tóm tắt GIẢI TÍCH 12

TĨM TẮT LÝ THUYẾT PHỈN HÀM SỐ SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ Đðnh nghïa Kí hiệu K không hc độn hc nāa không Giâ sā hàm số y  f x  xác đðnh K ta có: + Hàm số y  f x ỵc gi l ng bin (tng) trờn K nếu:     x1, x  K , x1  x  f x1  f x + Hàm số y  f x  ỵc gi l nghch bin (giõm) trờn K nu:    x1, x  K , x1  x  f x1  f x Hàm số đồng biến nghðch biến K gọi chung đơn điệu K * Nhận xét: + Hàm số f x  đồng biến K       0  x , x f x  f x1 x  x1  K ,  x  x Khi đò đồ thð cûa hàm số lên tÿ trái sang phâi + Hàm số f x  nghðch biến K       0  x , x f x  f x1 x  x1  K ,  x  x Khi đò đồ thð cûa hàm số xuống tÿ trái sang phâi + N u f  x   0, x  a; b   hàm s f x  đ ng bi n khoâng a;b  + N u f   x   0, x   a; b  hàm s   f x nghð h i n khoâng a;b  + N u f  x   0, x  a; b   hàm s f x  h ng đ i khoâng a;b  + N u f x  đ ng bi n khoâng a;b   f  x   0, x  a;b  + Nếu f x  nghð h i n khoâng a;b   f  x   0, x  a;b  Page | + N u thay đ i không a;b  bìng m t đoan hc nửa không phâi sung thêm giâ thi t “hàm s f x  liên tuc tr n đo n h c nāa không đị” Quy tắc cơng thứ tính đäo hàm Quy tắc tính đạo hàm: Cho u  u x  ; v  v x  ; C : hìng số Tổng, hiệu: u  v   u   v  Tích: u.v   u .v  v .u  C u   C u  u  Thương:    v  C u .v  v .u , v    v2 u    C u    u  Đäo hàm hàm hợp: Nếu y  f u  , u  u x   yx  yu ux Bâng cơng thứ tính đäo hàm: Đäo hm a hm s ọo hm a hm ỗp hp C   (C hìng số) x   .x    1 u   u   1       (x  0) x x   x  x 0 x   x   .x   1 u   u    u  u u   u u  u0 u        sin x   cos x  cos x    sin x  sin u   u.cos u  cos u   u.sin u  tan x   cos1 x  tan u   cosu  cot x    sin1 x  cot u    sin e  e a   a ln a  ln x   x1 e   u.e a   u.a ln a  ln u   uu  log x   x ln1 a u  log u   u.ln a 2 x x x x a u u u u u u u a Page |   Cơng thức tính nhanh đạo hàm hàm phân thức: a    b  ax  b  ad  bc    cx  d   cx  d   x2  a    c x d    f  ax  bx  c  d    e     dx  ex  f  dx  ex  f ;  b    c e    f  Đạo hàm cấp : + Đðnh nghïa: f   x    f   x  + Ý nghïa học: Gia tốc tĀc thąi cûa chuyển động s  f t  täi thąi điểm t là: a t0   f  t0   n n 1 Đạo hàm cấp cao: f   x    f   x  , n  , n      * Một số hú ý:  Nếu hàm số f x  g  x  đồng biến (nghðch biến) tr n K hàm số f x   g x  cüng đồng biến (nghch bin) tr n K Tớnh chỗt ny cũ th kh ng đối vĆi hiệu f x   g x   Nếu hàm số f x  g  x  hàm số dỵng v cựng ng bin (nghch bin) tr n K hàm số f x  g x  cüng ng bin (nghch bin) tr n K Tớnh chỗt ny cò thể kh ng hàm số f x  , g x  kh ng hm s dỵng trờn K Cho hm s u  u x  , xác đðnh vĆi x  a;b  u x   c;d  Hàm số f u  x  cüng xác đðnh vĆi x  a;b  T