Bài tập lớn môn xác suất thống kê

Bài tập lớn Xác Suất Thống Kê nhóm 5 Môn : Xác Suất Thống Kê ………… o0o………… Bài Tập Lớn GVHD : Th.S Nguyễn Văn Phú Nhóm SV thực hiện : Nhóm 5 Lớp BK10HTĐ – Đại Học Bách Khoa T.p Hồ Chí Minh Xác suất thống kê Page1 STT Mã Số SV Họ và Tên 1 Đỗ Khánh Hòa 2 Nguyễn Chí Luyến 3 Nguyễn Chiến Thắng 4 Phạm Duy Hải 5 Võ Chí Công 6 Nguyễn Quốc Anh 7 Nguyễn Đăng Hiển 8 Hồ Trọng Thăng 9 Trần Thị Trúc Linh 10 Nguyễn Thảo Nguyên 11 Nguyễn ThịThanh Huệ Bài tập lớn Xác Suất Thống Kê nhóm 5 Tp. HCM, Ngày 09 tháng 12 năm 2011 Nhận Xét Trong thời gian 3 tuần vừa qua, nhóm chúng em đã rất cố gắng hoàn thành bài tập lớn môn “Xác Suất Thống Kê“. Trong quá trình hoàn thành bài tập, chúng em đã rút ra được nhiều kinh nghiệm và kiến thức rất bổ ích, giúp chúng em hiểu biết nhiều hơn về môn “Xác Suất Thông Kê“ . Sinh viên nhóm 5 Xác suất thống kê Page2 Bài tập lớn Xác Suất Thống Kê nhóm 5 LỜI MỞ ĐẦU Xác suất –thống kê là một môn học quan trọng đối với sinh viên các ngành khoa học tự nhiên, kỹ thuật, kinh tế và cả một số ngành khoa học xã hội. Môn này cung cấp cho sinh viên những khái niệm cơ bản của lý thuyết xác suất và thống kê toán. Sinh viên hiểu được việc vận dụng quy luật xác suất để xây dựng các phương pháp ra quyết định trong điều kiện thông tin không đầy đủ trong thống kê. Các kiến thức xác suất thống kê học được phải có tính thực tiễn để người học có thể áp dụng vào thực tế của ngành học. Trang bị cho sinh viên các khái niệm cơ bản của lý thuyết xác suất và thống kê toán như: phép thử, biến cố, xác suất của biến cố, đại lượng ngẫu nhiên, tổng thể, mẫu, Trang bị cho sinh viên một số phương pháp cơ bản để tính xác suất của một biến cố. Biết các qui luật phân phối xác suất của một đại lượng ngẫu nhiên Cung cấp những kiến thức cơ bản nhằm xây dựng và giải quyết những bài toán cơ bản thường nảy sinh trong thực tế của ngành học như: bài toán ước lượng, bài toán xác định kích thước mẫu, bài toán kiểm định giả thiết. Nâng cao khả năng suy luận, phân tích của sinh viên. Trong bài làm của chúng em không tránh khỏi những sai sót,mong thầy cho ý kiến nhận xét , đánh giá để chúng em có thể rút kinh nghiệm cho lần sau. Chúng em chân thành cảm ơn thầy! Xác suất thống kê Page3 Bài tập lớn Xác Suất Thống Kê nhóm 5 Chương 1: ĐẠI CƯƠNG VỀ XÁC SUẤT  Cơ sở lý thuyết: I. Các quy tắc đếm. 1. Quy tắc cộng: Nếu 1 công việc được chia ra làm k trường hợp để thực hiện, trường hợp 1 có cách thực hiện xong công việc,…, trường hợp k có cách thực hiện xong công việc và không có bất kỳ một cách thực hiện nào ở trường hợp này lại trùng với 1 cách thực hiện ở trường hợp khác, thì có cách thực hiện xong công việc. 2. Quy tắc nhân: Nếu một công việc chia làm k giai đoạn, giai đoạn 1 có cách thực hiện, giai đoạn 2 có cách thực hiện,…,giai đoạn k có