Phân tích đa thức A thành nhân tử.. Tia MA cắt đờng tròn I tại điểm thứ hai tại N.. Qua N kẻ đờng thẳng song song với AB cắt đờng thẳng MB ở P.. Chứng minh OM//IN.. Chứng minh độ dài đoạ
Trang 1Phòng GD-ĐT Triệu Sơn kỳ thi chọn học sinh giỏi toán 9 (đề số 4)
năm học : 2008 - 2009
Môn : Toán
(Thời gian làm bài: 150 phút: Vòng 2)
Bài 1: (4 điểm)
P
1 Rút gọn biểu thức P
2 Tính giá trị của biểu thức P với x 14 6 5
3 Tìm giá trị nhỏ nhất của P
Bài 2: (3 điểm) Cho đa thức A x 5 5x3 4x
1 Phân tích đa thức A thành nhân tử
2 Chứng minh với mọi x nguyên và không chia hết cho 3 thì A luôn chia hết cho 360
Bài 3: (3 điểm)
Tính giá trị của biểu thức
Bài 4: (3,5 điểm)
2
a b c a b c
2 Cho x, y, z > 2 thõa mãn: 1 1 1
1
x yz Chứng minh: (x 2)(y 2)(z 2) 1
Bài 5: (5 điểm)
Cho đờng tròn (O; R) và đờng tròn (( ; )
2
R
I tiếp xúc ngoài tại A Trên đờng tròn (O) lấy
điểm B sao cho AB = R Tia MA cắt đờng tròn (I) tại điểm thứ hai tại N Qua N kẻ đờng thẳng song song với AB cắt đờng thẳng MB ở P
1 Chứng minh OM//IN
2 Chứng minh độ dài đoạn NP không phụ thuộc vào vị trí của điểm M
3 Xác định vị trí điểm M để S ABPNđạt giá trị lớn nhất Tính giá trị đó theo R
Bài 6: (1,5 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A D là điểm nằm giữa hai điểm B và C E và F lần lợt là hình chiếu của D lên AB và AC Hãy xác định vị trí của D để tứ giác ADEF có diện tích lớn nhất
Hết
Hớng dẫn chấm: đề số 4
Bài 1
(4điểm) Câu 1: (2,0 điểm)
ĐK: x 0; x 9
P
Trang 2
2
3 8 24
x x x x
2.0
Câu 2: (1 điểm)
Ta có: 14 6 5 (3 5) 2 x 3 5
Khi đó 14 6 5 8 22 6 5 (22 6 5)(4 5)
11
58 2 5 11
Câu 3: (1 điểm)
Vậy P min 4 khi x = 4
1.0
Bài 2 Câu 1: (1,5 điểm):
Ta có: A x 5 5x3 4x x x ( 4 5x2 4) x x( 2 1)(x2 4)
x x( 1)(x 1)(x 2)(x 2)
1,5
Câu 2: (1,5 điểm)
Ta có: 360 = 5.8.9; mà (5; 8; 9)=1; x nguyên
Do đó A = x( x-1)(x+1)(x-2)(x+2) là tích của 5 số nguyên liên tiếp
Vì x không chia hết cho 3 nên phải luôn tồn tại 2 thừa số chia hết cho 3; A 9(1)
Đồng thời có một số chia hết cho 5; A 5 (2)
Trong 5 thừa số của A có ít nhất 2 thừa số chăn nên A8 (3)
Từ (1); (2) và (3) A 5.8.9= 360
Vậy với x nguyên thì A360 (đpcm)
1,5
Bài 3
1
với k là số nguyên dơng , ta có :
2
Vậy :
2
1.0
0,5
0,5
Trang 3Nªn :
¸p dung vµo bµi
C
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4036080
1 2 2 3 3 4 4 2008 2009 2009 2009
1.0
Bµi 4:
(3,5 ®iÓm) C©u1: (2,0 ®iÓm)
§K: x 2008; b 2009; c 2
2
a b c a b c
( a 2008 1) 2 ( b 2009 1) 2 ( c 2 1) 2 0
2007 2010 3
a b c
C¸ch 2: Ta cã 2009
2008
2
a
a
2008
2009
2
b
b
1
2 2
c
c
2
a b c
a b c
DÊu “=” s¶y ra khi: 1 a 2008 a 2007
1 b 2009 b 2010
1 c 2 c 3
C©u 2: ( 1,5 ®iÓm)
Ta cã: 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2
Mµ y; z > 2 nªn: 1 ( 2)( 2)
2
4
yz
(1)
T¬ng tù: 1 (x 2)(z 2)
(2)
1 (x 2)(y 2)
(3)
Tõ (1); (2) vµ (3) ta cã:
0,5
0,5 0,5
Trang 4
2
(x 2)(y 2)(z 2) 1
(đpcm)
Bài 5:
(2điểm) Câu a: (1,5 điểm)
Ta có: OA = OM = R MOA cân tại O
OMA OAM (1)
Tơng tự: IA = IN =
2
R
IAN
cân tại I
IAN INA
(2)
Mà (O; R) và (I:
2
R
) tiếp xúc tại A
do đó O, A, I thẳng hàng
Nên OAM IAN (đđ) (3)
Từ (1); (2) và (3) suy ra: OMA INA (ở vị trí so le trong)
Do đó OM//IN (đpcm)
Câu 2: (2 điểm)
Ta có: OM//ON suy ra 2
2
AN IN R
2 1 3
AM
AM AN
AB AM
NP MN
Vậy độ dài PN không đổi
Câu 3: (1,5 điểm)
Từ A kẻ AH PN kéo dài tại H
ABPN
R
Vì R không đổi nên S ABPN lớn nhất khi và chỉ khi AH lớn nhất
Do AH AN nên AH lớn nhất lkhi AH = AN H N AN PN AM AB
tại A (do AB//PN) khi đó AMB vuông ở A nên ta có:
AM2 MB2 AB2 (2 )R 2 R2 AM R 3
3
AM
MN mà
AN AM AN R
ABPN
S
đạt giá trị lớn nhất =
2
.
R (đơn vị diên tích) Khi M thuộc cung lớn AB và AM AB
0,25 0,25
0,5 0,25 0,25
0,5 0,5 0,75 0,25 0,25
0,25 0,25 0,5 0,25
Bài 6
(1,5 đ) Ta có AEDF là hình chữ nhật nên
.
AEDF
S AE AF (1)
ABC là tam giác vuông tại A nên ta có:
ABC
AB AC AE BE A CF
áp dụng BĐT Cuchy ta có:
2
ABC
AE BE AF CF
S = 2 AE BE AF CF . (2)
0,25 0,25
0,25
H
B
P
N
M
A I O
B
Trang 5Ta lại có: BED DFC BE DE BE CF. DE DF. AE AF.
DF CF
(do AE = DF; AF = DE) (3)
Từ (1); (2) và (3) suy ra:
1
2
S AE AF AE A AE AF S S S
Dấu “=” sảy ra khi và chỉ khi: AE = BE; AF = CF DB DC do đó D là trung
điểm của BC
Vậy khi D là trung điểm của BC thì S AEDF đạt giá trị lớn nhất = 1
2S ABC
0,25 0,25
0,25