cò nhên xét s u: + Giâ sā hàm số u  u x  đồng biến vĆi x  a;b  Khi đò, hàm số     + Giâ sā hàm số u  u x  nghðch biến vĆi x   a; b  Khi đò, hàm số f u x  nghðch biến vĆi x   a; b   f  u nghðch biến vĆi u  c;d    f u  x  đồng biến vĆi x  a;b  f u đồng biến vĆi u   c; d  Page | Quy tắc xét tính đơn điệu hàm số Giâ sā hàm số f cò đäo hàm K  Nếu f ' x   vĆi x  K f ' x   chỵ täi số hĂu hän điểm x  K hàm số f đồng biến K  Nếu f ' x   vĆi x  K f ' x   chỵ täi số hĂu hän điểm x  K hàm số f nghðch biến K Chú ý: * Đối vĆi hàm phân thĀc hĂu tỵ y  ax  b  d x thỡ dỗu " " cx d c xột dỗu ọo hm y  không xây Giâ sā y  f x   ax  bx  cx  d  f  x   3ax  2bx  c Hàm số đồng biến    f  x  0; x  Hàm số nghðch biến  a        a    b    c     f  x  0; x   a        a    b   c Trỵng hp thỡ h s c khác a  b  c thỡ f x d (ỵng thợng song song hoðc trùng vĆi trýc Ox kh ng đĄn điệu) * Với däng tốn tìm tham số m để hàm số å c a đơn điệu chiều không cị độ dài l ta giâi sau: Bỵc 1: Tớnh y f x ; m   ax  bx  c Bỵc 2: Hm s n iu trờn x1; x   y   có nghiệm   phân biệt   a  * Bỵc 3: Hm s n iu không cị độ dài bìng l   x1  x  l  x1  x   4x1x  l  S2 4P l * * Bỵc 4: Giâi  *  giao vĆi  * * để suy giá trð m cỉn tìm Page | CỰC TRỊ HÀM SỐ Đðnh nghïa Giâ sā hàm số f xác đðnh tr n têp K x  K Ta nói: + x0 điểm ự tiểu cû hàm số f tồn täi khoâng  a; b  chĀ x cho  a; b   K f x   f x  , x  a;b  \ x  0 Khi đò f  x0 ỵc gi l giỏ tr tiu cỷ hàm số f + x điểm ự đäi cû hàm số f tồn täi khoâng a;b  chĀ x cho  a; b   K f x   f x  , x  a;b  \ x  0 Khi ũ f x ỵc gi giá trð ự đäi cû hàm số f + Điểm căc đäi điểm căc tiểu gọi chung điểm ự trð + Giá trð căc đäi giá trð căc tiểu gọi chung ự trð + im cc ọi v im cc tiu ỵc gi chung điểm cực trð hàm số điểm căc trð phâi điểm têp hợp K + Giỏ tr cc ọi v giỏ tr cc tiu ỵc gọi chung giá trð cực trð (hay cực trð) hàm số + Nếu x0 điểm căc trð cû hàm số điểm x ; f x ỵc gi l im tr a đồ thð hàm số f * Nhận xét: + Giá trð căc đäi (căc tiểu) f x  nũi chung kh ng phõi l giỏ tr ln nhỗt (nhú nhỗt) cỷ hm s f tr n tờp D; f x chợ l giỏ tr ln nhỗt (nhú nhỗt) cỷ hm s f tr n mt khoõng a;b  đị chĀ x hay nói cách khác x điểm căc đäi ( căc tiểu) tồn täi khoâng ( ;b) chĀ x cho f x l giỏ tr ln nhỗt (nhú nhỗt) cỷ hm s f tr n khoõng a;b  + Hàm số f cò thể đät căc đäi hoðc căc tiểu täi nhiều điểm tr n têp K Hàm số cò thể kh ng cò căc trð tr n mt tờp cho trỵc iu kin cổn để hàm số đät cực trð Đðnh lí 1: Giâ sā hàm số y  f x  đät căc trð täi điểm x Khi đò, y  f  x  cò đäo hàm täi điểm x f  x   Page | Chú ý:  Đäo hàm f   x  bìng täi điểm x0 nhỵng hm s f kh ng ọt cc tr tọi điểm