bài giảng tóm tắt giải tích

TÓM TẮT LÝ THUYẾT Chương 1 : Giới hạn 1. Nội dung cần nhớ : a) Các giới hạn cơ bản quan trọng : i) Dạng 0 0 : x x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 sinx ln(1+ x) tgx arcsinx arctgx e 1 lim lim lim lim lim lim 1 x x x x x x → → → → → → − = = = = = = . Ví dụ : + 2 2 2 2 2 x 0 x 0 x 0 x x 2sin 2sin 1 cosx 1 2 2 lim lim lim x x 2 x 4 2 → → →      ÷  ÷ −     = = =    ÷   . + ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 cos(x 1) 1 cos(x 1) 2 2 2 2 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 2sin e 1 e 1 1 cos(x 1) 1 cos(x 1) 2 lim lim . lim lim 1 cos(x 1) x 1 x 1 x 1 x 1 − − − − → → → → −    ÷   − − − − − −    ÷ = = = =  ÷ − − − − − −   2 2 x 1 x 1 2sin 1 2 lim 2 x 1 4 2 → −    ÷   = = −    ÷   . + 2 2 2 2 2 2 2 2 3x x 3x x 3x x 3x x 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x 0 x 0 x 0 x 0 2 2 2 3(e 1) e 1 e 1 (e 1) e e e 1 (e 1) 3 1 1 3x x x lim lim lim lim sin 3x sin x 9sin 3x sin x sin 3x sin x sin 3x sin x 9 1 4 x 9x x → → → → − − − − − − − − − − − = = = = = − − − − − . ii) Dạng 1 ∞ : ( ) x 1 x x 0 x 1 lim 1 x lim 1 e x → →∞   + = + =  ÷   . Ví dụ : + ( ) ( ) 2 x 2 2 2 2 2 x e 1 1 2 x 2 x x x e x 0 x 0 lim 1 x e lim 1 x e e → →   + = + =       . + 2 2 1 1 x 1 x + 1 2 x x 2 2 x 0 x 0 x x + 1 x lim lim 1 e x + 1 x + 1 + → →     +     = + =  ÷  ÷           . 1 iii) x x + x 1 x 1 π π π π lim arctgx = ; lim arctgx = ; lim arcsinx = ; limarcsinx = 2 2 2 2 →−∞ → ∞ →− → − − . b) Vô cùng bé (VCB) : i) Định nghĩa : khi x α→ mà f(x) 0→ thì f(x) được gọi là VCB. Ví dụ : khi x 0 → thì các hàm x sinx, tgx, ln(1 + x), e 1, 1 cosx, arcsinx, arctgx, − − được gọi là các VCB. ii) So sánh : + Cho f(x) và g(x) là 2 VCB. Khi đó : Nếu x α f(x) lim 1 g(x) → = thì ta nói f(x) và g(x) là hai VCB tương đương. Ký hiệu : f(x) g(x): . + Khi f(x) và g(x) là tổng của các VCB thì khi so sánh ta lấy bậc thấp nhất của tử số (f(x)) so sánh với bậc thấp nhất của mẫu số (g(x)) so sánh với nhau. iii) Các VCB tương đương : * Khi x 0 → thì các hàm sau đây là các VCB tương đương : 2 x n x x sinx, tgx, arcsinx, arctgx x; ln(1+ x) x; (e 1) x; (1 cosx) ; ( 1 + x 1) 2 n − − −: : : : : . * Ví dụ : Tính các giới hạn sau : + 2 2 2 VCB VCB 2 2 2 x 0 x 0 x 0 ln(1 + sin x) sin x x lim lim lim 1 x x x → → → = = = . + 2 1 cosx VCB VCB 2 2 2 x 0 x 0 x 0 x e 1 1 cosx 1 2 lim lim lim x x x 2 − → → → − − = = = . + 2 VCB x 1 x 1 x 1 (x 1) 1 cos(x 1) 2 lim lim lim(x 1) 0 x 1 x 1 → → → − − − = = − = − − . + x 0 x lnx x VCB 0 x x 1 x 1 x 1 x 1 e 1 lnx lim lim lim 1 x.lnx x.lnx lnx → → → − − = = = . + 2 0 VCB VCB 0 2 2 2 2 2 x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x ln(cosx) ln(1 + (cosx 1)) cosx 1 (1 cosx) 1 2 lim lim lim lim lim x x x x x 2 + + + + + → → → → → − − − − − = = = = = − . + ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 VCB x x x 2 ln(1 + x ) ln(1 + x ) x 0 x 0 x 0 x lim 1 + e cosx lim 1 + (e 1) + (1 cosx) lim 1 + x + 2 ∞ → → →   − = − − = =  ÷   2 3 2 2 3 1 3x 2 2 x 0 3 lim 1 + x e 2 ∞ →       = =  ÷       . + 2 2 2 2 0 VCB VCB 0 2 2 2 2 2 x 2 2 x x 0 x 0 x 0 x (2x) + 1 + x.sinx cos2x ( 1 + x.sinx 1) (1 cos2x) 2 2 lim lim lim x sin (x ) x sin (e 1) x sin (e 1) → → → − − + − = = = + + − + − 2 2 2 VCB VCB 2 2 2 2 x 0 x 0 5x 5x 5 2 2 lim lim x (x ) x 2 → → = = = + . + ( ) ( ) 2 2 2 2 2 x x 1 1 1 2 1 VCB VCB arcsin(x ) x x 2 arcsin(e 1) arcsin(e 1) x 0 x 0 x 0 (2x) lim 2e cos2x lim 1 2(e 1) (1 cos2x) lim 1 2x 2 ∞ − − → → →   − = + − + − = + + =  ÷   ( ) ( ) 2 2 4 1 1 VCB 1 1 2 2 4 x 4x x 0 x 0 lim 1 4x lim 1 4x e ∞ ∞ → →   = + = + =     . Chú ý : không phải lúc nào ta cũng áp dụng vô cùng bé được. Trong trường hợp ta gặp bài toán mà giới hạn ở dạng hiệu của hai hàm vô cùng bé tương đương “gần” nhau thì không áp dụng vô cùng bé được vì nó sẽ bị triệt tiêu, ta phải sử dụng phương pháp khác (phương pháp qui tắc L’Hospital sẽ được đề cập đến ở chương 2). Ví dụ : + 2 x 2 2 x 0 e 1 x lim x.sin 2x → − − . + 4x 2 x 0 e cosx 4x lim x → − − . + 2 x 0 x arctgx lim x → − . + 2 2 x 0 x sin x lim x.tgx → − . c) Định lý (kẹp) : Giả sử x α x α lim f(x) = lim h(x) = L → → ∃ và f(x) g(x) h(x)≤ ≤ . Khi đó x α lim g(x) = L → . Ví dụ : Tính 2 x 1 1 lim (x + 1) sin x + 1 → −      ÷       Vì 1 1 sin 1 x + 1 − ≤ ≤ nên 2 2 2 1 ( 1).(x 1) (x 1) . sin 1.(x 1) x + 1 − + ≤ + ≤ + . Mà 2 2 x 1 x 1 lim (x + 1) lim (x + 1) = 0 → − → −   − =   . Do đó theo định lý kẹp, ta có 2 x 1 1 lim (x + 1) sin 0 x + 1 → −     =  ÷       . d) Sự liên tục của hàm số : i) Định nghĩa : + Hàm số f(x) được gọi là liên tục tại x = a nếu x a x a lim f(x) = lim f(x) f(a) − + → → = . + Hàm số f(x) được gọi là liên tục bên trái của a nếu x a lim f(x) f(a) − → = . + Hàm số f(x) được gọi là liên tục bên phải của a nếu x a lim f(x) f(a) + → = . 