ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12 NĂM HỌC MÔN TOÁN TỈNH NGHỆ AN 2009-2010 BỔ TÚC THPT pot

SỞ GD& ĐT NGHỆ AN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12 NĂM HỌC 2009 - 2010 Môn thi: TOÁN HỌC - BỔ TÚC THPT Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1 (5,0 điểm). Cho hàm số 2x y x   có đồ thị (C). a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số. b. Tìm m để đường thẳng (d) y = 2x + m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A và B sao cho AB = 2 5. Câu 2 (5,0 điểm). a. Giải phương trình: 1 2 3 1 12. 55. . x x x C A     b. Giải phương trình: sin 4 x + cos 4 x = cos4x. Câu 3 (5,0 điểm). a. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số 2 4 .y x x   b. Tính I = 2 2 5 6 lim . 4 x x x x     Câu 4 (5,0 điểm). Cho tứ diện ABCD và M là một điểm bất kỳ nằm trong tứ diện. Gọi d A , d B , d C , d D theo thứ tự là khoảng cách từ M đến các mặt phẳng (BCD), (ACD), (ABD), (ABC). Gọi h A , h B , h C , h D theo thứ tự là khoảng cách từ các điểm A, B, C, D đến các mặt phẳng (BCD), (ACD), (ABD), (ABC). a. Tính tổng . A B C D A B C D d d d d h h h h    b. Chứng minh rằng 1 . . . . . . . . 256 A B C D A B C D d d d d h h h h - - - Hết - - - Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Đề thi chính thức SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12 NĂM HỌC 2009 – 2010 HƯỚNG DẪN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC (Hướng dẫn và biểu điểm chấm gồm 04 trang) Môn: TOÁN 12 - BỔ TÚC THPT CÂU NỘI DUNG ĐIỂM 1 5,0 1a 3,0 TXĐ: R \   0 0,25 Sự biến thiên y’ = 2 2  x , y’ < 0 0x  hàm số nghịch biến trên các khoảng     ;0 ; 0;  0,5 Giới hạn và các đường tiệm cận 0 2 lim x x x      ; 0 2 lim x x x      . Vậy đường tiệm cận đứng có phương trình x =0 0,5 2 2 lim lim 1 1 x x x x x             ; 2 2 lim lim 1 1 x x x x x             . Vậy đường tiệm cận ngang có phương trình y =1 0,5 Bảng biến thiên x -  0 +  y’ - || - y +  1 1 -  0,5 Giao điểm của đồ thị với trục hoành (-2;0) Đồ thị không cắt trục tung. Đồ thị nhận điểm I (0;1) làm tâm đối xứng 0.75 1b 2,0 (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt khi A,B chỉ khi phương trình 2 2 (1) x x m x    có hai nghiệm phân biệt x 1 , x 2 khác 0 . Hay phương trình 2x 2 + (m-1)x - 2 = 0 có hai nghiệm phân biệt x 1 , x 2 khác 0 0,25 Điều kiện   2 1 16 0 2 0 m             đúng với mọi số thực m. Vậy (d) luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A,B 0,25 Theo Viet ta có 1 2 1 2 1 2 1 m x x x x            0.25 Giả sử hoành độ điểm A là x 1 , hoành độ điểm Blà x 2, suy ra A(x 1 ; 2x 1 +m), B(x 2 ; 2x 2 +m) 0,25 AB 2 =       2 2 2 2 1 2 1 2 1 4 5x x x x x x     0,25 =   2 2 1 2 1 5 4x x x x       0,25 = 2 1 5 4 2 m                  0,25 AB = 2 1 2 5 5 4 20 2 m                    1m  Vậy m =1 là giá trị cần tìm 0,25 2 5.0 2a 2 Điều kiện : ; 1x x  (*) 0.25 Pt đã cho tương đương: 4 2 3 1 12 55 x x C A    0.5 ( 3)( 2)( 1) 12 55( 1) 4.3.2.1 x x x x x x       0,5 2 13 5 104 0 8 x x x x            .Kết hợp (*) suy ra: x=8 là nghiệm của pt 0.75 2b 3,0 Phương trình tương đương với 1 – 2 sin 2 x. cos 2 x = 1 – 2sin 2 2x 1,0 2 2 1 1 sin 2 1 2sin 2 2 x x    0.5 2 3 sin 2 0 sin 2 0 2 x x    0.5 2x k    0.5   2 x k k Z     0.5 3 5,0 3a 3,0 TXĐ: [-2;2] 0,25 y’ = 1 - 2 4 x x 0,5 y’ = 0 2 4 x x   0,25 2 2 0 4 x x x        0,5 2x  y’ không xác định tại x = 2, x = - 2 0,5 y(-2) = -2, y(2) = 2, y( 2 ) = 2 2 0,5     min 2 2y y    -2;2 0,25 Vậy     2 2 2m y y  -2;2 ax 0,25 3b 2.0 I =         2 2 5 6 5 6 lim 4 5 6 x x x x x x x x         0,5     2 2 2 5 6 lim 4 5 6 x x x x x x        0,5           2 2 3 lim 2 2 5 6 x x x x x x x         0,5       2 3 lim 2 5 6 x x x x x       0.25 1 16   0.25 4 6,0 4a 3,0 f(x) Gọi V, V A , V B , V C , V D theo thứ tự là thể tích của các tứ diện ABCD, MBCD, MCDA, MABD, MABC. Ta có V= V A + V B + V C + V D 0,75 3 . 3 . A A A BCD A A BCD A V V d S d V V h S h    0,75 Tương tự ; ; . B B C C D D B C D V d V d V d V h V h V h    0,75 Suy ra 1. A B C D A B C D A B C D d d d d V V V V h h h h V V V V         0.75 4b 2,0 Theo bất đẳng thức Côsi ta có 4 4 . . . A B C D A B C D A B C D A B C D d d d d d d d d h h h h h h h h     0,5 4 1 4 . . . A B C D A B C D d d d d h h h h   0,5 1 . . . 256 A B C D A B C D d d d d h h h h   0,5 1 . . . . . . . 256 A B C D A B C D d d d d h h h h  0,25 A B C D M h A Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 . 4 A B C D A B C D d d d d h h h h     hay M là trọng tâm tứ diện ABCD. 0,25 Chú ý: Học sinh giải theo cách khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa. . SỞ GD& ĐT NGHỆ AN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12 NĂM HỌC 2009 - 2010 Môn thi: TOÁN HỌC - BỔ TÚC THPT Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1 (5,0 điểm). Cho. Hết - - - Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Đề thi chính thức SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12 NĂM HỌC 2009 – 2010 HƯỚNG DẪN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC (Hướng dẫn. CHÍNH THỨC (Hướng dẫn và biểu điểm chấm gồm 04 trang) Môn: TOÁN 12 - BỔ TÚC THPT CÂU NỘI DUNG ĐIỂM 1 5,0 1a 3,0 TXĐ: R   0 0,25 Sự biến thi n y’ = 2 2  x , y’ < 0 0x  hàm số nghịch