SKKN môn Toán THPT Giải toán hình học bằng phương pháp tọa độ

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: "GIẢI TOÁN HÌNH HỌC BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ" 1 PHẦN MỞ ĐẦU 1/ Lý do chọn đề tài: Trong những năm gần đây, bộ môn Toán của Tỉnh Hưng Yên đã có những tiến bộ và thành tích trong những kỳ thi học sinh giỏi cấp Quốc gia ngày càng tốt hơn. Qua quá trình nghiên cứu, theo dõi các đề thi học sinh giỏi và những lần dạy ôn thi học sinh giỏi đã khẳng định kiến thức vectơ, toạ độ là cần thiết và không thể thiếu được trong chương trình toán THPT và thi học sinh giỏi. Trong các kì thi Olympic, bài toán hình học cổ điển luôn là một trong những bài toán hay. Cài hay của bài toán không chỉ ở mức độ khó của bài mà còn ẩn chứa trong kết quả của bài toán, những đặc trưng, tích chất hình học được khai thác. Về mặt nguyên tắc, bất kì bài toán hình học nào cũng có thể giải được bằng phương pháp toạ độ (phương pháp đại số). Tuy nhiên, nhiều bài toán hình học giải bằng phương pháp tổng hợp thông thường lại đi đến kết quả một cách khá nhanh chóng và đương nhiên lời giải cũng đẹp hơn nhiều. Cũng vậy, nhiều bài toán hình học được giải một cách nhanh chóng, gọn gàng nếu sự dụng phương pháp toạ độ. Có thể nói rằng, phương pháp toạ độ là một phương pháp vạn năng, có thể giải được mọi bài toán hình học. Các bạn đã quen với hình học suy luận đôi khi không thích đến phương pháp dựa nhiều vào tính toán này. Tuy nhiên, thế mạnh của phương pháp toạ độ là giúp ta giải quyết được các bài toán quỹ tích khó, hoặc các bài chứng minh mà ta không giải được bằng suy luận. Phương pháp này là cứu cánh mỗi khi ta bí, và hiệu quả trong lúc còn ít thời gian vì dù phải tính toán hơi rắc rối nhưng không cần phải suy nghĩ nhiều. Việc giải nhanh hay chậm của phương pháp này phụ thuộc nhiều vào phương 2 pháp, kĩ năng tính toán của chúng ta, phụ thuộc vào việc chọn hệ trục lúc ban đầu như thế nào. Do vậy, tôi viết chuyên đề này nhằm phần nào đáp ứng những yêu cầu trên cũng như góp phần nâng cao chất lượng bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi của tỉnh nhà. 2/ Mục tiêu nghiên cứu: Bài viết này nhằm hệ thống kiến thức về phương pháp toạ độ, trình bày các kết quả qua quá trình nghiên cứu phương pháp toạ độ. Giúp các em học sinh có kiến thức tốt về phương pháp toạ độ, mở ra một số hướng cho các em học sinh suy nghĩ và sáng tạo những bài toán mới. 3/ Nhiệm vụ nghiên cứu: * Hệ thống và phân loại toán nhằm giúp học sinh có cái nhìn tổng quan hơn về phương pháp toạ độ trong việc giải các bài toán hình học phẳng và việc vận dụng phương pháp vào từng laọi toán đó như thế nào. * Qua các vị dụ minh hoạ trong chuyên đề, người viết có những nhận xét hoặc các gợi ý về việc định hướng giải toán. Đồng thời thông qua lời giải các bài toán đó giúp học sinh hình thành phương pháp giải toán cũng như các kỹ năng, kỹ xảo cần thiết khi vận dụng phương pháp toạ độ vào giải toán. * Thực hiện đổi mới phương pháp giảng dạy toán làm cho học sinh sáng tạo tìm những kết quả mới, lời giải hay trên một loại bài, giúp bản thân nắm vững hơn nữa về