Tích Phân và Đại số tổ hợp - Trang 1 - Gv soạn: Phạm Văn Luật Phần 3. TÍCH PHÂN I . Nguyên hàm và tích phân bất đònh : 1.Nguyên hàm và tích phân bất đònh: Nếu F’(x)=f(x) với ∀x∈(a;b) thì F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên khoảng (a;b). Nếu thêm F’(a + ) = f(a) và F’(b − )=f(b) thì F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a;b]. Mọi nguyên hàm của f(x) đều có dạng F(x)+C, trong đó C là hằng số. Tập hợp các nguyên hàm của f(x) trên khoảng (a;b), gọi là tích phân bất đònh của f(x) trên khoảng (a;b) và ký hiệu là ∫ dx)x(f . Vậy ∫ dx)x(f = F(x)+C ⇔ F ’(x) = f(x) với ∀x∈(a;b) và C là hằng số. Mọi hàm số liên tục trên đoạn [a;b] đều có nguyên hàm trên đoạn đó. 2.Tính chất: a) )'dx)x(f( ∫ = f(x) b) ∫ dx)x(kf = k ∫ dx).x(f k≠0 c) ∫ + dx)]x(g)x(f[ = ∫ dx)x(f + ∫ dx)x(g d) C)t(Fdt)t(f += ∫ ⇒ C)u(Fdu)u(f += ∫ với u = u(x) 3.Bảng các nguyên hàm: Nguyên hàm của các hàm số sơ cấp Nguyên hàm của các hàm số hợp ∫ dx =x+C ∫ du =u+C 1 x dxx 1 +α = +α α ∫ +C, α≠−1 1 u duu 1 +α = +α α ∫ +C, α≠−1 ∫ x dx = lnx+ C, x ≠ 0 ∫ u du = lnu+ C, x ≠ 0 ∫ dxe x = e x +C ∫ due u = e u +C ∫ = aln a dxa x x +C, 0<a≠1 ∫ = aln a dua u u +C, 0<a≠1 ∫ xdxcos = sinx+C ∫ uducos = sinu+C ∫ xdxsin = − cosx+C ∫ udusin = − cosu+C ∫ xcos dx 2 = tgx+C, x≠ 2 π +kπ và k∈Z ∫ ucos du 2 = tgu+C, u≠ 2 π +kπ và k∈Z ∫ xsin dx 2 = − cotgx+C, x≠ kπ và k∈Z ∫ usin du 2 = − cotgu+C, u≠ kπ và k∈Z II. Phương pháp đồng nhất: a.Hai đa thức đồng nhất: Cho hai đa thức : f(x) = a n x n +a n-1 x n-1 + +a 1 x+a 0 (a n ≠ 0) Tích Phân và Đại số tổ hợp - Trang 2 - Gv soạn: Phạm Văn Luật g(x) = b n x n +b n-1 x n-1 + +b 1 x+b 0 (b n ≠ 0) = = ⇔≡ 00 nn ba ba )x(g)x(f b.Phép đồng nhất: 1) Dạng f(x) = n )ax( )x(g − ( với degg(x) < n): Phương pháp: Phải tìm n số r 1 , r 2 , r 3 , , r n sao cho: f(x) = ax r )ax( r )ax( r n 1n 2 n 1 − ++ − + − − Kiến thức: 1) ∫∫ − − −− −=−−= − 1n n n )ax)(1n( 1 )ax(d)ax( )ax( dx +C với 2≤ n∈N 2) Caxln ax )ax(d ax dx +−= − − = − ∫∫ 2) Dạng f(x) = )bx)(ax( )x(g −− ( với degg(x) ≤ 1 ): Phương pháp: Phải tìm các số A, B sao cho: f(x) = )bx)(ax( )x(g −− = bx B ax A − + − 3) Dạng f(x) = )cbxax)(x( )x(g 2 ++α− ( với degg(x) < 3 và ∆ =b 2 − 4ac < 0 ) Phương pháp: Phải tìm các số A, B, C sao cho: f(x) = cbxax CBx x A 2 ++ + + α− 4) Dạng khác: Có thể liên quan đến lượng giác,… ta có thể dùng phương pháp đồng nhất các hệ số của các biểu thức đồng dạng với nhau. III. Tích