tóm tắt giải tích 12

Hà Ngọc Bình –ĐH Bách Khoa Hà Nội 1 www.chamhoctap.net  @.  1. : ax 2 +bx+c=0 với x 1, x 2 là nghiệm thì ax 2 +bx+c = a(x-x 1 )(x-x 2 ); =b 2 -4ac (’=b’ 2 - ac với b’=b/2) thì             a b x a b x 2 '' 2 2,12,1 nếu a+b+c=0 thì x 1 =1; x 2 =c/a; nếu a-b+c=0 thì x 1 =1; x 2 = -c/a; S=x 1 +x 2 = - b/a; P=x 1 .x 2 = c/a (đl Vieet) 2.  f(x)= ax 2 +bx+c + <0 thì f(x) cùng dấu a + 0)( 21   afxx +       0 0 0)( a xf +       0 0 0)( a xf +            0 2 0)( 0 21   S afxx +            0 2 0)( 0 21   S afxx 3.  ax 3 +bx 2 +cx+d=0 nếu a+b+c+d=0 thì x 1 =1; nếu a-b+c-d=0 thì x 1 = -1; dùng Hoocner ax 3 +bx 2 +cx+d=(x-1)(ax 2 + x + ) = 0 với =a+b; =+c 4.  lôgarit: );2cos1( 2 1 cos ); 2 cos(sin- ); 2 sin(cos 2 xx xxxx    )2cos1( 2 1 sin 2 xx  ; 1+tg 2 x= x 2 cos 1 x x 2 2 sin 1 cotg1  cấp số cộng: a,b,c,… d = c – b = b – a cấp số nhân: a,b,c,… a b b c q  I. : 1. : 1. (u  v)’ = u’  v’ 2. (u.v)’ = u’v + v’u 3. 2 ' v u'vv'u v u         4. (ku)’ = ku’ (k:const) 2.  (x n )’ = nx n-1 (u n )’ = nu n-1 u’ 2 ' x 1 x 1        2 ' u 'u u 1          x2 1 x '    u2 'u u '  (sinx)’ = cosx (sinu)’ = u’cosu (cosx)’ = - sinx (cosu)’ = - u’sinu (tgx)’ = xcos 1 2 (tgu)’ = ucos 'u 2 (cotgx)’ = xsin 1 2  (cotgu)’ = usin 'u 2  (e x )’ = e x (e u )’ = u’e u (a x )’ = a x .lna (a u )’ = u’a u .lna (lnx)’ = x 1 (lnu)’ = u 'u (log a x)’ = alnx 1 (log a u)’ = alnu 'u II.  1.  3 +bx 2 +cx+d:  Miền xác định D=R  Tính y’= 3ax 2 +2bx+c  y' = 0 tìm 2 cực trị hoặc không (nếu có)  tính y’’ tìm 1 điểm uốn  bảng biến thiên  điểm đặc biệt (2điểm)  đồ thị (đt) *  - để hs tăng trên D       0 0 0' 'y a y - để hs giảm trên D       0 0 0' 'y a y - để hs có cực trị trên D y’=0 có 2 n 0 pb - để hs không có cực trị y’=0 VN hoặc có nghiệm kép - hs nhận điểm uốn làm tâm đối xứng và tiếp tuyến tại đây qua đthị - chia y cho y’ dư mx+n thì đthẳng y=mx+n là đthẳng qua 2 điểm cực trị, nếu x i là cực trị thì giá trị cực trị là: y i =mx i +n Hà Ngọc Bình –ĐH Bách Khoa Hà Nội 2 www.chamhoctap.net - đồ thị cắt ox tại 3 điểm phân biệt thì hai giá trị cực trị trái dấu. - đồ thị cắt ox tại 3 điểm pb cách đều nhau  ax 3 +bx 2 +cx+d=0 có 3 nghiệm lập thành csc  y’=0 có 2 nghiệm pb và điểm uốn thuộc ox. 2.  4 +bx 2 +c:  Miền xác định D=R  Tính y’  y' = 0 tìm 3cực trị hoặc 1 cực trị  bảng biến thiên  điểm đặc biệt (2điểm)  đồ thị *  - đt nhận oy làm trục đối xứng. - để hs có 3 (hoặc 1) cực trị trên D y’=0 có 3 n 0 pb (hoặc 1 n 0 ) - để hs có điểm uốn  y’’=0 có 2 n 0 pb - đồ thị cắt ox tại 4 điểm pb  >0; P>0; S>0. - đồ thị cắt ox tại 4 điểm pb lập thành csc  >0; P>0; S>0; x 2 = 9x 1 và sử dụng đlý Vieet. 3. Hà dcx bax y     Miền xác định D=R\   c d   Tính   2 ' dcx bcad y    (>0, <0)  TCĐ c d x  vì 0lim   y c d x  TCN c a y  vì c a y x   lim  bảng biến thiên  điểm đặc biệt (4điểm)  đồ thị - đthị nhận giao điểm 2 tiệm cận làm tâm đối xứng 4.  