3 + Hàm sơ cấp là những hàm xây dựng từ những hàm cơ bản (hàm đa thức, mũ, loga, lũy thừa, …) bởi các phép toán +, − , *, :, o . Đối với hàm sơ cấp thì liên tục trên miền xác định của nó. ii) Ví dụ : * Xét sự liên tục của các hàm số sau : + 2 sin (2x) , khi x 0 f(x) = x a , khi x = 0  ≠     . - Với x 0 ≠ thì hàm số là hàm sơ cấp nên nó liên tục trên miền xác định của nó. - Xét tại x = 0. Ta có : 2 2 VCB x 0 x 0 x 0 sin (2x) (2x) lim lim lim (4x) = 0 x x → → → = = . f(0) = a - Vậy : Nếu a = 0 thì hàm số f(x) liên tục tại x = 0, suy ra hàm số f(x) liên tục trên R. Nếu a 0 ≠ thì hàm không liên tục tại x = 0. + 2 1 x e 1 , khi x > 1 f(x) = x 1 a + sin(x 1), khi x 1 −  −   −  − ≤  . - Với x > 1, x < 1 thì hàm số là hàm sơ cấp nên nó liên tục trên miền xác định của nó. - Xét tại x = 1. Ta có : x 1 lim (a + sin(x 1)) = a = f(1) − → − . 2 1 x 2 VCB x 1 x 1 x 1 x 1 e 1 1 x (1 x)(x + 1) lim lim lim lim ( (x 1)) 2 x 1 x 1 x 1 + + + + − → → → → − − − = = = − + = − − − − . - Nếu a = 2 − thì hàm số liên tục tại x = 1, suy ra hàm số liên tục trên R. - Nếu a 2 ≠ − thì hàm số không liên tục tại x = 1. 4 + 2 2 x 2 ln(cosx) , khi x 0 x cos2x e , khi x < 0 f(x) = x + 5x.tgx a , khi x = 0  >   −       . - Với x > 0, x < 0 thì hàm số là hàm sơ cấp nên nó liên tục trên miền xác định của nó. - Xét tại x = 0. Ta có : 2 2 2 2 2 x x x VCB 2 2 2 2 2 x 0 x 0 x 0 x 0 (2x) x cos2x e cos2x 1 e 1 (1 cos2x) (e 1) 2 lim lim lim lim x + 5x.tgx x + 5x.tgx x + 5x.tgx x + 5x − − − − → → → → − − − − − + − − − − = = = = 2 2 x 0 3x 1 lim 6x 2 − → − = = − . 2 VCB VCB 2 2 2 2 x 0 x 0 x 0 x 0 x ln(cosx) ln(1 + cosx 1) cosx 1 1 2 lim lim lim lim x x x x 2 + + + + → → → → − − − = = = = − . f(0) = a. - Nếu 1 a = 2 − thì hàm số liên tục tại x = 0, suy ra hàm số liên tục trên R. - Nếu 1 a 2 ≠ − thì hàm số không liên tục tại x = 0. * Xác định a để hàm số sau liên tục trên R. + ( ) 2 2 1 x 2 ln(1 + x ) 2 x , khi x 0 f(x) = a , khi x = 0   + ≠    . - Với x 0 ≠ thì hàm số là hàm sơ cấp nên nó liên tục trên miền xác định của nó. Do đó, để hàm số liên tục trên R thì chỉ cần hàm số liên tục tại x = 0 ( x 0 lim f(x) = f(0) → ). Ta có : ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 x 2 2 1 1 1 1 VCB ln(1 + x ) x 2 x 2 ln(2 ) 2 ln(1 + x ) ln(1 + x ) x 0 x 0 x 0 lim 2 + x lim 1 + 2 1 + x lim 1 + e 1 + x ∞ → → → = − = − = ( ) ( ) ( ) 2 2 2 (ln2 + 1) 1 1 1 VCB 2 2 2 2 ln2 + 1 x x x (ln 2 1) x 0 x 0 x 0 lim 1 + x .ln2 + x lim 1 + x (ln2 +1) lim 1 + x (ln2 +1) e 2e + → → →   = = = = =     . 