1) Ph¬ng tr×nh tiÕp tun t¹i mét ®iĨm thc ®å thÞ Phương trình tiếp tuyến tại M(x o , y o ) của đồ thị (C) y = f(x) có dạng: y = f’(x o ) (x – x o ) + y o - Nếu cho (x o ,y o ) thì tính f’(x) suy ra f’(x o ). Thế vào phương trình tiếp tuyến - Nếu cho x o thì tính y o = f(x o ) và f’(x o ) sau đố thế vào pttt - Nếu cho y o thì tính x o bằng cách giải phương trình f(x o ) = y o Được bao nhiêu nghiệm thì ta tính bao nhiêu f’(x o ) tương ứng. Thế từng trường hợp vào pttt 2) Ph¬ng tr×nh tiÕp tun cã hƯ sè gãc cho tríc Phương trình tiếp tuyến có dạng y = f’(x o ) (x – x o ) + y o + Gọi x 0 là hoành độ tiếp điểm + Giải phương trình f’(x 0 ) = k tìm được x 0 , suy ra y 0 = f(x 0 ) Từ đó viết được phương trình ( ∆ ) * Chú ý: Cho đường thẳng (D): y = ax + b Tiếp tuyến ( ∆ ) // (D) ⇒ f’(x o ) = a Tiếp tuyến ( ∆ ) ⊥ (D) ⇒ f’(x o ) = - 1 a Tiếp tuyến ( ∆ ) hợp với Ox một góc α ⇒ f’(x o ) = tan( α ± ) 3) Ph¬ng tr×nh tiÕp tun ®i qua mét ®iĨm cho tríc ®Õn ®å thÞ + Gọi d là tiếp tuyến của (C) đi qua M(x o ,y o ). Suy ra d : y = k( x – x o ) + y o + Do d tiếp xúc với (C) nên hệ phương trình: ( ) ( ) ( ) ' o o f x k x x y f x k = − + = có nghiệm + Giải hệ phương trình tìm x, k. Thế vào ta có phương trình tiếp tuyến d Bài tập áp dụng : Bài 1: Viết phương trình tiếp tuyến với (C): 3 2 x y x − = − tai điểm trên (C) có hoành độ là 1 Bàiï 2: Viết pt tiếp tuyến với (C): 3 2 3 1y x x= + + biết rằng tiếp tuyến này qua gốc toạ độ Bài 3 : Viết phương trình tiếp tuyến với (C): 3 2 3 1y x x= − + biết tiếp tuyến này vuông góc với đường thẳng 3x – 8y = 0 Bài 4: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thò hàm số 2 1 1 x y x − = − , biết tiếp tuyến song song đường thẳng y = - 4 x Bài 5: Cho hàm số 2 2 3 ( )y x x C= − + . Viết phương trình tiếp tuyến với (C) a/ Tại điểm trên (C) có hoành độ là 1 b/ Biết tiếp tuyến song song đường thẳng 4x - 2y +5 = 0 c/ Biết tiếp tuyến vuông góc đường thẳng x + 4y = 0 d/ Biết tiếp tuyến vuông góc với đường phân giác thứ nhất của trục toạ độ Bài 6ï: Viết pt tiếp tuyến với (C): 4 3 1 x y x − = − , biết tiếp tuyến hợp với trục Ox một góc 0 45 Bài 7: Cho hàm số 2 5 4 ( )y x x C= − + . Viết phương trình tiếp tuyến với (C) a/ Tại điểm mà (C) cắt trục Ox,Oy b/ Biết tiếp tuyến song song đường thẳng 2x + y = 0. Chỉ rõ tiếp điểm c/ Biết tiếp tuyến đi qua M(2;-3) Bài 8: Cho hàm số 3 2 1 2 3 2 3 y x x x= + + + . Viết phương trình tiếp tuyến với (C) a/ Tại điểm có hồnh độ x o là nghiệm của pt y’’ = 0 b/ Biết tiếp tuyến có hệ số góc k = 3 c/ Biết tiếp tuyến đi qua A(-3;2) Bài 9: Cho hàm số 2 3 3 2 x x y x − + = − . Viết phương trình tiếp tuyến với (C) a/ Tại điểm trên (C) có hoành độ là 4 b/ Biết tiếp tuyến vuông góc đường thẳng x -3y = 0. Chỉ rõ tiếp điểm. d/ Biết tiếp tuyến đi qua B(0;3). Chỉ rõ tiếp điểm Bài 10: Cho hàm số 3 6 1 x y x − = − . Viết phương trình tiếp tuyến với (C) a/ Tại điểm trên (C) có