edx x edx cbxax y        2 chia bằng Hoocner  Miền xác định D=R\   d e   Tính y’=     2 2 2 . edx pnxmx edx d         y' = 0 tìm 2cực trị hoặc không có.  TCĐ d e x  vì 0lim   y d e x  TCX   xy vì 0lim    edx x   bảng biến thiên  điểm đặc biệt (4điểm)  đồ thị  - đthị nhận giao điểm 2 tiệm cận làm tâm đối xứng - có 2 cực trị hoặc không  y’= 0 có 2 nghiệm pb khác nghiệm của mẫu hoặc VN - nếu x i là cực trị thì giá trị cực trị là d bax y i i   2 và đó cũng là đt qua 2 điểm cực trị. - đthị cắt ox tại 2 điểm pb  ax 2 +bx+c=0 có 2 nghiệm pb * CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN KSHS: 1/  (pttt) @  pttt tại M(x 0, y 0 )  y=f(x) tính: y’= y’(x 0 )= pttt: y = f’(x 0 )(x-x 0 )+y 0 @  pttt có hệ số góc k cho trước ta có: f’(x)=k giải pt này tìm x 0 thay vào y=f(x) tìm được y 0 từ đó ta có pttt là: y = k(x-x 0 )+y 0  pttt // y=ax+b có hệ số góc k = a  pttt y=ax+b có hệ số góc k = -1/a. @ : pttt qua M(x 0, y 0 ) của y=f(x) ptđt d qua M có hệ số góc k là: y = k(x-x 0 )+y 0 để d là tt thì hệ sau có nghiệm:      (2) (1) kxf yxxkxf )(' )()( 00 thay (2) vào (1) giải pt này tìm được x thay vào (2) ta được k thế vào pttt d ở trên. 2/  Cho y=f(x) và y= g(x) + ptrình hoành độ giao điểm là: f(x) = g(x) giải pt này được mấy nghiệm là có mấy giao điểm. + bài toán ứng dụng cho việc biện luận nghiệm f(x,m)=0 biến đổi về dạng f(x)=g(m) đặt y=f(x) là đồ thị đã vẽ; y=g(m) là đt //ox. Từ đó biện luận số nghiệm pt dựa vào đồ thị. + để f(x) tiếp xúc g(x) ta có:      (x) ')(' )()( gxf xgxf từ đó tìm điểm tiếp xúc x 3/  cho y=f(x) đặt g(x)=y’ Hà Ngọc Bình –ĐH Bách Khoa Hà Nội 3 www.chamhoctap.net a/ g(x) = ax 2 +bx+c  0 trong (,+)  a>0;   a b 2 ; g()0. b/ g(x) = ax 2 +bx+c  0 trong (,+)  a<0;   a b 2 ; g()0. c/ g(x) = ax 2 +bx+c  0 trong (,)  ag()0; ag()0 {áp dụng cho dạng có m 2 } d/ trong g(x) có chứa m biến đổi về dạng m > h(x) (hoặc m<h(x)) điều này m > giá trị lớn nhất của h(x) (m<minh(x)) e/ đối với hàm có mxđ D=R\{x 0 } thì  tăng trên (,+) y’0; x 0   giảm trên (,+) y’0; x 0   * y = f(x) có cực trị  y’= 0 có nghiệm và đổi dấu qua điểm đó.(y’=0;y”0) * y=f(x) có cực đại tại x 0           0'' 0' 0 0 xy xy * y=f(x) có cực tiểu tại x 0           0'' 0' 0 0 xy xy Hàm số y = ax 3 + bx 2 + cx + d P.Pháp: Tập xác định D = R  Tính y / Để hàm số có cực trị thì y / = 0 có hai n 0 pb       0 0a  2: Hàm số // 2 bxa cbxax y    P.Pháp: Tập xác định        / / \ a b RD Tính   2 // / )( bxa xg y   Để hàm số có cực đại và cực tiểu thì y / = 0 có hai nghiệm pb thuộc D         0)( 0 / / / a b g g 5. GTLN, GTNN: a. Trên (a,b)  Tính y’  Lập bảng biến thiên trên (a ; b )  KL:   ; max CD ab yy ,   ; min CT ab yy b. Trên [a;b]  Tính y’  Giải pt y’ = 0 tìm nghiệm   0 ;x a b  Tính y (x 0 ) , y(a) , y (b) Chọn số lớn nhất M KL:   ; max ab yM Chọn số nhỏ nhất m , KL:   ; min ab ym  1. Công thức lũy thừa: Với a>0, b>0; m, nR ta có: a n a m =a n+m ; mn m n a a a   ; ( n a 1 =a m ; a 0 =1; a 1 = a 1 ); (a n ) m =a nm ; (ab) n =a n b n ; m n n b a b a        ; n m n m aa  . 