Qua điểm M kẻ đờng thẳng song song với AB cắt AN tại I.. a Chứng minh: I là trung điểm của AN b Qua K là trung điểm của AB kẻ đờng thẳng vuông góc với đờng phân giác góc ACB cắt đờng th
Trang 1Phòng gd-đt đức thọ
đề thi học sinh giỏi năm học 2009-2010
Môn Toán Lớp 7 (Thời gian làm bài 120 phút)
Bài 1 Tìm giá trị n nguyên dơng:
a) 1 81 3
27 n = n
; b) 8 < 2n < 64
Bài 2 Thực hiện phép tính:
(1 1 1 1 )4 3 5 7 49
− − − − −
Câu 3: Tìm các cặp số (x; y) biết:
=
Câu 4: Tìm giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất của các biểu thức sau :
a) A = x 5+ + 5 b) B =
2 2
x 17
+ +
Bai 5: Cho tam giác ABC (CA < CB), trên BC lấy các điểm M và N sao cho BM = MN
= NC Qua điểm M kẻ đờng thẳng song song với AB cắt AN tại I
a) Chứng minh: I là trung điểm của AN
b) Qua K là trung điểm của AB kẻ đờng thẳng vuông góc với đờng phân giác góc ACB cắt đờng thẳng AC tại E, đờng thẳng BC tại F
Chứng minh AE = BF
Trang 2Đáp án và hớng dẫn chấm toán 7
Bài 1 Tìm giá trị n nguyên dơng:
a) (2điểm) 1 .81 3
27 n = n; => 34n-3 = 3n => 4n – 3 = n => n = 1 b) (2điểm) 8 < 2n < 64=> 23 < 2n < 26 => n = 4, n = 5
Bài 2 Thực hiện phép tính: (3điểm)
− − − − −
= 1(1 1 1 1 1 1 1 1 5 (1 3 5 7 49))
− + + + + +
= 1(1 1 5 (12.50 25)) 1 49 5 625 7.7.2.2.5.31 2
Câu 3 Tìm các cặp số (x; y) biết:
(2điểm)a) x =y và xy = 405
9
=> x2 = 9.25 = 152 => x = ±15
=> y2 = 9.81 = 272 => y = ±27
Do x, y cùng dấu nên:
x = 15; y = 27
Và x = - 15; y = - 27
(2điểm)b) 1+5y =1+7y =1+9y
áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
=> 2y 2y
5x =7x 24
− − => - 5x = 7x – 24 => x = 2
Thay x = 2 vào trên ta đợc:
1 5y y
− => - 5 - 25y = 24 y => - 49y = 5 => y =
5 49
−
Vậy x = 2, y = 5
49
− thoả mãn đề bài
Câu 4 Tìm giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất của các biểu thức sau:
Trang 3a) (2điểm) A = x 5+ + 5
Ta có : x 5+ ≥ 0 Dấu “=” xẩy ra ⇔ x = - 5 ⇒ A ≥ 5
Vậy: Min A = 5 ⇔ x = - 5
b) (2điểm)B =
2 2
x 17
+ + = ( 2 )
2
+ + + = 1 + 2
10
x +7
Ta có: x2 ≥ 0 Dấu = xảy ra ⇔ x = 0 ⇒ x2 + 7 ≥ 7 (2 vế dơng )
⇒ 210
x +7 ≤ 107 => 1 + 2
10
x +7 ≤ 1 + 107 ⇒ B ≤ 177 Dấu “=” xảy ra ⇔ x = 0
Vậy: Max B = 17
7 ⇔ x = 0
B i 5 a)à (3điểm) Từ I kẻ đờng thẳng // BC cắt AB tại H Nối MH.
