Phòng gd-đt đức thọ đề thi học sinh giỏi năm học 2009-2010 Môn Toán Lớp 7 (Thời gian làm bài 120 phút) Bài 1. Tìm giá trị n nguyên dơng: a) 1 .81 3 27 = n n ; b) 8 < 2 n < 64 Bài 2. Thực hiện phép tính: 1 1 1 1 4 3 5 7 49 ( ) 8 8.15 15.22 43.50 217 + + + + Câu 3: Tìm các cặp số (x; y) biết: = x y a) và xy=405 5 9 ; = = 1+5y 1+7y 1+9y b) 24 7x 2x Câu 4: Tìm giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất của các biểu thức sau : a) A = x 5+ + 5 b) B = 2 2 x 17 x 7 + + Bai 5: Cho tam giác ABC (CA < CB), trên BC lấy các điểm M và N sao cho BM = MN = NC. Qua điểm M kẻ đờng thẳng song song với AB cắt AN tại I. a) Chng minh: I là trung điểm của AN b) Qua K là trung điểm của AB kẻ đờng thẳng vuông góc với đờng phân giác góc ACB cắt đờng thẳng AC tại E, đờng thẳng BC tại F. Chứng minh AE = BF Đáp án và hớng dẫn chấm toán 7 Bài 1. Tìm giá trị n nguyên dơng: a) (2điểm) 1 .81 3 27 = n n ; => 3 4n-3 = 3 n => 4n 3 = n => n = 1 b) (2điểm) 8 < 2 n < 64=> 2 3 < 2 n < 2 6 => n = 4, n = 5 Bài 2. Thực hiện phép tính: (3điểm) 1 1 1 1 4 3 5 7 49 ( ) 8 8.15 15.22 43.50 217 + + + + = 1 1 1 1 1 1 1 1 5 (1 3 5 7 49) (1 ). 7 8 8 15 15 22 43 50 217 + + + + + + + + + = 1 1 5 (12.50 25) 1 49 5 625 7.7.2.2.5.31 2 (1 ). . . 7 50 217 7 50 7.31 7.2.5.5.7.31 5 + = = = = Câu 3. Tìm các cặp số (x; y) biết: (2điểm) = x y a) và xy=405 5 9 => 2 2 x y xy 405 9 25 81 5.9 45 = = = = => x 2 = 9.25 = 15 2 => x = 15 => y 2 = 9.81 = 27 2 => y = 27 Do x, y cùng dấu nên: x = 15; y = 27 Và x = - 15; y = - 27 (2điểm) = = 1+5y 1+7y 1+9y b) 24 7x 2x áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: + + = = = = = = 1+5y 1+7y 1+9y 1 9y 1 7y 2y 1 7y 1 5y 2y 24 7x 2x 2x 7x 5x 7x 24 7x 24 => 2y 2y 5x 7x 24 = => - 5x = 7x 24 => x = 2 Thay x = 2 vào trên ta đợc: 1 5y y 24 5 + = => - 5 - 25y = 24 y => - 49y = 5 => y = 5 49 Vậy x = 2, y = 5 49 thoả mãn đề bài Câu 4. Tìm giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất của các biểu thức sau: a) (2điểm) A = x 5+ + 5 Ta có : x 5+ 0. Dấu = xẩy ra x = - 5. A 5. Vậy: Min A = 5 x = - 5. b) (2điểm)B = 2 2 x 17 x 7 + + = ( ) 2 2 x 7 10 x 7 + + + = 1 + 2 10 x 7+ Ta có: x 2 0. Dấu = xảy ra x = 0 x 2 + 7 7 (2 vế dơng ) 2 10 x 7+ 10 7 => 1 + 2 10 x 7+ 1 + 10 7 B 17 7 Dấu = xảy ra x = 0 Vậy: Max B = 17 7 x = 0. B i 5. a) (3điểm) Từ I kẻ đờng thẳng // BC cắt AB tại H. Nối MH. Ta có: BHM = IMH vì: ã ã BHM IMH= (so le trong) ã ã BMH IHM= (so le trong) Cạnh HM chung =>BM = IH = MN AHI = IMN vì: IH = MN (kết quả trên) ã ã ã AHI IMN ( ABC)= = ã ã AIH INM= (đồng vị) => AI = IN (đpcm) b) (2điểm)Từ A kẻ đờng thẳng song song với BC cắt EF tại P. PKA = FKB vì: ã ã PKA FKB= (đối đỉnh) ã ã APK