Định lí cơ bản của số học: Mọi số tự nhiên lớn hơn 1 đều phân tích được ra thừa số nguyên tố một cách duy nhấtkhông kể thứ tự các thừa số... Giáo án bồi dưỡng hs giỏi – Trần Anh Tuấn Số [r]
(1)Giáo án bồi dưỡng hs giỏi – Trần Anh Tuấn PHẦN SỐ HỌC Bài 1: TÍNH CHIA HẾT TRÊN TẬP HỢP SỐ NGUYÊN SỐ NGUYÊN TỐ A Nhắc lại và bổ sung các kiến thức cần thiết: I Tính chia hết: Định lí phép chia: Với số nguyên a,b (b 0), có cặp số nguyên q, r cho : a = bq + r với r b a gọi là số bị chia , b là số chia, q là thương và r là số dư Trong trường hợp b > và r có thể viết: a = bq + r = b(q +1)+ r - b Ví dụ: Mọi số nguyên a có dạng: a = 2q (xét phép chia cho b = 2) a = 3q ; 3q (xét phép chia cho b = 3) a = 4q ; 4q ; 4q (xét phép chia cho b = 4) a = 5q; 5q 1; 5q (xét phép chia cho b = 5) Tính chia hết: Nếu a chia b mà số dư r = 0, ta nói : a chia hết cho b hay a là bội b (kí hiệu a b) b chia hết a hay b là ước a (kí hiệu b\ a) Vậy: a b (b\ a) và có số nguyên q cho a = bq Các tính chất: 1) Nếu a b thì a b (b 0) 2) a a; a với a 3) a với a 4) Nếu a m thì an m (m 0, n nguyên dương) 5) Nếu a b và b a thì |a| = |b| 6) Nếu a b và b c (b,c 0) thì a c 7) Nếu a c và b c(c 0) thì (a b) c Điều ngược lại không đúng 8) Nếu a m b m thì ab m(m 0) Điều ngược lại không đúng 9) Nếu a p và a q, (p, q)= thì a pq 10) Nếu a = mn; b = pq và m p n q thì a b 11) Nếu ab m và (b,m) = thì a m 12) Nếu a b m và a m thì b m II Số nguyên tố: 1.Định nghĩa: Số nguyên tố là số tự nhiên lớn 1, có hai ước là và chính nó Hợp số là số tự nhiên lơn có nhiều hai ước Số và số không phải là số nguyên tố không phải là hợp số Định lí số học: Mọi số tự nhiên lớn phân tích thừa số nguyên tố cách nhất(không kể thứ tự các thừa số) Lop7.net (2) Giáo án bồi dưỡng hs giỏi – Trần Anh Tuấn Số nguyên tố coi là tích gồm thừa số là chính nó Có vô số số nguyên tố (không có số nguyên tố lớn nhất) Số hoàn chỉnh: là số tổng các ước nó không kể thân nó Ví dụ: , 28, , 2n-1(2n - 1) III Một số phương pháp thông thường để giải bài toán chia hết: Cách 1: Để chứng minh A(n) chia hết cho k, có thể xét trường hợp số dư chia n cho k Ví dụ 1: Chứng minh rằng: a) Tích hai số nguyên liên tiếp chia hết cho b) Tích ba số nguyên liên tiếp chia hết cho Giải : a) Viết tích hai số nguyên liên tiếp dạng A(n) = n(n + 1) Có hai trường hợp xảy : * n => n(n + 1) * n không chia hết cho (n lẻ) => (n + 1) => n(n +1) b) Chứng minh tương tự a Cách 2: Để chứng minh A(n) chia hết cho k, có thể phân tích k thừa số: k = pq + Nếu (p, q) = 1, ta chứng minh A(n) p và A(n) q + Nếu (p, q) 1, ta phân tích A(n) = B(n) C(n) chứng minh: B(n) p và C(n) q