2. Công thức logarit: log a b = ca c =b ( 0< a1; b>0) Với 0< a1, 0<b1; x, x 1 , x 2 >0;  R ta có: log a (x 1 x 2 )=log a x 1 +log a x 2 ; log a 2 1 x x = log a x 1 log a x 2 ; xa x a  log ; log a x  =  log a x; xx a a log 1 log    ; (log a a x =x); log a x= a x b b log log ; (log a b= a b log 1 ) log b a.log a x=log b x; a log b x =x log b a . 3. Phương trình mũ- lôgarít * Dạng a x = b ( a> 0 , 0a  ) b  0 : pt vô nghiệm b>0 : log x a a b x b   * Đưa về cùng cơ số: A f(x) = B g(x)  f(x) = g(x) * Đặt ẩn phụ; logarit hóa… * Dạng log a xb ( a> 0 , 0a  ) Điều kiện : x > 0 log b a x b x a    log a f(x) = log a g(x)  f(x) = g(x)  Đặt ẩn phụ; mũ hóa… 4. Bất PT mũ – logarit: * Dạng a x > b ( a> 0 , 0a  ) b  0 : Bpt có tập nghiệm R b>0 : log x a a b x b   , khi a>1 log x a a b x b   , khi 0 < a < 1 * Đặt ẩn phụ; logarit hóa… * Dạng log a xb ( a> 0 , 0a  , x>0 ) log b a x b x a   , khi a >1 Hà Ngọc Bình –ĐH Bách Khoa Hà Nội 4 www.chamhoctap.net log b a x b x a   , khi 0 < x < 1  Đặt ẩn phụ; mũ hóa… VI. NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN:  F(x) đgl nguyên hàm của hàm số y=f(x) trên khoảng (a;b)  F     xfx  / ,   bax ;  1.   cxdx.1 2.   1 1 . 1       c x dxx 3.   cxdx x ln. 1 4.   cSinxdxCosx. 5.   cCosxdxSinx. 6.   ctgxdx xCos . 1 2 7.   cCotg xdx xSin 2 1 . 8.   cedxe xx . 9.   c a a dxa x x ln .  1.           c bax a dxbax 1 1 . 1  2.    cbax a dx bax ln. 1 . 1 3.       cbaxSin a dxbaxCos . 1 . 4.       cbaxCos a dxbaxSin . 1 . 5.        cbaxtg a dx baxCos . 1 . 1 2 6.        cbaxCotg a dx baxSin . 1 . 1 2 7.    ce a dxe baxbax . 1 . 8.     c a a m dxa nmx nmx ln . 1 . Tích phân của tích, thương phải đưa về tích phân của một tổng hoặc hiệu bằng cách nhân phân phối hoặc chia đa thức.            b a xdxxfA / P.Pháp: Đặt : t =   x      xdxdt . /  Đổi cận:          atax btbx Do đó:                     b a b a tFdttfA . Các dạng đặc biệt cơ bản: 1.    a xa dx I 0 22 P.Pháp:  Đặt: tgtax .           22 t   dtttgadt tCos a dx .1. 2 2   Đổi cận: 2.Tính dxxaJ a . 0 22   P.Pháp:  Đặt           22 int. tSax dtCostadx   Đổi cận  1: Có dạng: A= dx Cosx Sinx e xP b a x .).(            Trong đó P(x)là hàm đa thức Phương pháp: Đặt u = P(x)  du = P(x).dx dv =                Cosx Sinx e x .dx  v = Áp dụng công thức tích phân từng phần A =     b a b a duvvu Hà Ngọc Bình –ĐH Bách Khoa Hà Nội 5 www.chamhoctap.net : B =   b a dxbaxLnxP ).().(  Đặt u = Ln(ax+b)  dx bax a du .   dv = P(x).dx  v =  B =     b a b a duvvu    dxxSinA n . Hay   dxxCosB n . 