cách thực hiện, thì có cách thực hiện xong công việc. 3. Chỉnh hợp: Một chỉnh hợp chập k từ n phần tử là một bộ có kể thứ tự gồm k phần tử khác nhau lấy từ n phần tử đã cho: (k = 4. Chỉnh hợp lặp: Một chỉnh hợp lặp chập k từ n phần tử là một bộ có kể thứ tự gồm k phần tử không cần khác nhau lấy từ n phần tử đã cho: 5. Hoán vị: Một hoán vị từ n phần tử là một bộ có kể thứ tự gồm n phần tử khác nhau đã cho: 6. Tổ hợp: Một tổ hợp chập k từ n phần tử là một tập hợp con gồm k phần tử lấy từ n phần tử đã cho: (k = Xác suất thống kê Page4 Bài tập lớn Xác Suất Thống Kê nhóm 5 7. Công thức nhị thức Newton: II. Biến cố: 1. Phép thử ngẫu nhiên, biến cố: Phép thử ngẫu nhiên là sự thực hiện những điều kiện đã đặt ra để nghiên cứu một hiện tượng ngẫu nhiên nào đó.Mỗi kết quả của phép thử gọi là 1 biến cố. Có 3 loại biến cố:_Biến cố trống(Ф) _Biến cố chắc chắn(Ω) _Biến cố ngẫu nhiên 2. Biến cố bằng nhau: Biến cố A gọi là kéo theo biến cố B nếu A xảy ra thì B xảy ra, ký hiệu A ⊂ B. Nếu đòng thời có A ⊂ B và B ⊂ A thì các biến cố A và B gọi là bằng nhau, ký hiệu A=B. 3. Các phép toán trên biến cố: Cho 2 biến cố A và B khi đó ta gọi: Tổng của A và B hay A cộng B là biến cố xảy ra khi A xảy ra hoặc B xảy ra, ký hiệu A + B. Hiệu của A và B hay A trừ B là biến cố xảy ra nếu A xảy ra nhưng B không xảy ra, ký hiệu A – B. Tích của A và B hay A nhân B là biến cố xảy ra nếu A và B đồng thời xảy ra, ký hiệu AB. Biến cố đối lập của A là biến cố xảy ra nếu A không xảy ra và không xảy ra nếu A xảy ra, ký hiệu . III. Định nghĩa xác suất: 1. Định nghĩa cổ điển: Ta gọi các trường hợp đồng khả năng là các trường hợp mà khả năng của chúng ngang bằng nhau. Ta gọi 1 trường hợp thuận lợi cho biến cố A nếu trường hợp này xảy ra thì A xảy ra. 2. Định nghĩa hình học: Xác suất thống kê Page5 Bài tập lớn Xác Suất Thống Kê nhóm 5 Ta gọi độ đo của 1 tập trên 1 đường là độ dài, trong một mặt là diện tích, trong không gian là thể tích của tập đó.Trong mặt phẳng các tập nằm trên 1 đường có độ đo bằng 0, trong không gian các tập nằm trên 1 mặt có độ đo bằng 0. 3. Định nghĩa thống kê: Giả sử trong n phép thử với điều kiện như nhau biến cố A xuất hiện k lần, khi đó ta gọi: là tần suất xuất hiện của biến cố A trong n phép thử. 4. Định nghĩa theo tiên đề: thống nhất các định nghĩa trên ta được định nghĩa theo tiên đề có 3 tính chất sau: a. 0 P(A) 1 với mọi biến cố A b. P(Ω) = 1, P(Ф) = 0 c. Nếu A và B xung khắc thì: P(A+B) = P(A) + P(B). 