2 ã cot 4 a = sin 1 − 8 sin a +4 sin a − cos 4 a − a
1.3 Phương trình và bất phương trình
1. Cho các số thực a, b, c∈Rthoả mãn a(4a+ 3b+ 2c)>0. Chứng minh rằng phương trìnhax2+bx+c= 0không thể có hai nghiệm thuộc khoảng (1; 2). 2. Tìm điều kiện cần và đủ cho các số nguyên a, b, c, d với a 6= 0 sao cho
axy+bx+cy+d=cdcó vô số nghiệm nguyên đối với ẩn nguyên x, y. 3. Cho các số thựcx, y thoả mãn hệ ( x+y≤1 xy+x+y≤1 Chứng minh rằng x≤2.
4. [ RoMO97 ]1Cho đa thức bậc baf(x) =ax3+bx2+cx+dvớia, b, c, d∈R
thoả mãn điều kiện f(2) +f(5) < 7 < f(3) +f(4). Chứng minh rằng tồn tại các số thực u, v thoả mãnu+v = 7 vàf(u) +f(v) = 7.
5. Cho các số thựca, b, c, r, s∈R thoả mãn
(
ar2+br+c= 0
−as2+bs+c= 0
Chứng minh rằng tồn tại số thực u thoả mãn
(u−r)(u−s)≤0 và a
2 ãu2+bu+c= 0
6. [ IMO 1959 ]2 Xác định tất cả các giá trị của xđể đẳng thức sau đây đúng (a) p x+√ 2x−1 +px−√2x−1 =√ 2 (b) p x+√ 2x−1 +px−√2x−1 = 1 (c) p x+√ 2x−1 +px−√2x−1 = 2
7. [ IMO 1959 ] Cho các số thực a, b, c. Cho phương trình sau của cosx:
acos2x+bcosx+c= 0
Hãy dựng một phương trình bậc hai đối với cos 2xtừ phương trình nói trên và tìm các giá trị của a, b, c để hai phương trình đó có cùng nghiệm x. So sánh giá trị của cosxvàcos 2xkhi màa= 4, b= 2, c =−1.