PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN LÝ THUYẾT VÍ DỤ VÀ BÀI TẬP * Nhắc lại: MpOxy, đường thẳng d đi qua ( ) ; o o o M x y và nhận vecto ( ) 1 2 ;a a a= uur có pt là: 1 2 1 2 : ; : o o o o x x a t x x y y ptts ptct y y a t a a = + − − + + = = + I. PT THAM SỐ VÀ CHÍNH TẮC CỦA ĐT: Định lý: (sgk) Đ/nghĩa: ( sgk) Đường thẳng d đi qua ( ) ; ; o o o o M x y z và nhận vecto ( ) 1 2 3 ; ;a a a a= uur có pt là: 1 2 1 2 3 3 : ; : o o o o o o x x a t x x y y z z ptts y y a t ptct a a a z z a t = + − − − + = + + = = = + Chú ý: + ptđt d xác định ( ) ; ; o o o M x y z d vtcp a ∈ ⇔ uur + Đthẳng d có 1 vtcp là .a k a⇒ uur uur cũng là 1 vtcp; + Đthẳng AB có 1 vtcp là AB uuuur . + Nếu d d a n α α ⊥ ⇒ = uuur uuur VD1: Viết ptts và chính tắc của đt d biết: a. d qua ( ) 2;1;3A − và có vtcp là: ( ) 2; 3;1a = − uur ; b. d qua ( ) 2;1;3A − và ( ) 0; 1; 2B − − ; c. d qua ( ) 2;1;3A − và : 3 2 0d x y x α ⊥ − + = d. d qua ( ) 2;1;3A − và ( ) Oxd z⊥ . VD2: Tìm 1 vtcp, 2 điểm thuộc đt d: 1 2 2 4 x t y t z t = − = − + = . II. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA 2ĐT TRONG KG: Kg Oxyz, cho 2 đường thẳng có ptts: ' 1 1 1 ' 2 1 1 2 ' 3 1 3 : ; : ; o o o x x b t x x a t d y y a t d y y b t z z a t z z b t = + = + = + = + = + = + d qua ( ) ; ; o o o M x y z và nhận vecto ( ) 1 2 3 ; ;a a a a= uur d 1 qua ( ) 1 1 1 1 ; ;M x y z và nhận vecto ( ) 1 2 3 ; ;b b b b= uur 1. ĐK để 2 đt song song hoặc trùng nhau: 3 1 2 1 2 3 1 1 1 3 1 2 1 2 3 1 1 1 . . a a a a k b b b b d d M d M d a a a a k b b b b d d M d M d = = = + ⇔ ⇔ ∉ ∉ = = = + ≡ ⇔ ⇔ ∈ ∈ uur uur P uur uur 1 &d d+ cùngphương . ; 0a k b a b ⇔ = ⇔ = uur uur uur uur uur 2. ĐK để 2 đt cắt nhau, chéo nhau: Cách 1: (sgk) + ' 1 1 1 ' 1 2 1 2 ' 3 1 3 hê o o o x a t x b t d d A y a t y b t z a t z b t + = + ∩ = ⇔ + = + + = + có nghiệm + d và d 1 chéo nhau ⇔ hệ trên vô nghiêm và 2 vecto VD3: Các cặp đt sau song song hay trùng nhau? 2 2 2 ' . : 1 2 ; ': 3 4 '; 3 5 2 ' 2 2 ' . : 5 4 ; ': 3 2 '; 4 2 5 ' 2 2 2 ' . : 1 2 ; ': 3 ' ; 3 5 2 ' x t x t a d y t d y t z t z t x t x t b d y t d y t z t z t x t x t c d y t d y t z t z t = + = + = − + = + = − = − = − = + = + = − = − = + = + = + = − + = + = − = − ;a b uur uur không cùng phương. Cách 2: 1 1 ; 0 ; . 0 a b d d A a b MM ≠ + ∩ = ⇔ = uur uur uur uur uuuuur + d và d 1 chéo nhau 1 ; . 0a b MM ⇔ ≠ uur uur uuuuur + 1 . 0d d a b⊥ ⇔ = uur uur * d và d 1 chéo nhau hoặc cắt nhau ; 0a b ⇔ ≠ uur uur uur VD4: xét vị trí tương đối của đt d và các đt sau: 3 2 6 . : ; 4 6 2 4 1 3 . : ; 6 9 3 3 4 1 3 . : 2 4 ; . : 2 2 6 5 1 2 x y z a d x y z b d x t x t c d y t d d y t z t z t − − − = = − − − = = = + = + = + = − + = + = − + III. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐT VÀ MP: 1. Kg Oxyz, cho mp : 0Ax By Cz D α + + + = và đt 1 2 3 : o o o x x a t d y y a t z z a t = + = + = + .Xét hệ 1 2 3 : 0 o o o x x a t y y a t d z z a t Ax By Cz D = + = + = + + + + = (1) + Nếu hệ (1) có (!) nghiệm thì d A α ∩ = + Nếu hệ (1) có vô nghiệm thì d song song với α + Nếu hệ (1) có vô số nghiệm thì d α ⊂ . + .d n k a α ⊥ ⇔ = uur uur IV. MỘT SỐ BÀI TOÁN CƠ BẢN: Bài toán1: Tìm điểm hình chiếu của M trên mp α + Viết pt đt d qua M sao cho d α ⊥ ; + Xác định giao điểm H d α = ∩ H hc M α ⇒ = ( điểm H là h/chiếu của M trên α ) Bài toán2: Tìm điểm hình chiếu của M trên đt d + Viết pt mp α qua M sao cho