1. Nếu n chẵn: Áp dụng công thức 2 21 2 aCos aSin   ; 2 21 2 aCos aCos   2. Nếu n lẻ:    dxSinxxSinA n 1 Đặt Cosxt  (Đổi x n 1 sin  thành Cosx )    dxxtgA m . Hay   dxxCotgB m . PP:Đặt 2 tg làm thừa số Thay 1 1 2 2  xCos tg IV.  1.   P.Pháp:  DTHP cần tìm là: dxxfS b a .)(   (a < b)  Hoành độ giao điểm của (c) và tục ox là nghiệm của phương trình: f(x) = 0 Nếu p.trình f(x) = 0 vô nghiệm Hoặc có nghiệm không thuộc đoạn   ba; thì:   b a dxxfS ).( Nếu p.trình f(x) = 0 có nghiệm thuộc đoạn   ba; . Giả sử x =  , x =  thì dxxfdxxfdxxfS b a .)(.)(.)(          a dxxfS ).( +    dxxf ).( +   b dxxf ).(   P.Pháp:  HĐGĐ của (c) và trục hoành là nghiệm của phương trình: f(x) = 0       bx ax   b a b a dxxfdxxfS ).(.)(   (c 1 ): y = f(x) và(c 2 ): y = g(x) và hai  x = a; x = b: P.Pháp  DTHP cần tìm là: dxxgxfS b a .)()(    HĐGĐ của hai đường (c 1 ) và (c 2 ) là nghiệm của p.trình: f(x) – g(x) = 0 Lập luận giống phần số 1 V.  1. Hình phẳng (H) giới hạn bởi: x= a; x = b; trục ox và y = f(x) liên tục trên đoạn   ba; . Khi (H) quay quanh trục ox tạo ra vật thể có thể tích:   dxxfV b a .)(. 2   2. Hình phẳng (H) giới hạn bởi: y = a; y = b; trục oy và x = g(x) liên tục trên đoạn   ba; . Khi (H) quay quanh trục oy tạo ra vật thể có thể tích:   dyygV b a .)(. 2   . IV. S PH:  Số i : i 2 = -1  Số phức dạng : z = a + bi ; a,bR  Modun của số phức : 22 z a b  Số phức liên hợp của z = a + bi là z a bi Hà Ngọc Bình –ĐH Bách Khoa Hà Nội 6 www.chamhoctap.net '.'.;''; zzzzzzzzzz  ; zz zz      0z  với mọi z , 00zz   . zz ; zz z z   ; z z zz    ; z z z z     z là số thực zz  ; z là số ảo zz   a+ bi = c + di ac bd        (a + bi) + (c + di) = (a +c) + (b + d)i  (a + bi) - (c + di) = (a -c) + (b - d)i  (a + bi)(c + di) = (ac-bd) + (ad + bc)i     22 a bi c di a bi c di cd      Ta có: 1 2 3 4 , 1, , 1i i i i i i      . 4 4 1 4 2 4 3 1, , 1, n n n n i i i i i i          .   2 12ii ;   2 12ii   . Các căn bậc hai của số thực a < 0 là : ia  : ax 2 + bx + c = 0 ( a khác 0 ; ,,a b c R ) Đặt 2 4b ac   o Nếu  = 0 thì phương trình có một nghiệm kép(thực) : x = 2 b a  o Nếu  > 0 thì phương trình có hai nghiệm thực : 1,2 2 b x a     o Nếu  < 0 thì phương trình có hai nghiệm phức : 1,2 2 bi x a       Nếu phương trình bậc hai 2 0az bz c   ( , , , 0a b c a ) có hai nghiệm 12 ,zz thì : 12 b zz a    và 12 c zz a  .   Nếu hai số 12 ,zz có tổng 12 z z S và 12 z z P thì 12 ,zz là nghiệm của phương trình : 2 0z Sz P   . . a ) có hai nghiệm 12 ,zz thì : 12 b zz a    và 12 c zz a  .   Nếu hai số 12 ,zz có tổng 12 z z S và 12 z z P thì 12 ,zz là nghiệm của. 8.     c a a m dxa nmx nmx ln . 1 .  Tích phân của tích, thương phải đưa về tích phân của một tổng hoặc hiệu bằng cách nhân phân phối hoặc chia đa thức thể tích:   dxxfV b a .)(. 2   2. Hình phẳng (H) giới hạn bởi: y = a; y = b; trục oy và x = g(x) liên tục trên đoạn   ba; . Khi (H) quay quanh trục oy tạo ra vật thể có thể tích: