tối ưu hóa phi tuyến

CHƢƠNG 3 Financial Modeling 1 Trên thực tế có nhiều vấn đề trong kinh tế và trong các hoạt động kinh doanh có những mối liên hệ với nhau không phải là mối quan hệ tuyến tính mà là phi tuyến.  Sự tồn tại các mối quan hệ không theo tỷ lệ ( doanh số đạt đƣợc không theo tỷ lệ với giá bán vì giá bán có thể tăng và doanh số có thể giảm.  Sự tồn tại các mối quan hệ không mang tính cộng bổ sung (rủi ro của danh mục sẽ khác với bình quân gia quyền của 2 chứng khoán trong danh mục này.  Sự hiệu quả và không hiệu quả theo quy mô (khi sản lƣợng tiêu thụ vƣợt quá một mức giới hạn nào đó thì tổng định phí và biến phí đơn vị sẽ thay đổi) Financial Modeling 2  Bất cứ giá trị nào của x mà tại đó đạo hàm riêng = 0 gọi là điểm dừng.  Tại giá trị tối ƣu địa phƣơng (tối thiểu hoặc tối đa) tất cả các đạo hàm riêng phải = 0. Điểm tối ƣu cực đại hoặc cực tiểu luôn là điểm dừng.  Việc thiết lập các đạo hàm riêng cấp 1 bằng 0 trong một hàm n biến sẽ tạo ra n hệ phƣơng trình. Ngoại trừ trƣờng hợp hệ phƣơng trình là tuyến tính, thì đối với trƣờng hợp hàm phi tuyến (ví dụ hàm số gốc là hàm bậc 3) không dễ dàng tìm lời giải và sẽ không khả thi khi giải bằng tay.  Điều kiện đủ thứ 2 khá phức tạp, yêu cầu phải tính toán các định thức của các ma trận đạo hàm riêng cấp 2. Trên thực tế, ngay cả trong trƣờng hợp hàm f chỉ có một hay hai biến số nhƣng quá phức tạp thì dƣờng nhƣ chúng ta vẫn không có khả năng giải bằng thủ công bài toán tối ƣu này. Financial Modeling 3 Financial Modeling 4 • ĐKRB phi tuyến đã tạo nên đường cong trong đường biên của vùng khả thi. • Vùng khả thi không còn là 1 hình đa giác như trường hợp MH LP  Các ĐKRB là đƣờng thẳng tuyến tính đã thiết lập nên vùng khả thi là đa giác LP tiêu chuẩn  Nhƣng hàm mục tiêu không phải là hàm tuyến tính  Giải pháp tối ƣu không nằm tại góc  Giải pháp tối ƣu của mô hình phi tuyến không phải luôn luôn nằm tại góc nhƣ của mô hình tuyến tính Financial Modeling 5 • Giải pháp tối ưu của nằm tại góc như của mô hình tuyến tính So sánh giữa LP và NLP  Có một vài điểm tƣơng đồng giữa LP và NLP. Ví dụ: 1. Một sự gia tăng (hay giảm) RHS của bất phƣơng trình ràng buộc ≤ (≥) sẽ nới lỏng điều kiện ràng buộc. Điều này không làm co lại và có thể mở rộng vùng khả thi. 2. Việc nới lỏng điều kiện ràng buộc không làm tổn hại và có thể giúp gia tăng giá trị mục tiêu tối ƣu. 3. Việc thắt chặt điều kiện ràng buộc không giúp ích và có thể gây tổn hại giá trị mục tiêu tối ƣu. RHS (Right – hand sight): Giới hạn vế phải của bất phƣơng trình RB Financial Modeling 6 Giá trị tối ƣu địa phƣơng (cực trị địa phƣơng) so với giá trị tối ƣu toàn cục (cực trị toàn cục)  MH LP: cực trị địa phƣơng cũng là cực trị toàn cục  MH NLP: có thể vừa có cực trị địa phƣơng và vừa có cựa trị toàn cục.  Giá trị cực đại toàn cục là điểm cực đại theo ràng buộc toàn cục bởi vì giá trị của hàm mục tiêu tại điểm này là lớn nhất so với tất cả các điểm khả thi khác.  