d α ⊥ ; + Xác định giao điểm H d α = ∩ d H hc M⇒ = ( điểm H là h/chiếu của M trên α ) Suy ra bài toán tìm điểm đx qua đt và mp Bài toán 3: Tìm pt đường thẳng hình chiếu a. Tìm pt đường thẳng: ( ) ' Oxy d hc d= : + Tìm ( ) 1 ( ) 1 0 ;0;0 Oxy M hc M M x= ⇒ + Tìm giao điểm ( )A d Oxy= ∩ ⇒ đường thẳng h/chiếu d’ qua A và M 1 . * Tương tự cho cách tìm đt d’ là hình chiếu của d trên các mp tọa độ (Oyz) và (Oxz). VD5: Xét vị trí tương đối của α : 1 0x y z+ + − = và đường thẳng d biết: 1 1 . : 2 ; . : 2 1 1 3 2 1 . : 2 ; . : 2 1 1 x t x t a d y t b d y t z z t x t x t c d y t d d y t z z t = + = + = − = − = = + = − + = + = − = − = = + VD6: cho 1 2 7 3 1 2 5 : ; : 2 2 2 3 4 1 2 x t x y z d d y t z t = + − + − = = = + − = − a. chứng tỏ d 1 và d 2 cắt nhau. b. Viết pt mp α chứa cả 2 đường thẳng trên. VD7: kg Oxyz. cho điểm ( ) 2; 1;1M − a. Tìm điểm M 1 là hình chiếu của điểm M trên mp : 2 2 1 0x y z α − + + = a. Tìm điểm M 2 là hình chiếu của điểm M trên đt 1 1 : 2 1 2 x y z d − + = = − . VD8: a. Tìm điểm đối xứng của ( ) 2; 1;1M − qua mp α có pt: 2 3 3 0x y z+ − − = . b. Tìm điểm đối xứng của ( ) 2; 1;1M − qua đường thẳng d có pt: 1 3 2 1 x t y t z t = − = − = + VD9: Cho đt d có pt : 1 2 1 1 x t y t z t = + = − + = − . a. Xác định giao điểm của d với các mp tọa độ. b.Tìm pt đt hình chiếu d’ của d trên các mặt phẳng tọa độ? b. TQ: Tìm pt đt 'd hc d α = Cách 1: tương tự cách trên. CHÚ Ý: Cho mp : 0Ax By Cz D α + + + = Mp 1 1 1 1 : 0A x B y C z D β + + + = . Nếu α cắt β thì pt đường thẳng giao tuyến d α β = ∩ là: 1 1 1 1 0 0 Ax By Cz D A x B y C z D + + + = + + + = pt tổng quát của đt. Cách 2: Dùng pt đường thẳng tổng quát: + Gọi ' 'd hc d d α α β = ⇔ = ∩ với mp β được xác định: β chứa d và β α ⊥ + Viết pt mặt phẳng β . Vậy pt đt d’ là: pt mp pt mp α β . ỨNG DỤNG PT ĐƯỜNG THẲNG TQ: VD10: 1. Tìm pt đt d’ là h.chiếu của 2 : 1 2 x t d y t z t = = − = − trên mp : 2 1 0x y z α + + − = . 2. cho mp : 2 1 0x y z α + + − = và đt d có phương trình: 1 2 2 1 3 x y z− + = = − a. Tìm giao điểm A của d và α . b. Viết pt đt ∆ qua A d ∆ ⊥ và nằm trong α . ( HD: α β ∆ = ∩ với β qua A: d β ⊥ ) VD11: Cho ( ) 4; 2;4A − − và 3 2 : 1 1 4 x t d y t z t = − + = − = − + Viết pt đường thẳng ∆ qua A, cắt và vuông góc với đt d? HD: C1: + Viết pt mp α qua A và chứa d; + α β ∆ = ∩ với β qua A: d β ⊥ C2: Gọi B d ∈ ; tìm tọa độ B: AB a⊥ uuuur uur ⇒ đt ∆ là đt qua A,B. VD12: Viết pt đường thẳng ∆ : ( )Oxy∆ ⊥ và cắt cả 2 đt: 1 1 2 : 4 ; : 3 3 4 5 x t x t d y t d y t z t z t = = − = − + = − + = − = − VD13: Kg Oxyz, cho 4 điểm ( ) 2;4; 1A − ; ( ) 1;4; 1B − ; ( ) 2;4;3C ; ( ) 2;2; 1D − . a. Viết pt các đt AB; AC; AD. Nhận xét gì về các đt trên? b. Viết pt mp (BCD). c. Viết pt đường cao của tam giác BCD. d. Viết pt đường vuông góc chung của AB và CD. e. Tính thể tích của tứ diện ABCD. . PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN LÝ THUYẾT VÍ DỤ VÀ BÀI TẬP * Nhắc lại: MpOxy, đường thẳng d đi qua ( ) ; o o o M x y và nhận vecto ( ) 1. mp Bài toán 3: Tìm pt đường thẳng hình chiếu a. Tìm pt đường thẳng: ( ) ' Oxy d hc d= : + Tìm ( ) 1 ( ) 1 0 ;0;0 Oxy M hc M M x= ⇒ + Tìm giao điểm ( )A d Oxy= ∩ ⇒ đường thẳng h/chiếu d’ qua. Nếu α cắt β thì pt đường thẳng giao tuyến d α β = ∩ là: 1 1 1 1 0 0 Ax By Cz D A x B y C z D + + + = + + + = pt tổng quát của đt. Cách 2: Dùng pt đường thẳng tổng quát: + Gọi '