5. Xác xuất của biến cố đối lập: Với mọi biến cố A ta có: 6. Các định lý cộng xác suất: a. Nếu là các biến cố đôi một xung khắc thì: b. Với các biến cố tùy ý A và B ta có: P(A+B) = P(A) + P(B) P(AB) IV. Xác suất có điều kiện : 1. Định nghĩa và công thức tính: Cho 2 biến cố A và B. Ta gọi xác suất của biến cố A khi biến cố B đã xảy ra là xác suất của A với điều kiện B, ký hiệu . Công thức: 2. Định lý nhân xác suất, tính độc lập của các biến cố: a. Với các biến cố tùy ý A và B ta có: Xác suất thống kê Page6 Bài tập lớn Xác Suất Thống Kê nhóm 5 b. Hai biến cố A và B gọi là độc lập nếu xác suất của biến cố này không phụ thuộc vào xác suất xảy ra của biến cố kia, tức là: c. Nếu A và B độc lập thì: 3.Công thức xác suất đầy đủ. Công thức Bayès: a. Công thức xác suất đầy đủ: Với mọi biến cố F ta có: b. Công thức Bayès: Với mỗi , ta có: 4. Công thức Bernoulli: Trong đó : p = P(A) q = 1 p Bài tập: Bài 1.1 a) Có bao nhiêu số điện thoại gồm bảy chữ số, số đầu khác 0 và khác 1? b) Có bao nhiêu số điện thoại gồm bảy chữ số, số đầu khác 0, khác 1 và tổng của bảy chữ số đó là số chẵn? c) Có bao nhiêu số điện thoại gồm bảy chữ số, số đầu khác 0, khác 1 và tổng của bảy chữ số đôi một khác nhau? Bài 1.2 a) Có bao nhiêu chẵn gồm sáu chữ số khác nhau từng đôi một, trong đó chữ số đầu tiên là số lẻ? Xác suất thống kê Page7 Bài tập lớn Xác Suất Thống Kê nhóm 5 b) Có bao nhiêu chẵn gồm sáu chữ số khác nhau từng đôi một, trong đó có đúng ba chữ số lẻ và ba chữ số chẵn (chữ số đầu tiên phải khác 0)? Bài 1.3 a) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm sáu chữ số khác nhau (chữ số đầu tiên phải khác 0), trong đó có mặt chữ số 0 nhưng không có mặt chữ số 1? b) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm bảy chữ số khác nhau (chữ số đầu tiên phải khác 0), biết rằng chữ số 2 có mặt đúng hai lần, chữ số 3 có mặt đúng ba lần và các chữ số còn lại có mặt không quá một lần? Bài 1.4 Một bàn dài có hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy gồm sáu ghế. Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho sáu học sinh trường A và sáu học sinh trường B vào bàn nối trên. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp trong mỗi trường hợp sau: a) Bất cứ hai học sinh nào ngồi cạnh nhau hoặc đối diện nhau thì khác trường nhau. b) Bất cứ hai học sinh nào ngồi đối diện nhau thì khác trường nhau. Bài 1.5 Có bao nhiêu cách xếp 10 người ngồi thành hàng ngang sao A và B ngồi cạnh nhau,còn C và D thì không ngồi cạnh nhau? Bài 1.6 Một loại biển số xe gồm một số kí hiệu và bốn chữ số sau cùng (ví dụ như 50AB,3507;60NN,0369;…). Hỏi có thể có: a) Bao nhiêu biển số xe cùng một loại? Xác suất thống kê Page8 Bài tập lớn Xác Suất Thống Kê nhóm 5 b) Bao nhiêu biển số xe cùng một loại mà có bốn số sau cùng đều khác nhau? Giải: 1.1 a) Gọi dãy số điện thoại gồm 7 chữ số là : Vì chữ số đầu tiên khác 0 và 1 => có 8 cách chọn có 10 cách chọn có 10 cách chọn có 10 cách chọn có 10 cách chọn có 10 cách chọn có 10 cách chọn Vậy số cách chọn : 8. b) Trong câu a) ta có 2 trường hợp: TH1: Tổng của 7 chữ số là chẵn Số cách chọn = x TH2: Tổng của 7 chữ số là lẻ Số cách chọn = y Từ đến số cách