Trong mô hình NLP để tìm ra cực trị toàn cục từ các cực trị địa phƣơng cần phải bổ sung các điều kiện các điều kiện lồi và điều kiện lõm. Những điều kiện này phải đƣợc thỏa mãn để đảm bảo rằng giá trị tối ƣu hóa địa phƣơng cũng sẽ là giá trị tối ƣu hóa toàn cục. Financial Modeling 7 Financial Modeling 8 Financial Modeling 9 • Trong mô hình LP, Solver sử dụng phương pháp di chuyển từ góc này sang góc khác trong các vùng khả thi. • Trong mô hình NLP, Solver sử dụng phương pháp “leo dốc” dựa trên tiến trình tìm kiếm độ dốc được giảm thiểu chung và phương pháp này còn được gọi là GRG (PP độ giảm thiểu chung – Generalized Reduced Gradient). • Các bước của tiến trình này được thực hiện như sau: • Sử dụng các giá trị ban đầu của các biến số quyết định tính toán một hướng đi được sao cho cải thiện nhanh nhất giá trị của hàm mục tiêu. • Solver lại thử một hướng tính toán mới từ một điểm khởi sự mới, tiến trình trên được lặp lại cho đến khi giá trị OV không còn được cải thiện tốt hơn trên bất kỳ một hướng mới nào thì tiến trình tìm kiếm giá trị tối ưu kết thúc.  Kiến thức nền tài chính  Các chi phí liên quan đến tồn kho Tại cùng một thời điểm khi một doanh nghiệp đƣợc hƣởng những lợi ích từ việc sử dụng hàng tồn kho thì các chi phí có liên quan cũng phát sinh tƣơng ứng, bao gồm:  Chi phí đặt hàng (Ordering costs)  Chi phí tồn trữ (Carrying costs)  Chi phí thiệt hại do kho không có hàng (Stockout costs) Financial Modeling 10 [...]... Ràng buộc x1 + x2 = 1 (tất cả số tiền phải đƣợc đầu tƣ hết) x1r1 + x2r2 ≥ b (tỷ suất sinh lợi mong đợi tối thiểu của danh mục) x1 ≤ S1 (mức đầu tƣ tối đa vào cổ phi u 1) x2 ≤ S2 (mức đầu tƣ tối đa vào cổ phi u 2) x1, x2 ≥ 0 (không có bán khống cổ phi u)   Financial Modeling 21 Chuyển bài toán tối ƣu hóa trên vào bảng tính  Sử dụng Solver giải quyết  So sánh với kết quả đồ họa trong sách  Thực hành... sai của chứng khoán thứ i  σ12 = hiệp phƣơng sai giữa tỷ suất sinh lợi cổ phi u 1 và 2  ri = tỷ suất sinh lợi mong đợi hàng năm của cổ phi u i  b = tỷ suất sinh lợi tối thiểu mong đợi hàng năm từ tổng số tiền đầu tƣ vào danh mục  Si = mức đầu tƣ tối đa vào cổ phi u thứ i ; i = 1,2  Financial Modeling 20 Bài toán tối ƣu hóa Hàm mục tiêu: σ12x12 + 2σ12x1x2 + σ22x22 –> Min  Biến số ra quyết định:... hàng tồn kho là 24% x 8,00$ = 1,92$ Financial Modeling 15  Bài toán tối ƣu hóa của công ty Steco 60.000 TC  Hàm mục tiêu: x 25 $ Q  Q x 1,92$ 2 Min Biến số ra quyết định Q Ràng buộc: Q >= 1  Financial Modeling 16    Chuyển mô hình tối ƣu hóa trên vào bảng tính 2SO * Dùng Solver giải quyết và so sánh kết quả Q của Công thứcC kho tối ƣu: tồn Thực hành với mô hình EOQ chiết khấu theo số lƣợng đặt... nên cố gắng tốt đa hóa TSSL (ứng với RR cho phép) hoặc tối thiểu hóa RR (với giới hạn về RR)  Nhà đầu tƣ cần xác định tỷ trọng tối ƣu vào các loại chứng