Ví dụ 2: a) Chứng minh: A(n) = n(n +1)(n + 2) b) Chứng minh: tích hai số chẵn liên tiếp chia hết cho Giải : a) Ta có = 2.3; (2,3) = Theo chứng minh trên đã có A(n) chia hết cho và Do đó A(n) chia hết cho b) Ta viết A(n) = 2n(2n + 2) = 2n 2(n +1) = 4n(n + 1) = Vì và n(n +1) nên A(n) Ví dụ : Chứng minh n5 - n chia hết cho 10, với số nguyên dương n (Trích đề thi HSG lớp cấp tỉnh năm học 2005 - 2006) Giải : A(n) = n5 - n = n(n4 - 1) = n(n2 - 1)(n2 + 1) = n(n - 1)(n + 1)(n2 +1) n = 5k + => (n - 1) n = 5k + => (n + 1) n = 5k + => n2 + = (5k + 2)2 + = (25k2 + 20k + + 1) n = 5k + => n2 + = (5k + 3)2 + = (25k2 + 30k + + 1) Vậy : A(n) chia hết cho và nên phải chia hết cho 10 Cách 3: Để chứng minh A(n) chia hết cho k , có thể biến đổi A(n) thành tổng(hiệu) nhiều hạng tử , đó hạng tử chia hết cho k ( Đã học tính chất chia hết tổng lớp 6) (Liên hệ: A(n) không chia hết cho k ) Lop7.net (3) Giáo án bồi dưỡng hs giỏi – Trần Anh Tuấn Ví dụ 4: Chứng minh n3 - 13n (n > 1) chia hết cho (Trích đề thi HSG cấp II toàn quốc năm 1970) Gv diễn đạt đề thành lời 3 Giải : n - 13n = n - n - 12n = n(n - 1) - 12n = (n - 1)n(n + 1) - 12n (n - 1)n(n + 1) là tích số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho ; 12n Do đó A(n) Ví dụ 5: Chứng minh n2 + 4n + không chia hết cho , với số n lẻ Giải : Với n = 2k +1 ta có: A(n) = n2 + 4n + = (2k + 1)2 + 4(2k + 1) + = 4k2 + 4k + + 8k + + = 4k(k + 1) + 8(k + 1) + A(n) tổng ba hạng tử, đó hai hạng tử đầu chia hết cho , có hạng tử không chia hết cho Vậy A(n) không chia hết cho Cách 4: Phân tích A(n) thành nhân tử.Nếu có nhân tử chia hết cho k thì A(n) chia hết cho k Hệ quả: Nếu A(n) = B(n).C(n) mà B(n)và C(n) không chia hết cho k thì A(n) không chia hết cho k Ví dụ 6: Chứng minh : + 22 + 23 + + 260 chia hết cho 15 Giải: Ta có: + 22 +23 + + 260 = (2 + 22 + + 24) + (25+ + 28) + + (257 + + 260) = 2(1 + + + 8) + 25(1 + + + 8) + + 257(1 + + + 8) = 15.(2 + 25 + + 257) 15 IV Một số phương pháp đặc biệt để giải toán chia hết: Cách 5: Dùng nguyên tắc Dirichlet: Nguyên tắc Dirichlet phát biểu dạng hình ảnh sau: Nếu nhốt k chú thỏ vào m chuồng mà k> m thì phải nhốt ít hai chú thỏ vào chung chuồng Ví dụ 7: Chứng minh m + số nguyên bất kì nào có hai số có hiệu chia hết cho m Giải: Chia số nguyên bất kì cho m ta số dư là m số 0; ; 2; 3; ; m - Theo nguyên tắc Dirichlet, chia m + 1số cho m thì phải có ít hai số có cùng số dư Do đó hiệu hai số này chia hết cho m Cách 6: Dùng phương pháp qui nạp toán học: Để chứng minh A(n) k ta làm theo trình tự sau: Thử với n = 2(Tức số n nhỏ chọn ra).Nếu sai => Dừng.Nếu đúng A(1) k.Tiếp tục: Giả sử