để chọn được số lẻ (1,3,5,7,9) và số cách để chọn được số chẵn (0,2,4,6,8) là giống nhau và với thì số cách để chọn được số lẻ (3,5,7,9) và số chẵn (2,4,6,8) cũng = nhau.  x = y Xác suất thống kê Page9 Bài tập lớn Xác Suất Thống Kê nhóm 5 vậy x = y = .8. = 4. c) có 8 cách còn lại 9 chữ số. Chọn 6 số trong 9 số đặt vào 6 vị trí khác nhau có cách vậy số cách được chọn = 8. = 483840 bài 1.2 a) Gọi dãy số gồm 6 chữ số là Vì là số lẻ nên có 5 cách chọn (1,3,5,7,9) Vì là số chẵn nên có 5 cách chọn (0,2,4,6,8) Còn lại 8 số chọn 4 số trong 8 số đặt vào 4 vị trí khác nhau có cách Vậy số cách chọn = 5.5. = 42000 cách b) Xét trường hợp là tùy ý Chọn 1 tập gồm 3 chữ số chẵn và 3 chữ số lẻ từ tập (0,1,2 9)  Có . cách chọn ứng với mỗi tập đã chọn được, ta có có 3 cách chọn vì là chẵn Còn 5 chữ số đặt vào 5 vị trí khác nhau => có 5! Cách chọn Vậy số cách chọn là . .3.5! = 36000 Bước 2: xét trường hợp =0 Chọn 1 tập gồm 1 chữ 0, 2 chữ số khác 0, 3 chữ số lẻ  Có 1 Xác suất thống kê Page10 [...]... trong bài 2.1 3.2 Tính kỳ vọng E(X), phương sai D(X) của biến ngẫu nhiên X trong các bài 2.2, 2.3, 2.4, 2.5, 2.10 3.3 Hàm mật độ phân phối của biến ngẫu nhiên X có dạng: Tìm kỳ vọng, phương sai của biến ngẫu nhiên X Giải: Bài 3.1 Xác suất thống kê Page28 Bài tập lớn Xác Suất Thống Kê nhóm 5 Bài 3.2 2.2 2.3 2.4 2.5 Xác suất thống kê Page29 Bài tập lớn Xác Suất Thống Kê nhóm 5 2.10 Bài3 .3 Nên: Và : Vậy: Xác. .. bi được lấy X = {1,2,3,4} P(1)= Xác suất thống kê Page21 2 0,061 3 0,003 Bài tập lớn Xác Suất Thống Kê nhóm 5 P(2)== P(3)= P(4)= X P 1 2 3 b) F(X) Xác suất thống kê Page22 4 Bài tập lớn Xác Suất Thống Kê nhóm 5 Chương 3: CÁC ĐẠI LƯỢNG CỦA ĐẶC TRƯNG NGẪU NHIÊN Cơ sở lý thuyết Kỳ Vọng 1 Định nghĩa kỳ vọng  I Cho X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc có các bảng phân phối xác suất: X P x1 x 2 … xn … p1 p2... 2.2 2.3 2.4 2.5 Xác suất thống kê Page29 Bài tập lớn Xác Suất Thống Kê nhóm 5 2.10 Bài3 .3 Nên: Và : Vậy: Xác suất thống kê Page30 Bài tập lớn Xác Suất Thống Kê nhóm 5 Chương 4: CÁC QUY LUẬT PHÂN PHỐI Cơ sở lý thuyết CÁC PHÂN PHỐI RỜI RẠC  I Xác suất thống kê Page31 Bài tập lớn Xác Suất Thống Kê nhóm 5 Phân phối nhị thức 1 Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc X = { 0, 1, 2, … , n } gọi là có phân phối nhị thức... xác định như sau: FX()=P( X< ), Ý nghĩa: Fx x là xác suất để biến ngẫu nhiên nhận giá trị bên trái x , hàm phân phối phản ánh mức độ tập trung xác suất về bên trái điểm x Tính chất: 2.Hàm mật độ xác suất Cho X là một đại lượng ngẫu nhiên lien tục, có hàm phân phối F(x) là một hàm có đạo hàm Khi đó ta gọi hàm: là hàm mật độ xác suất của X Tính chất: Xác suất thống kê Page15 Bài tập lớn Xác Suất Thống. .. bảng phân phối xác suất đồng thời x1 x2 y1 p11 p21 y2 …… yn p12 p1n p22 p2n xn X pm1 pm2 pmn 