PP HS Bấtt Định

PHƯƠNG PHÁP “Hệ số bất định đối với các hàm số dưới dấu tích phân là tích của hai loại hàm số”. I. Ví dụ mở đầu: Lời giải: Cách 1 Đặt 3 2 2 3 3 1 x u x x dv e dx −  = + +   =   . Ta có: 2 2 3 (3 6 ) 1 2 x du x x dx v e −  = +  ⇒  =   1 3 2 2 3 1 2 2 3 0 1 3 0 1 1 5 1 1 ( 3 1) (3 6 ) 2 2 2 2 2 x x I x x e x x e dx I e e − − = + + − + = − − ∫ Tính 1 2 2 3 1 0 (3 6 ) x I x x e dx − = + ∫ . Đặt 2 2 3 3 6 x u x x dv e dx −  = +   =   . Ta có: 1 2 2 3 1 2 3 1 0 2 2 3 0 (6 6) 1 1 9 1 (3 6 ) (6 6) 1 2 2 2 2 2 x x x du x dx I x x e x e dx I e v e − − −  = +  ⇒ = + − + = −  =   ∫ . Tính 1 2 3 2 0 (6 6) x I x e dx − = + ∫ . Đặt 2 3 6 6 x u x dv e dx −  = +   =   . Ta có: 1 2 3 1 2 3 2 3 1 2 0 0 3 3 2 3 0 6 1 6 3 3 9 3 (6 6) 3 1 2 2 2 2 2 x x x x du dx I x e e dx e e e e e v e − − − −  =  ⇒ = + − = − − = −  =   ∫ Vậy, tóm lại 3 11 7 8 8 I e e = − Nhận xét: Trong tích phân có chứa đa thức bậc ba nên phải lấy 3 lần TPTP để khử bậc ba của đa thức. Nếu tích phân cho hàm đa thức bậc lớn hơn 3 thì ta cũng phải TPTP theo số bậc của đa thức mới khử hết bậc của đa thức, điều này làm cho ta dễ mắc sai sót trong quá trình tính toán. Các bạn thử xem lời giải của bài toán trên với cách khác như dưới đây, và đó cũng là nội dung của phương pháp trong chuyên đề này. Cách 2 Giả sử 3 2 2 3 3 2 2 3 ( 3 1) ( ) . , , , , x x x x e dx ax bx cx d e m a b c d m R − − + + = + + + + ∈ ∫ (*) Lấy đạo hàm hai vế (*) ta được: 3 2 2 3 3 2 2 3 ( 3 1) [2 (2 3 ) (2 2 ) 2 ] x x x x e ax b a x c b x d c e − − + + = + + + + + + Từ đây suy ra: 1 3 3 7 2 1;2 3 3;2 2 0;2 1 ; ; ; 2 4 4 8 a b a c b d c a b c d= + = + = + = ⇒ = = = − = GV: Phan Chiến Thắng Tính tích phân Vậy 1 3 2 2 3 3 2 2 3 1 0 3 0 1 3 3 7 11 7 ( 3 1) ( ) 2 4 4 8 8 8 x x I x x e dx x x x e e e − − = + + = + − + = − ∫ . II. Phân dạng và phương pháp. Dạng 1: ( ) sin x ; ( ) cosI P x dx J P x xdx= = ∫ ∫ Phương pháp: Giả sử: 1 2 1 2 ( ) sin x ( ) s inx ( ) cos ( ) sin x ( ) s inx ( ) cos I P x dx P x P x x c J P x dx P x P x x c  = = + +  = = + +   ∫ ∫ (*) Lấy đạo hàm hai vế (*) ta được: 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) s inx [ '( ) ( )]s inx [ ( ) '( )]cos ( ) cos [ '( ) ( )]s inx [ ( ) '( )]cos P x P x P x P x P x x P x x P x P x P x P x x  = − + + ⇔  = − + +   1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) '( ) ( ), ( ) ( ) '( ), ( ) '( ) 0, '( ) ( ) 0, P x P x P x x P x P x P x x P x P x x P x P x x   = − ∀ = + ∀   ∨   + = ∀ − = ∀     ( 1 2 ( ); ( )P x P x cùng bậc với P(x)). VÍ DỤ ÁP DỤNG: Tính tích phân 4 4 2 0 ( 3 2) s in(2x)dxI x x π = + − ∫ Lời giải: Giả sử 4 2 4 3 2 4 3 2 ( 3 2) s in(2x)dx ( ) sin(2 ) ( ' ' ' ' ') cos(2 ) (*) I x x ax bx cx dx e x a x b x c x d x e x f = + − = + + + + + + + + + + ∫ Lấy đạo hàm hai vế (*) ta được: 4 2 4 3 2 4 3 2 ( 3 2) s in(2x)dx [ 2 ' (4 2 ') (3 2 ') (2 2 ') ( 2 ')]sin(2 ) [2 (2 4 ') (2 3 ') (2 2 ') (2 ')]cos(2 ) x x a x a b x b c x c d x d e x ax b a x c b x d c x e d x + − = − + − + − + − + − + + + + + + + + + 2 2 4 ' 2 3 ' 2 2 ' 2 ' 0 0 2 ' 1 ' 1 4 2 ' 2 2 ' 0 ' ' ' 0 3 2 ' 3 1 ' 2 ' 2 2 a b a c b d c e d a c d e a b e a b c d b c d b c a d e  = + = + = + = + =  = = = =   − =  = =    ⇔ − = − = ⇔   = = =   − =   = − − = −     Vậy 4 4 2 3 4 2 0 0 1 ( 3 2) s in(2x)dx [x sin(2 ) ( 1) os(2 )] 2 I x x x x c x π π = + − = + − + ∫ = 4 64 32 π − − Dạng 2: ( ) ; ( ) x x I P x e dx J P x m dx= = ∫ ∫ Phương pháp: Giả sử ( ) ( ) ( ) ( ) x x x x I P x e dx Q x e c I P x a dx Q x a c  = = +  = = +   ∫ ∫ , (P(x) và Q(x) cùng bậc) GV: Phan Chiến Thắng Lấy đạo hàm hai vế ta được: ( ) [ '( ) ( )] , ( ) '( ) ( ) ( ) '( ) ( ) ln( ) ( ) [ '( ) ( ) ln( )] , x x x x P x e Q x Q x e x P x Q x Q x P x Q x Q x a P x a Q x Q x a a x   = + ∀ = + ⇔   = + = + ∀     VÍ DỤ ÁP DỤNG: (Ví dụ mở đầu) Dạng 3: sin x ; cos x x x I e dx J e dx= = ∫ ∫ hoặc sin x ; cos x x I m d x J m xdx= = ∫ ∫ Phương pháp: Xét đại diện sin x x I e dx= ∫ Giả sử: sin x [a sin cos ]e , x x I e dx x b x c x= = + + ∀ ∫ Lấy đạo hàm hai vế ta nhận được: 1 sin x [(a-b) sin ( ) cos ]e , 0 x x a b e x a b x a b a b  − =  = + + ⇔ ⇒  + =   VÍ DỤ ÁP DỤNG: Tính tích phân 2 2 0 sin x I e xdx π = ∫ . (THTT số 403 – 01/2011) Lời giải: 2 2 2 2 2 2 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 sin os2 2 2 4 2 4 2 x x x x e I e xdx e dx e c xdx e I I π π π π π − = = − = − = − ∫ ∫ ∫ Xét 2 os2 x e c xdx ∫ . Giả sử: 2 2 os2 [a sin 2 cos 2 ]e , x x e c xdx x b x c x = + + ∀ ∫ Lấy đạo hàm hai vế ta nhận được: 2 2 os2 [(2a-2b) sin 2 (2 2 ) cos 2 ]e , x x e c x x a b x x= + + ∀ 2 2 1 1 2 2 0 4 a b a b a b  + =  ⇔ ⇔ = =  − =   . Vậy 2 2 1 0 0 1 1 os2 ( sin 2 os2 ) 4 4 x x I e c xdx x c x e π π = = + ∫ = 2 1 4 e π − Đáp số: 2 1 ( 1) 8 I e π = − III. Bài tập đề nghị. Tính các tích phân sau 1) 3 4 3 1 0 (3 2 ) sin 3I x x xdx π = − ∫ 3) ln 3 3 2 0 3 x I x dx= ∫ 2) 3 3 3 3 0 (s inx) x I e dx π = ∫ 4) ln 2 5 4 0 x I x e dx= ∫ GV: Phan Chiến Thắng . PHƯƠNG PHÁP “Hệ số bất định đối với các hàm số dưới dấu tích phân là tích của hai loại hàm số”. I. Ví dụ mở đầu: Lời giải: Cách