BFK= (so le trong) AK = KB (gt) => AP = BF (1) ã ã EPA KFC= (đồng vị) ã ã CEF KFC= ( CFE cân) => ã ã EPA CEF= => APE cân => AP = AF (2). Từ (1) và (2) => AE = BF (đpcm) A B H M N C I P K F B A E C đề thi Ô-lim -pic huyện Môn Toán Lớp 7 Năm học 2006-2007 (Thời gian làm bài 120 phút) Bài 1. Tìm giá trị n nguyên dơng: a) 1 .16 2 8 n n = ; b) 27 < 3 n < 243 Bài 2. Thực hiện phép tính: 1 1 1 1 1 3 5 7 49 ( ) 4.9 9.14 14.19 44.49 89 + + + + Bài 3. a) Tìm x biết: 2x3x2 +=+ b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x20072006x + Khi x thay đổi Bài 4. Hiện nay hai kim đồng hồ chỉ 10 giờ. Sau ít nhất bao lâu thì 2 kim đồng hồ nằm đối diện nhau trên một đờng thẳng. Bài 5. Cho tam giác vuông ABC ( A = 1v), đờng cao AH, trung tuyến AM. Trên tia đối tia MA lấy điểm D sao cho DM = MA. Trên tia đối tia CD lấy điểm I sao cho CI = CA, qua I vẽ đờng thẳng song song với AC cắt đờng thẳng AH tại E. Chứng minh: AE = BC đề thi học sinh giỏi huyện năm học 2002-2003 Môn: Toán lớp 7 (Thời gian làm bài: 150 phút) Bài 1/ Tìm x biết : ( ). ( , ): , 6 3 5 3 3 16 5 5 6 21 1 25 2 5 = x Bài 2/ Cho P = 12x + 7 - x - 5 a) Rút gọn P b)Tính x khi P = 11 Bài 3 / Chứng minh : Nếu x y x y z x z x + = + thì x yz 2 = Bài 4/ Tìm các số a, b, c, biết: ab bc ac= = = 1 2 2 3 3 4 ; ; Bài 5/ Cho tam giác cân ABC (AB=AC), trên cạnh AB lấy điểm M, trên tia đối tia CA lấy điểm D sao cho BM = CD. Từ M kẻ MN // BC (N nằm trên AC). a) Chứng minh NC = ND. b) Gọi H là chân đờng vuông góc của M trên BC, O là trung điểm của BC, MO cắt BC tại K. Chứng minh OK =BH đề thi Ô-lim -pic huyện Năm học 2007-2008 Môn Toán Lớp 7 (Thời gian làm bài 120 phút) Bài 1. Tính tổng: S = 5 13 25 41 181 1.2 2.3 3.4 4.5 9.10 + + + + Bài 2. Tìm giá trị x, y nguyên dơng trong biểu thức sau: 1 1 1 1 2x 2y xy 2 + + = Bài 3. Tìm x biết: a) 3 1 3 = x x ; b) 1 1 x x 5 5 = Bài 4. Trong đợt phát động trồng cây đầu Xuân năm mới, ba lớp học sinh khối 7 của một trờng THCS đã trồng đợc một số cây. Biết tổng số cây trồng đợc của lớp 7A và 7B; 7B và 7 C; 7C và 7A tỷ lệ với các số 4, 5, 7 . Tìm tỷ lệ số cây trồng đợc của các lớp. Bài 5. Cho tam giác nhọn ABC, trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa B vẽ tam giác vuông cân ACD ( ã 0 ADC 90= ), trên nửa mặt phẳng bờ BD không chứa C vẽ tam giác vuông cân BDE ( ã 0 BDE 90= ). Đờng thẳng ED cắt đờng thẳng BC tại F, đờng thẳng EA cắt đờng thẳng BD tại M. Chứng minh: DF = DM Đáp án toán 7 Bài 1. Tìm giá trị n nguyên dơng: (4 điểm mỗi câu 2 điểm) a) 1 .16 2 8 n n = ; => 2 4n-3 = 2 n => 4n 3 = n => n = 1 b) 27 < 3 n < 243 => 3 3 < 3 n < 3 5 => n = 4 Bài 2. Thực hiện phép tính: (4 điểm) 1 1 1 1 1 3 5 7 49 ( ) 4.9 9.14 14.19 44.49 89 + + + + = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 (1 3 5 7 49) ( ). 