giai-tich-so-bai-giang-tom-tat.pdf

Chia sẻ tài liệu bài giảng tóm tắc môn Giải tích số.

KHOA TOAN - TIN HOC

Chương 1 Lý thuyết sai số 3

INR©® toi ¡0-:c::iiiiadaidiẳắẳaảảảaaaaa 3 1.2 Quy tắc thu gọn số - 2c c c2 3 1.3 Chữ số chắc, không chắc .- -. 4

1.4 Hai bài toán vỀ sai SỐ c2 Q nQ n HS 5 1.5 Sai số các phép toán . c.-c nỌ n nn n n HH xa 5 Chương 2 Xấp xỉ tốt nhất 8

2.1 Xấp xỉ tốt nhất trong không gian định chuẩn 8

2.2 Xấp xỉ tốt nhất trong không gian các hàm liên fục 12

2.3 Xấp xi tốt nhất trong không gian Hilbert 17

Chương 3 Xấp xỉ hàm bằng đa thức nội suy 19

3.1 Bài toán nội suy . cc n n nn n n Sn Hn Ỳ VY nà 19 3.2 Giải hệ đại số tuyến tính để xác định đa thức nội suy 21

3.3 Phương pháp nội suy Lagrange .- -. 22

3.4 Trường hợp các mốc nội suy cách đều .- 23

3.5 Sai số của pương pháp nội suy LagTrange_ - 24

3.6 Chọn mốc nội suy tỐi Ưu .- -.-. <sc c2 26 Chương 4 Tính gần đúng đạo hàm và tích phân _ 31

4.1 Dùng nội suy Lagrange tính gần đúng đạo hàm 31

4.2 Tính gần đúng tích phân .- - 32

Chương 5 Giải phương trình phi tuyến 37

5.1 Phương pháp đồ thị .- - cc <2 37 5.2 Phương pháp chia đôi .- -.-e< << 37 5.3 Phương pháp lặp đơn .-.- {c2 S2 38 5.4 Phương pháp dây cung .-.- < << << << 40 5.5 Phương pháp tiếp tuyến - nà 42 5.6 Giải đa thỨC . - QC Q nỌ HS HH HH ky na 44 5.7 Giải hệ hai phương trình phi tuyến bằng phương pháp lặp đơn 46

Chương 6 Giải hệ phương trình đại số tuyến tính 47 6.1 Một vài khái niệm cần thiết . sàn 47

6.2 Phương pháp Gauss_ - c2 47

6.3 Phương pháp căn số -c cv 51 6.4 Phương pháp lặp đơn giải hệ đại số tuyến tính - 53 6.5 Phương pháp Jacobi .-.-.- c2 S2 111112 53 6.6 Phương pháp Seldel - -.c.-< << <<2 55 6.7 Phuong phap Gauss-Seidel cc ccc cece cece cence eee eens te ceeaeeeseeneeeees 57 Chương 7 Giải gần đúng phương trình vi phan 59 7.1 Phuong phap x4p xi lién ti€p 0 eee cee cee cece ee eee eee eeeeeeeeeeseees 59 7.2 Phương pháp chuỗi nguyên 61

Chương 1

Lý Thuyết Sai Số

1.1 Các loại sai số

Trên thực tế khi đo một đại lượng hoặc xác định một đại lượng mà ta ký hiệu là a*,

thông thường không xác định được giá trị đúng mà chỉ biết được giá trị gan ding a Vay

ta đã gặp phải sai số Có nhiều loại sai số:

1 Sai số thực sự: Đại lượng

A := |a — g*|

gọi là sai số thực sự của a

2 Sai số tuyệt đối: Nếu biết ^À„ > 0 sao cho

g—Aj¿<gøœ*<a+A„

thì À„ gọi là sai số tuyệt đối cua a

3 Sai số tương đối: Đại lượng

gọi là sai số tương đối của a

Trong đó: ổ, bằng đ; + 1 nếu 0, 5 x 107 < < 10? và bằng đ; nếu 0 < < 0,5 x 10’

Trường hợp — 0.5 x 10 thì B; = 0; nếu Ø; chan va B, = Ø; + 1 nếu Ø, lẻ Như vậy sai số thu gọn là đại lượng Ï}„¿ > 0 thỏa

|ø — a| < Tạ.