Ta có: ∆BHM = ∆IMH vì:
ãBHM IMH=ã (so le trong)
ãBMH IHM=ã (so le trong)
Cạnh HM chung =>BM = IH = MN
∆AHI = ∆IMN vì:
IH = MN (kết quả trên)
ãAHI IMN ( ABC)= ã =ã
ãAIH INM= ã (đồng vị)
=> AI = IN (đpcm)
b) (2điểm)Từ A kẻ đờng thẳng song song với BC
cắt EF tại P ∆PKA = ∆FKB vì:
ãPKA FKB=ã (đối đỉnh)
ãAPK BFK=ã (so le trong)
AK = KB (gt)
=> AP = BF (1)
ãEPA KFC= ã (đồng vị)
ãCEF KFC=ã (∆CFE cân)
=> ãEPA CEF= ã => ∆APE cân
=> AP = AF (2) Từ (1) và (2) => AE = BF (đpcm)
A
B
H
I
P K
F B
A E
C
Trang 4đề thi Ô-lim -pic huyện
Môn Toán Lớp 7 Năm học 2006-2007
(Thời gian làm bài 120 phút)
Bài 1 Tìm giá trị n nguyên dơng:
a) 1.16 2
8
n = n; b) 27 < 3n < 243
Bài 2 Thực hiện phép tính:
( 1 1 1 1 )1 3 5 7 49
− − − − −
Bài 3 a) Tìm x biết: 2 x + 3 = x + 2
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A =x − 2006 + 2007 − x Khi x thay đổi
Bài 4 Hiện nay hai kim đồng hồ chỉ 10 giờ Sau ít nhất bao lâu thì 2 kim đồng hồ nằm
đối diện nhau trên một đờng thẳng
Bài 5 Cho tam giác vuông ABC ( A = 1v), đờng cao AH, trung tuyến AM Trên tia đối
tia MA lấy điểm D sao cho DM = MA Trên tia đối tia CD lấy điểm I sao cho CI = CA, qua I vẽ đờng thẳng song song với AC cắt đờng thẳng AH tại E Chứng minh: AE = BC
đề thi học sinh giỏi huyện năm học 2002-2003
Môn: Toán lớp 7 (Thời gian làm bài: 150 phút)
Bài 1/ Tìm x biết : ( ).
63
5 3
3
16 5
5 6
21 1 25 2 5
−
− x =
Bài 2/ Cho P = 12x + 7 - x - 5
a) Rút gọn P
b)Tính x khi P = 11
Bài 3 / Chứng minh : Nếu x y x y−+ = z x z x−+ thì x2 = yz
Bài 4/ Tìm các số a, b, c, biết: ab= 1 bc= ac=
2
2 3
3 4
Bài 5/ Cho tam giác cân ABC (AB=AC), trên cạnh AB lấy điểm M, trên tia đối tia CA
lấy điểm D sao cho BM = CD Từ M kẻ MN // BC (N nằm trên AC)
a) Chứng minh NC = ND
b) Gọi H là chân đờng vuông góc của M trên BC, O là trung điểm của BC, MO cắt BC tại K Chứng minh OK =BH
Trang 5đề thi Ô-lim -pic huyện Năm học 2007-2008
Môn Toán Lớp 7 (Thời gian làm bài 120 phút)
Bài 1 Tính tổng: S = 5 13 25 41 181
1.2 2.3 3.4 4.5+ + + +9.10
Bài 2 Tìm giá trị x, y nguyên dơng trong biểu thức sau: 1 1 1 1
2x+ 2y+ xy = 2
Bài 3 Tìm x biết: a) 3− = −x 1 3x ; b) x 1 1 x
Bài 4 Trong đợt phát động trồng cây đầu Xuân năm mới, ba lớp học sinh khối 7 của một
trờng THCS đã trồng đợc một số cây Biết tổng số cây trồng đợc của lớp 7A và 7B; 7B và
7 C; 7C và 7A tỷ lệ với các số 4, 5, 7 Tìm tỷ lệ số cây trồng đợc của các lớp
Bài 5 Cho tam giác nhọn ABC, trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa B vẽ tam giác
vuông cân ACD ( ãADC 90= 0), trên nửa mặt phẳng bờ BD không chứa C vẽ tam giác vuông cân BDE ( ãBDE 90= 0) Đờng thẳng ED cắt đờng thẳng BC tại F, đờng thẳng EA cắt đờng thẳng BD tại M Chứng minh: DF = DM
Đáp án toán 7
Bài 1 Tìm giá trị n nguyên dơng: (4 điểm mỗi câu 2 điểm)
a) 1.16 2
8
n = n; => 24n-3 = 2n => 4n – 3 = n => n = 1 b) 27 < 3n < 243 => 33 < 3n < 35 => n = 4
Bài 2 Thực hiện phép tính: (4 điểm)
Trang 61 1 1 1 1 3 5 7 49
− − − − −
= 1 1 1 1( 1 1 1 1 1 2 (1 3 5 7 49)).