tung độ là 4 b/ Biết tiếp tuyến song song đường phân giác thứ nhất của hệ trục toạ độ c/ Biết tiếp tuyến qua điểm A(-2;0) Bài 11 :Viết phương trình tiếp tuyến với (C): 2 2 1 2 x x y x x + + = − − tai điểm trên (C) có hoành độ là 1. Bài 12: Viết phương trình tiếp tuyến với (C): 3 2 1y x x x= + + + , biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = x Bài 13 : Viết pt tiếp tuyến với (C): 2 2 x y x + = − , biết tiếp tuyến vuông góc đthẳng y = x + 2 Bài 14 ï : Viết phương trình tiếp tuyến với (C): 2 4 4 2 x x y x − = + , biết tiếp tuyến qua điểm M(-2;4) Bài 15 ï : Cho hàm số 3 3 1 ( )y x x C= − + . Viết phương trình tiếp tuyến với (C) a/ Tại điểm trên (C) có hoành độ là 3 b/ Biết tiếp tuyến song song đường thẳng y = 9x + 2 c/ Biết tiếp tuyến qua A( 2 ; 1) 3 − BÀI TẬP NÂNG CAO 1) Ph¬ng tr×nh tiÕp tun t¹i mét ®iĨm thc ®å thÞ Bài1: Cho hàm số: y = x 3 - 1 - k(x - 1) (1) 1) Tìm k để đồ thị của hàm số (1) tiếp xúc với trục hoành; 2) Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị (1) tại giao điểm của nó với trục tung. Tìm k để tiếp tuyến đó chắn trên các trục toạ độ một tam giác có diện tích bằng 5 Bài2: Viết phơng trình tiếp tuyến của (C): y = 2 2 4 cosx x x+ + + tại giao điểm của đờng cong với trục tung. Bài3: Cho (C m ): y = f(x) = x 3 + 3x 2 + mx + 1 a) Tìm m để (C m ) cắt đờng thẳng y = 1 tại 3 điểm phân biệt C(0; 1), D, E. b) Tìm m để các tiếp tuyến của (C m ) tại D và E vuông góc với nhau. Bài4: Cho 2 đồ thị ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 ( ): 1 1 ( ) : 2 C y f x x x P y g x x m = = + = = + 1) Tìm m để (C) và (P) tiếp xúc với nhau. 2) Viết phơng trình tiếp tuyến chung tại các tiếp điểm chung của (C) với (P). Bài5: Cho đồ thị (C): y = f(x) = 1 2 x 4 - 3x 2 + 5 2 1) Gọi t là tiếp tuyến của (C) tại M có x M = a. CMR: hoành độ các giao điểm của t với (C) là nghiệm của phơng trình: ( ) ( ) 2 2 2 2 3 6 0x a x ax a + + = 2) Tìm a để t cắt (C) tại P và Q phân biệt khác M. Tìm quỹ tích trung điểm K của PQ. Bài6: Tìm m để tại giao điểm của (C): y = ( ) 2 3 1m x m m x m + + + với trục Ox tiếp tuyến của (C) song song với (): y = x - 10. Viết phơng trình tiếp tuyến đó. Bài7: Cho (C) : y = 2 1 1 x x và M bất kỳ thuộc (C). Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận. tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm cận tại A và B. 1) CMR: M là trung điểm của A và B. 2) CMR: S IAB không đổi 3) Tìm m để chu vi IAB đạt giá trị nhỏ nhất. Bài8: Cho (C): y = 2 2 3x x m x m + (m 0, 1) Chứng minh rằng tiếp tuyến tại giao điểm của (C) với Oy cắt tiệm cận đứng tại điểm có tung độ bằng 1 Bài9: Cho (C): y = 2 3 4 4 x mx x m + + + Tìm m để tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = 0 vuông góc với tiệm cận của đồ thị (C). Bài10: Cho đồ thị (C): y = 2 2 2 1 x x x + + + 1) Điểm M (C) với x M = m. Viết phơng trình tiếp tuyến (t m ) tại M. 2) Tìm m để (t m ) qua B(1; 0). CMR: có hai giá trị của m thoả mãn yêu cầu bài toán và hai tiếp tuyến tơng ứng vuông góc với nhau. 3) Gọi I là giao điểm của hai đờng tiệm cận. Tiếp tuyến tại M với (C) cắt hai đờng tiệm cận tại A và B. CMR: M là trung điểm của AB và diện tích IAB không phụ thuộc vào vị trí điểm M trên (C). 