1. Phân phối siêu bội và phân phối nhị thức.
Định lý:
Cho X ~ H (N, M, n). Nếu n cố định và = p thì với k = , ta có pkqn-k
2. Phân phối nhị thức và phân phối Poisson.
Định lý:
= e
Bài tập:
4.9 gieo một con xúc sắc cân đổi , đồng chất 12000 lần . tìm sắc suất để số lần xuất hiện mặt sáu chấm trên con xúc sắc gần giữa 1900 và 2150 .
4.10 biến cố ngẫu nhiên X là trung bình cộng của n biến ngẫu nhiên đôc lập có cùng phân phối : X1 , X2 ,….,Xn với phương sai
Giải:
4.9
Gọi X là biến cố ngẫu nhiên chỉ số hạt ghi được => X B (n,p) P(a) Với a = np = 4 a) P (X>6) = 1 – P(X6) = 1 – = 1 – 0,889326 = 0.110674 b) P (X=0) = c) Gọi số hạt cần phóng ra là => P(X ) = 1 – P(X ) = 1 – min = 8.= 80000 (hạt) 4.10
Gọi X là biến cố ngẫu nhiên chỉ số lần xuất hiện mặt 6 chấm
n.p = 2000
Chương 5: LÝ THUYẾT MẪU
Cơ sở lý thuyết
I. Định nghĩa mẫu
1. Tổng thể và mẫu.
Tập hợp có phần tử là tất cả các đối tượng mà chúng ta nghiên cứu gọi là tổng thể.Tổng thể còn gọi la tập chính hay đám đông.
Số phần tử của tổng thể gọi là kích thước của tổng thể.
2. Các loại mẫu.
Mẫu mà chúng ta nghiên cứu được chọn theo một cách thức nào đó mang tính ngẫu nhiên,khách quan,gọi là mẫu ngẫu nhiên. a. Phân loại mẫu theo phương thức chọn mẫu :
Mẫu không hoàn lại là mẫu được chọn bằng cách phần tử đã lấy ra quan sát thì loại khỏi tổng thể rồi mới lấy phần tử tiếp theo.
Mẫu hoàn lại là mẫu được chọn bằng cách phần tử đã lấy ra quan sát được bỏ trở lại tổng thể rồi mới phần tử tiếp theo.
b. Phân loại mẫu theo mục đích nghiên cứu :
Mẫu định tính : là mẫu mà ta chỉ quan tâm đến các phần tử của nó có một tính chất A nào hay không.
Trường hợp này mẫu được cho dưới dạng : + Kích tước mẫu: n
+ Số phần tử có tính chất A : m.
Mẫu định lượng: là mẫu mà ta quan tâm đến một yếu tố về lượng của các phần tử như khối lượng,chiều dài,nhiệt độ…
Dạng tổng quát: X = ()
Trong đó phầ tử thứ i của mẫu nhận giá trị Xi (i = ). Nếu Xi nhận giá trị cụ thể xi thì ta được mẫu cụ thể
X = ()
II. Các đặc trưng mẫu :
1. Tỷ lệ mẫu
Cho mẫu định tính kích thước n,trong đó có m phần tử có tính chất A.Khi đó ta gọi f = fn = là tỷ lệ mẫu.
2. Trung bình mẫu và phương sai mẫu
Xét mẫu định lượng thu gọn
X x1 x2 ….. xk Tần số n1 n2 ….. nk Ta gọi bảng X x1 x2 ….. xk P p1 p2 ….. pk Trong đó
pi = ; i = là bảng phân phối mẫu.
Bảng phân phối xác suất mẫu là bảng phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên.
là tần suất xuất hiện của xi trong mẫu.