− + + + + +
− + − + − + + −
= 1 1( 1 2 (12.50 25)). 5.9.7.89 9
Bài 3 (4 điểm mỗi câu 2 điểm)
a) Tìm x biết: 2 x + 3 = x + 2
Ta có: x + 2 ≥ 0 => x ≥ - 2
+ Nếu x ≥ -
2
3
thì 2 x + 3 = x + 2 => 2x + 3 = x + 2 => x = - 1 (Thoả mãn)
+ Nếu - 2 ≤ x < -
2
3
Thì 2 x + 3 = x + 2 => - 2x - 3 = x + 2 => x = -
3
5
(Thoả mãn) + Nếu - 2 > x Không có giá trị của x thoả mãn
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x − 2006 + 2007 − x Khi x thay đổi
+ Nếu x < 2006 thì: A = - x + 2006 + 2007 – x = - 2x + 4013
Khi đó: - x > -2006 => - 2x + 4013 > – 4012 + 4013 = 1 => A > 1 + Nếu 2006 ≤ x ≤ 2007 thì: A = x – 2006 + 2007 – x = 1
+ Nếu x > 2007 thì A = x - 2006 - 2007 + x = 2x – 4013
Do x > 2007 => 2x – 4013 > 4014 – 4013 = 1 => A > 1
Vậy A đạt giá trị nhỏ nhất là 1 khi 2006 ≤ x ≤ 2007
Bài 4 Hiện nay hai kim đồng hồ chỉ 10 giờ Sau ít nhất bao lâu thì 2 kim đồng hồ nằm
đối diện nhau trên một đờng thẳng (4 điểm mỗi)
Gọi x, y là số vòng quay của kim phút và kim giờ khi 10giờ đến lúc 2 kim đối nhau trên một đờng thẳng, ta có:
x – y =
3
1
(ứng với từ số 12 đến số 4 trên đông hồ)
và x : y = 12 (Do kim phút quay nhanh gấp 12 lần kim giờ)
3
1 11
y x 1
y 12
x 1
12 y
x = => = = − = =
=> x =
11
4 x ) vũng ( 33
12 => = (giờ)
Trang 7Vậy thời gian ít nhất để 2 kim đồng hồ từ khi 10 giờ đến lúc nằm đối diện nhau trên
một đờng thẳng là
11
4
giờ
Bài 5 Cho tam giác vuông ABC ( A = 1v), đờng cao AH, trung tuyến AM Trên tia đối
tia MA lấy điểm D sao cho DM = MA Trên tia đối tia CD lấy điểm I sao cho CI = CA, qua I vẽ đờng thẳng song song với AC cắt đờng thẳng AH tại E Chứng minh: AE = BC (4 điểm mỗi)
Đờng thẳng AB cắt EI tại F
∆ABM = ∆DCM vì:
AM = DM (gt), MB = MC (gt), ãAMB = DMC (đđ) => BAM = CDM
=>FB // ID => ID⊥AC
Và FAI = CIA (so le trong) (1)
IE // AC (gt) => FIA = CAI (so le trong) (2)
Từ (1) và (2) => ∆CAI = ∆FIA (AI chung) => IC = AC = AF (3)
và E FA = 1v (4)
Mặt khác EAF = BAH (đđ), BAH = ACB ( cùng phụ ABC) => EAF = ACB (5)
Từ (3), (4) và (5) => ∆AFE = ∆CAB
=>AE = BC
D B
A
H
I
F E
M