Tổng hợp đề thi cao đẳng môn toán từ 2008 đến 2014

hoctoancapba.com BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH CAO ĐẲNG NĂM 2008 Mơn thi: TỐN, khối A, B, D Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề ĐỀ CHÍNH THỨC PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH Câu I (2 điểm) x x −1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị ( C ) hàm số cho Cho hàm số y = Tìm m để đường thẳng d : y = − x + m cắt đồ thị ( C ) hai điểm phân biệt Câu II (2 điểm) Giải phương trình sin 3x − cos 3x = 2sin 2x ⎧ x − my = có nghiệm ( x; y ) thỏa mãn Tìm giá trị tham số m để hệ phương trình ⎨ ⎩mx + y = xy < Câu III (2 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A (1; 1; 3) đường thẳng d có phương trình x y z −1 = = −1 Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A vng góc với đường thẳng d Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d cho tam giác MOA cân đỉnh O Câu IV (2 điểm) Tính diện tích hình phẳng giới hạn parabol ( P ) : y = − x + 4x đường thẳng d : y = x Cho hai số thực x, y thay đổi thỏa mãn x + y = Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ ( ) biểu thức P = x + y3 − 3xy PHẦN RIÊNG Thí sinh làm câu: V.a V.b Câu V.a Theo chương trình KHÔNG phân ban (2 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , tìm điểm A thuộc trục hoành điểm B thuộc trục tung cho A B đối xứng với qua đường thẳng d : x − 2y + = 18 ⎞ ⎛ Tìm số hạng khơng chứa x khai triển nhị thức Niutơn ⎜ 2x + ⎟ x⎠ ⎝ ( x > 0) Câu V.b Theo chương trình phân ban (2 điểm) Giải phương trình log ( x + 1) − log x + + = 2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang, BAD = ABC = 90o , AB = BC = a, AD = 2a, SA vng góc với đáy SA = 2a Gọi M, N trung điểm SA, SD Chứng minh BCNM hình chữ nhật tính thể tích khối chóp S.BCNM theo a -Hết Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích thêm Họ tên thí sinh: ………… ………………………… Số báo danh: ………………………… hoctoancapba.com BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM ĐỀ THI TUYỂN SINH CAO ĐẲNG NĂM 2008 Mơn: TỐN, khối A (Đáp án - Thang điểm gồm 04 trang) ĐỀ CHÍNH THỨC Câu I Nội dung Điểm 2,00 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1,00 điểm) Ta có y = + x −1 • Tập xác định: D = \ {1} • Sự biến thiên: y ' = − < 0, ∀x ∈ D (x − 1) Bảng biến thiên: x −∞ y' y 0,25 +∞ − − 0,25 +∞ −∞ Hàm số khơng có cực đại cực tiểu • Tiệm cận: Tiệm cận đứng x = 1, tiệm cận ngang y = • Đồ thị: 0,25 y O II 1 x Tìm m để d : y = − x + m cắt (C) hai điểm phân biệt (1,00 điểm) Phương trình hồnh độ giao điểm d (C) x = − x + m ⇔ x − mx + m = (1) (do x = không nghiệm) x −1 Đường thẳng d cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt Điều kiện : Δ = m − 4m > ⇔ m > m < Vậy m > m < 0,25 0,50 0,50 2,00 Giải phương trình lượng giác (1,00 điểm) sin 3x − cos 3x = sin 2x 2 π⎞ ⎛ ⇔ sin ⎜ 3x − ⎟ = sin 2x 3⎠ ⎝ Phương trình cho ⇔ 1/4 0,50 hoctoancapba.com π ⎡ ⎢3x − = 2x + k2π π 4π 2π ⇔⎢ ⇔ x = + k2π, x = (k ∈ Z ) +k 15 ⎢3x − π = π − 2x + k2π ⎢ ⎣ Vậy nghiệm phương trình cho là: π 4π 2π (k ∈ Z ) x = + k2π, x = +k 15 Tìm m để hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn xy < (1,00 điểm) 0,50 Từ phương trình thứ hệ ta có x = my + (1) Thay vào phương 3−m m2 + trình thứ hai ta có: m ( my + 1) + y = ⇔ y = 3m + Thay (2) vào (1) ta có x = m +1 Xét điều kiện xy < : (2) 0,50 ( 3m + 1)( − m ) < ⇔ ⎡ m > ⎢ xy < ⇔ (m +1 ) ⎢m < − ⎣ 0,50 Vậy m > m < − III 2,00 Viết phương trình mặt phẳng (P) (1,00 điểm) Vectơ phương đường thẳng d u = (1; − 1; ) Do (P) vng góc với d nên (P) có vectơ pháp tuyến n P = (1; − 1; ) Phương trình mặt phẳng (P) là: ( x − 1) − ( y − 1) + ( z − 3) = ⇔ x − y + 2z − = 0,50 0,50 Tìm tọa độ điểm M thuộc d cho ΔMOA cân đỉnh O (1,00 điểm) +) M ∈ d ⇒ M ( t; − t; + 2t ) +) ΔMOA cân đỉnh O ⇔ OM = OA M, O, A không thẳng hàng OM = OA ⇔ t + t + ( 2t + 1) = 11 ⇔ t = t = − 7⎞ ⎛ 5 +) Với t = ta có M (1; − 1; 3) Với t = − ta có M ⎜ − ; ; − ⎟ 3⎠ ⎝ 3 +) Thử lại: hai điểm M tìm thỏa mãn điều kiện M, O, A khơng thẳng hàng Vậy có hai điểm M thỏa mãn yêu cầu toán M1 (1; − 1; 3) 0,25 0,25 0,25 0,25 7⎞ ⎛ 5 M2 ⎜ − ; ; − ⎟ 3⎠ ⎝ 3 IV 2,00 Tính diện tích hình phẳng (1,00 điểm) Phương trình hồnh độ giao điểm hai đường cho là: − x + 4x = x ⇔ x = x = Diện tích hình phẳng cần tìm là: S= ∫ − x + 4x − x dx = ∫ − x + 3x dx 2/4 0,25 0,25 hoctoancapba.com Do ≤ x ≤ nên − x + 3x ≥ Suy