5 - Vậy với a = 2e thì hàm số liên tục trên R. + 2 x 2 e cosx , khi x 0 f(x) = x a , khi x = 0  −  ≠    . - Với x 0 ≠ thì hàm số là hàm sơ cấp nên nó liên tục trên miền xác định của nó. Do đó, để hàm số liên tục trên R thì chỉ cần hàm số liên tục tại x = 0 ( x 0 lim f(x) = f(0) → ). Ta có : 2 2 2 2 2 x x VCB 2 2 2 2 x 0 x 0 x 0 x 0 x 3x x e cosx e 1 1 cosx 3 2 2 lim lim lim lim x x x x 2 → → → → + − − + − = = = = . - Vậy với 3 a = 2 thì hàm số liên tục trên R. 2. Bài tập áp dụng : a) Tính các giới hạn sau : i) 2 2 x 1 ln(2 x ) lim x 1 → − − . ii) 2 1 x x 1 e cos(x 1) lim x 1 − → − − − . iii) 2 x 2 x 0 ln(2e cosx) lim x x.arcsinx → − + . iv) ( ) 2 2 1 x 2 ln(1 + x ) x 0 lim e sin x → + . v) ( ) 2 x 1 sin (e 1) x 0 lim 3 2cosx − → − . vi) ( ) x 2 1 lim x 2 sin x 2 →     −  ÷   −     . Đáp Số : i) 1− ; ii) 2− ; iii) 5 4 ; iv) 2 e ; v) e ; vi) 0; b) Xét sự liên tục của các hàm số sau : i) 2 x 2 e cos(ax) , khi x 0 f(x) = x 2 , khi x = 0  −  ≠    . ii) 2 sin (x + 1) , khi x 1 f(x) = x + 1 a , khi x = 1  ≠ −    −  . iii) ( ) 1 x x e x , khi x 0 f(x) = a , khi x = 0   + ≠    . iv) ( ) 2 x + 3 , khi x 2 1 cos[a(x + 2)] f(x) = , khi x > 2 x + 2 ≤ −   −  −   . v) 2 x 1 e 1 , khi x 1 f(x) = x + 1 a , khi x = 1 −  −  ≠ −   −  . vi) 2 x 2 2 ln(e sin x) , khi x 0 f(x) = x + x.tgx a , khi x = 0  + ≠     . 6 vii) ( ) 2 2 sin [3(x 1)] , khi x 1 f(x) = x 1 a , khi x = 1  − ≠  −    . viii) 2 x 5x + 6 , khi x 3 f(x) = x 3 a , khi x = 3  − ≠  −    . ĐS : i) a = 2± ; ii) a = 0 ; iii) 2 a = e ; iv) a = 2± ; v) a = 2 − ; vi) a = 1 ; vii) a = 9 ; viii) a = 1 ; c) Xác định a để các hàm số sau liên tục trên R. i) 2 2 sin (3x) , khi x 0 f(x) = x a + 2 , khi x = 0  ≠     . ii) ( ) 1 x x 2 + x , khi x 0 f(x) = a , khi x = 0   ≠    . iii) 2 x 1 sin (e 1) , khi x > 1 f(x) = lnx a + x 2 , khi x 1 −  −    − ≤  . iv) ( ) 2 (x 1) 2 ln 2e cos(x 1) , khi x 1 f(x) = x 1 a , khi x = 1 −    − −    ≠   −    . v) 1 x x + 2 , khi x 0 f(x) = 3x + 2 a , khi x 0     ≠  ÷     =  . vi) ( ) 2 x 1 2 (e 1).ln x , khi x > 1 f(x) = x 1 a + 3x 2 , khi x 1 −  −  −   − ≤  . vii) 2 2 1 2 x ln(1 x ) 2 x + 1 , khi x 0 f(x) = 3x + 1 a , khi x 0 + +      ≠  ÷     =   . viii) 2 x 2 4 2 2 (e 1).ln(1 x ) , khi x 0 f(x) = x + arcsin (x ) a , khi x 0  − + ≠    =  . ix) 2 1 x sin , khi x 0 f(x) = x a , khi x 0  ≠    =  . x) 2 x 2 4 sin(e 1).ln(cos x) , khi x 0 f(x) = x a , khi x 0  −  ≠   =  . xi) 2 x 2 2 2e cosx cos x , khi x 0 f(x) = x a , khi x 0  − −  ≠   =  . xii) 2 1 x.sinx cos 2x , khi x 0 f(x) = x a , khi x 0  + − ≠    =  . xiii) 2 2 sin [a(x + 1)] , khi x 1 f(x) = (x + 1) 1 , khi x 1  ≠ −    = −  . xiv) 2 1 cos[2a(x 3)] , khi x 3 (x 3) f(x) = x + 5 , khi x < 3 − −  ≥  −    . xv) 2 x + 2x 8 , khi x 4 f(x) = x 4 ax + 6 , khi x 4  − >  +   ≤  . xvi) 2 sin [2(x 3)] , khi x 3 3 x 3 f(x) = a , khi x = 3  − ≠  −    . 