2.2.Phân phối lề của Xvà Y Đặt :pi Ta có bảng phân phối xác suất của X: x px Đặt qj x1 p1 Xác suất thống kê x2 p2 …………… ……………… xn pn Page16 Y Bài tập lớn Xác Suất Thống Kê Ta có bảng phân phối xác suất của Y: Y qy y1 q1 y2 ………… q2 ………… nhóm 5 yn qn 2.3.Phân phối có điều kiện Bảng phân phối xác suất của X với... 1 tập gồm 1 chữ số 2, 1 chữ số 3 và 2 chữ số từ tập  Có 1.1 cách ứng với 1 tập đã chọn ta có tập 2a,2b,3a,3b,3c,x,y Sau đó ta đặt 7 chữ số đầu tiên vào 7 vị trí khác nhau => có 7 cách vì các số 2 và 3 là giống nhau => số cách chọn = 1.1.= 11760 Bước 2: Xác suất thống kê Page11 Bài tập lớn Xác Suất Thống Kê nhóm 5 xét trường hợp =0 chọn 1 tập gồm 1 chữ số 0, 1 chữ số 2, 1 chữ số 3 và 1 chữ số từ tập. ..  Cơ sở lý thuyết: Xác suất thống kê Page14 Bài tập lớn Xác Suất Thống Kê nhóm 5 I.Đại lượng ngẫu nhiên Định lý 2.1 Giả sử A1,A2, ,An là một nhóm đầy dủ các biến cố Khi đó có một quy tắc X đặt mỗi biến cố với Ai với một số (i=1…n ) gọi là một đại lượng ngẫu nhiên Đại lượng ngẫu nhiên còn gọi là biến cố ngẫu nhiên II.Hàm phân phối xác suất, Hàm mật dộ xác suất 1.Hàm phân phối xác suất Ðịnh nghĩa: Hàm... cần tìm phân phối xác suất của Z Bằng cách tính ) ta tìm dược các giá trị có thể nhận của Z Xác suất tương ướng dể Z nhận zk là: b Trường hợp liên tục Giả sử f(x,y) là hàm đồng thời của hàm của (X,Y) T a cần tìm mật đô của Z= Theo định nghỉa ta có hàm phân phối của Z: Lấy đạo hàm Fz(z) ta tìm được hàm mật độ fz(z) của Z Xác suất thống kê Page18 Bài tập lớn Xác Suất Thống Kê nhóm 5 Bài tập : 2.1 gieo đồng... được tính với tỷ trọng pi Vậy : kỳ vọng của đại lượng ngẫu nhiên là trung bình theo xác suất các giá trị có thể nhận của đại lượng ngẫu nhiên đó Xác suất thống kê Page23 Bài tập lớn Xác Suất Thống Kê nhóm 5 Trường hợp X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục thì vai trò của hàm mật độ xác suất f(x) giống như bảng phân phối xác xuất, tổng (1) tương ứng với tích phân Do đó : Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên liên... xác suất của Y với điều kiện X = xi ,i=1…m Y y1 Py\x1 y2 …… yn ……… 2.4.Điều kiện độc lập của X và Y X và Y dộc lập khi và chỉ khi: P(X=xi,Y=yj)= P(X=xi).P(Y=yj), pij=piqj, 2.5.Hàm phân phối của (X,Y) F(x,y)=P(X . gọi hàm: là hàm mật độ xác suất của X. Tính chất: . Xác suất thống kê Page15 Bài tập lớn Xác Suất Thống Kê nhóm 5 - Khi đó, xác suất để X thuộc vào khoảng [) được xác định như sau: III.vectơ. Huệ Bài tập lớn Xác Suất Thống Kê nhóm 5 Tp. HCM, Ngày 09 tháng 12 năm 2011 Nhận Xét Trong thời gian 3 tuần vừa qua, nhóm chúng em đã rất cố gắng hoàn thành bài tập lớn môn Xác Suất Thống Kê nhân xác suất, tính độc lập của các biến cố: a. Với các biến cố tùy ý A và B ta có: Xác suất thống kê Page6 Bài tập lớn Xác Suất Thống Kê nhóm 5 b. Hai biến cố A và B gọi là độc lập nếu xác suất