A(k) k Chứng tỏ A(k + 1) k Nếu đúng => Kết luận : A(n) k Ví dụ 8: Chứng minh : 16n - 15n - chia hết cho 225 Đặt A(n) = 16n - 15n -1 , ta có : A(1) = 16 - 15 - = 225 => A(1) đúng Giả sử A(k) đúng : A(k) = 16k - 15k -1 225 Ta chứng minh A(k + 1) đúng, tức là c/m: 16k + - 15(k + 1) - 225 Lop7.net (4) Giáo án bồi dưỡng hs giỏi – Trần Anh Tuấn Thật vậy, 16k+1 - 15(k + 1) - = 16 16k - 15k - 15 - = (15 + 1) 16k - 15k - 15 - = 15.16k + 16k - 15k -15 - = (16k - 15k - 1) + 15(16k - 1) = (16k - 15k - 1) + 15(16 - 1) (16k-1 + +1) = (16k - 15k - 1) + 225(16k-1+ + 1) 225 Cách 7: Phương pháp phản chứng: Để chứng minh A(n) k ta chứng minh A(n) không chia hết cho k là sai A => B B => A Ví dụ 9: Chứng minh a2 + b2 thì a và b chia hết cho Giải : Giả sử a và b không chia hết cho => a = 3k ; b = 3h a2 + b2 = (3k 1)2 + (3h 1)2 = 9k2 6k + + 9h2 6h + = 3(3k2 + 3h2 2k 2h) + không chia hết cho mâu thuẫn với giả thiết Tương tự cho trường hợp có hai số chia hết cho Do đó a và b phải chia hết cho B PHẦN BÀI TẬP: Chứng minh: a) 192007 - 192006 chia hết cho b) 92n + 14 chia hết cho c) Tổng số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3, tổng số tự nhiên liên tiếp chia hết cho5 Tích số chính phương và số tự nhiên đứng liền trước nó là số chia hết cho 12 (n2 - 1)n2(n2 + 1) chia hết cho 60 a) n2 + 11n + 39 không chia hết cho 49 b) n2 + 3n +5 không chia hết cho 11 a) n4 + 6n3 + 11n2 + 6n chia hết cho 24 b) n4 - 4n3 - 4n2 - 16n (chẵn, n > 4) chia hết cho 384 4n + 15n - chia hết cho n2 + 4n + (n lẻ) chia hết cho 8 n3 + 3n2 - n - chia hết cho 48 9) 36n -26n chia hết cho 35 10) ab(a2 + b2)(a2 - b2) chia hết cho 30 với số nguyên a,b 11) a) (62n + 19n - 2n+1) chia hết cho17 b) (7.52n + 12.6n) chia hết cho 19 c) (5n+2 + 26.5n + 82n+1) chia hết cho 59 12) a)a2 + b2 chia hết cho thì a và b chia hết cho 13) 55552222 + 22225555 Bổ sung: Nhị thức Newton: Lop7.net (5) Giáo án bồi dưỡng hs giỏi – Trần Anh Tuấn an - bn a - b (với n) , an + bn a + b (n lẻ) ; an - bn a + b (n chẵn) Hướng dẫn giải: 2006 2006 a) = 19 (19 - 1) = 19 18 b) = (81n -1) + + 14 = (81 - 1) Q + 15 c) (n + 1) + (n + 2) + (n +3) = 3n + n2(n2 - 1) = n2(n - 1)(n + 1) = [(n -1).n] [n (n + 1)] 3; = (n - 1)(n + 1)n n(n2 - + 5) = (n - 1) n n (n + 1)(n+ 2) (n - 2) + 5(n - 1)(n + 1) n n 5; 4; a) = n2 + 4n + 7n + 28 + 11 = Bài 2: ĐỒNG DƯ THỨC A Tóm tắt lý thuyết: I Định nghĩa: 1.