2 Sai số tuyệt đối cùng thứ nguyên với đại lượng đo

3 Sai số tương đối đặc trưng cho độ chính xác của phép đo và không có thứ nguyên

4 Sau khi thu gọn số thì sai số tuyệt đối tăng lên

Gọi ø* là giá trị đúng, ø là giá trị gần đúng và gọi ø là số sau khi thu gọn cua a thi

|ø” — ø| < |a” — a| + |ø — a| < Aa + Tạ

1.3 Chữ số chắc và không chắc

Gia sử có số gần đúng ø viết ở dạng

a = +(Ø,10? + + 10 + + Ø,_„10?—°)

Với sai số tuyệt đối của a 1a A, Cho s6 0 < w < 1 Néu A, < w x 10° thi chit s6 2;

gọi là chữ số chắc, ngược lại chữ số 6; gọi là chữ số không chắc

Chữ số chắc với ¿ = 1 gọi là chắc theo nghĩa rộng Chữ số chắc với w = 0,56 gọi là chắc theo nghĩa hẹp

Chú ý:

e Nếu Ø, là chữ số chắc thì đ;, Vj > ¿ cũng là chữ số chắc

e Nếu Ø; không chắc thì Ø;, Vj < ¿ cũng không chắc

e Một chữ số là chắc sau khi thu gọn số có thể nó không còn là chắc

Trong kỹ thuật, người ta thường dùng ¿2 = 1 và nếu chữ số là chắc thì sau thu gọn

nó vẫn là chắc (0, 56 < œ < 1)

e Khi tính toán, ta thường giữ lại các chữ số chắc và lấy phụ thêm từ 1 đến 2 chữ số

không chắc và có ký hiệu riêng để chỉ các chữ số không chắc này.

e Sai số tương đối của một số không phụ thuộc vào vị trí dấu phẩy của nó (dấu chấm

Biết số chữ số chắc của a là +„, tìm sai số tương đối ổ„ của a Gọi a2 là số a mà sau

khi đời dấu phẩy sao cho chữ số chắc cuối ở hàng đơn vị và toàn chữ số chắc Ta có

Ø; x 10%~+° < a? < (8; + 1) x 10%—° < 10%,

Vậy

Ta van (B, + 1) x 101 SS 9a S BO: Bp X 102-1

Nếu không biết Ø, thì lấy

Biết sai số tương ddéi 1a 6,, tim s6 chit s6 chic y, Gia sit biét 6, > 0, ta viét

dg = A10~-™ véi 0.1 < A < 1 và m là số nguyên Dat z„„ là số a nhưng dời dấu chấm thập phân sao cho z„„ có rn -+ 1 chữ số trước dấu chấm thập phân Ta có:

Cuối cùng ta có thể kết luận, néu 6, = Tâm 0.1 <À < 1vàÀ(Ø, +1) < 1 thì øa có

b Sai số phép toán nhân, chỉa:

Néu 62m = max;_7,{0xi} va s6 chit s6 chic cla z,, la k thi dy > 6z,, và số chữ

số chắc của + không vượt quá k Vi vay khi làm phép toán nhân, chia ta chỉ cần lấy k + 1 hoặc k + 2 chữ số là đủ

c Sai số phép lũy thừa, khai căn và nghịch đảo:

e Néu a > 1 thi dy > ôz tức là phép lũy thừa làm giảm độ chính xác

e Néu 0 < a < 1 thi dy < dz tic 1a phép khai căn làm tăng độ chính xác

e Néu a = —1 thi dy = dz va phép nghịch đảo có độ chính xác không đổi

Chương 2 Xấp Xỉ Tốt Nhất

2.1 Xấp xỉ tốt nhất trong không gian định chuẩn

Giả sử X là không gian tuyến tính định chuẩn 7 C X là đa tạp tuyến tính đóng của

X va f € X Bai todn dat ra hay tim phan tu f* € L sao cho:

