PHÒNG GD-ĐT NGHĨA ĐÀN ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HSG TỈNH NĂM HỌC 2010-2011 MÔN : TOÁN ( Thời gian 150 phút ) Câu 1: ( 4 đểm) a) Cho P(x) = a .x 3 + b.x 2 + c.x + d , với a ∈ Z * . Biết P(2009) = 2010 ; P(2010) = 2011. Chứng minh rằng : P(2011) – P(2008) là hợp số. b) Tìm số tự nhiên a biết rằng trong ba mệnh đề P,Q,R dưới đây có hai mệnh đề đúng và một mệnh đề sai : 1. P : “ a +21 là số chính phương ” 2. Q : “ Chữ số tận cùng của a là 1” 3. R : “ a – 58 là số chính phương ” Câu 2: ( 4 điểm) a) Giải phương trình : 2 4x - 4 4x + 13 1x + = b) Giải hệ phương trình sau: 2 2 2 2 2 2 + y 7 z = 4 1 x xy x z x y z yz + = + + + + = Câu 3 : ( 3 điểm) Cho x , y > 0 và x + y ≥ 6 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2 8x 6 3 2 5xy + 14 y P x y y x = + + + + Câu 4: ( 4 điểm) Cho tam giác ABC (AC>AB) . Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác đó tiếp xúc với AB, BC ở D, E. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của AC, BC. Gọi K là giao điểm của MN và AI . Chứng minh rằng: a) Bốn điểm I, E, K, C cùng thuộc một đường tròn b) Ba điểm D, E, K thẳng hàng Câu 5 : ( 5 điểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R=2cm, có góc BAC = 60 0 , đường cao AH = 3cm. a. Tính diện tích tam giác ABC. b. Gọi P là điểm tùy ý trên cung nhỏ BC và M, N lần lượt là điểm đối xứng của P qua các đường thẳng AB và AC. Xác định vị trí của điểm P sao cho độ dài MN đạt giá trị lớn nhất. Tính độ dài lớn nhất đó. Hết PHÒNG GD&ĐT NGHĨA ĐÀN KÌ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN TỈNH LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2010 – 2011 HƯỚNG DẪN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM Câu Ý câu ĐÁP ÁN Biểu điểm 1 (4đ) a (2đ) Ta có : P(2009) = 2009 3 .a + 2009 2 .b + 2009.c + d = 2010 P(2010) = 2010 3 .a + 2010 2 .b +2010.c +d = 2011 Nên P(2010) – P(2009) = (2010 3 – 2009 3 ).a + (2010 2 – 2009 2 ).b + c = (2010 3 – 2009 3 ).a + 4019.b +c = 1 0,5 Do [(2010 3 – 2009 3 ).a] nguyên nên [4019.b +c] cũng nguyên 0,25 ⇒ P(2011) – P(2008) = (2011 3 – 2008 3 ).a +(2011 2 – 2008 2 ).b + 3c = (2011 3 – 2008 3 ).a +3.