khoán trong danh mục  Tập hợp các quyết định khả thi phải thỏa mãn các ràng buộc Tổng tỷ trọng đầu tƣ = 1 (giới hạn chính sách đầu tƣ hết) Tỷ trọng mỗi loại phải cao hơn hoặc thấp hơn 1 con số cho phép (giới hạn chính sách đa dạng hóa) Tỷ trọng phải... Modeling 18 Bài toán tối ƣu hóa  Hàm mục tiêu: TSSL danh mục -> Max Hoặc RR danh mục -> Min  Biến số ra quyết định: Tỷ trọng đầu tƣ vào các chứng khoán (xi)  Ràng buộc: - Ràng buộc về vốn đầu tƣ - Ràng buộc về đầu tƣ hết - Giới hạn về trần rủi ro hoặc sàn TSSL - Ràng buộc về bán khống và đa dạng hóa Financial Modeling 19 Kiến thức nền tài chính xi là tỷ trọng đầu tƣ vào cổ phi u i  σi2 = phƣơng... buộc về bán khống & đa dạng hóa Financial Modeling 26   E(ri) là TSSL mong đợi của tài sản i Var(ri) phƣơng sai của TSSL tài sản i  Cov(ri;rj) là hiệp phƣơng sai giữa tài sản i và tài sản j Cov(ri;rj) là σij  Var(ri) là σii Financial Modeling 27  Từ số liệu giá đóng cửa vào cuối mỗi tháng (tuần, ngày) của mỗi cổ phi u  tính TSSL hàng tháng (tuần, ngày) của mỗi cổ phi u rAt  PAt ln PA,t 1 Đây... Modeling 30 • GTTB TSSL của danh mục: bình quân gia quyền với trọng số là tỷ lệ VĐT vào mỗi cổ phi u thành phần • Gọi xA : tỷ trọng VĐT vào cổ phi u A, ta có: E(rp) = xAE(rA) + (1–xA)E(rB) • Phƣơng sai danh mục không phải là bình quân gia quyền của các phƣơng sai (vì có mối tƣơng quan trong biến động TSSL của các cổ phi u) • Var(rp) = xA2 Var(rA) + (1– xA)2 Var(rB) + 2 xA(1–xA)Cov(rA,rB) • σp2 = xA2 σA2... là công thức tính theo kỳ ghép lãi liên tục, trƣờng hợp có cổ tức, chúng ta có thể tính: rAt Financial Modeling PAt Div t ln PA,t 1 28 Giả định dữ liệu TSSL 12 tháng qua thể hiện phân phối TSSL của cổ phi u này trong những tháng (tuần, ngày) sắp tới  TSSL mong đợi nhƣ sau: 1 N r  phƣơng sai của TSSL: Var n rj j 1 1 N N (rj r ) 2 j 1  Tính hiệp phƣơng sai giữa 2 chứng khoán A,B 1 Cov(rA , rB ) N Financial... lần đặt hàng thì tổng chi phí đặt hàng trong kỳ là: S Q  Financial Modeling xO Gọi TC là tổng chi phí thì: Q S TC 2 xC Q xO 13 Financial Modeling 14     Ví dụ: Công ty bán sỉ Steco có nhu cầu hàng hóa mỗi tháng duy trì ở mức ổn định là vào khoảng 5.000 sản phẩm (60.000 sản phẩm/năm) Giả định chi phí cho một lần đặt hàng của công ty Steco là 25$ Chi phí lƣu giữ tính trên mỗi sản phẩm tồn kho bao . thẳng tuyến tính đã thiết lập nên vùng khả thi là đa giác LP tiêu chuẩn  Nhƣng hàm mục tiêu không phải là hàm tuyến tính  Giải pháp tối ƣu không nằm tại góc  Giải pháp tối ƣu của mô hình phi. pháp tối ƣu của mô hình phi tuyến không phải luôn luôn nằm tại góc nhƣ của mô hình tuyến tính Financial Modeling 5 • Giải pháp tối ưu của nằm tại góc như của mô hình tuyến tính So sánh giữa LP. tại đó đạo hàm riêng = 0 gọi là điểm dừng.  Tại giá trị tối ƣu địa phƣơng (tối thiểu hoặc tối đa) tất cả các đạo hàm riêng phải = 0. Điểm tối ƣu cực đại hoặc cực tiểu luôn là điểm dừng.  Việc