Định nghĩa: Cho số nguyên m > 0.Nếu hai số nguyên a và b chia cho m có cùng số dư thì ta nói a đồng dư với b theo môđun m và viết: a b (modm) Ví dụ: (mod 2) 14 (mod 7) II Tính chất : Nếu a b (mod m) thì a - b m Nếu a b (mod m) và b c (mod m) thì a c (mod m) Nếu a b (mod m) và c d (mod m) thì a c b d (mod m) Nếu a b (mod m) và c d (mod m) thì ac bd (mod m) Nếu a b (mod m) thì an bn (mod m) Nếu a b (mod m) thì ka kb (mod m) với k > Nếu ka kb (mod km) thì a b (mod m) với k > Nếu ka kb (mod m) và (k , m) = 1thì a b (mod m) Định lí Fermat: Nếu p là số nguyên tố thì : np n (mod p) ; n Z Hoặc : Nếu p là số nguyên tố thì : np-1 (mod p), với (n,p) = 10.Định lí Euler : Cho m là số nguyên dương bất kì và (m) là số các số dương nhỏ m và nguyên tố với m Thế thì : n(m) (mod m) * Cách tính (m) : phân tích m thừa số nguyên tố : m = a1α a2β anλ Thế thì : (m) = m 1 1 a1 a 1 an B Bài tập ứng dụng: Bài 1: Chứng minh 2100 - chia hết cho 5 Lop7.net (6) Giáo án bồi dưỡng hs giỏi – Trần Anh Tuấn Giải : Ta có 24 (mod 5) => (24)25 125 (mod 5) => 2100 (mod 5) hay 2100 - Bài 2: Tìm số dư phép chia 299 cho Giải : Có 23 -1 (mod 3) (23)33 (-1)33 (mod 3) 299 -1 (mod 3) Vậy 299 chia dư Bài : Tìm chữ số cuối cùng 2999 Bài 4: Chứng minh 22008 không chia hết cho 10 Bài 5: Chứng minh các số tự nhiên nào có số k cho 1983k - chia hết cho 105 Giải: Cách 1: Áp dụng nguyên tắc Dirichlet: Cho k lấy 105 + giá trị liên tiếp từ trở đi, ta 105 + giá trị khác 1983k - Chia 105 +1 số này cho 105 , ta có nhiều là 105 số dư, đó theo nguyên tắc Dirichlet, phải có hai số cho cùng số dư chia cho 105 Giả sử đó là hai số 1983m -1 và 1983n - (m > n) Thế thì hiệu hai số này phải chia hết cho 105: (1983m - 1) - (1983n -1) = 1983m - 1983n = 1983n (1983m-n -1) 105 Do 1983 không chia hết cho 105 => 1983n không chia hết cho 105 Vì 10m-n - chia hết cho 105 Như tìm số k = m-n cho 1983k - chia hết cho 105 Cách 2: Áp dụng định lí Euler: Vì 1983 không chia hết cho và không chia hết cho , còn 105 = 2555 nên (1983, 105) = Áp dụng định lí Euler: 1983(10 ) (mod 105) Mà (10 ) = 105(1 1 ) (1 - ) = 104 Nên ta có 19834.10 (mod 105) số 4.104 là số k phải tìm Đề bài áp dụng: Tìm số dư : a) chia 8! Cho 11 c) chia 340 cho 83 e) chia 301293 cho 13 Chứng minh : a) 24n - 15 d) 22225555 + 55552222 b) chia 15325 -1 cho d) chia 21000 cho 25 b) 270 + 370 13 c) 122n+1 - 11n+2 133 e) 14k + 24k + 34k + 44k không chia hết cho Lop7.net (7) Giáo án bồi dưỡng hs giỏi – Trần Anh Tuấn Bài 3: PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN Định nghĩa: Phương trình nghiệm nguyên (còn gọi là phương trình Điôphan) là phương trình có nhiều ẩn số, với tất các hệ số là số nguyên, và ta phải tìm các nghiệm nguyên nó 2.Ví dụ : (Bài toán cổ) Trăm trâu trăm cỏ, Trâu đứng ăn năm, Trâu nằm ăn ba, Lụ khụ trâu già, Ba bó Hỏi có bao nhiêu trâu đứng, bao nhiêu trâu