Do ø là hàm liên tục trên tập Compact © nên hàm ở đạt cực tiểu trên © Từ đó

l/⁄/c@: 2Œ) = min ó(9) gE

Mặt khác: Nếu ø € 7 \ © tức là g không thuộc 2 thi

lø—Zl>IIøzl= l7 Ì

>2l|ƒII— l7 lIElƒ IEllZ - ? |

(ở đây 0 chỉ phần tử không của không gian X) Bởi vậy Vợ € L\Q, thi || g— ƒ ||>|| ƒ—® ||, tức là

inf —h||>|| f-—@||

inf lg hl2I f-8 |

Suy ra

Iƒ— # IE mè lÍ #—øl

0<m:= Fo(co) = min Fo(c)

Boi m khong thé 14 0 vi m = 0 thi Fo(co) = S77, coigi = 0, tttc 1a co; = 0, Vi Diéu nay kéo theo | cọ |— 0 là mâu thuẫn (vì cọ € K) Xét ham

n

F() =||Ö_ sø — f I

i=1 Nếu ƒ c L thì lấy ƒ” = ƒ Nếu ƒ không thuộc L thì

là tap compact trong R” Hon nifa Ƒ'(c) là hàm liên tục nên nó đạt cực trị trên 500, M)

Tức là tồn tại ê € B(O, M) sao cho Ƒ'(ê) = œ Lấy

n

i=1

dé thay f* la phan tir x4p xi tot nhat f trong L

Vi du: Xét X = L,[0, 1] xét hé ham {gp = 2°, g, = 2’, g2 = 2, .,9n = 2”} Dat

LD := £91, 92; +5 Int = So ai’, a cR}

¡=0

là tap các đa thức thực bậc không quá n va L là không gian con hữu hạn chiều của

Laj0, 1| Theo Định lý 2.1.1 với mọi ƒ € La|0, 1| luôn tồn tại đa thức bặc không quá ø

la Q* sao cho

| f — QF |[z2[0,1)= min Il ƒ — ø |[rzto -

(ic )~@(ø)f4z)` =mp ( Í Irú)- a(e\Pae)

Định nghĩa 2.1.2 Không gian tuyến tính định chuẩn X được gọi là lôi chặt (ngặt) nếu V+,t € X,

có hai trường hợp xảy ra

Từ đó phần tử iri) cũng là phần tử xấp xi tốt nhất ƒ trên 7 Bây giờ ta xét hai phần

tử trong X là 5 và 2, Dễ kiểm tra rằng

a Nếu X là lồi chặt thì với hai điểm khác nhau trên mặt cầu đơn vị, đoạn thẳng nối

hai điểm đó không có điểm chung nào khác với mặt cầu trừ chính hai điểm này (ý nghĩa

hình học của không gian lồi chặt)

b Không gian hữu hạn chiều 7#? và không gian Hilbert là lồi chặt

c Không gian Co ¡¡ (không gian các hàm liên tục trên đoạn [0, 1|) không lồi chặt Thật

vậy, chỉ cần lấy phan tity (x) — 1,1/2() = z, ta có \, yo © Cio, và || || = 1, |Ìa|| = 1

Hơn nữa, dễ thấy || y: + yo ||= mazzeo.j|1 + «| = 2 nhưng ¿¡ Z yo, vay không gian

Clo,1] không lồi chặt

d Nếu tồn tại phần tử xấp xỉ tối nhất ƒ” của ƒ ta đặt ||ƒ — f*|| := En(f)