phân xác đònh: 1) Đònh nghóa : Giả sử f(x) là một hàm số liên tục trên khoảng K; a,b∈K; F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K. Hiệu số F(b)−F(a) được gọi là tích phân từ a đến b của f(x) và được ký hiệu là ∫ b a dx)x(f . Ta viết : )a(F)b(F)x(Fdx)x(f b a b a −== ∫ (Công thức Niutơn-Laipnit) 2) Các tính chất của tích phân : Giả sử các hàm số f(x) và g(x) liên tục trên khoảng K và a,b,c ∈ K. * ∫ a a dx)x(f =0 Tích Phân và Đại số tổ hợp - Trang 3 - Gv soạn: Phạm Văn Luật * ∫ a b dx)x(f = − ∫ b a dx)x(f * ∫ b a dx)x(kf =k ∫ b a dx)x(f (k∈|R) * ∫ ± b a dx)]x(g)x(f[ = ∫ b a dx)x(f ± ∫ b a dx)x(g * ∫ c a dx)x(f = ∫ b a dx)x(f + ∫ c b dx)x(f * f(x) ≥ 0 trên [a;b]⇒ ∫ b a dx)x(f ≥0 * f(x) ≥ g(x) trên [a;b]⇒ ∫ b a dx)x(f ≥ ∫ b a dx)x(g * m ≤ f(x) ≤ M trên [a;b] ⇒ m(b−a) ≤ ∫ b a dx)x(f ≤ M(b−a) * t∈[a;b] ⇒ G(t)= ∫ t a dx)x(f là 1 nguyên hàm của f(t) thỏa G(a)=0. IV. Các phương pháp tính tích phân xác đònh: 1) Phương pháp đổi biến số : Cho f(x) là một hàm số liên tục trên đoạn [a;b], giả sử cần tính ∫ b a dx)x(f , khi chưa tìm được trực tiếp nguyên hàm F(x) của f(x) trên đoạn [a;b] . a) Đổi biến số dạng 1: Đặt x = u(t) - Tính dx=u’(t)dt - Đổi cận x = a ⇒ u(t) = a ⇒ t = α x = b ⇒ u(t) = b ⇒ t = β Đổi biến ∫∫ β α = dt)t(gdx)x(f b a và tìm G(t) là một nguyên hàm của g(t) trên đoạn [α,β] Tính ∫∫ β α = dt)t(gdx)x(f b a =G(t) )(G)(G| α−β= β α b) Đổi biến số dạng 2: Đặt t= v(x) ( hoặc biến đổi t= v(x) ⇔ x = u(t)) - Tính dt = v’(x)dx ( hoặc tính dx=u’(t)dt ) - Đổi cận: x = a ⇒ t = v(a) = α x = b ⇒ t= v(b) = β Đổi biến ∫∫ β α = dt)t(gdx)x(f b a và tìm G(t) là một nguyên hàm của g(t) trên đoạn [α,β] Tính ∫∫ β α = dt)t(gdx)x(f b a = G(t) )(G)(G| α−β= β α 2) Phương pháp tính tích phân từng phần : Tích Phân và Đại số tổ hợp - Trang 4 - Gv soạn: Phạm Văn Luật a) Đònh lý: Nếu u(x) và v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [a;b] thì: ∫ b a )x(u .v’(x)dx= u(x) v(x) − b a ∫ b a )x(v .u’(x)dx hay: ∫ ∫ −= b a b a b a vduuvudv b) Cách tính: • Biến đổi ∫ ∫ = b a b a udvdx)x(f với cách đặt hợp lý : = = ⇒ = = )x(vv dx)x('udu dx)x('vdv )x(uu • Biến đổi về: ∫ ∫ −= b a b a b a vduuvudv , sau đó tính từng phần uv ∫ b a b a vdu,| c) Chú ý : Có thể sử dụng bảng nguyên hàm 2 sau đây để tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần (a≠0): ∫ +−=+ )baxcos( a 1 dx).baxsin( + C )1(a )bax( dx)bax( 1 +α + =+ +α α ∫ +C, α≠−1 ∫ +=+ )baxsin( a 1 dx).baxcos( + C ∫ = + a 1 bax dx lnax+b+ C ∫ + )bax(cos dx 2 = a 1 tg(ax+b) +C ∫ ++ = baxbax e a 1 dx.e + C ∫ + )bax(sin dx 2 = − a 1 cotg(ax+b)+C ∫ + − = − ax ax ln a2 1 ax dx 22 + C, V. Ứng dụng của tích phân : 1.Diện tích hình phẳng: 1) Cho f(x) liên tục trên đoạn [a;b]. Diện tích hình (H) giới hạn bởi y=f(x); y=0 ( trục Ox) và hai đường thẳng x=a và x=b xác đònh bởi: S= ∫ b a dx.)x(f Một số lưu ý khi sử dụng công thức này: a) Nếu f(x) giữ nguyên dấu khi x∈[a;b] thì ∫∫ = b a b a dx).x(fdx.)x(f b) Khi bài toán không cho hai đường thẳng x=a và x=b thì ta lập phương trình hoành độ giao điểm f(x) = 0 (1) : Nếu phương trình này có 2 nghiệm phân biệt thì a=x 1 < x 2 =b. Nếu phương trình này có n nghiệm sắp xếp theo thứ tự tăng dần thì : a= x 1 < x 2 <… < x n =b. Để tính diện tích trong trường hợp này ta biến đổi: S= ∫ b a dx.)x(f = ∫ 2 x a dx.)x(f + ∫ 3 x 2 x dx.)x(f +…+ ∫ − b 1n x dx.)x(f Tích Phân và Đại số tổ hợp - Trang 5 - Gv soạn: Phạm Văn Luật = ∫ 2 x a dx)x(f + ∫ 3 x 2 x dx)x(f +…+ ∫ − b 1n x dx)x(f 2) Cho f 1 (x) và f 2 (x) liên tục trên đoạn [a;b]. Diện tích hình (H) giới hạn bởi y= f 1 (x); y= f 2 (x) và hai đường thẳng x=a và x=b xác đònh bởi: S= ∫ − b a 21 dx.)x(f)x(f 2. Thể tích vật thể hình học : 1. Cho vật thể (T) đặt trong hệ trục tọa độ Oxyz, sao cho (T) nằm giữa hai mặt phẳng ( α) và (β) đồng thời vuông góc Ox tại x=a và x=b. Gọi S(x) là diện tích của thiết diện của (T) với mặt phẳng (γ) vuông góc với Ox. Thể tích của (T) được tính bởi: V= ∫ b a dx)x(S 2. Giả sử y=f(x) liên tục trên đoạn [a;b]. Khi cho hình (H) giới hạn bởi y=f(x); y=0 và hai đường thẳng x=a và x=b quay một vòng quanh trục Ox, tạo nên hình tròn xoay. Thể tích hình tròn xoay được tính bởi: V= ∫ π b a 2 dxy 3. Giả sử x=g(y) liên tục trên đoạn [a;b]. Khi cho hình (H) giới hạn bởi x=g(y); x=0 và hai đường thẳng y=a và y=b quay 1 vòng quanh trục Oy, tạo nên hình tròn xoay. Thể tích hình tròn xoay được tính bởi: V= ∫ π b a 2 dyx Kiến thức về lượng giác I. Các hằng đẳng thức lượng giác cơ bản: Với ∀k∈Z : • sin 2 α + cos 2 α = 1 •tgα = α α cos sin • cotgα = α α sin cos • 1 + tg 2 α = α 2 cos 1 , π+ π ≠α k 2 •1 + cotg 2 α = α 2 sin 1 , π≠α k • tgα.cotgα = 1, 2 k π ≠α II. Giá trò lượng giác của các cung liên quan đặc biệt: Cung đối nhau Cung bù nhau Cung hơn kém π Cung phụ nhau sin(−α) = − sinα cos(−α) = cosα tg(−α) = − tgα cotg(−α) = − cotgα sin(π −α) = sinα cos(π −α) = −cosα tg(π −α) = − tgα