(4019.b+c) 0,5 Do (2011 3 – 2008 3 ) chia hết cho 3 và [4019.b +c] nguyên nên [3(4019.b +c)] chia hết cho 3, suy ra [ P(2011) – P(2008)] chia hết cho 3 0,5 Vì [ P(2011) – P(2008)] ≠ 3 nên [ P(2011) – P(2008)] là hợp số 0,25 b (2đ) Hai mệnh đề P và Q không thể cùng đúng vì nếu ngược lại thì a có chữ số tận cùng là 1 , nên a + 21có chữ số tận cùng là 2. Vì thế a + 21 không thể là số chính phương. 0,5 Tương tự hai mệnh đề Q và R không thể cùng đúng.Do đó mệnh đề Q sai và các mệnh đề P và R là đúng 0,25 Theo giả thiết, ta có m, n ∈ N sao cho 2 2 21 58 a m a n + = − = Suy ra m 2 – n 2 = 79 hay (m + n)(m – n) = 79 0,5 Vì 79 là số nguyên tố , nên 79 40 1 39 m n m m n n + = = ⇔ − = = 0,5 Vậy số cần tìm là a = 40 2 – 21 = 1579 0,25 Giải phương trình : 2 4x-4 4x+13 1x + = (1) ĐKXĐ: x 13 4 − ≥ 0,25 Từ ( 1) ⇔ 2 4x 4 4x+13) 1x + = + 0,25 (4đ) (1,75đ) 2 4x > 0 x (x+4) > 0 x⇒ + ⇔ ⇔ x > 0 hoặc x < -4 Kết hợp ĐKXĐ suy ra : x > 0 (1) ⇔ 2 4x 4(-2+ 4x+13) 9x + = + (*) Đặt 2 4x+13y = − + ( y > 0 ) suy ra 2 ( 2) 4x+13y + = ⇔ y 2 +4y – 9 = 4x (2) 0,25 Từ (*) và (2) ta có hệ phương trình 2 2 4x - 9 = 4y y 4 9 4x x y + + − = 0,25 Trừ vế ta được (x – y)[(x+y) + 8] = 0 ⇔ x = y hoặc x + y + 8 = 0(*) 0,25 + Với x = y ⇒ x 2 + 4x – 9 = 4x ⇔ x 2 = 9 ⇔ x = 3 hoặc x = -3 (loại) 0,25 + Với x + y + 8 = 0 do x > 0 và y > 0 suy ra x + y +8 >0 ⇒ (*) vô nghiệm Vậy phương trình có nghiệm x = 3 0,25 Giải hệ phương trình sau: 2 2 2 2 2 2 + y 7(1) z = 4(2) 1(3) x xy x z x y z yz + = + + + + = Trừ vế theo vế PT (1) cho PT (2) , ta được y 2 – z 2 +xy – xz = 3 ⇔ (y – z)(x + y + z) = 3 (4) Trừ vế theo vế PT(2) cho PT(3) , ta được x 2 – y 2 + xz – yz = 3 ⇔ (x – y)(x + y + z) = 3 (5) 0,25 Từ (4) và (5) ⇒ (y – z)(x + y + z) = (x – y)(x + y + z) 0,25 Theo (4) thì (x + y+ z) ≠ 0 ⇒ y – z = x – y ⇔ x + z = 2y ⇔ x+ y + z = 3y(*) 0,25 Thay vào (5) ta có: (x – y)(x + y + z) = 3 ⇔ (x – y).3y = 3 ⇔ (x – y).y = 1(**) 0,25 *Với y = 0 hệ PT vô nghiệm ⇒ y ≠ 0 . Vậy từ (**) ⇒ 1 x y y = + 0,25 Thay 1 x y y = + vào (1) ta có: 2 2 1 1 ( ) ( ). 7y y y y y y + + + + = ⇔ 3y 4 –4 y 2 +1 = 0 ⇔ y 2 = 1 hoặc y 2 = 1 3 ⇒ y = ± 1 hoặc y = 3 3 ± 0,25 • Với y = 1 ⇒ x = 2, thay vào (*) ⇒ z = 0 .với (x, y, z) = ( 2, 1, 0) • Với y = -1 ⇒ x = -2, thay vào (*) ⇒ z = 0 .Với (x ,y, z) = ( -2,-1, 0) • Với y = 3 3 ⇒ x = 4 3 3 , thay vào (*) ⇒ z = 2 3 3 − 0,25 2 • Với y = - 3 3 ⇒ x =- 4 3 3 ,thay vào (*) ⇒ z = 2 3 3 Vậy hệ phương trình đã cho có 4 nghiệm : (1, 2, 0),(-1, -2, 0),( 3 3 , 4 3 3 , 2 3 3 − ) , ( 3 3 , 4 3 3 , 2 3 3 ) 0,25 3 2 2 8x 6 3 2 5xy+ 14 y P x y y x = + + + + = 6 8 ( )(3x+2y+ ) x x y y + + 0,5 Ta có : 6 8 3x 3x 3 6 8 3x+2y+ x 2 2 2 2 y y y x y + = + + + + + 3x 6 8 3 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3x 6 8 3 2 . 