phương pháp toạ độ, đồng thời trao đổi và học tập kinh nghiệm ở thầy cô ở tổ Toán. 4/ Các phương pháp nghiên cứu: 3 * Phương pháp suy luận, tổng hợp: kết hợp với các đề thi học sinh giỏi rút ra những kinh nghiệm, hệ thống lại kiến thức, mở ra các hướng mới. * Phương pháp trò chuyện – phỏng vấn: trao đổi với nhiều học sinh khá giỏi để nắm tình hình sử dụng phương pháp toạ độ trong giải bài toán không gian. * Phương pháp khảo sát: bản thân được tham dự các kỳ chấm thi học sinh giỏi nên có nắm được tình hình sử dụng các phương pháp làm bài của các em học sinh. * Phương pháp phân tích lý luận: phân tích giúp học sinh nắm thật rõ bản chất vấn đề, lựa chọn được phương pháp giải cho phù hợp. 5. Đối tượng nghiên cứu. - Các tài liệu: SGK, các đề thi học sinh giỏi tỉnh, quốc gia, quốc tế… - Học sinh trường THPT chuyên Hưng Yên và học sinh các đội tuyển học sinh giỏi Quốc Gia. 6. Những đóng góp mới của đề tài. - Về mặt lý luận, chuyên đề hệ thống lý thuyết cần thiêt và tư duy phương pháp trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi toán. Đồng thời thông qua chuyên đề cũng cung cấp cho học sinh một phương pháp “đa năng” cho việc giải toán, không chỉ với các bài toán hình học phẳng. - Về mặt thực tiễn, chuyên đề là một tài liệu tham khảo đối với giáo viên dạy đội tuyển toán đồng thời là một tài liệu học tập đối với học sinh chuyên toán. 4 PHẦN NỘI DUNG A. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU I. Các kiến thức cơ bản về toạ đô, véc tơ. I.1: Kiến thức toạ độ 1. Toạ độ của vectơ và của diểm trên trục Cho u r nằm trên trục (O, i r ) ⇒ a∃ ∈¡ sao cho: u a.i= r r . Số a như thế được gọi là toạ độ của vectơ u r đối với trục (O, i r ). Cho điểm M trên trục (O, i r ) ⇒ ∃ OM m.i = uuuur r số m như thế được gọi là toạ độ của điểm M trên trục (O, i r ). 2. Toạ độ của vectơ, của một điểm đối với hệ trục toạ độ Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, nếu a x.i y.j = + r r r thì cặp số (x ; y) được gọi là toạ độ của vectơ a r , ký hiệu là a (x;y)= r ; Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, toạ độ của OM uuuur được gọi là toạ độ của điểm M. 3. Các phép toán Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho 2 vectơ 1 1 u(x; y), v(x ;y ) r r và số thực k: 5 1 1 1 1 u v ( x x ;y y ); u v (x x ;y y ); ku ( kx;ky); k + = + + − = − − = ∈ ur r ur r ur ¡ 4. Phương trình của đường thẳng, đường tròn: Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng toạ độ Oxy có dạng: ax + by + c = 0 , 2 2 a b 0+ ≠ . Đường tròn tâm I (a; b ) bán kính R có phương trình là: (x - a) 2 + (y - b) 2 = R 2 Cho hai đường tròn (C 1 ): (x – a 1 ) 2 + (y – b 1 ) 2 = 2 1 R (C 2 ): (x – a 2 ) 2 + (y – b 2 ) 2 = 2 2 R khi đó phương trình trục đẳng phương của hai đường tròn là: ( ) ( ) 2 2 1 2 1 2 1 2 2 a a x 2 b b y R R 0− + − + − = 5. Phương trình các đường cônic Phương trình chính tắc của parabol: 2 y 2px, p 0= > Phương trình chính tắc của elip: 2 2 2 2 x y 1, a b 0 a b + = > > Phương trình chính tắc của hypebol: 2 2 2 2 x y 1, a 0,b 0 a b − = > > I.2: Xây dựng quy trình giải bài toán hình học bằng phương pháp toạ độ 1. Diễn đạt