2.2 Xấp xỉ tốt nhất trong không gian các hàm liên tục Ca

Ký hiệu CI„„¡ là không gian các hàm liên tục trên [ø, 6| và Ù là tập mọi đa thức bậc

không quá 0

Định lý 2.2.1 (Wallee' - Poussin) Gid sứ ƒ € Cian) va Qn € L Nếu tôn tại n + 2

điểm phân biệt

q € #ọ < #1 < < #„ 1 SỦ, sao cho

sign{(—1)'(f (z:) — Qn(a:))} = const,i = 0,1,2, ,.n+1,

thi

ø:= mìn |ƒ(¡) — Qa(4)| S Ea(4), i=0,n+1

6 day E,(f) = mingez || ƒ — ||

Nếu ¿ > 0 ta chứng minh bằng phản chứng Giả sử ngược lại

E„(ƒ) <w= min |ƒ(œi) — Qa()| i=0,n+1

Dinh ly 2.2.2 (Chebyshev) Diéu kiện cần và đủ để Q„ là đa thức bậc không quá n

xấp xỉ tốt nhất của ƒ Cu, là tôn tại (n + 2) điểm phân biệt,

Định lý này có chứng minh khá phức tạp Chứng minh chi tiết sinh viên có thể tìm

trong các tài liệu tham khảo Dưới đây chỉ trình bày ngắn gọn để người đọc hình dung ý tưởng và kỹ thuật của phương pháp chứng minh

yo = min {y: 9(y) = —v}; ye [yi 5]

eee eee eee eee eee eee eee ee eee eee

Ym = min {g: g() €[Wm_—1.Ù] = (—1)”r}

Như vậy ta đã xây dựng được day {„}„—; bằng quy nạp Nếu ?n < n + 2 thì bằng cách

xây dựng các dãy phù hợp người ta chứng minh được rằng trường hợp này không xảy

ra Vậy m > n + 2 Khi đó ta chỉ cần lấy {go, 9ì, ., a+¡ } làm day điểm Chebyshev va Định lý được chứng minh

Ta đã biết không gian Œ1„;¡ không lồi chặt nên vấn đề đặt ra là liệu định lý duy nhất

về phần tử xấp xi tốt nhất còn đúng trong C1; ;¡ không? Câu trả lời là vấn đúng Điều đó được chỉ ra trong định lý sau:

Dinh ly 2.2.3 Đa thức xấp xỉ đêu tốt nhất của f © Cia) trên L là duy nhất

Chứng minh: Giả sử P„ c L,Q„ € L đều là các đa thức xấp xỉ tốt nhất của ƒ và

Điều này suy ra đa thức Par Qn cũng là đa thức xấp xỉ tốt nhất ƒ trên L Giả sử dãy

{z;}z7ö là day Chebyshev ting voi $22 thì

Poles) + Qnl™) _ cay | — E2(/),í = 0/1,2, ,n +1, 2

Suy ra 1+ A; = 2 titc la A; = 1 Cuối cùng ta có:

P (i) — f(®i) = Qn(2i) — f(a), Vt => T2) = Qa(), Vì

Bởi P?„(z) và Q„(z) là các đa thức bậc ø trùng nhau trên + + 2 điểm nên P, (x) = Qn(z)

và định lý được chứng minh

Dinh ly 2.2.4 Xdp xi tot nhdt của một hàm chắn (lẻ) cũng là một hàm chẳn (lê)

Chứng mình: Giả sử ƒ là chẵn thì khi thay z bởi —z ta nhận được

| f(—2) — f*(—2) |=| fz) — P(-2) |S En(f), Ve

Từ đó ƒ*(—z) cũng là xấp xỉ tốt nhất ƒ Bởi phần tử xấp xi tốt nhất là duy nhất ta suy ra

f*(x) = f*(—2), Vz Tức là f* 1a ham chan

a Xấp xỉ đa thức bậc không Qo(z)

