ODE

Ta có DB = DM (tính chất tiếp tuyến) ⇒ D thuộc trung trực của BM

OB = OM (bán kính) ⇒ O thuộc trung trực của BM

Vậy DO là trung trực của BM hay B, M đối xứng qua DO

Vậy
DMI=IOE
⇒ tứ giác MIOE nội tiếp

0

OIE=OME=90 hay EI là đường cao của tam giác ODE Chứng minh tương tự ta được DK là đường cao của tam giác ODE

Vậy trong tam giác ODE, ba đường cao OM, DK, EI đồng quy

3 Sử dụng định lí Ceva vào chứng minh ba đường thẳng đồng quy

Định lí Ceva: Cho tam giác ABC, trên các cạnh AB, BC, CA lấy các điểm M,

N, P Khi đó điều kiện cần và đủ để ba đường thẳng AN, BP, CM đồng quy là

B

CN

P

Chứng minh:

Xét ABN : M AB,G AN,C BN∆ ∈ ∈ ∈ , áp dụng định lí Menelaus:

Giả sử BP cắt CM tại G, AG cắt BC tại N’ Xét ba đường thẳng đồng quy

AN’, BP, CM thỏa mãn điều kiện của *) MA PC N 'B 1

MB PA N 'C

Vậy NB N 'B N N '

NC = N 'C ⇒ ≡ hay AN, BP, CM đồng quy

Lưu ý: Định lí Ceva vẫn đúng trong trường hợp có hai trong ba điểm M, 8,

P nằm ngoài cạnh của tam giác (vẫn thuộc đường thẳng chứa cạnh ) Ba đường thẳng song song được coi như đồng quy tại vô cùng xa

Ví dụ 6: Cho tam giác ABC, đường tròn nội tiếp tam giác tiếp xúc với

các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại A1, B1, C1 Chứng minh AA1, BB1, CC1đồng quy

Ví dụ 7: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, trực tâm H Gọi giao điểm

của AH, BH, CH với BC, CA, AB lần lượt là A1, B1, C1 A1C1 cắt BB1 ở D,

Tam giác C1A1E, xét ba điểm thẳng hàng D C A , H C E, B∈ 1 1 ∈ 1 1∈A E1 trong

đó có B1 nằm ngoài cạnh A1E Theo định lí Menelaus: 1 1 1

DC B A HE

DA B E HC = (1)

C A H=EA H ⇒ A1H là phân giác trong của tam giác A1C1E

Lại có HA1⊥A C1 ⇒ A1C là phân giác ngoài của tam giác A1C1E

A1, E, C1 của tam giác vàC C E,D C A ,B∈ 1 ∈ 1 1 1∈A E1 trong đó có một điểm

nằm ngoài cạnh của tam giác và 1 1 1

Bài tập 1: Đường tròn bàng tiếp góc A của tam giác ABC tiếp xúc với

BC, CA, AB tại A1, B1, C1 Chứng minh AA1, BB1, CC1 đồng quy

Tam giác ABC, xét ba đường thẳng AA1, BB1, CC1

có A1∈BC, B1∈AC,C1∈AB trong đó có hai điểm nằm ngoài cạnh tam giác

Theo Ceva ta có AA1, BB1, CC1 đồng quy

Bài tập 2: Cho đường tròn tâm O đường kính AB Đường thẳng d tiếp

xúc với (O) tại A Từ điểm T bất kì trên d kẻ tiếp tuyến thứ hai TM với (O) Gọi P, Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của M lên đường kính AB và d Chứng minh ba đường thẳng AM, PQ, OT đồng quy

Dễ thấy MQBP là hình chữ nhật ⇒QPđi qua trung điểm của BM

Bài tập 3: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) Gọi M, N, P, Q

lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA Chứng minh rằng các đường thẳng kẻ từ M, N, P, Q lần lượt vuông góc với CD, DA, AB, BC đồng quy

Giải:

HI

D

CB

Giả sử MM’ cắt PP’ ở H

Xét tứ giác OPHM có OP⊥DC ( định lí đường kính và dây)

MM '⊥DC (giả thiết)

Vậy MH // OP, tương tự PH // OM Vậy tứ giác OPHM là hình bình hành hay

O, H đối xứng qua trung điểm của PM

Tương tự ta chứng minh được giao điểm của NN’ và QQ’ cũng đối xứng với

O qua trung điểm của QN

Mà tứ giác MNPQ là hình bình hành nên trung điểm của QN cũng là trung điểm của MP

Tóm lại bốn đường thẳng MM’, NN’, PP’, QQ’ cùng đi qua điểm đối xứng của O qua I (I là giao của QN và MP) hay chúng đồng quy

Bài tập 4: Cho đường tròn (O) Qua C nằm ngoài đường tròn (O) kẻ

hai tiếp tuyến CD, CE và cát tuyến CAB với đường tròn (O) Vẽ đường kính

MN vuông góc với dây AB của (O) CM cắt (O) tại F Chứng minh ba đường thẳng AB, DE, NF đồng quy

Giải:

M' H

Giả sử DE cắt AB tại M Tứ giác OIMH nội tiếp ⇒CM.CH=CI.CO

Xét tam giác vuông CDO, đường cao DI ⇒CI.CO CD= 2

Vậy CM.CH=CD2 (1)

Giả sử FN cắt AB tại M’ Tứ giác HMFO nội tiếp ⇒CM '.CH=CF.CM

Lại có CD là tiếp tuyến, CFM là cát tuyến của (O) ⇒CF.CM=CD2

CM '.CH=CD (2)

Từ (1) và (2) ⇒M≡M ' hay AB, DE, FN đồng quy

Bài tập 5: Cho nửa đường tròn đường kính AB Từ A, B vẽ hai tiếp

tuyến Ax, By với nửa đường tròn Từ điểm M tùy ý trên nửa đường tròn vẽ tiếp tuyến với nửa đường tròn, nó cắt Ax tại C, cắt By tại D Gọi A’ là giao điểm của BM với Ax, B’ là giao điểm của AM với By Chứng minh ba đường thẳng B’A’, DC, AB đồng quy

Giải:

DC

Bài tập 6: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, trực tâm H và tâm đường

tròn ngoại tiếp O AH, BH, CH cắt (O) lần lượt tại A1, B1, C1 OA1 cắt BC tại

A2, OB1 cắt CA tại B2, OC1 cắt AB tại C2 Chứng minh AA2, BB2, CC2 đồng quy

Bài tập 7: Cho đường tròn tâm O đường kính BC và điểm A nằm

ngoài đường tròn Đường thẳng AB cắt đường tròn (O) tại D khác A, đường thẳng AC cắt đường tròn (O) tại E khác C Đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE và đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt nhau tại điểm F khác A Chứng minh AF, DE, BC đồng quy