2) Phơng trình tiếp tuyến có hệ số góc cho trớc Bài1: Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị (C): y = x 3 - 3x 2 biết tiếp tuyến vuông góc với đờng thẳng: y = 1 3 x. Bài2: Cho hàm số (C): y = f(x) = 4 2 x - x 3 - 3x 2 + 7 T×m m ®Ĩ ®å thÞ (C) lu«n cã Ýt nhÊt hai tiÕp tun song song víi ®t: y = mx Bµi3: Cho (C): y = 2 3 3 2 x x x + + + . ViÕt ph¬ng tr×nh tiÕp tun cđa (C) vu«ng gãc víi ®êng th¼ng (∆): 3y - x + 6 = 0 Bµi4: ViÕt ph¬ng tr×nh tiÕp tun cđa (C): y = 2 2 3 1 4 3 x x x − − + vu«ng gãc víi ®êng th¼ng: y = - 3 x + 2 Bµi5: Cho ®å thÞ (C): y = 2 2 1 1 x x x + − − ViÕt ph¬ng tr×nh tiÕp tun cđa (C) vu«ng gãc víi tiƯm cËn xiªn cđa nã. Chøng minh r»ng tiÕp ®iĨm lµ trung ®iĨm cđa ®o¹n tiÕp tun bÞ ch¾n bëi hai tiƯm cËn. Bµi6: Cho (C m ): y = x 4 + mx 2 - m - 1 T×m m ®Ĩ tiÕp tun víi ®å thÞ t¹i A song song víi ®êng th¼ng y = 2x víi A lµ ®iĨm cè ®Þnh cđa (C m ) cã hoµnh ®é d¬ng. Bµi7: Cho ®å thÞ (C a ): y = 2 3 1 x x a x + + + T×m a ®Ĩ (C a ) cã tiÕp tun vu«ng gãc víi ®êng ph©n gi¸c cđa gãc phÇn t thø nhÊt cđa hƯ to¹ ®é. Bµi8: Cho (C): y = 2 2 1 1 x x x − + + . CMR: trªn ®êng th¼ng y = 7 cã 4 ®iĨm sao cho tõ mçi ®iĨm ®ã cã thĨ kỴ ®Õn (C) hai tiÕp tun lËp víi nhau gãc 45 0 . 3) Ph¬ng tr×nh tiÕp tun ®i qua mét ®iĨm cho tríc ®Õn ®å thÞ Bµi1: ViÕt ph¬ng tr×nh tiÕp tun ®i qua A 19 ;4 12 ÷ ®Õn ®å thÞ (C): y = f(x) = 2x 3 + 3x 2 + 5 Bµi2: ViÕt ph¬ng tr×nh tiÕp tun ®i qua A(0; -1) ®Õn (C): y = 2x 3 + 3(m - 1)x 2 + 6(m - 2)x - 1 Bµi3: Cho hµm sè (C): y = f(x) = x 3 + 3x 2 + 2 1) ViÕt ph¬ng tr×nh tiÕp tun ®i qua A 23 ; 2 9 − − ÷ ®Õn (C). 2) T×m trªn ®êng th¼ng y = -2 c¸c ®iĨm kỴ ®Õn (C) hai tiÕp tun vu«ng gãc víi nhau. Bµi4: Cho (C): y = -x 3 + 3x + 2 T×m trªn trơc hoµnh c¸c ®iĨm kỴ ®ỵc 3 tiÕp tun ®Õn ®å thÞ (C) Bµi5: Cho ®å thÞ (C): y = f(x) = x 4 - x 2 + 1 T×m c¸c ®iĨm A ∈ Oy kỴ ®ỵc 3 tiÕp tun ®Õn ®å thÞ (C) Bµi6: T×m trªn ®êng th¼ng x = 3 c¸c ®iĨm kỴ ®ỵc tiÕp tun ®Õn (C): y = 2 1 1 x x + + Bài 7) Cho hàm số y = x 3 – 3x. Lập các pttt kẻ từ điểm A(-1;2) tới đồ thị hàm số Bài 8) Cho hàm số y = 2x 3 – 3x 2 + 5. Lập pttt kẻ từ A( 19 12 ;4) Bài 9) Cho hàm số y = 2x 3 + 3x 2 – 12x – 1. Tìm M ∈ đồ thị (C) của hàm số đã cho sao cho tiếp tuyến tại M đi qua gốc tọa độ O. Bài 10: Cho hàm số 3 3 ( )y x x C= − . Đònh m để từ điểm M(m;0) ta vẽ được 3 đường thẳng phân biệt tiếp xúc với (C) MỘT SỐ ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG Bài 1: (HH12Ban A) Cho hàm số y = x 3 + 3x 2 -2 a) Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng -1; tại điểm có tung độ bằng 2. b) Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 