2 . ( ) 2 2 2 3 2.3 2.2 .6 19 2 y x y x y y x y x y = + + + + + ≥ + + + = + + = 0,5 0,5 0,5 0,25 Suy ra P ≥ ( x +y).19 ≥ 6.19 = 114 0,25 Vậy giá trị nhỏ nhất của P = 114 khi 6 3x 6 2 8 2 x y x y y + = = = ⇔ x = 2 và y = 4 0,5 4 (4đ) a (2,5đ) Vẽ hình đúng 0,5 Ta có : MA = MC, NB = NC (gt) suy ra MN là đường trung bình của tam giac ABC 0,5 Suy ra NM // AB ¶ µ ¶ 1 1 2 K A A KM AM MC⇒ = = ⇒ = = , Suy ra · 0 90AKC = , 1,0 laị có · 0 90IEC = ⇒ I, E, K, C thuộc đường tròn có đường kính IC 0,5 b (1,5đ) Từ câu a suy ra: · · ¶ µ µ µ µ 0 2 1 90 2 2 A C B CEK CIK A C + = = + = = − (1) 0,5 Mặt khác , · µ · µ 0 0 D cân BED 90 D 90 2 2 B B BE CE ⇒ = − ⇒ = + V (2) 0,5 Từ (1) và (2) suy ra · · 0 D 180CEK CE + = ,do đó D, E, K thẳng hàng 0,5 5 (5đ) Vẽ hình đúng 0,5 a (2đ) Goị M là trung điểm của BC ta có : · · 0 60MOC BAC= = ( theo tính chất đường kính và dây với tính chất góc ở tâm ) 0,5 Do OC = R = 2 nên MC = OC . Sin 60 0 = 3 0,5 ⇒ BC = 2 IC = 2 3 0,5 Vì vậy S ABC ∆ = 1 2 AH . BC = 3 3 0,5 b (2,5đ) Ta có : AK = AN ( = AP ) ⇒ ∆ AKN cân tại A 0,25 Lại có : · · · 0 0 2.( ) 2.60 120KAN BAP PAC = + = = 0,25 ⇒ KN lớn nhất khi AK lớn nhất ( Do KN là cạnh đáy của một tam giác cân có góc ở đỉnh không đổi ) 0,5 Mà AK = AP ≤ 2R ⇒ KN lớn nhất khi và chỉ khi AP = 2R = 4 hay AP là đường kính 0,5 ⇒ · · ABP ACP= ⇒ B,C lần lượt là trung điểm của PK và PN 0,5 ⇒ BC là đường trung bình của tam giác PKN ⇒ KN = 2 BC = 4 3 0,5 L ưu ý : Học sinh làm cách khác mà đúng vẫn cho điểm tối đa . PHÒNG GD-ĐT NGHĨA ĐÀN ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HSG TỈNH NĂM HỌC 2010-2011 MÔN : TOÁN ( Thời gian 150 phút ) Câu 1: ( 4 đểm) a) Cho. cho độ dài MN đạt giá trị lớn nhất. Tính độ dài lớn nhất đó. Hết PHÒNG GD&ĐT NGHĨA ĐÀN KÌ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN TỈNH LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2010 – 2011 HƯỚNG DẪN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM Câu Ý câu. đề Q và R không thể cùng đúng.Do đó mệnh đề Q sai và các mệnh đề P và R là đúng 0,25 Theo giả thi t, ta có m, n ∈ N sao cho 2 2 21 58 a m a n + = − = Suy ra m 2 – n 2 = 79 hay