Cho ƒ € C†[a,b| Hãy tìm đa thức bậc không )o(+) xấp xỉ tốt nhất hàm liên tục f

trên doan [a, 0]

Bởi Qo(z) là đa thức bậc không tức là hàm hang nén ta lay Qo(x) = #⁄ +™ va chi ra rằng

đa thức này chính là đa thức xấp xỉ tốt nhất f(x) Ta cé

2.3 X4p xi tot nhất trong không gian Hilbert

Xét không gian Hilbert lHI và {e;}?°; là hệ trực chuẩn đây đủ, tức là

co

> Ga Sie [P

i=l

Co

Chiing ta da biét 14 chuéi Fourier )>°",, cje; héi tu va hon nita x = 907°, ciex

Bây giờ, giả sử Họ là một không gian con đóng của không gian Hibert HI và z € H Bài

toán đặt ra là tìm họ € Họ sao cho

|# — ho lÍ= inf || 2 — ho [|= d(x, Ho).

Giả sử ho = argminnen, || 2 — ho || va c6 dinh phan ti h € Họ bất kỳ Với œ € R xét ham

Boi vay F’(0) = 0, tức là < x — ho, h >= 0 V6i moi h € Ap Diéu này chỉ ra phần tử

z — họ trực giao với Họ, (z — họạ).L Họ Hơn nữa,

ho = arg mịn || # — ho || :

Thực vậy với mọi h € Họ, ta có

lz— ð IÍ=|| ( — hạ) + (Ro — A) II?

=ll#~ ho | + |Í ho — b |ƒ>|| z — ho |Ỉ -

Tức là họ — arg min; || — họ || Dấu bằng chỉ xảy ra khi và chỉ khi h = ho

Dễ thấy rằng nếu không gian Họ có số chiều hữu hạn thì phần tử xấp xỉ tốt nhất

họ = arg mìinzezw, || — họ || tồn tại và duy nhất.

Chương 3

Xấp Xỉ Hàm Bằng Đa Thức Nội Suy

Cho [a, 6] C R Goi f(x), x € [a,b] là hàm cần xấp xỉ, Øo(), 1(z), , @„(z) là hệ

hàm độc lập tuyến tính Đặt

R„= {60 =) a;4;(x), a; € R}

¡=0

3.1 Bài toán nội suy

Cho f(z) €R, 2; € [a,b], (¢ = 0,n) la cdc diém phan biét trén [ø, b] Tức là

a<% <2 <q <1 < Bn_y < Lyn <0

Bài toán đặt ra, hãy xác định hàm ở(z) € R, sao cho ƒ(z;) = ở(z;¡) (các điểm 7;

gọi là mốc nội suy) Để giải bài toán trên chỉ cần tìm các gid tri ap, a1, ., đ„ sao cho

ƒ(i) —= 3 ”;—o 4;Ó;(œ¿) Ta đã biết nếu

@o0(#o) Yil%o) @n(#o)

rank pole) alti) + @a(m) <mn + 1,

Wa(Eu) Piltn) = Gala)

thì bài toán nội suy nói trên không có lời giải (vì định thức A = 0) Vấn đề đặt ra là

tìm hệ hàm {øØz(+;)}?_ạ như thế nào để với mọi mốc nội suy z; thì bài toán của ta có lời

giải

Dinh nghia 3.1.1 Hé ham {¢;(x)}?_, duoc gọi là hệ Chebyshev, nếu với mọi đấy

cọ, Cì, ca, ., cụ không đông thời bằng không thì hàm xdc dinh béi P(x) := SO, cid (2)

có không quá n nghiệm trên |o, Ù|

Ví dụ: Xét hệ hàm {ø,(z)}?o, ở;(z) = x! thi hé {¢;(x)}"_, la Chebyshev vi theo định lý Taylor, các đa thức bậc không quá n c6 khéng qué n nghiém trên trường số thực