Ta gọi kỳ vọng,phương sai của đại luợng ngẫu nhiên là trung bình mẫu và phương sai mẫu.cụ thể :
- Trung bình mẫu = x1p1 + x2p2 +…+xkpk = (x1n1+x2n2+… +xknk)/n
- Phương sai mẫu là
s2 = =[(x1-)2n1+ (x2-)2n2+…+(xk-)2nk]/n-1
3. Phép đổi biến số
Với x0 tùy ý và h ≠ 0, đặt ui = xi-x0 , i =
Vì xi = hui + x0 ,nên theo tính chất của kì vọng và phương sai ta có : = = h + x0
= h2 = h2 -
Trường hợp các giá trị xi cách đều nhau thì ta chọn h bằng khoảng cách đó và chọn x0 = xi với ni = max(n1,n2,…,nk)
III. Tính chất của đặc trưng mẫu
1. Kỳ vọng và phương sai của đặc trưng mẫu
a. Kỳ vọng và phương sai của tỷ lệ mẫu
Xét mẫu định tính kích thước n.Gỉa sử F là tỷ lệ mẫu tổng quát,đặt
=
Khi đó(X1,X2,…,Xn) là các đại lượng ngẫu nhiên và F =
Xét mẫu định lượng kích thước n X = (X1,X2,…,Xn)
Khi đó X1,X2,…,Xn là các đại lượng ngẫu nhiên và trung bình mẫu tổng quát là :
=
Định lý :
Nếu tổng thể có kỳ vọng a, phương sai thì mọi mẫu kích thước n đều có
E () = a, D() =
c. Kỳ vọng và phương sai mẫu
Tiếp tục xét mẫu tổng quát X = (X1,X2,…,Xn) Ta có phương sai tỗng quát là = )2 = 2
Và phương sai mẫu hiệu chỉnh tổng quát là =
Định lý :
Nếu tổng thể có ky vọng a,phương sai σ2 thì E (2) = ,E(S2) = σ2
2. Phân phối xác suất của các đặc trưng mẫu
a. phân phối xác suất của tỷ lệ mẫu Ta có thể coi F ~ N(p,
Với 1 mẫu cụ thể kích thước n ,tỷ lệ mẫu f,ta có p ≈ f,nên : F ~ N(p, hay ~ N(0,1)
Vì D() = a, D() = nên nếu tổng thể có phân phối chuẩn thì ~ N(a,) hay ~ N(0,1)
Nếu n ≥ 30 thì với mẫu kích thước n ta có Do đó ~ N(a,) hay ~ N(0,1)
Nếu n <30, tổng thể phân phối chuẩn ~ T(n-1)
c. Phân phối xác suất của phương sai mẫu Tổng thể phân phối chuẩn thì ta có
= = )2~ X2(n-1)
IV. Đa giác đồ,tổ chức đồ
Cho mẫu
Xi x1 x2 ….. xk
ni n1 n2 ….. nk
x1<x2<…<xk
1. Hàm phân phối mẫu
Đặt nx = ta được hàm F(x) =
Xác định trên toàn trục số, gọi là hàm phân phối mẫu.
2. Đa giác đồ
Biểu diễn các điểm(xi,ni), i = ,lên mặt phẵng tọa độ và nối các điểm (xi,ni) và(xi+1, ni+1) , i = bằng một đoạn thẳng ,ta đường một đường gấp khúc gọi là đa giác tần số hay đa giác đồ.
Chia đoạn [x1, xk] thành các khoảng bằng nhau có độ dài bằng h.Trên mỗi khoãng Jx ta tính tổng :
ϒx =
Dựng các hình chữ nhật đáy Jx ,chiều cao .Hình vẽ nhận được gọi là biểu đồ tần số, hay tổ chức đồ của mẫu đã cho.Tổng diện tích của các hình chữ nhật bằng kích thước của mẫu.
Bài tập:
5.4 khi đo dộ dài của 36 chi tiết chọn ngẫu nhiên một loại sản phẩm có bảng số liệu X1 39 40 41 42 43 44 N1 4 5 10 12 4 1 a) tìm hàm phâm bố mẫu b) tính Bài giải: Bài 5.4 39 40 41 42 43 44 4 5 10 12 4 1 a) Với: 39 40 41 42 43 44
b)
Chương 6: LÝ THUYẾT ƯỚC LƯỢNG
Cơ sở lý thuyết