x0  Hàm số đät căc trð täi điểm mà täi đò hàm số kh ng cị đäo hàm  Hàm số chỵ đät căc trð täi điểm mà täi đò đäo hàm cûa hàm số bìng hc täi đị hàm số kh ng cò đäo hàm Điều iện đủ để hàm số đät ự trð Đðnh lí 2: Giâ sā hàm số f đät căc trð täi điểm x Khi đò, hàm số f cò đäo hàm täi điểm x f '  x0   N u f  x   tr n khoâng x cu   h m s f x   N u f  x   tr     h; x f  x  không x ; x  h x l m t i m cỵc i n kho ng x  h; x  f  x   khoâng  x0 ; x0  h  x m t i m cỵc ti u cỷa hm s f x  Quy tắc tìm cực trð Quy tắc 1:  Bước 1: Tìm têp xác đðnh Tìm f  x   Bước 2: Tìm điểm x i i  1;2;  mà täi đò đäo hàm hàm số hoðc hàm số liên tục khơng cị đäo hàm  Bước 3: Lờp bõng bin thiờn hoc bõng xột dỗu f x  Nếu   f  x đổi dỗu i qua x i thỡ hm s ọt căc trð täi x i Đðnh lí 3: Giâ sā y  f x  có đäo hàm cåp khoâng x   h; x  h vĄi h  Khi đò:  Nếu f  x   0, f  x   hàm số f đät căc đäi täi x  Nếu f   x0   0, f  x   hàm số f đät căc tiểu täi x Từ đðnh lí trên, ta cị quy tắc khác để tìm cực trð hàm số Page | Quy tắc 2:  Bước 1: Tìm têp xác đðnh Tìm f  x   Bước 2: Tìm nghiệm x i i  1;2;  cỷ phỵng trỡnh f x Bước 3: Tính f  x  tính f  x i   Nếu f  xi   hàm số f đät căc đäi täi điểm x i  Nếu f  xi   hàm số f đät căc tiểu täi điểm xi MỘT SỐ DÄNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CỰC TRỊ HÀM SỐ CỰC TRỊ CỦA HÀM ĐA THỨC BẬC BA: Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu thỏa mãn hồnh độ cho trước Bài toán t n quat: Cho hàm số y  f x; m   ax  bx  cx  d Tìm tham số m để hàm số có căc đäi, căc tiểu täi x1, x thú iu kin K cho trỵc? Phn phỏp:  Bước 1:  Têp xác đðnh: D   Đäo hàm: y   3ax  2bx  c  Ax  Bx  C  Bước 2: Hàm số có căc trð (hay có hai căc trð, hai căc trð phân biệt hay có căc đäi căc tiểu)  y  có hai nghim phõn bit v y i dỗu qua nghim ũ phỵng trỡnh y cú hai nghiệm phân biệt   A  3a  a     m  D1  y   B  4AC  4b  12ac  b  3ac       Bước 3: Gọi x1, x l hai nghim cỷ phỵng trỡnh y  Page |  B 2b x  x      A 3a Khi đò:  C c x x     A 3a Bước 4: Bi n đ i u ki n K v d ng t ng S ti ch P Tÿ giõi tỡm ỵc m D2 Bc 5: K t luån giá trð m thóa mãn: m  D1  D2 * Chú ý: Hàm số bêc ba: y  ax  bx  cx  d a  0 Ta có: y '  3ax  2bx  c Điều kiện Kết luận b  3ac  Hàm số kh ng cò căc trð b  3ac  Hàm số cò h i điểm căc trð  Điều kiện để hàm số có cực trð dấu, trái dấu  Hàm số có cực trð trái dỗu phỵng trỡnh y cú hai nghim phõn bit trỏi dỗu AC 3ac   ac   Hàm số có hai cc tr cựng dỗu phỵng trỡnh y cú hai nghim phõn bit cựng dỗu y     C 0 P  x 1.x   A  Hàm số có hai cc tr cựng dỗu dng phỵng trỡnh y cú hai nghim dỵng phồn bit  y    B  S  x  x    A  C P  x x  0  