Tổng hợp đề tuyển chọn học sinh giỏi toán lớp 12

ðỀ KIỂM TRA ðỘI TUYỂN HSG NĂM HỌC 2012-2013 MÔN: Toán lớp 12 (Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian giao ñề) Chú ý: Thí sinh không ñược sử dụng máy tính bỏ túi Câu 1. 1). Giải phương trình: 2). Giải hệ phương trình: Câu 2. Tìm tất cả các giá trị của ñể bất phương trình sau có nghiệm : Câu 3. Cho dãy số ñược xác ñịnh bởi: ðặt . Tìm giới hạn : Câu 4. Cho các số thực dương thỏa mãn : . Chứng minh rằng: Câu 5. a). Cho hình chóp với thể tích . Gọi là trung ñiểm cạnh . Các ñiểm và lần lượt là trọng tâm các tam giác và . Tính theo thể tích khối tứ diện . b). Cho tứ diện là ñiểm nằm bên trong tứ diện, các ñường thẳng và lần lượt cắt các mặt và tại . Tìm vị trí của ñiểm ñể biểu thức sau ñạt giá trị nhỏ nhất: Câu 6. Gọi lần lượt là góc giữa ñường thẳng và các ñường thẳng chứa các cạnh của tam giác ñều Chứng minh rằng: . 2 − x − =x 2 1 8 + − 1 9 8x 2 1 x − −−−−−−−−−− √ 3 ⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ (y + 1 + y = x +) 2 + 1y 2 − −−−− √ 3 2 x + = 1 + 2− 2x + 5x 2 − −−−−−−−−− √ 2x − 4y + 2 − −−−−−−−−− √ m m( + 1) + x( + 1) ≥ 01 − x − −−−− √ 1 + x − −−−− √ ⎧ ⎩ ⎨ = 5u 1 =u n+1 + 2 + 4u 2 n u n 6 =v n ∑ k=1 n 1 + 4u k lim n→∞ v n a, b, c + + = 3a 2 b 2 c 2 + + ≥ 1 1 + a 2 b 2 1 1 + b 2 c 2 1 1 + c 2 a 2 9 2(a + b + c) S. ABC V M BC K G SAB SAC V AMGK ABCD, M AM, BM, CM DM (BCD), (ACD), (ABD) (ABC) , , ,A 1 B 1 C 1 D 1 M P = + + + . AM MA 1 − −−−− √ BM MB 1 − −−−− √ CM MC 1 − −−−− √ DM MD 1 − −−−− √ α , β, γ ∆ BC, CA, AB ABC. α. β. γ + α. β. γ =sin 2 sin 2 sin 2 cos 2 cos 2 cos 2 1 16 ĐỀ KIỂM TRA ĐỘI TUYỂN HSG NĂM HỌC 2012-2013 MÔN: Toán lớp 12 (Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian giao đề) Chú ý: Thí sinh không được sử dụng máy tính bỏ túi Câu 1. 1). Giải phương trình: 2 3 2 1 9 1 21 88 xx xx      2). Giải hệ phương trình: 22 2 3 ( 1) 1 2 2 5 1 2 2 4 2 y y y x x x x x y                  Câu 2. Tìm tất cả các giá trị của m để bất phương trình sau có nghiệm     1 1 1 1 0m x x x      Câu 3. Cho dãy số () n u được xác định bởi: 1 2 1 5 24 6 nn n u uu u          Đặt 1 1 4 n n k k v u     . Tìm giới hạn lim n n v  Câu 4. Cho các số thực dương ,,abc thỏa mãn 2 2 2 3abc   . Chứng minh rằng: 2 2 2 2 2 2 1 1 1 9 1 1 1 2( )a b b c c a a b c         Câu 5. a). Cho hình chóp S.ABC với thể tích V. Gọi M là trung điểm cạnh BC. Các điểm K và G lần lượt là trọng tâm các tam giác