7 xvii) 2 2 x sin(x e e) , x 1 f(x) = x 1 a , x = 1  −  ≠  −   . xviii) 2 2 x 2 1 cos(e x e ) , x 1 f(x) = (x + 1) a , x = 1  − − ≠ −    −  . ĐS : i) a = 7 ; ii) a = 2e ; iii) a = 1 ; iv) 5 a = 2 ;v) 1 a = e ; vi) a = 1 ; vii) 1 a = e ; viii) a = 1 ; ix) a = 0 ; x) a = 1 − ; xi) 9 a = 4 ;xii) 5 a = 2 ;xiii) a = 1 ± ; xiv) a = 2 ± ; xv) a = 1 − ; xvi) a = 0 ; xvii) a = 4e ; xviii) 2 a = 16e ; Chương 2 : Phép tính vi phân hàm một biến 1. Nội dung cần nhớ : a) Đạo hàm cấp 1: i) Định nghĩa : Nếu các giới sau tồn tại thì ta có định nghĩa đạo hàm. + x a f(x) f(a) f '(a) lim x a → − = − ; + x a f(x) f(a) f '(a ) lim x a − − → − = − ; + x a f(x) f(a) f '(a ) lim x a + + → − = − ; 8 - Nếu f'(a ) f'(a ) − + = thì hàm số có (tồn tại) đạo hàm tại x = a. - Nếu f'(a ) f'(a ) − + ≠ thì hàm số không có (tồn tại) đạo hàm tại x = a. Ví dụ : + Cho hàm số 1 cos2x 2 e cos x , khi x 0 f(x) = x a , khi x 0 −  − ≠    =  . *) Xác định a để hàm số f(x) liên tục trên R. - Với x 0 ≠ thì hàm số là hàm sơ cấp nên nó liên tục trên miền xác định của nó. Do đó để hàm số liên tục trên R thì chỉ cần hàm số liên tục tại x = 0 ( x 0 lim f(x) = f(0) → ). - Xét tại x = 0 Ta có : ( ) ( ) 2 2 2x 2 1 cos2x 2 1 cos2x 2 2 2 VCB VCB x 0 x 0 x 0 x 0 2x x e cos x (e 1) (1 cos x) (e 1) x 2 lim lim lim lim x x x x − − → → → → + − − + − − + = = = = x 0 lim(3x) = 0 → = . Vậy với a = 0 thì hàm số liên tục trên R. **) Với giá trị a vừa tìm được ở trên, hàm số có đạo hàm tại x = 0 hay không? Xét : x 0 f(x) f(0) lim x 0 → − − . Ta có : ( ) ( ) 2 2 2x 2 1 cos2x 2 1 cos2x 2 2 2 VCB VCB 2 2 2 2 x 0 x 0 x 0 x 0 2x x (e cos x) 0 (e 1) (1 cos x) (e 1) x 2 lim lim lim lim 3 x x x x − − → → → → + − − − + − − + = = = = . Vậy hàm số có đạo hàm tại x = 0. + Hàm số ( ) 2 x 1 2 2 e cos (x 1) , khi x < 1 x 1 f(x) = ln x , khi x 1 x 1 −  − −   −   ≥  + có đạo hàm tại x = 1 hay không?. Ta có : 9 - ( ) ( ) ( ) 2 2 x 1 2 x 1 2 2 VCB 2 2 x 1 x 1 x 1 x 1 e cos (x 1) 0 f(x) f(1) e 1 1 cos (x 1) 2(x 1) x 1 f '(1 ) lim lim lim lim 2 x 1 x 1 (x 1) x 1 − − − − − − − → → → → − − − − − + − − − − = = = = = − − − − . - ( ) 2 2 2 VCB x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 ln x 0 f(x) f(1) ln (1 + x 1) (x 1) x 1 x 1 f '(1 ) = lim lim lim lim lim 0 x 1 x 1 (x 1)(x + 1) x 1 (x + 1) x + 1 + + + + + + → → → → → − − − − − + = = = = = − − − − . Vì f '(1 ) f '(1 ) − + ≠ nên hàm số không có đạo hàm tại x = 1. + Cho hàm số 2 x 2 3 2 x (e cos x).ln(1 + x ) , khi x 0 f(x) = x + x.sin (e 1) a , khi x 0  − ≠  −   =  . *) Xác định a để hàm số f(x) liên tục trên R. - Với x 0 ≠ thì hàm số là hàm sơ cấp nên nó liên tục trên miền xác định của nó. Do đó để hàm số liên tục trên R thì chỉ cần hàm số liên tục tại x = 0 ( x 0 lim f(x) = f(0) → ). - Xét tại x = 0 Ta có : 2 2 2 2 2 x 2 x 2 4 VCB 3 2 x 3 2 x 3 3 3 x 0 x 0 x 0 x 0 x (x ).x (e cosx).ln(1 + x ) (e 1 1 cosx).ln(1 x ) 3x 2 lim lim lim lim x x.sin (e 1) x + x.sin (e 1) x + x 4x → → → → + − − + − + = = = = + − − x 0 3 lim( x) = 0 4 → = . Vậy , với a = 0 thì hàm số liên tục trên R. **) Với giá trị a vừa tìm được ở trên, hàm số có đạo hàm tại x = 0 hay không? Xét : x 0 f(x) f(0) lim x 0 → − − . Ta có : 2 2 2 2 2 x 2 x 2 4 VCB 3 2 x 4 2 2 x 4 4 4 x 0 x 0 x 0 x 0 x (x ).x (e cosx).ln(1 + x ) (e 1 1 cosx).ln(1 x ) 3x 3 2 lim lim lim lim x(x x.sin (e 1)) x + x .sin (e 1) x + x 4x 4 → → → → + − − + − + = = = = + − − . Vậy, hàm số có đạo hàm tại x = 0. ii) Bảng các đạo hàm cơ bản : 10 [...]... Tìm cực trị của hàm số z = 6 − 3y + 4y với x + y = 25 Ta thấy nếu giải y theo x thì ta nhận được hai giá trị của y theo x Do đó, ta xem như là không giải y theo x (một cách tường minh) vì trong hàm f(x,y) chỉ có mặt y bậc một Ta xây dựng hàm Lagrange : L(λ, x, y) = 6 − 3x + 4y + λ(x + y − 25) Bước 1 : Tìm điểm nghi ngờ cực trị : Giải hệ : max 2 1 min 2 2 2 2 2  ∂L   ∂x = 0 x =  −3 + 2λx = 0... = 0   ∂y  4  Vậy với m = 8 thì hàm số đạt cực trị tại điểm M(2,2) ii) Cực trị điều kiện : Tìm cực trị của hàm số z = f(x,y) với điều kiện φ(x,y) Chú ý : Nếu ta giải y theo x (một cách tường minh) thì sử dụng bảng biến thiên để giải Ngược lại ta sử dụng phương pháp hàm Lagrange L(λ, x, y) = f(x, y) + λ.φ(x,y) Ví dụ : a) Tìm cực trị hàm số z = 2x − y + 5 với x + y = 2 Từ điểu kiện x + y = 2... 2 x ' y 2 2 x ' y 2 2 ' y 2 2 1 Vậy hàm số cần tìm là z = f(x,y) = y + 2 x y + y(x − x − 2) + h) Cực trị : i) Cực trị tự do : Tìm cực trị của hàm số z = f(x, y) Bước 1 : Tìm điểm nghi ngờ cực trị : 2 Giải hệ :  ∂z  ∂x = 0  ⇒ M 0 (x 0 , y0 )  ∂z  =0   ∂y 2 2 2 1 2 x +1 − x 2 ∂2z ∂ 2z ∂2z , B= , C = 2 , ∆ = B2 − AC ∂2x ∂x∂y ∂ y Bước 2 : Tính Xét tại điểm M (x , y ) Trường hợp 1 : Nếu ∆ > 0...  