3x- 5y +5 =0 Bài 2: (HH12 ban A) Cho hàm số y = -x 3 + 3x+1 Viết phương trình tiếp tuyến Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y=-9x+2007 Bài 3: (ĐH Báo chí 2001) Cho hàm số y = 2x 3 +3x 2 -5 Viết phương trình tiếp tuyến qua điểm A(1; -4) Bài 4: (ĐH ngoại thương 1998) Cho hàm số y = x 3 +3x 2 -9x+5 Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thò (C) có hệ số góc nhỏ nhất Bài 5: (HV Quan hệ quốc tế 2001) Cho hàm số y = 1 3 x 3 -mx 2 -x+m-1 Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thò (C) có hệ số góc nhỏ nhất Bài 6: (ĐH Nông lâm 2001) Cho hàm số y = x 3 + 3x 2 Tìm tất cả các điểm trên trục hoành mà từ đó kẽ đúng 3 tiếp tuyến của đồ thò (C), trong đó có hai tiếp tuyến vuông góc nhau. Bài 7: (ĐH Cần thơ 2000+ QGTPHCM1999) Cho hàm số y = x 3 - 3x a) Tìm trên đường thẳng x = 2 các điểm kẽ được 3 tiếp tuyến của đồ thò (C). b) Tìm trên đường thẳng y = 2 các điểm kẽ được 3 tiếp tuyến của đồ thò (C). Bài 8: (ĐH Ngoại ngữ 2001) Cho hàm số y = 1 3 x 3 - x+ 2 3 Tìm trên đồ thò (C) các điểm mà tại đó tiếp tuyến của đồ thò (C) vuông góc với đường thẳng y = - 2 3 3 x + . Bài 9: (ĐH mở hà nội 2001) Cho hàm số y = -x 3 + 3x 2 -2 Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm uốn. Chứng minh rằng trong các tiếp tuyến của đồ thò (C) thì tiếp tuyến này có hệ số góc lớn nhất Bài 10: (ĐH kiến trúc 1999) Cho hàm số y = 4 2 1 1 2 2 x x− (C) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thò (C) qua gốc tọa độ Bài 11: Cho hàm số y = x 4 -x 2 +1 (C) Tìm các điểm A thuộc trục tung từ điểm đó kẽ được 3 tiếp tuyến đến đồ thò (C) Bài 12: (ĐH Y TPHCM 1998) Cho hàm số y = -x 4 +2x 2 -1 (C) Tìm tất cả các điểm thuộc trục tung kẽ được 3 tiếp tuyến đến đồ thò (C) Bài 13: (ĐH ngoại ngữ 1999) Cho hàm số y = 1 4 x 4 -2x 2 - 9 4 (C) Viết phương trình tiếp tuyến tại các giao điểm của đồ thò (C) với Ox Bài 14: (ĐHSP vinh1999) Cho hàm số y = x 4 +mx 2 -m-1 (Cm ) Tìm m để tiếp tuyến với đồ thò tại A song song với đường thẳng y=2x với A là điểm cố đònh có hoành độ dương của (Cm) Bài 15: (ĐH Cảnh sát 1998) Cho hàm số y = 1 2 x 4 -3x 2 + 3 2 (C) Viết phương trình tiếp tiếp tuyến đi qua A 3 0; 2 ÷ đến đồ thò (C) Bài 16: (ĐH kinh tế 2001) Cho hàm số y = 1 3 x x + − (C) Tìm tọa độ các điểm của tiếp tuyến vuông góc (d) y= x+2001 với trục hoành Bài 17: Cho hàm số y = 2 3mx x m + − (C m ) Tìm m để tiếp tuyến bất kỳ của (Cm) cắt hai đường thẳng x = m và y = 2m tạo nên một tam giác có diện tích bằng 8 Bài 18: (ĐH Ngoại thương TPHCM 1999) Cho hàm số y = 2 2 x x + − (C) Viết phương trình tiếp tuyến đi quaA(-6;5) Bài 19: (Học viện quân y 2001) Cho hàm số y = 2 2 5 2 x x x + + (C) CMR tại mọi điểm thuộc đồ thò (C) tiếp tuyến luôn cắt hai đt y = 2x + 1 và x = - 2 một tam giác có diện tích không đổi Bài 20: (ĐH QG 2000) Cho hàm số y = x+1+ 1 1x − (C) Tìm điểm M thuộc (C) có hoành