CHUYÊN ĐỀ 3 TÌM CÁC GIÁ TRỊ NGUYÊN CỦA XHOẶC Y..... Tìm những giá trị nguyên của a để M nhận giá trị nguyên và tính các giá trị nguyên tương ứng... Tìm các giá trị nguyên của x để B nh
Trang 1CHUYÊN ĐỀ 3 TÌM CÁC GIÁ TRỊ NGUYÊN CỦA X(HOẶC Y ) ĐỂ
BIỂU THỨC A NHẬN GIÁ TRỊ NGUYÊN
1 Cách giải:
Bước 1: Rút gọn biểu thức A(x)
Bước 2: + Nếu A(x) có dạng
( )
m
B x (m Z) (1) A(x) có giá trị nguyên B(x) là ước của m
Từ đó giải các phương trình B(x) = c ( với c lần lượt là ước của m ) + Nếu A(x) có dạng A(x) = ( )
( )
C x
B x ta thực hiện chia đa thức C(x) cho đa thức B(x) và viết biểu thức A(x) thành dạng: A(x) = D(x) +
( )
n
B x ( n Z và B(x) có thể là một biểu thức số )
A(x) có giá trị nguyên B(x) là ước của n
Từ đó giải các phương trình B(x) = c' ( với c' lần lượt là ước của n ) Bước 3: Đối chiếu với điều kiện ở bước 1 và trả lời
Lưu ý: Nếu bài toán yêu cầu tính các giá trị nguyên của A(x) ta lần lượt thay các giá trị nguyên của x vừa tìm được vào A(x)
2 Ví dụ:
Ví dụ 1: Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức sau nhận giá trị nguyên:
A =
2
10 7 5
2 3
x
Giải:
ĐK: 2x - 3 0 x 3
2
Thực hiện hiện phép chia đa thức 10x2 - 7x - 5 cho đa thức 2x - 3 ta được thương là 5x + 4 và dư là 7
A =
2
10 7 5
2 3
x
= 5x + 4 + 7
2x 3
Để A nhận giá trị nguyên khi x nguyên thì 7
2x 3Z hay 2x - 3 là ước của 7
2x - 3 = 1; 7
Giải các phương trình:
2x - 3 = 1 2x - 3 = -1
Trang 22x - 3 = 7 2x - 3 = -7
Ta được x = -2; 1; 2; 5 ( thỏa mãn điều kiện )
Vậy A nhận giá trị nguyên khi x = -2; 1; 2; 5
a Rút gọn biểu thức M
b Tìm những giá trị nguyên của a để M nhận giá trị nguyên và tính các giá trị
nguyên tương ứng
Giải:
a ĐK: a 0, b 0, a 1, a b
:
=
2
1
a ab b
=
1
=
2
1 1
a
b M = 2
1
a
M có giá trị nguyên khi 2
1
a có giá trị nguyên hay a - 1là ước của 2
Các uớc nguyên của 2 là 1; 2 Do đó:
a - 1 =1 a = 2
a - 1 = -1 a = 0
a - 1 = 2 a = 3
a - 1 = -2 a = -1 Đối chiếu với điều kiện a = -1 (loại) Vậy với
a = 0 thì M có giá trị nguyên là 2
0 1 = -2
a = 2 thì M có giá trị nguyên là 2
2 1 = 2
a = 3 thì M có giá trị nguyên là 2
3 1 = 1
Trang 3Ví dụ 3: Cho biểu thức N = 3 1 : 2 3 3
a Rút gọn biểu thức N
b Tìm gí trị nguyên của x để N nhận gí trị nguyên Giải:
a ĐK:
3 0
1
9 0
9
1 0
0 0
x
x x
x x
x x
1 :
= 1
3
x x
c N = 1
3
x x
= 1 + 4
3
x
Để N nhận giá trị nguyên thì x - 3 là ước của 4
x
3 1
16
3 1
4
3 2
25
3 2
1
3 4
x
x x
x x
x x
x
x
Đối chiếu với điều kiện x = 1 loại Vậy N nhận giá trị nguyên khi x = 4; 16; 25; 49
Trang 4Lưu ý: Trường hợp A(x) = ( )
( )
C x
B x ta thực hiện phép chia đa thức C(x) cho B(x) mà phần
dư của phép chia là một đa thức của ẩn x
VD: A(x) = f(x) + ( )
( )
g x
B x ta phải xét hai trường hợp sau:
Trường hợp 1: A(x) nhận giá trị nguyên khi g(x) = 0 và giải phương trình g(x) = 0 Trường hợp 2: g(x) 0 ta giải bất phương trình:
( ) 0 ( ) ( )
( ) ( )
g x
g x B x
g x B x
hoặc ( ) 0
( ) ( )
g x
g x B x
Ví dụ 4: Tìm tấc cả các số nguyên x sao cho:
A =
2
1
x
là số nguyên Giải: ĐK: x R
A =
2
1
x
= x - 8 + 2 8
1
x x
Vậy A nhận giá trị nguyên khi 2 8
1
x x
nguyên (A') Nếu x + 8 = 0 x = -8 Vậy với x = -8 thì A nhận giá trị nguyên Nếu x + 8 0 2
(x 8) (x 1)
2
x
hoặc
2
x
2
8
x
hoặc
2
8
x
(hệ này vô nghiệm vì x <-8 thì x2 +x + 9 > 0 )
Giải hệ
2
8
x
với x nguyên ta được:
X = 3; 2; 1; 0; -1; -2 Thay các giá trị x vừa tìm được vào (A') chỉ có x = 0 và
x = 2 thỏa mãn Vậy A là số nguyên khi x = -8; x = 2; x = 0
Ví dụ 5: Cho B =
2
2 2
3 12
2 8
x
( x R )
a Rút gọn B
b Tìm các giá trị nguyên của x để B nhận giá trị nguyên Giải:
a B =
2
2 2
3 12
2 8
x
2 2
6 9 12
4 4 8
x
Trang 5
=
2 2
2 2
3
2
x
x x
=
2
3
2
x
x x
b B =
2
3
2
x
x x
2 3
2
x
x x
= x 3 x 2
x
Vì x nguyên nên B nhận giá trị nguyên khi 3
x nguyên hay x là ước của 3 1; 3
x
Vậy với x = 1, x = -1, x = 3, x = -3 thì B nhận giá trị nguyên
3 Bài tập áp dụng:
1 Cho biểu thức: A =
2 2
x
a Rút gọn biểu thức A
b Tìm các giá trị nguyên của x để A là một số nguyên
2 Cho biểu thức B =
2
8 16 1
a a
a Rút gọn biểu thức B
b Tìm các giá trị a nguyên lớn hơn 8 để B có giá trị nguyên
3 Cho biểu thức C = 2 1 2
4
x x
x x
a Rút gọn biểu thức C
b Tìm các giá trị nguyên của x để C có giá trị nguyên
4 Cho biểu thức D = 9 : 2 2 1
a Rút gọn D
b tìm giá trị nguyên của a để M nguyên
5 Cho E =
2 2
.
a Rút gọn E
b Với giá trị nguyên nào của x thì E có giá trị nguyên
Trang 66 Cho biểu thức F = 2 3 1 1 : 1 4
1
x
a Rút gọn F
b Tìm giá trị nguyên của x để F nhận giá trị nguyên
7 Cho G = 2 1
5
x
x
Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức G nhận giá trị nguyên
a Rút gọn biểu thức H
b Tìm những giá trị nguyên của x để H nhận giá trị nguyên