S=∫ Vậy S = ( ⎛ x3 x2 ⎞ − x + 3x dx = ⎜ − + ⎟ = ⎠0 ⎝ ) 0,50 (đvdt) Tìm giá trị lớn nhỏ P = ( x + y ) − 3xy (1,00 điểm) Ta có: P = ( x + y ) ( x + y − xy ) − 3xy = ( x + y )( − xy ) − 3xy Đặt x + y = t Do x + y = nên xy = t2 − Suy 0,25 ⎛ t2 − ⎞ t2 − P = 2t ⎜ − −3 = − t − t + 6t + ⎟ ⎠ 2 ⎝ Do ( x + y ) ≥ 4xy nên t ≥ ( t − ) ⇔ −2 ≤ t ≤ 2 0,25 Xét f ( t ) = − t − t + 6t + với t ∈ [ −2; 2] Ta có : f ' ( t ) = −3t − 3t + ⎡ t = −2∈ [ −2; 2] f '( t ) = ⇔ ⎢ ⎢ t = ∈ [ −2; 2] ⎣ Bảng biến thiên: t -2 f’(t) + - 13 f(t) -7 Vậy max P = 0,50 13 , P = −7 V.a 2,00 Tìm A ∈ Ox, B ∈ Oy (1,00 điểm) +) A ∈ Ox, B ∈ Oy ⇒ A ( a; ) , B ( 0; b ) , AB = ( −a; b ) 0,25 +) Vectơ phương d u = ( 2; 1) ⎛a b⎞ Tọa độ trung điểm I AB ⎜ ; ⎟ ⎝2 2⎠ +) A, B đối xứng với qua d ⎧ −2a + b = ⎧ ⎧a = ⎪AB.u = ⎪ ⇔ ⎨a ⇔⎨ ⎨ ⎪I ∈ d ⎩ b = ⎩ ⎪2 − b + = ⎩ Vậy A ( 2; ) , B ( 0; ) 3/4 0,25 0,50 hoctoancapba.com Tìm số hạng khơng chứa x khai triển (1,00 điểm) 18 ⎞ ⎛ Số hạng tổng quát khai triển Niutơn ⎜ 2x + ⎟ x⎠ ⎝ k 6k 18− ⎛ ⎞ k Tk +1 = C ( 2x ) ⎜ ⎟ = C18 218− k.x ⎝ x⎠ 6k Số hạng không chứa x ứng với k thỏa mãn: 18 − = ⇔ k = 15 Vậy số hạng cần tìm T16 = C15 23 = 6528 18 18− k k 18 V.b 0,50 0,50 2,00 Giải phương trình logarit (1,00 điểm) Điều kiện x > −1 Phương trình cho tương đương với log ( x + 1) − 3log ( x + 1) + = 0,25 Đặt t = log ( x + 1) ta t − 3t + = ⇔ t = t = 0,25 Với t = ta có log ( x + 1) = ⇔ x + = ⇔ x = (thỏa mãn điều kiện) 0,50 Với t = ta có log ( x + 1) = ⇔ x + = ⇔ x = (thỏa mãn điều kiện) Vậy nghiệm phương trình cho là: x = 1, x = Chứng minh BCNM hình chữ nhật tính (1,00 điểm) +) MN đường trung bình ΔSAD ⇒ MN // AD MN = ⇒ MN // BC MN = BC ⇒ BCNM hình bình hành (1) AD S M N A B 0,25 D C +) BC ⊥ AB, BC ⊥ SA ⇒ BC ⊥ ( SAB ) ⇒ BC ⊥ BM ( ) Từ (1) (2) suy BCNM hình chữ nhật 0,25 +) Ta có: SBCNM = 2SΔBCM ⇒ VS.BCNM = 2VS.BCM VS.BCM = VC.SBM 1 1 a3 = CB.SΔSBM = CB.SΔSAB = CB .SA.AB = 6 0,50 Vậy VS.BCNM = a (vtt) Nếu thí sinh làm không theo cách nêu đáp án mà đợc đủ điểm phần nh đáp án quy định Hết 4/4 hoctoancapba.com BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI TUYỂN SINH CAO ĐẲNG NĂM 2009 Mơn: TỐN; Khối: A, B, D Thời gian làm bài:180 phút, không kể thời gian phát đề PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số y = x3 − (2m − 1) x + (2 − m) x + (1), với m tham số thực Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = 2 Tìm giá trị m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu điểm cực trị đồ thị hàm số (1) có hồnh độ dương Câu II (2,0 điểm) Giải phương trình (1 + 2sin x)2 cos x = + sin x + cos x Giải bất phương trình x + + x − ≤ x + ( x ∈ ) Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân I = ∫ (e−2 x + x)e x dx Câu IV (1,0 điểm) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có AB = a, SA = a Gọi M , N P trung điểm cạnh SA, SB CD Chứng minh đường thẳng MN vng góc với đường thẳng SP Tính theo a thể tích khối tứ diện AMNP Câu V (1,0 điểm) Cho a b hai số thực thỏa mãn < a < b < Chứng minh a ln b − b ln a > ln a − ln b PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh làm hai phần (phần A B) A Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a (2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có C ( −1; − 2), đường trung tuyến kẻ từ A đường cao kẻ từ B có phương trình x + y − = x + y − = Tìm tọa độ đỉnh A B Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : x + y + 3z + = ( P2 ) : 3x + y − z + = Viết phương trình mặt phẳng ( P ) qua điểm A(1; 1; 1), vuông góc với hai mặt phẳng ( P ) ( P2 ) Câu VII.a (1,0 điểm) Cho số phức z thỏa mãn (1 + i )2 (2 − i) z = + i + (1 + 2i) z Tìm phần thực phần ảo z B Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b (2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường thẳng Δ1 : x − y − = Δ : x + y + = Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng Δ1 cho khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng Δ2 ⋅ 2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC có A(1; 1; 0), B (0; 2; 1) trọng tâm G (0; 2; − 1) Viết phương trình đường thẳng Δ qua điểm C vng góc với mặt phẳng ( ABC ) Câu VII.b (1,0 điểm) z − − 7i Giải phương trình sau tập hợp số phức: = z − 2i z −i Hết -Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh: ; Số báo danh: hoctoancapba.com ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ĐỀ THI TUYỂN SINH CAO ĐẲNG NĂM 2009 Mơn: TỐN; Khối: A, B, D (Đáp án - thang điểm gồm 04 trang) BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ĐỀ CHÍNH THỨC ĐÁP ÁN − THANG ĐIỂM Câu I (2,0 điểm) Đáp án Điểm (1,0 điểm) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị … Khi m = 2, hàm số (1) trở thành y = x3 − x + • Tập xác định: • Chiều biến thiên: - Ta có y ' = x − x; y ' = ⇔ x = x = - Hàm số đồng biến khoảng (−∞; 0) (2; + ∞) - Hàm số nghịch biến khoảng (0; 2) • Cực trị: - Hàm số đạt cực đại x = 0, yCĐ = y(0) = - Hàm số đạt cực tiểu x = 2, yCT = y(2) = −2 • Các giới hạn vô cực: lim y = − ∞ lim y = + ∞ x→−∞ • Bảng biến thiên: x + − +∞ +∞ −∞ Đồ thị 0,25 + y • 0,25 x→+ ∞ −∞ y' 0,25 −2 y 2 O 0,25 x −2 (1,0 điểm) Tìm giá trị m … Ta có y ' = 3x − ( 2m − 1) x + − m m thỏa mãn yêu cầu toán phương trình y ' = có hai nghiệm dương phân biệt ⎧ ⎪Δ ' = (2m − 1) − 3(2 − m) > ⎪ 2(2m − 1) ⎪ ⇔ ⎨S = >0 ⎪ 2−m ⎪ ⎪P = > ⎩ ⇔ < m < Trang 1/4 0,25 0,25 0,50 hoctoancapba.com Câu II (2,0 điểm) Đáp án Điểm (1,0 điểm) Giải phương trình… Phương trình cho tương đương với (sin x + 1)(2sin x − 1) = 0,50 π + k 2π (k ∈ ) π 5π • sin x = ⇔ x = + kπ x = + kπ (k ∈ ) 12 12 (1,0 điểm) Giải bất phương trình … • sin x = −1 ⇔ x = − 0,25 0,25 Điều kiện: x ≥ 0,25 ( x + 1)( x − 2) ≤ Bất phương trình cho tương đương với 0,25 ⇔ −2 ≤ x ≤ Kết hợp điều kiện ta tập hợp nghiệm bất phương trình cho [ 2; 3] III (1,0 điểm) 0,25 0,25 −x I = ∫ e dx + ∫ xe dx = −e x 1 + ∫ xe dx = − + ∫ xe x dx e 0 −x x 0,25 Đặt u = x dv = e x dx, ta có du = dx v = e x 1 1 I = − + xe x − ∫ e x dx = − + e − e x e e 0,25 0,25 = 2− ⋅ e IV (1,0 điểm) 0,25 Ta có MN //CD SP ⊥ CD, suy MN ⊥ SP 0,50 Gọi O tâm đáy ABCD a Ta có SO = SA2 − OA2 = ⋅ 1 VAMNP = VABSP = VS ABCD a 1 = SO AB = ⋅ 48 S M N 0,50 A D P O B V (1,0 điểm) C Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với ln a a2 + < ln b b2 + ⋅ (t + 1) − 2t ln t ln t t Xét hàm số f (t ) = , t ∈ (0; 1) Ta có f '(t ) = > 0, ∀t ∈ (0; 1) t +1 (t + 1) Do f (t ) đồng biến khoảng (0; 1) Mà < a < b < 1, nên f (a ) < f (b) Vậy ln a a +1 Trang 2/4 < ln b b2 + ⋅ 0,25 0,50 0,25 hoctoancapba.com Câu VI.a (2,0 điểm) Đáp án Điểm (1,0 điểm) Tìm tọa độ đỉnh A B … Đường thẳng AC qua C vng góc với đường thẳng x + y − = Do AC : x − y + = ⎧5 x + y − = ⇒ A(1; 4) Tọa độ điểm A thỏa mãn hệ ⎨ ⎩3x − y + = Điểm B thuộc đường thẳng x + y − = trung điểm BC thuộc đường ⎧x + 3y − = ⎪ thẳng x + y − = Tọa độ điểm B thỏa mãn hệ ⎨ ⎛ x − ⎞ y − ⎪5 ⎜ ⎟ + − = ⎠ ⎩ ⎝ ⇒ B (5; 0) 0,25 0,25 0,25 0,25 (1,0 điểm) Viết phương trình mặt phẳng (P) … • • (P) có vectơ pháp tuyến n = (4; − 5; 2) 0,25 (P) qua A(1; 1; 1) nên ( P ) : x − y + z − = VI.b (2,0 điểm) (P2) có vectơ pháp tuyến n2 = (3; 2; − 1) • VII.a (1,0 điểm) (P1) có vectơ pháp tuyến n1 = (1; 2; 3) 0,50 Hệ thức cho tương đương với (1 + 2i ) z = + i 0,25 ⇔ z = − 3i 0,50 0,25 Do z có phần thực phần ảo −3 (1,0 điểm) Tìm tọa độ điểm M … M ∈ Δ1 ⇒ M (2t + 3; t ) 0,25 0,25 Khoảng cách từ M đến Δ d ( M , Δ ) = | 2t + + t + 1| ⋅ ⎡t = −1 ⇔⎢ d (M , Δ ) = ⎢t = − ⋅ ⎣ 5⎞ ⎛ Vậy M (1; − 1) M ⎜ − ; − ⎟ ⎝ 3⎠ 0,25 0,25 0,25 (1,0 điểm) Viết phương trình đường thẳng Δ … ⎧1 + x ⎪ =0 ⎪ ⎪ 3+ y = ⇒ C ( − 1; 3; − 4) Tọa độ điểm C thỏa mãn hệ ⎨ ⎪ ⎪ 1+ z ⎪ = −1 ⎩ 0,25 Ta có AB = ( − 1; 1; 1), AG = ( − 1; 1; − 1) 0,25 Mặt phẳng ( ABC ) có vectơ pháp tuyến n = (1; 1; 0) 0,25 ⎧ x = −1 + t ⎪ Phương trình tham số đường thẳng Δ ⎨ y = + t ⎪ z = − ⎩ 0,25 Trang 3/4 hoctoancapba.com BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI TUYỂN SINH CAO ĐẲNG NĂM 2010 Mơn: TỐN; Khối: A, B, D Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (2,0 điểm) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số y = x3 + 3x − Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) điểm có hoành độ −1 Câu II (2,0 điểm) 5x 3x Giải phương trình cos cos + 2(8sin x − 1) cos x = 2 ⎧2 x + y = − x − y ⎪ Giải hệ phương trình ⎨ ( x, y ∈ ) 2 ⎪ x − xy − y = ⎩ Câu III (1,0 điểm) 2x −1 dx Tính tích phân I = ∫ x +1 Câu IV (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, mặt phẳng (SAB) vng góc với mặt phẳng đáy, SA = SB, góc đường thẳng SC mặt phẳng đáy 45o Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD Câu V (1,0 điểm) Cho hai số thực dương thay đổi x, y thỏa mãn điều kiện 3x + y ≤ Tìm giá trị nhỏ 1 biểu thức A = + ⋅ x xy II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh làm hai phần (phần A