Đề thi chọn HSG cấp tỉnh toán 9 có đáp án (đề 4)

Phòng GD-ĐT Triệu Sơn kỳ thi chọn học sinh giỏi toán 9 (đề số 4) năm học : 2008 - 2009 Môn : Toán (Thời gian làm bài: 150 phút: Vòng 2) Bài 1: (4 điểm) Cho biểu thức: 3 2( 3) 3 2 3 1 3 x x x x P x x x x + = + + 1. Rút gọn biểu thức P 2. Tính giá trị của biểu thức P với 14 6 5x = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của P Bài 2: (3 điểm) Cho đa thức 5 3 5 4A x x x= + 1. Phân tích đa thức A thành nhân tử. 2. Chứng minh với mọi x nguyên và không chia hết cho 3 thì A luôn chia hết cho 360 Bài 3: (3 điểm) Tính giá trị của biểu thức 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . 1 1 2 2 3 3 4 2008 2009 C = + + + + + + + + + + + + Bài 4: (3,5 điểm) 1. Tìm các số a, b, c biết: 1 2008 2009 2 ( ) 2 a b c a b c+ + + = + + 2. Cho x, y, z > 2 thõa mãn: 1 1 1 1 x y z + + = . Chứng minh: ( 2)( 2)( 2) 1x y z Bài 5: (5 điểm) Cho đờng tròn (O; R) và đờng tròn ( ( ; ) 2 R I tiếp xúc ngoài tại A. Trên đờng tròn (O) lấy điểm B sao cho AB = R. Tia MA cắt đờng tròn (I) tại điểm thứ hai tại N. Qua N kẻ đờng thẳng song song với AB cắt đờng thẳng MB ở P. 1. Chứng minh OM//IN. 2. Chứng minh độ dài đoạn NP không phụ thuộc vào vị trí của điểm M 3. Xác định vị trí điểm M để ABPN S đạt giá trị lớn nhất. Tính giá trị đó theo R Bài 6: (1,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A. D là điểm nằm giữa hai điểm B và C. E và F lần lợt là hình chiếu của D lên AB và AC. Hãy xác định vị trí của D để tứ giác ADEF có diện tích lớn nhất. Hết 1 Hớng dẫn chấm: đề số 4 Bài Đáp án và hớng dẫn chấm điểm Bài 1 (4điểm) Câu 1: (2,0 điểm) ĐK: 0; 9x x 3 2( 3) 3 ( 1)( 3) 1 3 x x x x P x x x x + = + + 2 3 2( 3) ( 3)( 1) ( 3)( 1) x x x x x x x + + = + = 3 8 24 ( 3)( 1) x x x x x x + + ( 8) 3( 8) 8 ( 3)( 1) 1 x x x x x x x + + + = = + + 2.0 Câu 2: (1 điểm) Ta có: 2 14 6 5 (3 5) 3 5x = = Khi đó 14 6 5 8 22 6 5 (22 6 5)(4 5) 11 3 5 1 4 5 P + + = = = + 58 2 5 11 = 1.0 Câu 3: (1 điểm) Ta có: 8 1 9 9 9 1 1 2 2 9 2 4 1 1 1 1 x x P x x x x x x + + = = = + = + + = + + + + Vậy min 4P = khi x = 4 1.0 Bài 2 Câu 1: (1,5 điểm): Ta có: 5 3 4 2 2 2 5 4 ( 5 4) ( 1)( 4)A x x x x x x x x x= + = + = ( 1)( 1)( 2)( 2)x x x x x= + + 1,5 Câu 2: (1,5 điểm) Ta có: 360 = 5.8.9; mà (5; 8; 9)=1; x nguyên Do đó A = x( x-1)(x+1)(x-2)(x+2) là tích của 5 số nguyên liên tiếp Vì x không chia hết cho 3 nên phải luôn tồn tại 2 thừa số chia hết cho 3; 9A M (1) Đồng thời có một số chia hết cho 5; 5A M (2) Trong 5 thừa số của A có ít nhất 2 thừa số chăn nên 8AM (3) Từ (1); (2) và (3) 5.8.9A M = 360 Vậy với x nguyên thì 360AM (đpcm) 1,5 Bài 3 (3điểm) Xét số hạng tổng quát : 2 2 1 1 1 ( 1)k k + + + với k là số nguyên dơng , ta có : 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 ( 1) 1k k k k + + = + + = ữ ữ + + 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 2 1. 2 2 1 1 1 1k k k k k k = + + + ữ ữ ữ ữ ữ ữ + + + 1.0 2 V× : 1 1 1 1 1 1 2 1. 2 . 2 1 2. 0 1 1 ( 1) k k k k k k k k   + − −       − − = =  ÷  ÷  ÷  ÷ + + +         VËy : 2 2 2 1 1 1 1 1 1 ( 1) ( 1)k k k k   + + = + −  ÷ + +   Nªn : 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( 1) ( 1) 1k k k k k k + + = + − = + − + + + ¸p dung vµo bµi 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . 1 1 2 2 3 3 4 2008 2009 C         = + − + + − + + − + + + −  ÷  ÷  ÷  ÷         1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4036080 2008 . 2009 1 2 2 3 3 4 4 2008 2009 2009 2009 = + − + − + − + − + − = − = 0,5 0,5 1.0 Bµi 4: (3,5 ®iÓm) C©u1: (2,0 ®iÓm) §K: 2008; 2009; 2x b c≥ − ≥ ≥ C¸ch 1:Ta cã: 1 2008 2009 2 ( ) 2 a b c a b c+ + − + − = + + 2 2008 2 2009 2 2a b c a b c⇔ + + − + − = + + ( 2008) 2 2008 1 ( 2009) 2 2009 1 ( 2) 2 2 1 0a a b b c c       ⇔ + − + + + − − − + + − − − + =       ⇔ 2 2 2 ( 2008 1) ( 2009 1) ( 2 1) 0a b c+ − + − − + − − = 2007 2010 3 a b c = −   ⇔ =   =  C¸ch 2: Ta cã 2009 2008 2 a a + + ≤ 2008 2009 2 b b − − ≤ 1 2 2 c c − − ≤ ⇔ 2008 2009 2 2 a b c a b c + + + + − + − ≤ DÊu “=” s¶y ra khi: 1 2008 2007a a= + ⇔ = − 1 2009 2010b b= − ⇔ = 1 2 3c c= − ⇔ = C©u 2: ( 1,5 ®iÓm) Ta cã: 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 ( ) ( ) 2 2 2 2 y z x y z x y z y z − − + + = ⇔ = − + − = + 0,5 3 Mà y; z > 2 nên: 1 ( 2)( 2) 2 4 y z x yz = ( 2)( 2)y z yz (1) Tơng tự: 1 ( 2)( 2)x z y xz (2) 1 ( 2)( 2)x y z xy (3) Từ (1); (2) và (3) ta có: 2 1 ( 2)( 2)( 2)x y z xyz xyz ( 2)( 2)( 2) 1x y z (đpcm) 0,5 0,5 Bài 5: (2điểm) Câu a: (1,5 điểm) Ta có: OA = OM = R MOA cân tại O ã ã OMA OAM= (1) Tơng tự: IA = IN = 2 R IAN cân tại I ã ã IAN INA = (2) Mà (O; R) và (I: 2 R ) tiếp xúc tại A do đó O, A, I thẳng hàng Nên ã ã OAM IAN= (đđ) (3) Từ (1); (2) và (3) suy ra: ã ã OMA INA= (ở vị trí so le trong) Do đó OM//IN (đpcm) Câu 2: (2 điểm) Ta có: OM//ON suy ra 2 2 AM OM R AN IN R = = = 2 2 2 1 3 AM AM AN = = + + Mà AB//PN ( gt) 2 3 3 3 2 2 AB AM NP AB R NP MN = = = = Vậy độ dài PN không đổi. Câu 3: (1,5 điểm) Từ A kẻ AH PN kéo dài tại H. 1 1 3 5 ( ). ( ). . 2 2 2 4 ABPN S AB PN AH R AH R AH R = + = + = Vì R không đổi nên ABPN S lớn nhất khi và chỉ khi AH lớn nhất. Do AH AN nên AH lớn nhất lkhi AH = AN. H N AN PN AM AB tại A (do AB//PN) khi đó AMB vuông ở A nên ta có: 2 2 2 2 2 (2 ) 3AM MB AB R R AM R= = = Do 2 3 AM MN = mà 1 1 . 3 2 2 AN AM AN R= = 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 0,5 0,5 0,75 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 4 H B P N M A I O ABPN S đạt giá trị lớn nhất = 2 5 3 5 3 . 4 2 8 R R R = (đơn vị diên tích) Khi M thuộc cung lớn AB và AM AB 0,25 Bài 6 (1,5 đ) Ta có AEDF là hình chữ nhật nên . AEDF S AE AF= (1) ABC là tam giác vuông tại A nên ta có: . ( ).( ) 2 2 ABC AB AC AE BE A CF S + + = = áp dụng BĐT Cuchy ta có: 2 . .2 . 2 ABC AE BE AF CF S = 2 . . .AE BE AF CF (2) Ta lại có: . . . BE DE BED DFC BE CF DE DF AE AF DF CF = = =: (do AE = DF; AF = DE) (3) Từ (1); (2) và (3) suy ra: 1 2 . . 2 . 2 2 ABC AEDF AEDF ABC S AE AF AE A AE AF S S S = = Dấu = sảy ra khi và chỉ khi: AE = BE; AF = CF DB DC = do đó D là trung điểm của BC. Vậy khi D là trung điểm của BC thì AEDF S đạt giá trị lớn nhất = 1 2 ABC S 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 5 E F D C B A . Phòng GD-ĐT Triệu Sơn kỳ thi chọn học sinh giỏi toán 9 (đề số 4) năm học : 2008 - 20 09 Môn : Toán (Thời gian làm bài: 150 phút: Vòng 2). Ta có: 2 14 6 5 (3 5) 3 5x = = Khi đó 14 6 5 8 22 6 5 (22 6 5)(4 5) 11 3 5 1 4 5 P + + = = = + 58 2 5 11 = 1.0 Câu 3: (1 điểm) Ta có: 8 1 9 9 9