Đề thi chọn HSG lớp 12

THI CH N H C SINH GI I KH I 12 Nm hc 2008 - 2009 Thi gian 180 (không k thi gian phát ) Câu 1: (2 đ) Cho hàm số : ( ) ( ) mxmxmxy 2323 23 +++= (1) 1. Tìm trên mặt phẳng các điểm cố định mà đồ thị hàm số luôn đi qua m 2. Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng theo một thứ tự nào đó Câu 2: (2 đ) 1. Cho ABC có ba góc A, B, C thoả mãn : =+ =+ 1coscos 3 32 22 BA B tg A tg Chứng minh ABC là tam giác đều. 2. Giải hệ phơng trình + = + = 2 2 2 2 2 3 2 3 y x x x y y Câu 3: (2 đ) 1. Giải bất phơng trình : ( ) ( ) 13log 1 3log 1 2 2 4 < + x xx 2. Xác định a, b để hàm số : < + = 0 4cos2cos 0 xkhi x xx xkhibax y có đạo hàm tại x = 0 Câu 4: (3 đ) Trên mặt phẳng toạ độ cho elíp ( ) 1 49 : 2 2 =+ y x E và 2 đờng thẳng : d 1 : mx ny = 0, d 2 : nx + my = 0. (m 2 + n 2 > 0) 1. Tìm toạ độ của các giao điểm M, P của d 1 với (E) và các giao điểm N, Q của d 2 với (E) 2. Tìm điều kiện của m, n để diện tích tứ giác MNPQ đạt Max, Min. Câu 5: (1đ) Với n là số nguyên dơng, gọi a 3n 3 là hệ số của x 3n 3 trong khai triển thành đa thức của (x 2 + 1) n (x + 2) n . Tìm n để a 3n 3 = 26n --------(Hết)-------- Câu 1: (2,5 đ) 1. Tìm trên mặt phẳng các điểm cố định mà đồ thị hàm số luôn đi qua m Giả sử M( x; y) là điểm cố định mà mọi đờng cong của họ (C m ) đều đi qua Pt ẩn m : ( ) 023.23 232 =+++ yxxxmxx có vô số nghiệm ( ) ( ) 0;2,0;1 023 023 21 23 2 MM yxxx xx =+ =+ 2. Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng theo một thứ tự nào đó Để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng (C m ) phải có 2 cực trị và điểm uốn phải nằm trên trục hoành ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . 2 3 3,0 0992 033 02 3 3 .32 3 3 .3 3 3 03233 0 0 23 2 23 2 ' , === =+ >+ = + ++ + + + >++ = > mmm mm mm m m m m m m mm xf u y Câu 2: (2 đ) 1. Cho ABC có ba góc A, B, C thoả mãn : ( ) ( ) =+ =+ 21coscos 1 3 32 22 BA B tg A tg Ta có ( ) 2 3 2 1 1 2 1 1 2 3 2 cos 2 cos2 22 22 = + + + =+ B tg A tg BA 3 1 2 . 23 1 01690 3 4 123 2 3 12 22 2 3 1 2 . 22 . 2 2 22 22 22 2 22 2 . 2 2222 22 ===+=+ = ++ + = +++ ++ += = B tg A tgPPPPP PSP PS B tg A tg B tg A tg B tg A tg B tg A tgS B tg A tgP Vậy hệ = =+ 3 3 2 . 2 3 32 22 B tg A tg B tg A tg 2 ; 2 B tg A tg > 0 là nghiệm của Pt : 3 1 22 3 1 01.3230 3 1 . 3 32 22 ====+=+ B tg A tgttttt A = B = 60 0 ABC là tam giác đều. 1. Giải hệ phơng trình: Cách 1 : ( ) ( ) 1 0 23 03 23 0 23 03. 23 33 23 23 23 0 23 23 2 3 2 3 22 22 22 22 2222 22 22 22 22 22 2 2 2 2 == ⇔      >    =− += ⇔           =++ +=    =− += ⇔    =++− += ⇔    −=− += ⇔    += += ⇔      ≠ += += ⇔        + = + = yx yx yyx yxxy yyx yx yyx yxxyyx yyx xyxyyx yyx xxy yyx xy xxy yyx y x x x y y 0xy vi ngiÖmv« C¸ch 2 : Tõ hÖ ta cã x; y > 0. ⇒ 2 2 2 2 + + = x y y x Gi¶ sö 0 < x ≤ y ⇒ 11 2 2 2 2 ==⇒= + + = yx y y y x C©u 3: (2 ®) 1. Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh : ( ) ( ) 13log 1 3log 1 2 2 4 − < + x xx ĐK: x > 1/ 3 Khi đó ( ) 03log13 9 1 3 2 4 2 >+>+=+ xxxx Nếu ( ) ( ) ( ) ( ) xxxxxxx 3133log 2 1 13log1 3 2 3 1 2 2 2 22 +>+><< 8 1 10198 2 <>>+ xxxx Không thoả mãn. Néu x > 2/ 3 ( ) ( ) ( ) ( ) xxxxxx 3133log 2 1 13log1 2 2 2 22 +<+< 1 8 1 0198 2 <<<+ xxx Kết hợp ĐK tập nghiệm của Bpt là 3 2 ; 3 1 x 2. Xác định a, b để hàm số : < + = 0 4cos2cos 0 xkhi x xx xkhibax y có đạo hàm tại x = 0 Để hàm số có đạo hàm tại x = 0 ( ) ( ) + = 00 '' ff Hàm số có đạo hàm tại x = 0 liên tục tại x = 0 ( ) ( ) xfxf xx + = 00 limlim ( ) ( ) 0lim,0 sin2sin4cos2cos limlim 0 22 00 === = = + bbxf x xx x xx xf xxx Hàm số có đạo hàm tại x = 0 ( ) ( ) xfxf xx + = 00 limlim ( ) ( ) 3limlim 314 sin2sin lim 4cos2cos limlim 00 2 22 0 2 00 === == = = ++ aa x ax xf x xx x xx xf xx xxx Vậy a = 3, b = 0 hàm số có đạo hàm tại x = 0. Cõu 4: (2 ) Trờn mt phng to cho elớp ( ) 1 49 : 2 2 =+ y x E v 2 ng thng : d 1 : mx ny = 0, d 2 : nx + my = 0. (m 2 + n 2 > 0) 1. Tỡm to ca cỏc giao im M, P ca d 1 vi (E) v cỏc giao im N, Q ca d 2 vi (E) Vit Pt d 1 & d 2 di dng tham s: ( ) ( ) 2:,1: 21 = = = = nly mlx d mty ntx d To ca M & P l nghim ca H (E) & (1) ( ) 22 2222222 94 6 36.943694 mn ttmntmtn + ==+=+ + + ++ 2222 2222 94 6 ; 94 6 . 94 6 ; 94 6 mn m mn n P mn m mn n M Thay n bi m v m bi n ta cú: ++ + + 2222 2222 94 6 ; 94 6 . 94 6 ; 94 6 nm n nm m Q nm n nm m N Ta cú: MP // NQ SMNPQ = NQMP. 2 1 ( ) ( ) ( ) )94)(49( 72 49 144 ; 94 144 2222 22 22 22 22 22 mnmn mn S mn nm NQ mn nm MP ++ + = + + = + + = Ta cú ( ) ( ) ( ) 12 6 72 66)94)(49( 22 22 2 222222 = + + +++ mn mn Smnmnmn vy Max(S) = 12. Du = xy ra m = 0 n = 0. Ta li cú ( ) ( ) ( ) 13 144 13 144 2 13 )94)(49( 22 22 222222 = + + +++ nm nm Snmmnmn Vy Min(S) = 13 144 . Du = xy ra m = n. Câu 5: (1đ) Với n là số nguyên dơng, gọi a 3n 3 là hệ số của x 3n 3 trong khai triển thành đa thức của (x 2 + 1) n (x + 2) n . Tìm n để a 3n 3 = 26n Xét 2 khai triển : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 . , ; 1, 2 . .2 n n i i n n n j j j n x C x i j n x C x + = = + = Các hạng tử của đa thức trên có dạng : ( ) ( ) jninj n i n j xCC + 2 2 Từ đó ta có : 2(n i) + (n j) = 3n 3 2i + j = 3 == == 1;1 3;0 ji ji Hệ số của x 3n 3 là a 3n 3 = ( ) n nnn CCCC nnnn 26 3 432.2 2 2 2 111303 = + =+ 5 2/7 5 03532 2 = = = = n n n nn y N M 3 x Q -2 P -3 2 O . THI CH N H C SINH GI I KH I 12 Nm hc 2008 - 2009 Thi gian 180 (không k thi gian phát ) Câu 1: (2 đ) Cho hàm số. 2 3 2 cos 2 cos2 22 22 = + + + =+ B tg A tg BA 3 1 2 . 23 1 01690 3 4 123 2 3 12 22 2 3 1 2 . 22 . 2 2 22 22 22 2 22 2 . 2 2222 22 ===+=+ = ++ + = +++