SAB và SAC. Tính theo V thể tích khối tứ diện AMGK. b). Cho tứ diện ABCD, M là điểm nằm bên trong tứ diện, các đường thẳng AM, BM, CM và DM lần lượt cắt các mặt (BCD), (ACD), (ABD) và (ABC) tại 1 1 1 1 , , ,A B C D . Tìm vị trí của điểm M để biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất: 1 1 1 1 AM BM CM DM P M A MB MC MD     . Câu 6. Gọi ,,    lần lượt là góc giữa đường thẳng  và các đường thẳng chứa các cạnh BC, CA, AB của tam giác đều ABC. Chứng minh rằng: 2 2 2 2 2 2 1 sin .sin .sin cos .cos .cos 16        . Hết 2. ðặt . Tính Câu III: (4p) 1. Giải hệ phương trình 2. Cho . Chứng minh rằng Câu IV: (8p) Cho tứ diện có ba cạnh tại ñỉnh ñôi một vuông góc vơi nhau. Gọi lần lượt là góc tạo bởi với các mặt phẳng , và là các góc tương ứng trong tam giác . 1. Chứng mình rằng: 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của 3. Chứng minh rằng: Hết =v n ( + ( +. . . +(u 1 ) n u 2 ) n u 2012 ) n − −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− √ n Lim( )v n ⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ = cos(π )x 1 3 √ 9 x 2 = cos(π )x 2 3 √ 9 x 3 = cos(π )x 3 3 √ 9 x 1 a, b, c ∈ [2; + ∝) lo + lo + lo ≥ 3g b+c a 2 g c+a b 2 g a+b c 2 OABC O α, β, γ (ABC) (OBC); (OAC); (OAB) A, B, C ABC co α + co β + co γ = 1s 2 s 2 s 2 T = ta α + ta β + ta γ + co α + co β + co γn 2 n 2 n 2 t 2 t 2 t 2 = = si αn 2 sin2A si βn 2 sin2B si γn 2 sin2C ðỀ THI HỌC SINH GIỎI THPT CHUYÊN ðẠI HỌC VINH Câu I: (4p) Tìm ñề nghiệm của bất phương trình sau chứa ñoạn Câu II: (4p) Cho dãy số , với 1. Chứng minh là dãy tăng. m [1; 2] m − 3x + 1 − ≤ 0 ∣ ∣ x 2 ∣ ∣ 2 − 3x + 1 + 1 ∣ ∣x 2 ∣ ∣ ( )u n = , n = 1, 2 u n ∑ i=1 n i (i + 1)! ( )u n ðỀ THI HỌC SINH GIỎI THPT CHUYÊN ðẠI HỌC VINH Câu I: (4p) Tìm ñề nghiệm của bất phương trình sau chứa ñoạn Câu II: (4p) Cho dãy số , với 1. Chứng minh là dãy tăng. 2. ðặt . Tính Câu III: (4p) 1. Giải hệ phương trình 2. Cho . Chứng minh rằng Câu IV: (8p) Cho tứ diện có ba cạnh tại ñỉnh ñôi một vuông góc vơi nhau. Gọi lần lượt là góc tạo bởi với các mặt phẳng , và là các góc tương ứng trong tam giác . 1. Chứng mình rằng: 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của 3. Chứng minh rằng: Hết m [1; 2] m − 3x + 1 − ≤ 0 ∣ ∣ x 2 ∣ ∣ 2 − 3x + 1 + 1∣ ∣ x 2 ∣ ∣ ( )u n = , n = 1, 2 u n ∑ i=1 n i (i + 1)! ( )u n = v n ( + ( +. . . +( u 1 ) n u 2 ) n u 2012 ) n − −−−−−−−−−−−−−−−−−−−− √ n Lim( ) v n ⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ = cos(π )x 1 3 √ 9 x 2 = cos(π )x 2 3 √ 9 x 3 = cos(π ) x 3 3 √ 9 x 1 a, b, c ∈ [2; + ∝) lo + lo + lo ≥ 3g b+c a 2 g c+a b 2 g a+b c 2 OABC O α, β, γ (ABC) (OBC); (OAC); (OAB) A, B, C ABC co α + co β + co γ = 1s 2 s 2 s 2 T = ta α + ta β + ta γ + co α + co β + co γn 2 n 2 n 2 t 2 t 2 t 2 = = si αn 2 sin2A si βn 2 sin2B si γn 2 sin2C HD 1. Xét hàm số Hàm số liên tục trên và Nên : ðặt : Bài toán trở thành, tìm ñể nghiệm bất phương trình sau : (*) chứa ñoạn g(x) = − 3x + 1, x ∈ [1; 2]x [1; 2] (x) = 0 ⇔ x =g ′ 3 2 g(x) = Min{g(1); g( ); g(2)}= g( ) = −Min [ 1;2 ] 3 2 3 2 5 4 g(x) = Max{g(1); g( ); g(2)} = g(1) = g(2) = −1Max [ 1;2 ] 3 2 t = − 3x + 1 ⇒ t ∈ [1; ] ∣ ∣ x 2 ∣ ∣ 5 4 m mt − ≤ 0 ⇔ m + mt − 2 ≤ 0 2 t + 1 t 2 [1; ] 5 4 +) Nếu tập nghiệm của bất pt là . +) Với , ta có : Nếu : Tập nghiệm của BPT (*) là . Nếu Với ta có : Nên yêu cầu b.toán Trường hợp này cho ta kết quả : Với ta có : Nên yêu cầu b.toán Trường hợp này nghiệm ñúng . Kết hợp với ñk tìm ñược m = 0 R ⊃ [1; ] 5 4 m ≠ 0 = + 8m∆ m m 2 = + 8m ≤ 0 ⇔ −8 ≤ m < 0∆ m m 2 R ⊃ [1; ] 5 4 = + 8m > 0 ⇔ [∆ m m 2 m > 0 m < −8 m > 0 ≤ t ≤ −m − + 8mm 2 − −−−−−−− √ 2m −m + + 8mm 2 − −−−−−−− √ 2m ⇔ ≤ 1 < ≤ −m − + 8mm 2 − −−−−−−− √ 2m 5 4 −m + + 8mm 2 − −−−−−−− √ 2m 0 < m ≤ 32 45 m < −8 ⇔ ≤ t ≤ −m + + 8mm 2 − −−−−−−− √ 2m −m − + 8mm 2 − −−−−−−− √ 2m ⇔ ≤ 1 < ≤ −m + + 8mm 2 − −−−−−−− √ 2m 5 4 −m − + 8mm 2 − −−−−−−− √ 2m ∀ m < −8 m ≤ 32 45 2. Cho . Chứng minh rằng Ta có bất ñẳng thức ñã cho tương ñương với Do nên a, b, c ∈ [2; + ∝) lo + lo + lo ≥ 3g b+c a 2 g c+a b 2 g a+b c 2 + + ≥ 3 log 2 a 2 (b + c)log 2 log 2 b 2 (c + a)log 2 log 2 c 2 (a + b)log 2 a, b, c ≥ 2 + ≤ 1 ⇒ a + b ≤ ab 1 a 1 b Xây dựng các BðT tương tự ta ñưa bài toán về chứng minh Sử ñụng Nesbit ta có ñpcm. + + = 2( + + )≥ 3 2 alog 2 bclog 2 2 blog 2 calog 2 2lo cg 2 lo abg 2 x y + z z x + y y x + y 2. ðặt . Tính a) Vì với mọi b) Lại có Nhưng vì =v n ( + ( +. . . +(u 1 ) n u 2 ) n u 2012 ) n − −−−−−−−−−−−−−−−−−−−− √ n Lim( )v n − = > 0u n+1 u n i + 1 (i + 2)! k ∈ N ⇒ > , ∀ i ∈ Nu i+1 u i ⇒ < + +. . . + < 2012.y 2012 u n 1 u n 2 u n 2012 x n 2012 ⇒ < < . (∗)u 2012 + +. . . +u n 1 u n 2 u n 2012 − −−−−−−−−−−−−−−− √ n 2012 − −−− √ n x 2012 = = − i (1 + i)! (i + 1) − 1 (i + 1)! 1 i! 1 (i + 1)! ⇒ = (1 − ) + ( − )+. . . +( − ) = 1 −u k 1 2! 1 2! 1 3! 1 k! 1 (k + 1)! 1 (k + 1)! ⇒ = 1 −u 2012 1 2013! 1 − < < (1 − ) 1 2013! + +. . . +u n 1 u n 2 u n 2012 − −−−−−−−−−−−−−−− √ n 2012 − −−− √ n 1 2013! (1 − )= [ (1 − )] lim n→+∞ 1 2013 lim n→+∞ 2012 − −−− √ n 1 2013! ⇒ lim( ) = = 1 −v n lim n→+∞ + +. . . +u n 1 u n 2 u n 2012 − −−−−−−−−−−−−−−− √ n 1 2013! [...]... cos 12 12 12 12 12 12 4 38 [Mathematical Excalibur 1995] Chứng minh rằng 1995 tan n tan(n + 1) = k=1 39 Chứng minh rằng n cos2 k=1 40 Giả sử rằng 2k ã n 1 = 2n + 1 2 4 = cos 2 + i sin 2 với n là số nguyên dương và đặt n n A k = a0 + a1 với tan 1996 1996 tan 1 k + a2 2k + ã ã ã + an1 (n1)k k = 0, 1, 2, , n 1 Chứng minh rằng n1 |Ak |2 = n{a2 + a2 + ã ã ã + a2 } 0 1 n1 k=0 Hà Duy Hưng Các bài toán. .. thoả mãn hệ a + 4b + 9c + 16d = 1 4a + 9b + 16c + 25d = 12 9a + 16b + 25c + 36d = 123 Hãy xác định giá trị của biểu thức 16a + 25b + 36c + 49d 75 [HongKong TST 1993]Cho các số dương a, b, c thoả mãn a b c = = b c a Hãy xác định giá trị của a+b+c a+bc Hà Duy Hưng Các bài toán đại 76 Cho các số thực dương số trong các cuộc thi Olympic Toán. 12 a, b, c, d satisfying the conditions a4 b 4 1 + = b d b+d... 20 + ã ã ã + tan2 890 = 4005 32 Chứng minh rằng tan6 200 33 tan4 200 + 27 tan 200 = 3 33 Chứng minh rằng cos4 3 5 3 5 + cos4 + cos4 = 12 cos2 ã cos2 ã cos2 14 14 14 14 14 14 Hà Duy Hưng Các bài toán đại số trong các cuộc thi Olympic Toán. 21 34 Chứng minh rằng 8 12 18 1 7 cos + cos + cos = cos + sin 35 35 35 2 5 2 5 35 Các số nguyên rằng 2 sin a1 + 36 Cho a1 , a2 , , an nhận các giá trị là... r2 = 1 + 2r cos u + r2 r2 1 Chứng minh rằng ta có các đẳng thức sau đây r2 1 r + cos u sin u 1 + r cos u = = = 2 1 + 2r cos u + r r cos v sin v 1 + r cos v Hà Duy Hưng Các bài toán đại tan 12 Cho trong các cuộc thi Olympic Toán. 17 u v r+1 ã tan = 2 2 r1 cos x = tan y, cos y = tan z, cos z = tan x Chứng minh rằng 51 sin x = sin y = sin z = 2 13 Cho sin x sin 3x sin 5x = = a1 a3 a5 Chứng minh rằng... Hưng Các bài toán đại số trong các cuộc thi Olympic Toán. 20 30 6 5 8 18 + 6 5 + 8 0 sin 6 = 0 cos 6 = 6+2 5 10 2 5 26 [HongKong TST 2004] Chứng minh rằng 2 cos 420 + cos 1020 + cos 1140 + cos 1740 = 3 4 27 Chứng minh rằng tan 30 ãtan 170 ãtan 230 ãtan 370 ãtan 430 ãtan 570 ãtan 630 ãtan 770 ãtan 830 = tan 270 cos 2 3 4 5 6 7 1 ã cos ã cos ã cos ã cos ã cos ã cos = 15 15 15 15 15 15 15 128 28 Giả... rằng (z x)2 + z 2 x2 = 2 (z y)2 + z 2 y 51 Chứng minh rằng tổng ba phân số bc ca ab , , 1 + bc 1 + ca 1 + ab bằng tích của chúng 52 Chứng minh rằng đẳng thức sau đây ak cyclic