Chú ý: Nếu hệ hàm {ø,(z)}?-o là Chebyshev thì nó là hệ hàm độc lập tuyến tính

(điều ngược lại chưa chắc đúng)

Định lý 3.1.2 Nếu với mỗi ¿ — 0, 1, 2, , các hàm Q;() là khả vì liên tục đến cấp

n+ 1 trén [a,b] va với mọi k — 0, 1,2, ,r có định thức Wronskian:

got) gilt) t@n(z) Wldo,ỏi, dị] — Ø(œ) 1œ @R)(z) 20,

@0(ø) g(x) pr (a)

với mọi x € |a, b\ Khi đó hệ hàm {0;};—g là hệ ham Chebyshev

Dinh lý 3.1.3 Với mọi dấy điểm {z;¡}?-o là các mốc nội suy, với mọi ham f(x) thi, Tôn tại ẳa thức nội suy khi và chỉ khi hệ hàm {w@¡}‡-o là hệ hàm Chebyshev

Chứng minh: Từ bài toần nội suy ta suy ra để có đa thức nội suy ta phải giải hệ đại

3 =oGW4(6j) = ƒŒ;)

J=0,n

Để hệ giải được (có nghiệm) thì định thức

@o(Zo) @1(Zo) @n(Zo)

A= @0(#1) #11) Yn(#1) 40,

Goltn) Prltn) = Pn(tn)

với mọi dãy diém {x;}?_, vax; A xj, 1 4 j

a Giả sử {;};¿_-o là hệ Chebyshev ta chứng minh A # 0 Giả sử A = 0 khi đó

tổn tại œ;, j — 0,1,2, r mà ồ}„_„ az > 0 sao cho 3;-o;@;(#¡) — 0, nên hàm P(ø) = 3; aơ;g;(z;) có (n + 1) nghiệm và điều này là vô lý vì hệ {¿;}?_; là hệ Chebyshev

b Với mỗi hàm ƒ, với mỗi {z;}¿-o, Z¿ # Z;,2 #⁄ 7 mà tồn tại đa thức nội suy, ta

chứng minh hệ {¿;}?_o là hệ Chebyshev Giả sử ngược lại rằng hệ {¿;}_; không là hệ

Chebyshev, tir do ton tai ham P(x) = $77", ciyi(x) c6 n + 1 nghiém trén doan [a, b] ma

ta có thể sắp xếp các nghiệm đó sao cho

3.2 Giải hệ đại số tuyến tính xác định đa thức nội suy

Từ hệ đại số xác định đa thức nội suy, nếu ma trận hệ số có định thức

@o(#o) #@1(Zo) Yn(Zo)

voltn) - ƒŒa) = @a(#a)

và sử dụng phương pháp Cramer để giải hệ thì nghiệm sẽ là c¡ — St, Từ đó ta có

Chú ý: Cần quan tâm đến các vấn đề sau:

1 Trong các bài toán thực tế khác nhau, cần chọn các hệ Chebyshev ó; thế nào cho phù hợp?

2 Độ lệch giữa hàm nội suy và đa thức nội suy?

3 Chọn mốc nội suy nào để có lợi nhất?

4 Độ ảnh hưởng của sai số và phép đo?

3.3 Đa thức nội suy Laprange

Trong bài toán nội suy nếu lấy hệ Chebyshev là hệ hàm {ø,(z)}?-o = {1,z, ,#”}

thì đa thức nội suy ?„(z) của hàm cần nội suy ƒ(z) có dạng:

Để xác định đa thức P;(x) bac n thoa P;(x;) = 6;; Khi d6 P;(x) c6 dang

P,(z) = A(x — 20) (a — 21) (@ — 2-1) (U@ — i41) (@ — Zn)

Do 1 = P,(x;) = A(x; — Xo) (x; — #1) ( — Li-1) (Xi — 4+1) (# — In), suy fa

Da thifc ndi suy P,(z) xác định như trên gọi là đa thức nội suy Lagrange

Ví dụ: Xét hàm ƒ cho dưới dạng bảng sau

+ | 0 2

Tìm đa thức nội suy Lagrange của ƒ

3.4 Trường hợp các mốc nội suy cách đều

Trong nội suy Lagrange nếu các mốc nội suy cách đều nhau, tức là

Nhận xét:

a Hệ số CU—© De a " không phụ thuộc vào hàm + = ƒ(z) Nên ta có thể tính sẵn và lập

thành bảng để tính

b Nếu thêm mốc nội suy mới thì phải tính lại từ đầu

Ví dụ 1: Tìm đa thức nội suy trùng với ¿ = 3” tại các diém rp = —1; 21 = 0; 22 = 1

Cho ƒ € C`” Xác định sai số R(z) = f(x) — Pa(z) Giả sử

Tt

i=0

là đa thức nội suy Lagrange của ƒ(+) trên các mốc ø < #ọ < #1 < < #„ < Ù, tức là

P(;) = tg¡, ¿ = 0, 1,2 ,m Goi

Dé thấy rằng ¿(z) = 0 tại (n + 2) điểm là zọ, z\, ., #„, z Từ đó suy ra:

Đạo hàm bậc 1, @¿)(z) — 0 tại (n + 1) điểm;

Đạo hàm bậc 2, @2)(z) = 0 tại n điểm;

Đạo hàm bậc n„ @(z) = 0 tại 2 điểm;

Cuối cùng sẽ tổn tại điểm £ = £(z) € [a, b| sao cho ¿(*†1)(£) — 0 Từ đạo hàm cấp n+1 cha y(z) suy ra

If(x) — Pa(z)| S aan pte o(# — #¡)|

Ví dụ 2: Trong Ví dụ 1, ta đã xác định được đa thức nội suy hàm ;/ — 3” tại các mốc nội suy {—1,0, 1} là (z) = 17 + aa + 1 Bây giờ, ta xác định sai số tại z Sử dụng công thức sai số ta có

3.6 Chọn mốc nội suy tối ưu

Cho ham f(z) € on i vấn đề đặt ra là chọn các mốc nội suy như thế nào để sai số

trong công thức nội suy là bé nhất?

1 Đa thức Chebyshev

Xét đa thức bậc mø xác định bởi

T„(%) — cos[n arccos(z)],

trong đó n = 0,1, 2, , vax € [—1, 1]

Để thấy được dạng hiện của đa thức ta đặt 0 = arccos(z) tương đương cos0 = z

Thay vào biểu thức ta có:

Nhận xét: Đa thức T;,(x) là đa thức bậc ø có hệ số đầu là 2"~1,

Dinh ly 3.6.1 Trong tất cả các đa thức bậc n với hệ số đầu là 1 thi da thitc Tate) có

độ lệch so với 0 nhỏ nhất trên |—1, 1| (hệ số đầu hiểu là hệ số của số hạng bậc cao nhất

trong da thức), tức là với mọi đa thức

Chứng minh: Theo cách xác định của đa thức Chebyshev ta có

Vậy đa thức Q(z„) đổi dấu nø + 1 lần nên Q(z) có ít nhất + nghiệm trên |ø, b| là điều vô

ly (boi Q(z) có bậc không quá n)

2 Nghiệm của đa thức Chebyshev

Xét điểm z; là nghiệm của T;„() nghĩa 1a T,,(%;,) = 0 Boi T;,(%) = cos/n arccos(Z)|

Bây giờ xét z € |øơ, b| Từ công thức nghiệm của đa thức Chebyshev Z„ ở trên ta suy

ra công thức của đa thức Chebyshev trên đoạn [a, b| bằng phép đổi biến

_ 22 —a—ab t= b—a ` cictbt t € |—-1,1)

# — 516 — a)‡ + (a+ b)}

Khi đó với mỗi đa thức P„(z), z € [ø, b] ta nhận được (sau khi đổi biến) đa thức

P,(t) = PAG l(b —ayz+(ø+øj) = (Ê =) t” + ),

4 Chọn mốc nội suy tối ưu

Từ công thức sai số của phương pháp nội suy

= 5{( a) cos oar + (a+ i= OL om

Khi đó, sai số cho bởi công thức

Đa thức nội suy

Q3(x) = ( — #1)(# — #a)(% — #4) 4+ Je,+1 (# — #o)(# — #a)(% — #3)

(Zo - #1)(Zo — #2)(Zo — 3) ta — Zo)(1 — #2)(Z1 — 3)

Chương 4

Tinh Gan Ding Dao Ham Va Tích Phân

4.1 Dùng nội suy Lagrange tính gần đúng đạo hàm

Ta phải tính đạo hàm của một hàm dạng bảng hoặc một hàm ở dạng giải tích phức

tạp thì thông thường ta dùng phương pháp tính gần đúng Chẳng hạn ta có thể thay hàm f(x) bang đa thức nội suy nào đó của ƒ(z) là P(z) với phần du R(x):

f(x) = Pữ) + Rữ), fo) +

Ví dụ trong trường hợp sử dụng nội suy Lagrange cấp 1, (2z) ta có:

Q12) =to—— Z0 — Z1 Y1 — +41 — Zụ R(x) = re) (z — #o)(# — #1)

Cho hàm ƒ(z) xác định trên [ø, | Chia đoạn [ø, b| thành n doan con bằng nhau bởi

các điểm chia z;, với ¿ :— 0, - ,z sao cho:

0 —= #ọ < #1 < - <#„ = b

Khi đó z¡ = a+¿h, h = **,¡ = 0,1, ,m

Ụ A

Thay diện tích hình thang cong bằng diện tích hình thang trên đoạn [Zz;_, z;], ta có

Cuối cùng ta có công thức hình thang sau:

[ teow (yo + 2m + »+2Yn—1 + Yn)

1 2

ee

0

~ so +e+2(et0.9” -_et0.2)” -_ et9:3)” 4 e(0.4)? 4 @(0,5)? 4+ @ (0,6)? 4 e(0:7)? 4+ (0:8)? +et99)2)1,

Công thức tính như sau:

Trong đó sai số toàn phần cho bởi:

(b—a)Mh? _ (0,1)?.20.€

Ri<

4.2.2 Phuong phap Parabol

Cho hàm ƒ(z) xác định trên [a, b| Chia đoạn |a, b| thành 2z đoạn con bang nhau bởi các điểm chia z;¿, với ¿ :— 0, - ,2n sao cho:

Trên mỗi đoạn [Zz¿_s, #z¡|, —= 1,2, ,, ta thay ƒ(z) bằng đa thức nội suy bậc hai

Qa(z) với các mốc nội suy #z;_a, Z2;_1, za¡ Công thức cụ thể :

(x — #2z—1)( — Li) (Taio — #24—1)(%2¡—a — Loi)

a Sai số địa phương: Đặt

w= [floyd — ila —h) + Af 0) + Flot A]

Xét ham "

w(t) = | f(@Jdr= gI/f(m=9+4ƒ(m)+ f(nrt9) Đặt

F() := 8) — ( )"80), 0<t<h

Dé thit lai ring F(0) = F(h) = 0; F'(0) = F”(0) =0,

60£2

— hồ

Sử dụng định lý giá trị trung bình cho ƒ) nên tồn tại £ € [z; + , z¿ — f] sao cho

f(a, +t) — f(a; —t) = fO()(a, +t — 2; 4+ t)

PO) = Ff (x +4) — f (ms —)] - F(A)

Suy ra

Fo) = —2E p0(@) 4 Corny,