B) A Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a (2,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1; − 2; 3), B(−1; 0; 1) mặt phẳng ( P): x + y + z + = Tìm tọa độ hình chiếu vng góc A (P) Viết phương trình mặt cầu (S) có bán kính AB , có tâm thuộc đường thẳng AB (S) tiếp xúc với (P) Câu VII.a (1,0 điểm) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện (2 − 3i ) z + (4 + i ) z = − (1 + 3i) Tìm phần thực phần ảo z B Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b (2,0 điểm) x y −1 z Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : mặt phẳng = = −2 1 ( P): x − y + z − = Viết phương trình mặt phẳng chứa d vng góc với (P) Tìm tọa độ điểm M thuộc d cho M cách gốc tọa độ O mặt phẳng (P) Câu VII.b (1,0 điểm) Giải phương trình z − (1 + i ) z + + 3i = tập hợp số phức Hết -Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh: .; Số báo danh: hoctoancapba.com Câu Đáp án Điểm (1,0 điểm) A, B, M thẳng hàng ⇔ M thuộc đường thẳng AB Ta có AB = (2; −2; −8) = 2(1; −1; − 4); M ∈ AB ⇒ M (−1 + t ; − t ; − 4t ) (1,0 điểm) 0,25 M ∈ ( P ) ⇒ 2(−1 + t ) + (2 − t ) − 3(3 − 4t ) − = VII.a 0,25 0,25 0,25 ⇒ t = Vậy M (0; 1; − 1) Đặt z = a + bi (a, b ∈ ) Đẳng thức cho trở thành (−3 + 4i )(a + bi ) + (a − bi ) = 4i − 20 ⎧a + 2b = 10 ⇔⎨ ⎩a − b = ⎧a = ⇔⎨ ⎩b = 0,25 0,25 Do | z | = 42 + 32 = VI.b (2,0 điểm) 0,25 0,25 (1,0 điểm) ⎧x + 3y − = Tọa độ điểm A thỏa mãn hệ phương trình ⎨ ⎩3x + y − = ⇒ A(1; 2) Đường cao kẻ từ A có vectơ pháp tuyến n = (5; − 4) Phương trình đường cao 5( x − 1) − 4( y − 2) = ⇔ x − y + = 0,25 0,25 0,25 0,25 (1,0 điểm) Mặt phẳng (P) qua I vng góc với d có phương trình 4( x − 1) − 3( y − 2) + ( z + 3) = ⇔ x − y + z + = 0,25 ⎧ x −1 y +1 z −1 = = 1⎞ ⎪ ⎛ Tọa độ giao điểm H d (P) thỏa mãn hệ ⎨ −3 ⇒ H ⎜ −1; ; ⎟ 2⎠ ⎝ ⎪4 x − y + z + = ⎩ 0,25 ⎛ AB ⎞ Bán kính mặt cầu R = IH + ⎜ ⎟ = ⎝ ⎠ Phương trình mặt cầu ( x − 1) + ( y − 2) + ( z + 3) = 25 VII.b (1,0 điểm) 0,25 0,25 Phương trình bậc hai theo z có ∆ = 4(1 + i )2 − 8i = ⇒ z =1+ i 1 1 ⇒ = = − i z 1+ i 2 1 1 Vậy phần thực , phần ảo − ⋅ z z 0,25 - Hết - Trang 3/3 0,25 0,25 0,25 hoctoancapba.com ĐỀ THI TUYỂN SINH CAO ĐẲNG NĂM 2012 Mơn: TỐN; Khối A, Khối A1, Khối B Khối D Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THỨC I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) 2x + Câu (2,0 điểm) Cho hàm số y = (1) x +1 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) b) Viết phương trình tiếp tuyến d đồ thị hàm số (1), biết d vng góc với đường thẳng y = x + Câu (2,0 điểm) a) Giải phương trình 2cos x + sin x = sin 3x b) Giải bất phương trình log (2 x).log (3 x) > Câu (1,0 điểm) Tính tích phân I = ∫ x x +1 dx Câu (1,0 điểm) Cho khối chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông cân A, AB = a , SA = SB = SC Góc đường thẳng SA mặt phẳng ( ABC ) 60o Tính thể tích khối chóp S ABC bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC theo a Câu (1,0 điểm) Giải phương trình x3 + x − ( x + 1) x + = ( x ∈ ) II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh làm hai phần riêng (phần A phần B) A Theo chương trình Chuẩn Câu 6.a (2,0 điểm) a) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường tròn (C ) : x + y − x − y + = đường thẳng d : x − y + m = Tìm m để d cắt (C ) hai điểm A, B cho AIB = 120o , với I tâm (C ) b) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng: ⎧x = t ⎪ d1 : ⎨ y = 2t (t ∈ ), ⎪z = − t ⎩ ⎧ x = + 2s ⎪ d : ⎨ y = + 2s (s ∈ ) ⎪ z = −s ⎩ Chứng minh d1 d cắt Viết phương trình mặt phẳng chứa hai đường thẳng d1 , d Câu 7.a (1,0 điểm) Cho số phức z thỏa mãn (1 − 2i ) z − 2−i = (3 − i ) z Tìm tọa độ điểm biểu diễn z 1+ i mặt phẳng tọa độ Oxy B Theo chương trình Nâng cao Câu 6.b (2,0 điểm) a) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC Các đường thẳng BC , BB ', B ' C ' có phương trình y − = 0, x − y + = 0, x − y + = 0; với B ', C ' tương ứng chân đường cao kẻ từ B, C tam giác ABC Viết phương trình đường thẳng AB, AC x − y +1 z +1 mặt phẳng b) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d : = = −1 −1 ( P ) : x + y − z = Đường thẳng Δ nằm ( P ) vng góc với d giao điểm d ( P) Viết phương trình đường thẳng Δ Câu 7.b (1,0 điểm) Gọi z1 , z2 hai nghiệm phức phương trình z − z + + 2i = Tính z1 + z2 - Hết -Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh: ; Số báo danh hoctoancapba.com BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ĐỀ CHÍNH THỨC ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ĐỀ THI TUYỂN SINH CAO ĐẲNG NĂM 2012 Mơn: TỐN; Khối A, Khối A1, Khối B Khối D (Đáp án - thang điểm gồm 04 trang) Câu (2,0 điểm) Đáp án Điểm a) (1,0 điểm) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y = 2x + x +1 (1) • Tập xác định: R \ {−1} • Sự biến thiên: - Đạo hàm: y ' = −1 0,25 , y ' < , ∀x ≠ −1 ( x + 1) - Hàm số nghịch biến khoảng (− ∞; −1) (−1; + ∞) - Giới hạn tiệm cận: lim y = lim y = ; tiệm cận ngang y = x→ − ∞ x→ + ∞ lim y = − ∞ x → ( − 1) − lim y = + ∞ ; tiệm cận đứng x = −1 x → ( − 1) + 0,25 - Hàm số khơng có cực trị - Bảng biến thiên: x −∞ −1 − y' y +∞ − +∞ 0,25 −∞ • Đồ thị: y 0,25 3 − -1 O x b) (1,0 điểm) Viết phương trình tiếp tuyến d đồ thị hàm số (1), biết d vng góc với đường thẳng y = x + d vng góc với đường thẳng y = x + ⇔ d có hệ số góc −1 Hồnh độ tiếp điểm x0 : y '( x0 ) = −1 ⇔ ⎡ x0 = −1 = −1 ⇔ ⎢ ( x0 + 1) ⎣ x0 = −2 0,25 0,25 x0 = : Phương trình tiếp tuyến d y = − x + x0 = −2 : Phương trình tiếp tuyến d y = − x − (2,0 điểm) 0,25 0,25 a) (1,0 điểm) Giải phương trình: 2cos x + sin x = sin x Phương trình cho tương đương với: 2cos x + sin x − sin x = ⇔ 2cos x − 2cos x sin x = 1/4 0,25 hoctoancapba.com ⎡ cos2 x = ⇔ 2cos x(sin x − 1) = ⇔ ⎢ ⎣sin x = cos x = ⇔ x = sin x = ⇔ x = π π +k π 0,25 0,25 + k 2π 0,25 b) (1,0 điểm) Giải bất phương trình log ( x ) log ( x ) > Điều kiện x > Bất phương trình tương đương với (1 + log x )(1 + log x ) > 0,25 ⎡log x < − log ⇔ (1 + log x)(1 + log 2.log x) > ⇔ log x [ (log3 2).log x + log3 6] > ⇔ ⎢ ⎣log x > 0,25 log x < − log ⇔ < x < ⎛ 1⎞ log x > ⇔ x > Tập nghiệm bất phương trình cho: ⎜ 0; ⎟ ∪ (1; +∞ ) ⎝ 6⎠ (1,0 điểm) 0,25 0,25 Tính tích phân I = x ∫ x +1 Đặt dx x + = t ; dx = 2tdt ; x = ⇒ t = 1; x = ⇒ t = 0,25 ∫ Ta có I = 2(t − 1)dt 0,25 ⎛ t3 ⎞ Suy I = ⎜ − t ⎟ ⎝3 ⎠1 0,25 I= (1,0 điểm) 0,25 Cho khối chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng cân A, AB = a , SA = SB = SC Góc đường thẳng SA mặt phẳng ( ABC ) 60o Tính thể tích khối chóp S ABC bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC theo a Gọi H trung điểm BC ⇒ HA = HB = HC Kết hợp với giả thiết SA = SB = SC suy SH ⊥ BC , ∆SHA = ∆SHB = ∆SHC S ⇒ SH ⊥ ( ABC ) SAH = 60o 0,25 H 2a B 60o C a A ∆ABC vuông cân A : AC = AB = a ⇒ BC = 2a ⇒ AH = a 1 3a ∆SHA vuông : SH = AH tan 60o = a ⇒ VS ABC = AB AC SH = 3 2/4 0,25 hoctoancapba.com Gọi O, R tâm, bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC ⇒ O thuộc đường thẳng SH ⇒ O thuộc mặt phẳng ( SBC ) ⇒ R bán kính đường trịn ngoại tiếp ∆SBC 0,25 2a 2a SH = = 2a ⇒ ∆SBC có độ dài cạnh a ⇒ R = o o 2sin 60 sin 60 0,25 Xét ∆SHA, ta có SA = (1,0 điểm) Giải phương trình x3 + x − ( x + 1) x + = ( x ∈ ) Điều kiện x ≥ − Phương trình cho tương đương với: (2 x)3 + x = Xét hàm số f (t ) = t + t ⇒ f (t ) đồng biến ( ) 0,25 2x + + 2x + (1) Với t ∈ , f '(t ) = 3t + > Do (1) ⇔ x = x + Giải phương trình nghiệm x = 0,25 0,25 1+ 0,25 6.a a) (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C ) : x + y − x − y + = (2,0 điểm) đường thẳng d : x − y + m = Tìm m để d cắt (C ) hai điểm A, B cho AIB = 120o , với I tâm (C ) Đường trịn (C ) có tâm I (1;2), bán kính R = 0,25 Gọi H hình chiếu I d , đó: AIB = 120o ⇔ IH = IA cos60o = 0,25 |m− 2| =1 ⎡m = ⇔⎢ ⎣ m = −3 Do 0,25 0,25 b) (1,0 điểm) Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng: ⎧x = t ⎪ d1 : ⎨ y = 2t (t ∈ ), ⎪z = − t ⎩ ⎧ x = + 2s ⎪ d : ⎨ y = + s (s ∈ ) ⎪ z = −s ⎩ Chứng minh d1 d cắt Viết phương trình mặt phẳng chứa hai đường thẳng d1 , d ⎧t = + 2s ⎪ Xét hệ ⎨2t = + 2s (*) ⎪1 − t = − s ⎩ 0,25 ⎧t = ⇒ d1 , d cắt Giải hệ (*) ⎨ ⎩s = 0,25 d1 có VTCP u1 = (1; 2; −1) , d có VTCP u2 = ( 2; 2; −1) Mặt phẳng cần tìm mặt phẳng qua điểm I (0;0;1) ∈ d1 có VTPT [u1 , u ] = ( 0; −1; −2 ) Phương trình mặt phẳng cần tìm: y + z − = 7.a (1,0 điểm) 0,25 0,25 Cho số phức z thỏa mãn (1 − 2i) z − 2−i = (3 − i ) z Tìm tọa độ điểm biểu diễn z mặt phẳng tọa 1+ i độ Oxy Phương trình cho tương đương với (1 − 2i) z − (3 − i) z = 3/4 2−i 1+ i 0,25 hoctoancapba.com ⇔ (−2 − i) z = ⇔z= − 3i 0,25 + i 10 10 0,25 0,25 ⎛1 7⎞ Điểm biểu diễn z M ⎜ ; ⎟ ⎝ 10 10 ⎠ 6.b (2,0 điểm) a) (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC Các đường thẳng BC , BB ', B ' C ' có phương trình y − = 0, x − y + = 0, x − y + = 0; với B ', C ' tương ứng chân đường cao kẻ từ B, C tam giác ABC Viết phương trình đường thẳng AB, AC ⎧x − y + = Tọa độ điểm B ' nghiệm hệ ⎨ , giải hệ ta ⎩x − 3y + = ⎧ x = −2 ⇒ B '(−2;0) ⎨ ⎩y = 0,25 Đường thẳng AC qua B ' vng góc với BB ' nên AC có phương trình x + y + = ⎧x − y + = Tọa độ điểm B nghiệm hệ ⎨ , giải hệ ta ⎩y − = ⎧x + y + = Tọa độ điểm C nghiệm hệ ⎨ , giải hệ ta ⎩y − = ⎧x = ⇒ B (0; 2) ⎨ ⎩y = ⎧ x = −4 ⇒ C ( −4;2) ⎨ ⎩y = C '(3t − 2; t ) ∈ B ' C ', từ BC ' ⊥ CC ' suy C '(− ; ) C '( −2;0) 5 Nếu C '(− ; ) đường thẳng AB có phương trình x − y + = 5 Nếu C '(−2;0) đường thẳng AB có phương trình x − y + = 0,25 0,25 0,25 x − y +1 z +1 = = mặt −1 −1 phẳng ( P) : x + y − z = Đường thẳng ∆ nằm ( P) vng góc với d giao điểm d ( P ) Viết phương trình đường thẳng ∆ b) (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : Gọi I giao điểm d ( P) ; I (1; −2;0) 0,25 ( P) có VTPT nP = (2;1; −2) , d có VTCP ud = ( −1; −1;1) 0,25 [ nP , ud ] = ( −1;0; −1) ∆ nằm ( P) vng góc với d ⇒ ∆ có VTCP u∆ = [nP ; ud ] 0,25 ⎧x = 1− t Phương trình đường thẳng ∆ : ⎪ y = − ( t ∈ ) ⎨ ⎪ z = −t ⎩ 7.b (1,0 điểm) 0,25 Gọi z1 , z2 nghiệm phức phương trình z − z + + 2i = Tính z1 + z2 Phương trình cho tương đương với ( z − 1) − (1 − i ) = ⇔ ( z − i )( z − + i ) = 0,25 0,25 ⎡z = i ⇔ ⎢ ⎣z = − i z1 + z2 =| i | + | − i |= + 0,25 0,25 HẾT 4/4 hoctoancapba.com BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO −−−−− − − − −− ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI TUYỂN SINH CAO ĐẲNG NĂM 2013 Môn: TOÁN; Khối A, Khối A1, Khối B Khối D Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề −−−−−−−−−− −−−−−−−−− I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) 2x + Câu (2,0 điểm) Cho hàm số y = x−1 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số cho b) Gọi M điểm thuộc (C) có tung độ Tiếp tuyến (C) M cắt trục tọa độ Ox Oy A B Tính diện tích tam giác OAB π Câu (1,0 điểm) Giải phương trình cos − x + sin 2x = xy − 3y + = Câu (1,0 điểm) Giải hệ phương trình (x, y ∈ R) 4x − 10y + xy = Câu (1,0 điểm) Tính tích phân I= dx √ + 2x − Caâu (1,0 điểm) Cho lăng trụ ABC.A B C có AB = a đường thẳng A B tạo với đáy góc 60◦ Gọi M N trung điểm cạnh AC B C Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A B C độ dài đoạn thẳng MN √ Câu (1,0 điểm) Tìm m để bất phương trình (x − − m) x − ≤ m − có nghiệm II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh làm hai phần (phần A phần B) A Theo chương trình Chuẩn Câu 7.a (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d : x + y − = 0, ∆ : x − y + = điểm M(−1; 3) Viết phương trình đường tròn qua M, có tâm thuộc d, √ cắt ∆ hai điểm A B cho AB = Câu 8.a (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(4; −1; 3) đường thẳng y+1 z−3 x−1 Tìm tọa độ điểm đối xứng A qua d = = d: −1 Câu 9.a (1,0 điểm) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện (3 + 2i)z + (2 − i)2 = + i Tìm phần thực phần ảo số phức w = (1 + z) z B Theo chương trình Nâng cao Câu 7.b (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông A(−3; 2) 1 có trọng tâm G ; Đường cao kẻ từ đỉnh A tam giác ABC qua điểm P (−2; 0) 3 Tìm tọa độ điểm B C Câu 8.b (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(−1; 3; 2) mặt phẳng (P ) : 2x − 5y + 4z − 36 = Goïi I hình chiếu vuông góc A mặt phẳng (P ) Viết phương trình mặt cầu tâm I qua điểm A Câu 9.b (1,0 điểm) Giải phương trình z + (2 − 3i)z − − 3i = tập hợp C số phức −−− − −−Hết− − − − −− Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích thêm Họ tên thí sinh: ; Số báo danh: hoctoancapba.com ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ĐỀ THI TUYỂN SINH CAO ĐẲNG NĂM 2013 Mơn: TỐN; Khối A, Khối A1, Khối B Khối D (Đáp án - thang điểm gồm 03 trang) BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ĐỀ CHÍNH THỨC Câu (2,0 điểm) Đáp án Điểm a (1,0 điểm) • Tập xác định: D = \{1} • Sự biến thiên: - Chiều biến thiên: y ' = − 0,25 ; y ' < 0, ∀x ∈ D ( x −1)2 Hàm số nghịch biến khoảng ( −∞;1) (1; + ∞) - Giới hạn tiệm cận: lim y = lim y = ; tiệm cận ngang: y = x→−∞ x→+∞ 0,25 lim y = −∞, lim y = +∞ ; tiệm cận đứng: x = x→1− x→1+ - Bảng biến thiên: +∞ x −∞ y' − − 0,25 +∞ y −∞ • Đồ thị: y 0,25 O x b (1,0 điểm) M (m;5) ∈ (C ) ⇔ = 2m + ⇔ m = Do M (2;5) m −1 Phương trình tiếp tuyến d (C) M là: y = y '(2)( x − 2) + 5, hay d : y = −3 x + 11 0,25 0,25 (11; 0), cắt Oy B(0; 11) 0,25 1 11 121 Diện tích tam giác OAB