cotg(π −α) = − cotgα sin(π+α) = − sinα cos(π + α) = −cosα tg(π + α) = tgα cotg(π+α) = cotgα sin( 2 π −α) = cosα cos( 2 π −α) = sinα tg( 2 π −α) = cotgα cotg( 2 π −α) = tgα Tích Phân và Đại số tổ hợp - Trang 6 - Gv soạn: Phạm Văn Luật III. Công thức cộng : sin(a± b) = sina.cosb ± cosa.sinb. (1) cos(a± b) = cosa.cosb sina.sinb. (2) tg(a± b) = tgb.tga1 tgbtga ± . (3) điều kiện a và b trong công thức (3) xem như có đủ. IV. Công thức nhân : 1. Công thức nhân đôi: sin2a = 2sina.cosa. tg2a = atg1 tga2 2 − . cos2a = cos 2 a− sin 2 a= 2cos 2 a−1= 1−2sin 2 a 2. Công thức nhân ba: sin3a = 3sina−4 sin 3 a. cos3a = 4cos 3 a− 3cosa. tg3a = atg31 atgtga3 2 3 − − . 3. Công thức hạ bậc: sina.cosa= 2 1 sin2a. sin 2 a= 2 a2cos1− cos 2 a= 2 a2cos1+ tg 2 a= a2cos1 a2cos1 + − sin 3 a= 4 asin3a3sin +− cos 3 a= 4 acos3a3cos + 4. Biểu diễn theo t=tg 2 a : sina = 2 t1 t2 + cosa = 2 2 t1 t1 + − tga = 2 t1 t2 − V. Công thức biến đổi : 1. Tích thành tổng: cosa.cosb= 2 1 [cos(a−b)+cos(a+b)] sina.sinb= 2 1 [cos(a−b)−cos(a+b)] sina.cosb= 2 1 [sin(a−b)+sin(a+b)] 2. Tổng thành tích: cos α + cos β = 2 cos 2 β+α . cos 2 β−α cos α − cos β = −2 sin 2 β+α . sin 2 β−α sin α + sin β = 2 sin 2 β+α . cos 2 β−α sin α − sin β = 2 cos 2 β+α . sin 2 β−α tg α ± tg β = βα β±α cos.cos )sin( cotg α ± cotg β = βα α±β sin.sin )sin( Tích Phân và Đại số tổ hợp - Trang 7 - Gv soạn: Phạm Văn Luật Phần IV . ĐẠI SỐ TỔ HP I. HOÁN VỊ − CHỈNH HP − TỔ HP: 1.Qui tắc cộng và qui tắc nhân: a) Qui tắc cộng : Nếu có m 1 cách chọn đối tượng x 1 , m 2 cách chọn đối tượng x 2 ,… , m n cách chọn đối tượng x n , và nếu cách chọn đối tượng x i không trùng bất kỳ cách chọn đối tượng x j nào (i≠j; i,j=1,2,…,n) thì có m 1 +m 2 +…+m n cách chọn một trong các đối tượng đã cho. Cách khác: Một công việc được thực hiện qua nhiều trường hợp độc lập nhau. Trường hợp 1 có m 1 cách thực hiện, trường hợp 2 có m 2 cách thực hiện, …trường hợp n có m n cách thực hiện thì số cách thực hiện cả công việc là m 1 +m 2 +…+m n. b) Qui tắc nhân : Nếu 1 phép chọn được thực hiện qua n bước liên tiếp nhau, bước 1 có m 1 cách, bước 2 có m 2 cách, . . ., bước n có m n cách, thì phép chọn đó được thực hiện theo m 1 . m 2 . … .m n cách khác nhau. Cách khác: Một công việc được thực hiện qua nhiều giai đoạn:Giai đoạn 1 có m 1 cách thực hiện, giai đoạn 2 có m 2 cách thực hiện, …giai đoạn n có m n cách thực hiện thì số cách thực hiện cả công việc là m 1 . m 2 . … .m n 2.Hoán vò: A. Hoán vò thẳng: a) Đònh nghóa: Cho tập hợp A gồm n phần tử . Mỗi cách sắp thứ tự n phần tử (n≥1) của tập hợp A được gọi là 1 hoán vò của n phần tử đó. b) Đònh lý: Nếu ký hiệu số hoán vò của n phần tử là P n , thì: n1.2.3) 2n)(1n(nP n =−−= ! Qui ước: 0!