Chuyên đề ôn thi cực trị hàm số cơ lời giải

§2 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

CÁC D NG BÀI T P:

D NG 1: Tìm c c tr c a hàm s

D NG 2: Tìm đi u ki n đ hàm s cĩ c c tr (ho c cĩ c c tr th a mãn đi u ki n cho

tr c)

 D ng 1: TỊM C C TR C A HÀM S

Quy t c 1:

- Tìm TX c a hàm s

- Tính f x '( ) Tìm các đi m t i đĩ f x '( )b ng 0 ho c f x '( ) khơng xác đ nh

- L p b ng bi n thiên

- T bàng bi n thiên duy ra các đi m c c tr

Quy t c 2:

- Tìm TX c a hàm s

- Tính f x '( ) Gi i ph ng trình f x '( )  0và ký hi u x i i  1, 2,3, là các nghi m c a

nĩ

- Tính f x và f xi

- D a vào đ u c a f xi suy ra tính ch t c c tr c a đi m xi

LUY N T P

Bài 1: Tìm các đi m c c tr c a các hàm s sau:

a) y3x22x3

b)

2 3 6 2

y

x

  





e) y x22x5

c)

4

2 3

x

y  x 

d) yx x24

f) y x 2x x 2

Bài 2: Tìm các đi m c c tr c a các hàm s sau:

a) f x  x x  2

c) f x     x sin 2 x  2

b) f x    2sin 2 x  3

d) f x     3 2cos x  cos 2 x

GI I

a) TX : D=R

.

f x



 



 V i x  0: f x 2x 2 0 (vì x  0)

 V i x  0: f x   2x 2, f x    0 x 1

B ng bi n thiên: x  0, f  x  0

x  -1 0 

y + 0 - +

y 1 0

K t lu n:

o Hàm s đ t c c đ i t i x   1, fCD  f   1 1

o Hàm s đ t c c ti u t i x  0, fCT  f 0  0

b) TX : D=R

f x  x,   0 cos 2 0 2

f x   x  x  k   x  k

, k 

  8sin 2

f x   x

Tính:

8sin

voi k n

voi k n

         

K t lu n:

 HS đ t c c đ i t i

4

x  n

4

CD

f  f  n 

 HS đ t c c ti u t i 2 1

x  n 

2 CD

c) TX : D = R

0 cos 2 cos

f x   x      x  k

, k 

  4sin 2

f x  x

f k  k  

   là đi m c c ti u

f      k   k   

    là đi m c c đ i

K t lu n:

+ Hàm s đ t c c đ i t i

6

2

CD

f f  k  k

       

+ Hàm s đ t c c ti u t i

6

x  k

2

CT

f  f   k  k 

d) TX : D=R

x



  2cos 4cos 2

Xét:

+ f k 2cosk 4cos 2k  2cosk  4 0

 HS đat c c ti u t i các đi m xk ,

  3 2cos cos 2 2 2cos

CT

f  f k   k k    k

+ 2 2 2 cos2 4 cos4 2 1 4 1 3 0

f      k           

 HS đat c c đ i t i các đi m 2 2

3

x   k 

CD

f  f   k      

 D ng 2: TỊM I U KI N HÀM S Cị C C TR

L u ý:

1) tính giá tr c c tr c a hàm b c 3:   3 2

f x  ax  bx   cx d ta làm nh sau:

 

Ax B

 

   f x   Ax B f    x x (*) 

G i xi là nghi m c a pt f  x  0 ( xi là các đi m c c tr )

     

0





 i i

Trong đó x  là ph n d c a phép chia   

 

f x

f  x

ng th ng đi qua 2 đi m c c tr là: yx

( Vì to đ c a đi m c c tr M x y ; tho pt f  x  0, nên t (*) ta suy ra

yx )

2) Tính giá tr c c đ i, c c ti u c a hàm s :

 

 

y

       

  2

y

v x

 

       

y u x v x u x v x  (1)

G i xi là các nghi m c a (1), t (1) ta suy ra:

       i i i i 0

 ii    ii



Các giá tr c c tr là:

     i    i 2 i

i

y x

Do đó pt đ ng th ng đi qua 2 đi m c c tr là: y 2ax b

a







Bài 1: Cho hàm s :  

V i giá tr nào c a m thì đ th c a hàm s không có đi m c c đ i và đi m c c ti u

GI I

TX : D =

o hàm:   2

y  m x  m

hàm s không có c c tr thì ph ng trình y vô nghi m ho c có nghi m kép 0

  0  0 4.3 m m  2 0  0 m 2

Bài 2: Cho hàm s : 1 3 2  2 

1 1 3

y x mx  m  m x Tìm m đ hàm s đ t c c ti u t i đi m x  1

GI I

TX : D =

o hàm: 2 2

y x  mx m  m

y 2x2m

Hàm s đ t c c ti u t i x  1

 

 

y y



 



  



  2 3 2 0

2 2 0

m m m

   

  



1

m

  



 



V y không có giá tr nào c a m đ hàm s đ t c c ti u t i x1

Bài 3: Cho hàm s 3 2

yx  x  x a) Tìm c c tr c a hàm s

b) Vi t ph ng trình đ ng th ng đi qua các đi m c c tr

GI I

a) TX : D =

o hàm: 2

6 3

y x  x

1 2

x

x

  