A  Hàm số có hai cực trð dỗu õm phỵng trỡnh y cú hai nghiệm âm phân biệt Page | 10   y '   B  S  x  x    A  C P  x x  0  A  Tìm điều kiện để hàm số có hai cực trð x1, x thỏa mãn: x1    x x1  x     x1  x  Hai căc trð x1, x thóa mãn x1    x       x1   x     x1.x   x1  x     Hai căc trð x1, x thóa mãn x1  x           x   x2    x x   x1  x      x  x  2 x  x  2      Hai căc trð x1, x thóa mãn   x1  x         x1   x    x1.x   x1  x      x  x  2 x  x  2     Phỵng trỡnh bờc cú nghim lờp thnh cỗp s cng cú nghim l x  có nghiệm x   b , cú nghim lờp thnh cỗp s nhõn 3a d a Tìm điều kiện để đồ thð hàm số có điểm cực đại, cực tiểu nằm phía, khác phía so với đường thẳng i tri tươn đ i giưa điêm vơi đương th ng: Cho m A x A; yA , B x B ; yB v ỵng thëng  : ax  by  c  N u ax A  byA  c ax B  byB  c   thi h i im A, B nởm v hai phớa so vi ỵng thëng  N u ax A  byA  c ax B  byB  c   thi h i điểm A, B nëm cung phía so vĆi ỵng thợng Page | 11 Mt s tr ng hơp đ c biêt: + Các điểm căc trð cû đồ thð nìm phía trục Oy hm s cú cc tr cựng dỗu phỵng trỡnh y cú hai nghim phõn bit cựng dỗu + Cỏc im cc tr cỷ đồ thð nìm phía trục Oy hm s cú cc tr trỏi dỗu phỵng trỡnh y cú hai nghim trỏi dỗu + Cỏc im cc tr cỷ th nìm phía trục Ox  phỵng trỡnh y cú hai nghim phõn biệt yC Đ yCT  Đặc biệt: + Các điểm căc trð cû đồ thð nìm phía trục Ox y y  phỵng trỡnh y cú hai nghim phân biệt  C Đ CT yC Đ  yCT  Các điểm căc trð cû đồ thð nìm phía trục Ox y y phỵng trỡnh y có hai nghiệm phân biệt  C Đ CT y  y  CT  C Đ + Các điểm căc trð cû đồ thð nìm phớa i vi trc Ox phỵng trỡnh y   có hai nghiệm phân biệt yC Đ yCT  (ap dung không nhåm đươc nghiêm viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trð đồ thð hàm số) Hoðc: Các điểm căc trð cû đồ thð nìm phía trục Ox  đồ thð cít trýc Ox tọi im phõn bit phỵng trinh honh đ giao m f x   co nghi m phân bi t (áp dung nhåm nghiêm) Phươn trình đường thẳn qua điểm cực trð  2c 2b  bc g x   x  d  a a     g  x   9ay  y.y y .y  g x  y  3y    Khoâng cách hai điểm cực trð đồ thð hàm số ậc AB  b  3ac 4e  16e vĆi e  a 9a Page | 12 PHNG PHP CHUNG Bỵc 1: T bin đổi tích phån b n đỉu däng : I   f (x )dx   f1(x ).f2 (x )dx  du  f '1(x )dx u  f1(x ) Bỵc 2: t : dv f2 (x ) v   f2 (x )dx  Bỵc 3: Khi ũ : u.dv  u.v   v.du sin x    Däng I: I   P (x ) cos x  dx e x    u  P (x ) u '.du  P '(x )dx   sin x   cos x       Đðt    dv  cos x  dx v  sin x  e x  e x           cos x   cos x      Vêy I  P (x ) sin x  -  sin x  P '(x )dx e x  e x      Däng II: I   P(x ).ln xdx u  ln x  Đðt  dv  P (x )dx   1 du  dx  Vêy I  lnx Q x   Q(x ) dx x x v   P (x )dx  Q(x )   sin x  I   ex   dx cos x    x u  e du  e xdx    cos x  sin x   Đðt  v  dv  dx       sin x  cos x    Däng III  cos x  sin x   Vêy I = I  e x   cos x  x sin x e dx Bỡng phỵng phỏp tỵng tă t    cos x  x tính ỵc e dx s u ũ th y vào I sin x    Page | 41 TÍCH PHÂN C n thức tính tích phân b  f (x )dx  F (x ) b a  F (b)  F (a ) a * Nhận xét: Tích phån cû hàm số f tÿ a đến b cị thể kí hiệu bći b b  f (x )dx hay  f (t )dt a Tích phån đị chỵ phý thuộc vào f cên a, b a mà không phý thuộc vào cách ghi bin s Tớnh hỗt a tớ h phồn Giõ sā cho h i hàm số f(x) g(x) li n týc tr n K , ,b,c b số bỗt k thuc K Khi ũ t cũ : a  f (x )dx  a b a  f (x )dx   f (x )dx a b b c a a b  f (x )dx   f (x )dx   f (x )dx c b b a a   f (x )  g(x ) dx   f (x )dx   g(x )dx a b b b a a  kf (x )dx  k. f (x )dx b Nếu f(x)  0, x  a;b  :  f (x )dx  0x  a;b  a b b a a Nếu x  a;b  : f (x )  g(x )   f (x )dx   g(x )dx b Nếu x  a;b  Nếu M  f (x )  N M b  a    f (x )dx  N b  a  a PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÅN I ĐỔI BIẾN a Phương pháp đổi iến số däng Đðnh lí Nếu 1) Hàm x  u(t ) cò đäo hàm li n týc tr n  ;   2) Hàm hợp f (u(t )) ỵc xỏc nh tr n ;  , 3) u( )  a, u( )  b b  a  Khi đò: I   f (x )dx   f (u(t ))u ' (t )dt Page | 42 PHƯƠNG PHÁP CHUNG  Bước 1: Đðt x  u t   Bước 2: Tính vi phån h i vế : x b x a  x  u(t )  dx  u '(t )dt Đổi cên: t  t   Bước 3: Chuyển tích phån cho s ng tích phån theo biến t b   a   Vêy: I   f (x )dx   f u(t ) u '(t )dt   g(t )dt  G(t )   G( )  G( )  b Phươn pháp đổi biến dạn Đðnh lí: Nếu hàm số u  u(x ) đĄn điệu cò đäo hàm li n týc tr n đoän a;b  b u (b ) a u (a ) I   f (x )dx    cho  f (x )dx  g u(x ) u '(x )dx  g(u)du g(u )du PHƯƠNG PHÁP CHUNG  Bướ 1: Đðt u  u(x )  du  u ' (x )dx x b  Bướ 2: Đổi cên : x a  u  u(b) u  u(a )  Bướ 3: Chuyển tích phån cho s ng tích phån theo u b b u (b ) a a u (a ) Vêy: I   f (x )dx   g u(x ).u '(x )dx   g(u)du II TÍCH PHÅN TỪNG PHỈN Đðnh lí Nếu u(x) v(x) hàm số cò đäo hàm li n týc tr n a;b  thì: b b b  u(x )v (x )dx  u(x )v(x ) a   v(x )u (x )dx ' a ' a Hay b b b  udv  uv a  vdu a a PHƯƠNG PHÁP CHUNG  Bướ 1: Vit f(x)dx dỵi dọng udv uv 'dx bỡng cỏch chọn phỉn thích hợp cû f(x) làm u(x) phỉn cđn läi dv  v '(x )dx  Bướ 2: Tính du  u ' dx v   dv   v '(x )dx  Bướ 3: Tính b  vu '(x )dx a uv b a Page | 43 thì: *Cá h đặt u dv phương pháp tí h phån phỉn b b b Đðt u theo thĀ b P (x )e xdx P ( x )ln xdx P ( x )cos xdx e x cos xdx     tă þu ti n: a a a a Lốc-đa-mũlượn u P(x) lnx P(x) ex dv P(x)dx cosxdx cosxdx e xdx Chú ý: N n chọn u phæn cû f(x) mà lỗy ọo hm thỡ n giõn, chn dv v 'dx phæn cû f(x)dx