sin 3 x , khi x ≠ 0  f(x) =  2 x  a , khi x = 0  f (n) (a) = lim Ví dụ : Cho hàm số - Xác định a để hàm số liên tục trên R - Với giá trị a vừa tìm được ở trên, hàm số có tồn tại f ''(0) không? Giải : - Vì với x ≠ 0 thì hàm số là hàm sơ cấp nên nó liên tục trên miền xác định của nó Do đó để hàm số liên tục trên R thì lim f(x) = lim f(x) = f(0) Ta có : * f(0) = a sin x sin x x x * lim 2 x =... 1) = −2 nên suy ra y = − 2 là tiệm cận ngang + Bảng biến thiên : +∞ −3 −4 −1 x −∞ − − − y’ 0 + − y’’ 0 + + + 2 x →−1 2 x →−1 2 x →∞ 2 x →∞ +∞ −2 y −26 / 9 −3 −2 22 +∞ + Đồ thị : y x −3 0 −1 −1 −2 −3 2 Bài tập áp dụng : a) Các hàm số sau có tồn tại đạo hàm cấp 1 (tại giá trị x tương ứng) hay không?  ( e − 1) ln(1 + sin (x − 1))  sin (x − 2)  , khi x ≠ 2 , khi x ≠ 1   f(x) =  f(x) =  3 x − 2 i)... trị điều kiện) Ví du : Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau : i) z = x − 27x − 12y + 200 với D = {(x, y) ∈ R : x + y ≤ 16} + Tìm các điểm tới hạn (nghi ngờ cực trị) trong D = {(x, y) ∈ R : x + y < 16} Giải hệ : 2 2 2 2 2 2 2 2 o 3 o 2 2 2 2 2 33 2 2  ∂z  ∂x = 0 o 3x 2 − 27 = 0 x = ± 3  ⇔ ⇔ ⇒ M1 (−3, 0), M 2 (3, 0) ∈ D ⇒ z(M1 ) = 254, z(M 2 ) = 146  ∂z y = 0  − 24y = 0  =0  ∂y  + Tìm các... y 7 D −4 + 12x 2 − 27x + 8 6 x 1 A C 0 0 −4 6 7 x ii) z = xy (6 − x − y) với D được giới hạn bởi các đường + Tìm các điểm tới hạn (nghi ngờ cực trị) trong D = {(x, y) ∈ R : 1 < x < 6, 1 < y < 7 − x} Giải hệ : 2 o x = 1, y = 1, x + y = 7 2  ∂z 2  ∂x = 0  2  2 (6 − x − y) − x = 0   y (6 − x − y) − xy = 0  y [ (6 − x − y) − x ] = 0 ⇔ ⇔ ⇔  ∂z 2  2xy(6 − x − y) − xy = 0 2(6 − x − y) − y =... z(M 4 ) = −  3 3 27 x = 7 2 Ta (Loại x = 7) - Tại các đỉnh A(1,1), B(1,6), C(6,1) , ta có z(A) = 4, z(B) = 0, z(C) = 0 1372 81 So sánh tất cả các giá trị ở trên ta thấy min z = − 27 , max z = 2 2 Bài tập áp dụng : a) Tìm cực trị tự do của các hàm số sau : i) z = x − xy − y − 7x + 1 ii) z = (x + 2) + 4y iii) z = x − 2x − 2y + y 8 8 iv) z = 3xy − x − 3y + 1 v) z = xy + x + y vi) z = y + 3x y . TÓM TẮT LÝ THUYẾT Chương 1 : Giới hạn 1. Nội dung cần nhớ : a) Các giới hạn cơ bản quan trọng : i). =     . Chú ý : không phải lúc nào ta cũng áp dụng vô cùng bé được. Trong trường hợp ta gặp bài toán mà giới hạn ở dạng hiệu của hai hàm vô cùng bé tương đương “gần” nhau thì không áp dụng. lim lim x x x x 2 → → → → + − − + − = = = = . - Vậy với 3 a = 2 thì hàm số liên tục trên R. 2. Bài tập áp dụng : a) Tính các giới hạn sau : i) 2 2 x 1 ln(2 x ) lim x 1 → − − . ii) 2 1 x x