với k = 0, 1, 2, 3 (x b)(x c)(x d) = xk (a b)(a c)(a d) Hà Duy Hưng Các bài toán đại 53 [HongKong TST 2004] Đặt thức x= 3 số 4+ trong các cuộc thi Olympic Toán 3 9 2 + 1 Hãy xác định giá trị của biểu 1 (1 + )3 x 54... số được lấy từ tập hợp {2, 5, 9} thoả mãn nếu ta viết chúng ở dạng dãy a1 , a2 , , a2n+1 thì hai số liên tiếp bất kì đều khác nhau và a2n+1 = a1 Chứng minh rằng a1 a2 a2 a3 + ã ã ã + a2n1 a2n a2n a2n+1 = 0 88 Cho các số a, b, c R thoả mãn đẳng thức 1 1 1 + + =0 2 2 bc a ca b ab c2 Chứng minh rằng a b c + + =0 2 )2 2 )2 (bc a (ca b (ab c2 )2 17 2 7 Hà Duy Hưng Các bài toán đại số trong... + ã cos nx + 1 n 1 n cos(n 2)x + ã ã ã + cos(n 2)x + ã ã ã + International Mathematical Olympiad 1966 1 n 2 2 n n1 2 n nếu n chẵn cos x nếu n lẻ Hà Duy Hưng Các bài toán đại số trong các cuộc thi Olympic Toán. 29 82 Hãy rút gọn các tổng sau đây 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) n k=1 n k=1 n k=1 n k=1 n k=1 n k=1 n k=1 n k=1 3k1 sin3 x 3k arctan 2+k2k+k4 2 k sin ak ở đây {ak }+ là một cấp số cộng... b c d Chứng minh rằng có thể chia bốn số đó ra thành hai cặp, mỗi cặp hai số mà tích của chúng bằng 1 83 Chứng minh các đẳng thức sau đây Hà Duy Hưng (a) 10 2 5 4 (b) Các bài toán đại 2+ (c) 3 trong các cuộc thi Olympic Toán. 13 10 2 5 = 1 5 4+ 14 5 3 = 3 2 3+ 847 3 + 6 27 6+ số 847 =3 27 84 Rút gọn các biểu thức dưới đây (a) (b) 3 (c) (d) 4 7+ 8 3 5+ 6 21 + 55 8 3 + 7 3 3 2+ 5+2 2+ 85... b)(a c)(a d) cyclic S0 = S1 = S2 = 0; S3 = 1; S4 = a + b + c + d 36 Giả sử rằng ak Sk = cyclic Hãy xác định S0 , S1 , S2 , S3 , S4 (a + b)(a + c) (a b)(a c) Hà Duy Hưng Các bài toán đại số trong các cuộc thi Olympic Toán 7 37 Chứng minh rằng ta có đồng nhất thức sau đây ab cyclic (c x)(c y)(c z) = abc xyz (c a)(c b) 38 Chứng minh rằng a2 b 2 c 2 = abc + bcd + cda + dab (a d)(b d)(c d) . =sin 2 sin 2 sin 2 cos 2 cos 2 cos 2 1 16 ĐỀ KIỂM TRA ĐỘI TUYỂN HSG NĂM HỌC 2 012- 2013 MÔN: Toán lớp 12 (Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian giao đề) Chú ý: Thí sinh không được sử dụng máy. ðỀ KIỂM TRA ðỘI TUYỂN HSG NĂM HỌC 2 012- 2013 MÔN: Toán lớp 12 (Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian giao ñề) Chú ý: Thí sinh không ñược sử dụng máy tính bỏ túi Câu. BPT (*) là . Nếu Với ta có : Nên yêu cầu b .toán Trường hợp này cho ta kết quả : Với ta có : Nên yêu cầu b .toán Trường hợp này nghiệm ñúng . Kết hợp với ñk tìm ñược m = 0 R ⊃ [1; ] 5 4 m