vi phån hàm số biết hoðc cò nguy n hàm dễ tìm TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ SƠ CÇP CƠ BÂN Tích phân hàm hữu tỵ    dx adx    ln ax  b Däng 1: I =  a  ax  b a  ax  b   (vĆi ≠0)  dx 1   (ax  b)k adx  (ax  b)k 1 Chú ý: Nếu I =  k a a(1  k )  (ax  b)  dx  ax  bx  c Däng 2: I   a  0   ( ax  bx  c  vĆi x   ;   ) Xét   b2  4ac b   b   ; x2  2a 2a  1 1       : ax  bx  c a(x  x1 )(x  x ) a(x1  x )  x  x x  x    x  x1 1  1 ln x  x1  ln x  x    I   dx  ln     a(x  x ) x  x a(x1  x )   x  x1 x  x  a(x1  x )  2 + Nếu  > 0: x1  + Nếu  = 0: I = 1  ax  bx  c a(x  x )2   b  x0   2a    dx dx  ax  bx  c  a  (x  x )2   a(x  x ) 0  dx  ax  bx  c  + Nếu   I        dx   b     a x      2a   4a  Page | 44           Đðt x  b  2a Däng 3:   tan t  dx   tan2 t dt 2 a 4a   I  mx  n dx,  bx  c   ax (trong đò f (x )   a  0 mx  n li n týc tr n đoän  ;   ) ax  bx c +) Bỡng phỵng phỏp ng nhỗt h số, t tìm A B s o cho: A(2ax  b) B mx  n A(ax  bx  c)' B     ax  bx  c ax  bx  c ax  bx  c ax  bx  c ax  bx  c +) Ta có I=    Tích phân     Tích phân  mx  n A(2ax  b) B dx  dx  dx   2 ax  bx  c ax  bx  c ax  bx  c   A(2ax  b) dx = A ln ax  bx  c ax  bx  c    ax dx  bx  c   thuộc däng b P (x ) dx với P(x) Q(x) đa thứ Q(x ) a Tính tích phân I   x  Nếu bêc cû P(x) lĆn hĄn hoðc bìng bêc cû Q(x) dùng phép chi đ thĀc  Nếu bêc cû P(x) nhó hĄn bờc cỷ Q(x) thỡ cũ th xột cỏc trỵng hp: + Khi Q(x) chỵ cị nghiệm đĄn 1, 2, , n đðt A1 A2 An P(x )     Q(x ) x  1 x  2 x  n + Khi Q(x) cò nghiệm đĄn v nghiệm Q(x )  x    x  px  q  ,   p  4q  đðt P(x ) A Bx  C   Q(x ) x   x  px  q + Khi Q(x) cò nghiệm bội Q(x )  (x   )(x   )2 vĆi    đðt A P(x ) B C    Q(x ) x   x  x    Q(x )  (x   )2 (x   )3 vĆi    đðt P(x ) A B C D E      3 (x   ) (x   ) x  (x   ) (x   ) (x   ) (x   ) Page | 45 Tích phân hàm vơ tỵ b Trong đị R(x, f(x)) có dạn :  R(x, f (x ))dx a a x ) Đðt x = a x +) R(x,  cos2t, t  [0; ] +) R(x, a  x ) Đðt x = a sin t hoðc x = a cos t +) R(x, n ax  b ax  b ) Đðt t = n cx  d cx  d +) R(x, f(x)) = (ax  b)  x   x   VĆi  x   x    '  k ax  b  Đðt t   x   x   , hoðc Đðt t = ax  b     2 a  +) R x, x  a  Đðt x = , t [0;  ] \ { } cos x +) R  x ; x ; ; x  Gọi k = BSCNN(n ; n ; ; n ) +) R x, a  x Đðt x = a tan t , t  [ ; ] n1 n2 ni i Đðt x = tk  a Tí h phån däng : I    ax  bx  c dx a  0  b x u     b   Tÿ : f(x)=ax  bx  c  a  x       2a  du  dx 2a    4a     K  2a Khi đò t cò : - Nếu   0, a   f (x )  a u  k   f (x )  a u  k (1) a   b   - Nếu :    f (x )  a  x     (2) b f ( x )  a x   a u 2a    2a  - Nếu :   + VĆi >0 : f (x )  a x  x1 x  x   f (x )  a x  x1 x  x  (3) + VĆi