S = OA.OB = 11 = 2 0,25 d cắt Ox A Trang 1/3 hoctoancapba.com Câu (1,0 điểm) Đáp án Điểm Phương trình cho tương đương với sin x = − sin x 0,25 ⇔ sin x = sin(− x ) 0,25 x = − x + k 2π (k ∈ ) ⇔⎡ ⎢2 x = π + x + k 2π ⎣ 0,25 ⎡x = k 2π ⇔⎢ (k ∈ ) ⎢x = π + k 2π ⎣ (1,0 điểm) 0,25 2π Vậy nghiệm phương trình cho x = k , x = π + k 2π ( k ∈ ) xy − y +1 = (1) x −10 y + xy = (2) { y −1 (3) Nhận xét: y = không thỏa mãn (1) Từ (1) ta x = y Thay vào (2) ta y3 −11 y + 12 y − = ⇔ y = y = y = 0,25 0,25 (5 ; 2) (3 ; 2) 2 0,25 Đặt t = x −1 Suy dx = tdt ; x = t =1, x = t = 0,25 Thay vào (3) ta nghiệm (x; y) hệ (2;1), (1,0 điểm) 0,25 ( ) t dt = ∫ − dt t +1 t +1 Khi I = ∫ = (t − ln | t +1|) 0,25 0,25 = − ln (1,0 điểm) 0,25 A′ AA ' ⊥ ( ABC ) ⇒ A ' BA góc A' B với đáy ⇒ A ' BA = 60o C′ N ⇒ AA ' = AB.tan A ' BA = a B′ Do VABC A' B 'C ' = AA '.SΔABC = C M A K B 3a3 0,25 Gọi K trung điểm cạnh BC Suy ΔMNK vng K, có MK = Do MN = MK + NK = (1,0 điểm) 0,25 AB a = , NK = AA ' = a 2 a 13 0,25 0,25 Điều kiện: x ≥ Đặt t = x −1, suy t ≥ t3 − t + t +1 (t −1)(2t + 5t + 5) t3 − t + Xét f (t ) = , với t ≥ Ta có f '(t ) = ; f '(t ) = ⇔ t = t +1 (t +1)2 Bảng biến thiên: +∞ t Bất phương trình cho trở thành m ≥ f '(t ) − 0,25 + +∞ f (t ) 0,25 0,25 Dựa vào bảng biến thiên ta bất phương trình cho có nghiệm m ≥ Trang 2/3 0,25 hoctoancapba.com Câu Đáp án Gọi (C) đường trịn cần viết phương trình I tâm (C) Do I ∈ d , suy I (t ;3 − t ) 7.a (1,0 điểm) M I A 8.a (1,0 điểm) 9.a (1,0 điểm) 7.b (1,0 điểm) Gọi H trung điểm AB, suy AH = IH = d ( I ; Δ) = B H AB = 2 | 2t −1| Do IA = IH + AH = 2t − 2t + Từ IM = IA ta 2t + 2t +1 = 2t − 2t + 5, suy t = Do I (1;2) Bán kính (C) R = IM = Phương trình (C) ( x −1)2 + ( y − 2)2 = Gọi (P) mặt phẳng qua A vng góc với d Phương trình (P) x − y + z −12 = Gọi H giao điểm d (P) Suy H (1 + 2t ; −1− t ; + t ) Do H ∈ ( P) nên 2(1 + 2t ) − (−1 − t ) + (3 + t ) −12 = Suy t = Do H (3; −2;4) Gọi A ' điểm đối xứng A qua d, suy H trung điểm đoạn AA ' Do A '(2; −3;5) (3 + 2i ) z + (2 − i )2 = + i ⇔ (3 + 2i ) z = + 5i ⇔ z = + i Suy w = (2 + i )(1 − i ) = − i Vậy w có phần thực phần ảo −1 Gọi M trung điểm cạnh BC Suy AM = AG Do M 2; − 2 A Đường thẳng BC qua M vuông góc với AP, nên có phương trình x − y − = Tam giác ABC vuông A nên B C thuộc đường tròn tâm M, G P 5 B C bán kính MA = Tọa độ điểm B C nghiệm hệ M ⎧x − y − = ⎪ 125 ⎨ = ( x − 2)2 + y + ⎪ ⎩ x = 7, y = ⇔⎡ ⎢ ⎣x = −3, y = −3 Vậy B(7;2), C (−3; −3) B(−3; −3), C (7;2) Do IA ⊥ ( P ) nên I (−1+ 2t ;3 − 5t ;2 + 4t ) Do I ∈ ( P ) nên 2(−1 + 2t ) − 5(3 − 5t ) + 4(2 + 4t ) − 36 = 0, suy t = Do I (1; −2;6) ( ) Điểm 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 ( ) 8.b (1,0 điểm) 0,25 0,25 0,25 Ta có IA = Phương trình mặt cầu tâm I qua điểm A ( x −1)2 + ( y + 2)2 + ( z − 6)2 = 45 9.b (1,0 điểm) 0,25 Phương trình z + (2 − 3i ) z −1 − 3i = có biệt thức Δ = −1 0,25 Suy Δ = i Nghiệm phương trình cho z = −1 + 2i z = −1 + i 0,25 0,25 0,25 2 - Hết - Trang 3/3 0,25 hoctoancapba.com Câu VII.b (1,0 điểm) Đáp án Điểm Điều kiện: z ≠ i Phương trình cho tương đương với z − (4 + 3i ) z + + 7i = 0,25 Δ = − 4i = (2 − i ) 0,50 Nghiệm phương trình cho z = + 2i z = + i 0,25 -Hết - Trang 4/4 hoctoancapba.com BOÄ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO −−−−− − − − −− ĐỀ CHÍNH THỨC Câu (2,0 điểm) Cho hàm số ĐỀ THI TUYỂN SINH CAO ĐẲNG NĂM 2014 Môn: TOÁN; Khối A, Khối A1, Khối B Khối D Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát ñeà −−−−−−−−−− −−−−−−−−− y = −x + 3x2 − (1) a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số (1) b) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) điểm thuộc (C) có hoành độ Câu (1,0 điểm) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện thực phần ảo z Câu (1,0 điểm) Tính tích phân I = 2z − i z = + 5i Tìm phần x2 + ln x dx x Câu (1,0 điểm) Giải phương trình 2x+1 − 4.3x + = (x ∈ R) Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(−2; 5) đường thẳng d : 3x − 4y + = Viết phương trình đường thẳng qua A vuông góc với d Tìm tọa độ điểm M thuộc d cho AM = Câu (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2; 1; −1), B(1; 2; 3) mặt phẳng (P ) : x + 2y − 2z + = Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc A (P ) Viết phương trình mặt phẳng chứa A, B vuông góc với (P ) Câu (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy, SC tạo với đáy