nằm, bao nhiêu trâu già? Giải: Gọi số trâu đứng là x, số trâu nằm là y, thì số trâu già là : 100 - (x + y) Ta có phương trình: 5x y 100 ( x y ) 100 hay 7x + 4y = 100 Nếu không có điều gì hạn chế thì phương trình này có vô số nghiệm: x Z 100 x y Nhưng theo đề toán thì x,y (số trâu) phải là số nguyên (dương) nên ta phải tìm các nghiệm nguyên dương phương trình Đó là ví dụ điển hình phương trình nghiệm nguyên Sự nghiên cứu phương trình nghiệm nguyên có đóng góp to lớn nhiều nhà toán học tiếng: Euclide và Archimède, Fermat, Euler và Lagrange, Gauss, Dirichlet, Riemann và Hilbert, Sau đây chúng ta xét vài dạng phương trình nghiệm nguyên đơn giản Phương trình bậc nhất: a) Phương trình bậc hai ẩn: là phương trình có dạng : ax + by = c , đó a, b, c là số nguyên, a, b khác * Chú ý : Có thể giả thiết a, b, c nguyên tố cùng (vì không thì có thể chia hai vế cho ƯCLN chúng) Định lí: Phương trình ax + by = c có nghiệm nguyên và (a,b) = Ví dụ : Các pt: 7x + 4y = 100 ; 4x + 2y = , Định lí 2: Nếu phương trình ax + by = có nghiệm nguyên là cặp số xo,yo thì nó có vô số nghiệm nguyên, đó là tập hợp các cặp số có dạng : x xo bt ; với t là số nguyên tuỳ ý (t = 0; 1; 2; 3; ) y y o at Lop7.net (8) Giáo án bồi dưỡng hs giỏi – Trần Anh Tuấn Ta gọi xo ; yo là nghiệm riêng pt, còn công thức trên là nghiệm tổng quát phương trình Muốn giải phương trình ax + by = c , với (a;b) = , ta cần tìm nghiệm riêng nào đó nó Ví dụ: Giải pt : 7x + 4y = 100 Ta thấy x = ; y = 25 là nghiệm riêng pt Do đó nghiệm tổng quát x 4t , với t = 0; 1; 2; 3; y 25 7t pt là : Đối với bài toán “trăm trâu, trăm cỏ” ta phải tiếp tục xét thêm: x,y (số trâu) phải là số nguyên (dương), tức: x = 4t > t > y = 25 - 7t > < t < Nghĩa là lấy t = 1,2,3: t = => x = ; y = 18 ; z = 78 t = => x = ; y = 11 ; z = 81 t = => x = 12 ; y = ; z = 84 ĐỀ TOÁN: Tìm x ; y nguyên dương thoả mãn : a) 5x + 3y = b) 32x - 40y = 38 c) 38x + 117y = 15 Tìm tất các số nguyên dương x , y thoả mãn phương trình: a) 5x + 7y = 112 b) 5x + 19y = 674 c) 3x2 + 10xy + 8y2 = 96 Tìm nghiệm nguyên dương nhỏ phương trình: a) 15x - 49y = 11 b) 41x - 37y = 187 Tìm nghiệm nguyên phương trình: 2x2 + xy + = Ba người câu cá Trời đã tối và mệt lả, họ vất cá trên bờ sông , người tìm nơi lăn ra ngủ Người thứ thức dậy , đến bên bờ sông, đếm số cá thấy chia ba thừa , bèn vứt xuống sông và xách 1/3 nhà.Người thứ hai thức dậy, tưởng hai bạn mình còn ngủ, đến bờ sông đếm số cá, vứt xuống sông và xách 1/3 nhà Người thư ba thức dậy , nghĩ là mình dậy sớm nên lại làm hai người trước Biết họ là ba người câu dở, tìm số cá ba người đã câu được? Lop7.net (9)