       

 



Chia f x  cho f  x , ta đ c:

Giá tr c c tr là: f x 0  4x01

1 2 3 4 2

1 2 3 4 2

f

f

    



 

   



L p b ng bi n thiên  C , CT

b) Ph ng trình đ ng th ng đi qua các đi m c c tr là: y    4 x 1

Bài 4: Cho hàm s 3 2  

yx  x  m x m 

Xác đ nh m sao cho:

a) Hàm s có c c tr

b) Hàm s có hai c c tr cùng d u

GI I

a) TX : D =

o hàm: 2  

3 12 3 2

y  x  x m Cho y  0 x24x m  2 0 (*)



hàm s có 2 c c tr thì:        0 2 m 0 m 2

b) Chia f x  cho f  x , ta đ c:

 giá tr c c tr là:

G i x1, x2là 2 đi m c c tr

Hàm s có 2 c c tr cùng d u  f x   1 f x2 0

m 2 2 x1 1m 2 2 x2 1 0

1 2 1 2

1 2 1 2

M t khác: 1 2

12 4 3

x x   , x x1 2  m 2

Do đó (1)   2 

  2 

17 4 2

m m

  



 

 



K t h p v i đi u ki n có c c tr m  2, ta đ c: 17 2

Tìm m đ hàm s đ t c c đ i, c c ti u t i x1, 2tho 1 2

GI I

TX : D =

o hàm: 2    

2 1 3 2

y mx  m x m

Hàm s có 2 c c tr  2  

0

1 3 2 0

m





  

     



2

0

2 4 1 0

m

m m





    

0

m

m







 

   

G i x1, x2 là 2 nghi m c a ph ng trình y0 thì:

 

   

   

2 1 1

2 1

2

3 2

x x

m

x x

m m

x x

m



 







  











T (1) và (2) 1

4 3 x

m

   , x2 1 2

m

  



  

     

  

2

3m 5m 4 0

    2 2

3

    (Nh n so v i đi u ki n)

V y: 2 2

3

m  m

Bài 6: Cho hàm s : 3 2

3 2

x x

y  mx ( H Y - D c) Tìm m đ hàm s đ t c c đ i và c c ti u có hoành đ l n h n m

GI I

TX : D =

o hàm: 2

y  x  x m

Hàm s đ t c c tr t i nh ng đi m có hoành đ x  m

0 y

  có 2 nghi m x1, x2 th a m  x1 x2

 

0 0

2

y m

s

m



 





 



 



2

1 4 0

2 0 1

2

m

m m m



 





  



 



1 4

1 2

m

m

 





    



  



   m 2

V y    m 2

Bài 7: Cho hàm s :   3   2  

y f x  x  m x  m x (1)

Tìm m đ (1) có c c đ i, c c ti u và đ ng th ng đi qua 2 đi m c c đ i, c c ti u

song song v i đ ng th ng y    3 x 4

GI I

TX : D =

o hàm: 2    

y  x  m x m

x  m x m  Hàm s (1) có c c tr  2  

        2

    

L y (1) chia cho 1  

6 f x ta đ c:

1

6

y x m  f x  m x m  m

Ph ng trình đ ng th ng đi qua 2 đi m c c tr là:

 2 2

y  m x m  m (d)

(d) song song v i đ ng th ng y    3 x 4 thì:

 2

3 3 m

Bài 8: Cho hàm s : 2 3 5

2

x x y

x

 





a) Tìm c c tr c a hàm s

b) Vi t ph ng trình đ ng th ng đi qua các đi m c c tr

GI I

a) TX : D  \  2

o hàm:  

2

2

4 1 2

x x y

x

 

 

 ,

0 4 1 0

2 3

x

x

   

       

  



Giá tr c c tr là:

     0 0

0

1 o

y x

v x



y      , y 2 3  1 2 3

L p b ng bi n thiên  C , CT

b) Ph ng trình đ ng th ng đi qua 2 đi m c c tr là: y  2 x  3

Bài 9: Cho hàm s : y x2 mx m

x m

 



 m  0 Tìm m đ hàm s : a) Có c c đ i và c c ti u

a) TX : D  \ m

o hàm:  

2

2

x mx m m y

x m

  

 

 ,

y   x  mx m  m (1) Hàm s có c c đ i, c c ti u  (1) có 2 nghi m phân bi t

2 2



b) Hàm s có 2 giá tr c c tr trái d u khi và ch khi:

y0 có 2 nghi m phân bi t

th không c t tr c ox ( Pt y0 vô nghi m)

y y

m m





 





Bài 10: Cho hàm s : 2 2 1

1

mx mx m y

x

  





Tìm m đ giá tr c c đ i và giá tr c c ti u c a hàm s cùng d u

GI I

TX : D  \ 1 

o hàm:  

2

2

2 3 1 1

mx mx m y

x

  

 

 ,

2

y  mx  mx m 

Hàm s có 2 giá tr c c tr cùng d u khi và ch khi

y0 có 2 nghi m phân bi t

y0 có 2 nghi m phân bi t (đ th c t tr c hoành t i 2 đi m phân bi t)

2

y y

m





 



1

4

4 0

m m

    



 



V y 1

4

m 