độ lớn hơn 1 sao cho tiếp tuyến tại M tạo với 2 tiệm cận một tam giác có chu vi nhỏ nhất Bài 21: (ĐH luật 1999) Cho hàm số y = 2 2 7 7 2 x x x − + − (C) Viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = x +4 Bài 22: (ĐH QG HN 1997) Cho hàm số y = 3 1 x x m x + + + (C m ) Tìm m để (C m ) có tiếp tuyến vuông góc với đường phân giác của góc thứ nhất của hệ tọa độ. Bài 23: (ĐHNN HN 1998) Cho hàm số y = 2 2 1 1 x x x + − − (C) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc đt y = x + 30 Bài 24: (ĐHBK HN 1996) Cho hàm số y = 2 1 1 x x x + + + (C) CMR từ A(1;-1) luôn kẽ được 2 tiếp tuyến của (C) vuông góc với nhau Bài 25: (ĐHKT 1998) Cho hàm số y = 2 2 1 1 x x x + + + (C) Tìm trên trục Oy các điểm co ùthể kẽ đến (C) hai tiếp tuyến vuông góc Bài 26: (ĐHKT 1998) Cho hàm số y = 2 3 2x x x − + (C) Tìm trên đường thẳng x = 1 các điểm có thể kẽ đến (C) hai tiếp tuyến vuông góc Bài 27: (ĐHKT 1998) Cho hàm số y = 2 1 x x − (C) Tìm trên đường thẳng y = 4 các điểm có thể kẽ đến (C) hai tiếp tuyến tạo với nhau góc 45 0 Bài 28: (Khối B- 2004) Cho hàm số y = 1 3 x 3 -2x 2 +3x có đồ thò (C) Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của (C) tại điểm uốn (nghiệm của y’’ = 0) và chứng minh rằng là tiếp tuyến có của (C) có hệ số góc nhỏ nhất. Bài 29: (Khối D- 2005) Cho hàm số y = 1 3 x 3 - 2 m x 2 + 1 3 có đồ thò (C) Gọi M là điểm thuộc (C m )có hành độ bằng -1. Tìm m để tiếp tuyến của (Cm) tại điểm M song song với đường thẳng 5x-y=0 Bài 30: (Khối B-2006) Cho hàm số y = 2 1 2 x x x + − + (C) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với đt y = x - 1 Bài 31: (Dự bò Khối B- 2002) Cho hàm số y = 1 3 x 3 -mx 2 -2x-2m- 1 3 có đồ thò (C m ) (m tham số) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thò (C), biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng d; y=4x+2 Bài 32: (Dự bò Khối B- 2003) Cho hàm số y = 2 1 1 x x − − có đồ thò (C) Cho I(1,2). Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C)tại m vuông góc với đường thẳng IM. Bài 33: (Dự bò 2 Khối A- 2004) Cho hàm số y = x+ 1 x có đồ thò (C) Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm M(-1;7) Bài 34: (Dự bò Khối D- 2004) Cho hàm số y = 2 4 1 x x x + + + (1) có đồ thò (C) Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng x-3y+3=0. . rằng tiếp tuyến này qua gốc toạ độ Bài 3 : Viết phương trình tiếp tuyến với (C): 3 2 3 1y x x= − + biết tiếp tuyến này vuông góc với đường thẳng 3x – 8y = 0 Bài 4: Viết phương trình tiếp tuyến. Biết tiếp tuyến vuông góc đường thẳng x + 4y = 0 d/ Biết tiếp tuyến vuông góc với đường phân giác thứ nhất của trục toạ độ Bài 6ï: Viết pt tiếp tuyến với (C): 4 3 1 x y x − = − , biết tiếp tuyến. phương trình tiếp tuyến với (C) a/ Tại điểm trên (C) có hoành độ là 4 b/ Biết tiếp tuyến vuông góc đường thẳng x -3y = 0. Chỉ rõ tiếp điểm. d/ Biết tiếp tuyến đi qua B(0;3). Chỉ rõ tiếp điểm Bài