5 4 9 9 14 14 19 44 49 12 + + + + + + + + + = 1 1 1 2 (12.50 25) 5.9.7.89 9 ( ). 5 4 49 89 5.4.7.7.89 28 + = = Bài 3. (4 điểm mỗi câu 2 điểm) a) Tìm x biết: 2x3x2 +=+ Ta có: x + 2 0 => x - 2. + Nếu x - 2 3 thì 2x3x2 +=+ => 2x + 3 = x + 2 => x = - 1 (Thoả mãn) + Nếu - 2 x < - 2 3 Thì 2x3x2 +=+ => - 2x - 3 = x + 2 => x = - 3 5 (Thoả mãn) + Nếu - 2 > x Không có giá trị của x thoả mãn b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x20072006x + Khi x thay đổi + Nếu x < 2006 thì: A = - x + 2006 + 2007 x = - 2x + 4013 Khi đó: - x > -2006 => - 2x + 4013 > 4012 + 4013 = 1 => A > 1 + Nếu 2006 x 2007 thì: A = x 2006 + 2007 x = 1 + Nếu x > 2007 thì A = x - 2006 - 2007 + x = 2x 4013 Do x > 2007 => 2x 4013 > 4014 4013 = 1 => A > 1. Vậy A đạt giá trị nhỏ nhất là 1 khi 2006 x 2007 Bài 4. Hiện nay hai kim đồng hồ chỉ 10 giờ. Sau ít nhất bao lâu thì 2 kim đồng hồ nằm đối diện nhau trên một đờng thẳng. (4 điểm mỗi) Gọi x, y là số vòng quay của kim phút và kim giờ khi 10giờ đến lúc 2 kim đối nhau trên một đờng thẳng, ta có: x y = 3 1 (ứng với từ số 12 đến số 4 trên đông hồ) và x : y = 12 (Do kim phút quay nhanh gấp 12 lần kim giờ) Do đó: 33 1 11: 3 1 11 yx 1 y 12 x 1 12 y x == ===>= => x = 11 4 x)vũng( 33 12 ==> (giờ) Vậy thời gian ít nhất để 2 kim đồng hồ từ khi 10 giờ đến lúc nằm đối diện nhau trên một đờng thẳng là 11 4 giờ Bài 5. Cho tam giác vuông ABC ( A = 1v), đờng cao AH, trung tuyến AM. Trên tia đối tia MA lấy điểm D sao cho DM = MA. Trên tia đối tia CD lấy điểm I sao cho CI = CA, qua I vẽ đờng thẳng song song với AC cắt đờng thẳng AH tại E. Chứng minh: AE = BC (4 điểm mỗi) Đờng thẳng AB cắt EI tại F ABM = DCM vì: AM = DM (gt), MB = MC (gt), ã AMB = DMC (đđ) => BAM = CDM =>FB // ID => ID AC Và FAI = CIA (so le trong) (1) IE // AC (gt) => FIA = CAI (so le trong) (2) Từ (1) và (2) => CAI = FIA (AI chung) => IC = AC = AF (3) và E FA = 1v (4) Mặt khác EAF = BAH (đđ), BAH = ACB ( cùng phụ ABC) => EAF = ACB (5) Từ (3), (4) và (5) => AFE = CAB =>AE = BC D B A H I F E M . 2 2 x 17 x 7 + + = ( ) 2 2 x 7 10 x 7 + + + = 1 + 2 10 x 7+ Ta có: x 2 0. Dấu = xảy ra x = 0 x 2 + 7 7 (2 vế dơng ) 2 10 x 7+ 10 7 => 1 + 2 10 x 7+ 1 + 10 7 B. năm mới, ba lớp học sinh khối 7 của một trờng THCS đã trồng đợc một số cây. Biết tổng số cây trồng đợc của lớp 7A và 7B; 7B và 7 C; 7C và 7A tỷ lệ với các số 4, 5, 7 . Tìm tỷ lệ số cây trồng đợc. + = = = = = = 1+5y 1+7y 1+9y 1 9y 1 7y 2y 1 7y 1 5y 2y 24 7x 2x 2x 7x 5x 7x 24 7x 24 => 2y 2y 5x 7x 24 = => - 5x = 7x 24 => x = 2 Thay x = 2 vào trên ta đợc: 1 5y y 24 5 + =