góc 45 ◦ Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SCD) Câu (1,0 điểm) Giải hệ phương trình x2 + xy + y = x2 − xy − 2y = −x + 2y (x, y ∈ R) Câu (1,0 điểm) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm soá √ √ f (x) = x + − x −−− − −−Hết− − − − −− Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích thêm Họ tên thí sinh: ; Số báo danh: hoctoancapba.com BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO −−−−− − − − −− ĐỀ CHÍNH THỨC ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM ĐỀ THI TUYỂN SINH CAO ĐẲNG NĂM 2014 Môn: TOÁN; Khối A, Khối A1, Khối B Khối D (Đáp án - Thang điểm gồm 03 trang) −−−−−−−−−− −−−−−−−−− Đáp án Câu a) (1,0 điểm) (2,0đ) • Tập xác định: D = R • Sự biến thiên: - Chiều biến thiên: y = −3x + 6x; y = ⇔ 0,25 x=0 x = Các khoảng nghịch biến: (−∞; 0) (2; +∞); khoảng đồng biến: (0; 2) - Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu x = 0, y CT = −1; đạt cực đại x = 2, y CĐ = - Giới hạn vô cực: lim y = +∞; lim y = −∞ x→−∞ Điểm 0,25 x→+∞ - Bảng biến thiên: x −∞ y y +∞ P P 0 − PP P q P −1 • Đồ thò: +   +∞ −  PP  P PP q P 0,25 −∞ y Ă Ơ Â 0,25 Ê x Ô −1 b) (1,0 điểm) Hệ số góc tiếp tuyến laø y (1) = 0,25 Khi x = y = 1, nên tọa độ tiếp điểm M (1; 1) 0,25 Phương trình tiếp tuyến d cần tìm y − = 3(x − 1) 0,25 ⇔ d : y = 3x − 0,25 Đặt z = a + bi (a, b ∈ R) Từ giả thiết ta 2(a + bi) − i(a − bi) = + 5i (1,0ñ) 2a − b = ⇔ 2b − a = ⇔ a=3 b = 0,25 0,25 0,25 Do số phức z có phần thực phần ảo 0,25 hoctoancapba.com Đáp án Câu (1,0đ) Ta có I = x dx = • ln x dx x x dx + Điểm 0,25 x2 2 = 0,25 2 ln x dx = x • ln x d(ln x) = ln2 x = ln2 0,25 Do I = + ln2 2 (1,0đ) 0,25 Đặt t = 3x , t > Phương trình cho trở thành 3t − 4t + = 0,25 t=1 ⇔ t= • Với t = ta 3x = ⇔ x = 0,25 0,25 ta 3x = 3−1 ⇔ x = −1 Vậy nghiệm phương trình cho x = x = −1 • Với t = → Đường thẳng d có vectơ pháp tuyến − = (3; −4) n (1,0đ) → Đường thẳng ∆ cần viết phương trình qua A nhận − làm vectơ phương, nên n ∆ : 4(x + 2) + 3(y − 5) = ⇔ ∆ : 4x + 3y − = 3t + M ∈ d, suy M t; 3t + AM = ⇔ (t + 2)2 + − = 52 ⇔ t = Do M (1; 1) x−2 y−1 z +1 Phương trình đường thẳng qua A vuông góc với (P ) = = −2 (1,0đ) Gọi H hình chiếu vuông góc A (P ), suy H(2 + t; + 2t; −1 − 2t) S   A Ư ă Đ B H â (1,0ủ) Ta coự H ∈ (P ) neân (2 + t) + 2(1 + 2t) − 2(−1 − 2t) + = ⇔ t = −1 Do H(1; −1; 1) − − → → Ta coù AB = (−1; 1; 4) vectơ pháp tuyến (P ) − = (1; 2; −2) n − → − − → Suy [ AB, n ] = (−10; 2; −3) − − − → Mặt phẳng (Q) cần viết phương trình qua A nhận [ AB, →] làm vectơ pháp tuyến, n nên (Q) : −10(x − 2) + 2(y − 1) − 3(z + 1) = ⇔ (Q) : 10x − 2y + 3z − 15 = C D Ta có SA ⊥ (ABCD) nên góc SC đáy SCA √ Do ABCD hình vuông cạnh a, nên AC = a √ Suy SA = AC tan SCA = a √ 2a Thể tích khối chóp V S.ABCD = SA.SABCD = 3 Gọi H hình chiếu vuông góc A SD, suy AH ⊥ SD Do CD ⊥ AD vaø CD ⊥ SA neân CD ⊥ (SAD) Suy CD ⊥ AH Do AH ⊥ (SCD) 1 Ta coù = + = 2 2 AH SA AD 2a √ 6a Do d(B, (SCD)) = d(A, (SCD)) = AH = 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 hoctoancapba.com Đáp án Câu (1,0đ) x2 + xy + y = x2 − xy − 2y Điểm (1) 0,25 = −x + 2y (2) Ta có (2) ⇔ (x − 2y)(x + y + 1) = ⇔ x = 2y x = −y − 0,25 • Với x = 2y, phương trình (1) trở thaønh 7y = ⇔ y=1⇒x=2 y = −1 ⇒ x = −2 y = −3 ⇒ x = y = ⇒ x = −3 Vậy nghiệm (x; y) hệ cho là: (2; 1), (−2; −1), (2; −3), (−3; 2) • Với x = −y − 1, phương trình (1) trở thành y + y − = ⇔ Tập xác định hàm số D = [0; 5] (1,0đ) 1 Ta coù f (x) = √ − √ , ∀x ∈ (0; 5) x 5−x √ √ f (x) = ⇔ x = − x ⇔ x = √ √ Ta coù f (0) = 5; f (4) = 5; f (5) = √ • Giá trị nhỏ hàm số f (0) = 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 • Giá trị lớn hàm số f (4) = −−− − −−Hết− − − − −− ... ĐÀO TẠO −−−−− − − − −− ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI TUYỂN SINH CAO ĐẲNG NĂM 2013 Môn: TOÁN; Khối A, Khối A1, Khối B Khối D Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề −−−−−−−−−− −−−−−−−−−... hoctoancapba.com BOÄ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO −−−−− − − − −− ĐỀ CHÍNH THỨC Câu (2,0 điểm) Cho hàm số ĐỀ THI TUYỂN SINH CAO ĐẲNG NĂM 2014 Môn: TOÁN; Khối A, Khối A1, Khối B Khối D Thời gian làm bài:... ĐÀO TẠO ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM ĐỀ THI TUYỂN SINH CAO ĐẲNG NĂM 2008 Mơn: TỐN, khối A (Đáp án - Thang điểm gồm 04 trang) ĐỀ CHÍNH THỨC Câu I Nội dung Điểm 2,00 Khảo sát biến thi? ?n vẽ đồ thị hàm số (1,00