Căn Bậc 2 của số phức

Căn bậc hai của số phức và ph ơng trình bậc hai tiết 761.. Mỗi số phức z thoả mãn đ ợc gọi là một căn bậc hai của w... Căn bậc hai của số phức và ph ơng trình bậc hai tiết 761.. Căn bậc

Trang 1

Hoạt động 1

1) Hãy phân tích thành thừa số và từ đó tìm z2  4 z biết z2  - 4

Kết quả

Bài 2 Căn bậc hai của số phức và ph ơng trình bậc hai (tiết 76)

) 2 )(

2 (

) 2 (

2

i z

1)

2) Tìm số phức z = x + yi ( ) sao cho x , y R z2  3  4i

i z

z2   4    2



















i z

i

z i

z

2

2 4

3

2

- 4 có hai căn bậc hai là 2i và - 2i

3 + 4i có hai căn bậc hai là 2 + i và -2 - i

Một cách tổng quát, z là căn bậc hai của w khi và chỉ khi nào ?

z là căn bậc hai của w khi và chỉ khi z 2 w

Trang 2

1 Căn bậc hai của số phức

Cho số phức w Mỗi số phức z thoả mãn đ ợc gọi là

một căn bậc hai của w

w

z 2

Nói cách khác, mỗi căn bậc hai của w là một nghiệm của ph

ơng trình (với ẩn z 2 w z)

a) Tr ờng hợp w là số thực (waR)

Bằng cách phân tích ra thừa số, hãy giải ph ơng trình (ẩn z)

từ đó tìm căn bậc hai của số thực a trong mỗi tr ờng hợp sau:

1) Khi a > 0 2) Khi a < 0

a

z 2

- Nếu a = 0, căn bậc hai của 0 là 0;

- Nếu a 0

Trang 3

Bµi 2 C¨n bËc hai cña sè phøc vµ ph ¬ng tr×nh bËc hai (tiÕt 76)

1 C¨n bËc hai cña sè phøc

Cho sè phøc w Mçi sè phøc z tho¶ m·n ® îc gäi lµ

mét c¨n bËc hai cña w

w

z 2

Nãi c¸ch kh¸c, mçi c¨n bËc hai cña w lµ mét nghiÖm cña ph

¬ng tr×nh (víi Èn z 2 w z)

a) Tr êng hîp w lµ sè thùc (waR)

- NÕu a > 0, a cã hai c¨n bËc hai lµ vµ ;a  a

- NÕu a < 0, a cã hai c¨n bËc hai lµ vµ ; a i   a i

VÝ dô 1 T×m:

C¨n bËc hai cña –

1

C¨n bËc hai cña

9

5



C¨n bËc hai cña 3  

C¨n bËc hai cña ( a2 a lµ sè thùc kh¸c 0)

lµ i vµ - i

lµ ai vµ - ai

- NÕu a = 0, c¨n bËc hai cña 0 lµ 0;

i

3

5 3

5



lµ

vµ  i   3 3





i

lµ

Trang 4

Bµi 2 C¨n bËc hai cña sè phøc vµ ph ¬ng tr×nh bËc hai (tiÕt 76)

1 C¨n bËc hai cña sè phøc

Cho sè phøc w Mçi sè phøc z tho¶ m·n ® îc gäi lµ

mét c¨n bËc hai cña w

w

z 2

b) Tr êng hîp w = a + bi (a,bR),b0

z = x + yi (x, y R ) lµ c¨n bËc hai cña w khi vµ chØ khi ,z 2 w

tøc lµ ( x  yi )2  a  bi

bi a

xyi y

C¸ch t×m c¨n bËc hai cña w = a + bi

B íc 1:













b xy

a y

x

2

2 2

(*)

B íc 2: Gi¶i hÖ (*) t×m x, y  R vµ kÕt luËn.

H·y nªu c¸ch t×m

c¨n bËc hai cña w ?

VÝ dô 2 T×m c¸c c¨n bËc hai cña mçi sè phøc sau:

i



 1

1

a) b)

i

3 4

1

KÕt qu¶

i z

2

2 ) z1,2 i

Trang 5

Một cách tổng quát, có thể chứng minh rằng

* Số 0 có đúng một căn bậc hai là 0

* Mỗi số phức khác 0 có hai căn bậc hai là hai số đối nhau (khác 0)

Đặc biệt, số thực a d ơng có hai căn bậc hai là và ; a  a

số thực a âm có hai căn bậc hai là và  a i   a i

w

z 2

Biết một căn bậc hai của là và một căn bậc hai của là Hãy tìm tất cả các căn bậc hai của w1 z1 w1w2 w2 z2.

Lời giải có một căn bậc hai là

2

1w

Vì (  z1z2)2  ( z1z2)2  z12z22  w1w2.

Suy ra tất cả các căn bậc hai của là w1w2  z1z2

Trang 6

Ví dụ 3.

Biết một căn bậc hai của i là ( Ví dụ 3b)

Hãy dựa vào kết quả Hoạt động 2 tìm các căn bậc hai của mỗi số phức sau:

) 1

( 2

2

i

Kết quả

) 1

( 2

2

Biết một căn bậc hai của là và một căn bậc hai của là Hãy tìm tất cả các căn bậc hai của w1 z1 w1w2 w2 z2.

Lời giải có một căn bậc hai là

2

1w

Vì (  z1z2)2  ( z1z2)2  z12z22  w1w2.

Suy ra tất cả các căn bậc hai của là w1w2  z1z2

Trang 7

Chứng minh rằng nếu z là một căn bậc hai của số phức w thì z  w

Lời giải

z là một căn bậc hai của w thì nên suy raz 2 w z 2 w

w z

w

Ví dụ 3.

Biết một căn bậc hai của i là ( Ví dụ 3b)

Hãy dựa vào kết quả Hoạt động 2 tìm các căn bậc hai của mỗi số phức sau:

) 1

( 2

2

i

Kết quả

) 1

( 2

2

Trang 8

Qua bài học các em cần nắm đ ợc

* Mỗi số phức khác 0 có hai căn bậc hai là hai số đối nhau (khác 0)

* Số 0 có đúng một căn bậc hai là 0

Đặc biệt, số thực a d ơng có hai căn bậc hai là và ; a  a

số thực a âm có hai căn bậc hai là và  a i   a i

w

z 2

Cách tìm căn bậc hai của số phức w = a + bi

Định dạng
Số trang	8
Dung lượng	252,5 KB