đề thi học sinh giỏi toán 8 (Thời gian: 120 ) Câu 1: Cho a = n 3 - 7n 6 a) Phân tích A thành nhân tử b) Tìm n để A = 0 Câu 2: Cho phân thức ( ) ( ) ( ) ( ) 11 11 222 222 ++ ++++ = xaaax xaaax P a) Rút gọn P b) Chứng minh rằng phân thức trên không phụ thuộc vào x, có nghĩa với mọi x và a Câu 3: a) Cho 1 = + + + + + ba c ac b cb a Chứng minh rằng 0 222 = + + + + + ba c ac b cb a b) Giả sử a 1 , b 1 , c 1 , a 2 , b 2 , c 2 là các số khác 0 thoả mãn điều kiện : 0 2 1 2 1 2 1 =++ c c b b a a và 1 1 2 1 2 1 2 =++ c c b b a a Chứng minh rằng 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 = ++ ++ cba cba Câu 4: Giải các phơng trình sau: a) (x - 7) (x - 5) (x 4)(x - 2) = 72 b) xx =+ 53 Câu 5: Cho hình thang ABCD có đáy lớn là CD. Qua A vẽ đờng thẳng AK song song với BC. Qua B vẽ đờng thẳng BI song song với AD, BI cắt AC ở F, AK cắt BD ở E. CMR: a) EF//AB b) AB 2 = CD.EF Hết đáp án: Câu 1: (4đ) a) (3đ) A = n 3 - 7n 6 = n 3 -4n - 3n 6 = (n 3 - 4n) (3n + 6) = n(n 2 - 4)- 3(n + 2) = n(n + 2) (n - 2) - 3(n + 2) = = (n + 2)(n + 1)(n - 3) b) (1đ) A = 0 (n + 2)(n + 1) (n -3) = 0 n + 2 = 0 hoặc n + 1 = 0 hoặc n - 3 = 0 n = -2, n = -1, n= 3 Câu 2: (4đ) a) Rút gọn P ta đợc kết quả cuối cùng: P = 1 1 2 2 + ++ aa aa b) Với mọi x thì 1 1 2 2 + ++ = aa aa P P không phụ thuộc vào x Xét mẫu a 2 - a + 1= (a - 1/2) 2 + 3/4>0 vì (a - 1/2) 2 0 nên P có nghĩa với mọi x, mọi a Câu 3: (4đ) a) (2 điểm): Nhân cả 2 vế của 1 = + + + + + ba c ac b cb a với a+ b+ c 1 5 Sau đó rút gọn kết quả cuối cùng ta đợc : 0 222 = + + + + + ba c ac b cb a b) đặt r c c q b b p a a === 2 1 2 1 2 1 ,, Ta có p + q + r = 0 (1) và 1 111 =++ rqp (2) Từ (2) 12 111 222 = ++ +++ pqr rqp rqp Kết hợp với (1) ta có: 1 111 222 =++ rqp . Vậy 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 = ++ ++ cba cba Câu 4: (3đ) a) (1,5đ) (x = 7) (x - 5) (x 4)(x - 2) = 72 Biến đổi thành phơng trình : (x 2 - 9x + 14)(x 2 - 9x +20) = 72 Đặt (x 2 - 9x + 17)=y đợc y = 9 Tính x 1 = 1, x 2 = 8 Vậy tập nghiệm của phơng trình S = { } 1; 8 b) (1,5đ) Vì hai vế không âm nên bình phơng 2 vế ta đợc x 2 + 6x + 9 =25 10x + x 2 Giải ra đợc x = 1 Vậy S = { } 1 Câu 5: (5đ) a) (2,5đ) AEB đồng dạng với KED (g.g) KD AB EK AE = AFB đồng dạng với CFI (g.g) CI AB FC AB = Mà KD = CI = CD AB AE AF EF / /KC EK FC = (định lý đảo talét trong AKC b) (2,5đ) AEB đồng dạng với KED (CMT) EB DE AB DK = EB EBDE AB ABDK + = + EB DB AB DC EB DB AB KCDK == + (1) Do EF//DI (theo CMT: EF//KC, I thuộc KC) DB DI DB AB EB EF EB EF = = (2) (Vì DI = AB) Từ (1) và (2) EFDCAB EF AB AB DC . 2 == Hết 2 . /KC EK FC = (định lý đảo talét trong AKC b) (2,5đ) AEB đồng dạng với KED (CMT) EB DE AB DK = EB EBDE AB ABDK + = + EB DB AB DC EB DB AB KCDK == + (1) Do EF//DI (theo CMT: EF//KC, I thuộc. đề thi học sinh giỏi toán 8 (Thời gian: 120 ) Câu 1: Cho a = n 3 - 7n 6 a) Phân tích A thành nhân