=1 B. Hoán vò có lặp lại: a) Đònh nghóa: Có n vật, sắp vào n vò trí. Trong đó: n 1 vật giống nhau n 2 vật giống nhau …. n k vật giống nhau ( Hẳn nhiên là n= n 1 +n 2 +…+n k ) b) Đònh lý: Số hoán vò có lặp lại của n vật trên là: !n! n!n !n k21 C. Hoán vò tròn : a) Đònh nghóa: Có n vật, sắp vào n vò trí chung quanh một đường tròn. b) Đònh lý: Số hoán vò tròn của n vật trên là: P n − 1 = (n−1)! 3.Chỉnh hợp: a) Đònh nghóa: Cho tập hợp A gồm n phần tử. Mỗi bộ gồm k (1 )k n ≤ ≤ phần tử sắp thứ tự của tập hợp A được gọi là 1 chỉnh hợp chập k của của n phần tử . Tích Phân và Đại số tổ hợp - Trang 8 - Gv soạn: Phạm Văn Luật b) Số chỉnh hợp chập k của n phần tử la ø : )!kn( !n )1kn) (2n)(1n(nA k n − =+−−−= Đặc biệt: Khi n n n k n A P = ⇒ = 4.Tổ hợp: a) Đònh nghóa: Cho tập hợp A gồm n phần tử. Mỗi tập con gồm k )0( nk ≤≤ phần tử của A được gọi là 1 tổ hợp chập k của n phần tử đã cho. b) Số tổ hợp chập k của n phần tử la ø : )!kn(!k !n C k n − = c) Tính chất: 1) kn n k n CC − = 2) k n k n k n CCC =+ − − − 1 1 1 3) k n k n C!kA = II.CÔNG THỨC NHỊ THỨC NEWTON: 1.Công thức nhò thức Newton: Với hai số thực a và b và n∈N ta có công thức: nn n kknk n 1n1 n n0 n n bC baC baCaC)ba( +++++=+ −− 2.Các tính chất: a) Vế phải có n+1 số hạng. b) Trong mỗi số hạng tổng số mũ của a và b là n. c) Số hạng thứ k+1 của công thức khai triển có dạng : kknk n1k baCT − + = )n, ,3,2,1,0k( = d) Các hệ số cách đều số hạng đầu và cuối là bằng nhau. nn n 2 n 1 n 0 n 2C CCC)e =++++ . 0C)1( CCC)f n n n2 n 1 n 0 n =−+++− . . sina.cosa= 2 1 sin2a. sin 2 a= 2 a2cos1− cos 2 a= 2 a2cos1+ tg 2 a= a2cos1 a2cos1 + − sin 3 a= 4 asin3a3sin +− cos 3 a= 4 acos3a3cos + 4. Biểu diễn theo t=tg 2 a : sina = 2 t1 t2 + cosa = 2 2 t1 t1 + − . thành tích: cos α + cos β = 2 cos 2 β+α . cos 2 β−α cos α − cos β = 2 sin 2 β+α . sin 2 β−α sin α + sin β = 2 sin 2 β+α . cos 2 β−α sin α − sin β = 2 cos 2 β+α . sin 2 β−α tg α ± tg β = βα β±α cos.cos )sin( . cos 2 a− sin 2 a= 2cos 2 a−1= 1−2sin 2 a 2. Công thức nhân ba: sin3a = 3sina−4 sin 3 a. cos3a = 4cos 3 a− 3cosa. tg3a = atg31 atgtga3 2 3 − − . 3. Công thức hạ bậc: sina.cosa= 2 1 sin2a.