sự kiện hình học bằng ngôn ngữ vectơ 6 a) Điểm M trùng với điểm N OM ON⇔ = uuuur uuur (với O là điểm bất kỳ). b) I là trung điểm của đoạn thẳng AB IA IB 0⇔ + = uur uur r hay I là trung điểm của đoạn thẳng AB ( ) 1 OI OA OB 2 ⇔ = + uur uuur uuur (với điểm O bất kỳ). c) G là trọng tâm ABC GA GB GC 0∆ ⇔ + + = uuur uuur uuur r hay G là trọng tâm 1 ABC OG (OA OB OC) 3 ∆ ⇔ = + + uuur uuur uuur uuur (với O là điểm bất kỳ). d) Đường thẳng a song song với đường thẳng b AB kCD (k )⇔ = ∈ uuur uuur ¡ (với vectơ AB uuur , CD uuur là các vectơ chỉ phương của a, b) e) Ba điểm A, B, C thẳng hàng AB kBC (k )⇔ = ∈ uuur uuur ¡ f) Đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b AB .CD 0⇔ = uuur uuur (với vectơ AB uuur , CD uuur là các vectơ chỉ phương của a, b) g) Tính độ dài đoạn thẳng AB: sử dụng công thức 2 AB AB AB= = uuur uuur 2. Diễn đạt ngôn ngữ vectơ bằng ngôn ngữ toạ độ Trong hệ trục toạ độ Oxy, cho các điểm A (x 1 ; y 1 ), B (x 2 ; y 2 ), C (x 3 ; y 3 ) và các véctơ a ( x;y),b( x '; y'). r r Khi đó: a) 1 2 1 2 x x OA OB y y =  = ⇔  =  uuur uuur 7 b) 1 2 1 2 x x y y IA IB 0 I ; 2 2 + +   + = ⇔  ÷   uur uur r c) 1 2 3 1 2 3 x x x y y y GA GB GC 0 G ; 3 3 + + + +   + + = ⇔  ÷   uuur uuur uuur r . d) Vectơ a r và vectơ b r cùng phương x.y' x 'y 0⇔ − = e) a b x.x ' y.y' 0⊥ ⇔ + = r r g) 2 2 2 2 1 2 1 AB AB AB (x x ) ( y y )= = = − + − uuur uuur I.3. Thực hành phương pháp giải toán hình học bằng phương pháp toạ độ 1. Một số chú ý trong giảng dạy vấn đề PPTĐ Cần hướng dẫn học sinh ôn tập làm cho học sinh nắm vững kiến thức vectơ đặc biệt là các kiến thức về toạ độ của các phép toán trên các vectơ để làm cơ sở cho việc nghiên cứu toạ độ . Cần cho học sinh thấy rõ sự tương ứng 1 – 1 giữa các tập hợp điểm và tập hợp số. Trên đường thẳng: mỗi điểm ứng với một số thực xác định; Trên mặt phẳng: mỗi điểm ứng với một cặp số thực sắp thứ tự. Từ đây dần dần làm nổi bật cho học sinh thấy được rằng mỗi hình trong mặt phẳng là một tập hợp điểm sắp thứ tự theo một quy tắc nào đó, do vậy mỗi hình đó được xác định bởi một hệ rằng buộc nhất định tương ứng nào đó về mối liên hệ giữa các toạ độ của các điểm trên hình đó, thể hiện học sinh phải có các kỹ năng cơ bản sau : 8 + Khi lấy M thuộc hình H thì các toạ độ của M phải thoả mãn hệ rằng buộc về các toạ độ điểm của hình H. + Ngược lại nếu có điểm M có toạ độ thoả mãn hệ rằng buộc về các toạ độ điểm của hình H thì M thuộc hinh H. 2. Hướng dẫn học sinh giải toán bằng PPTĐ Với những bài toán hình học phẳng có chứa các quan hệ hình học: thẳng hàng, song song, vuông góc hay có chứa các yếu tố khoảng cách, tính góc, nếu ta chọn hệ toạ độ thích hợp thì ta có thể chuyển về bài toán đại số với quan hệ giữa các số và giữa các vectơ, giữa các phép toán. Các bài toán này rất có khả năng tìm ra được lời giải, thậm chí còn rất ngắn gọn. Việc giải bài tập bằng PPTĐ đòi hỏi học sinh phải được luyện tập vận dụng tổng hợp các kiến thức liên quan. Học sinh cần nắm được quy trình : + Chọn hệ trục toạ độ thích hợp (đây là vấn đề mấu chốt của bài toán, nếu chọn thích hợp thì bài toan sẽ được giải quyết nhanh gọn); + Phiên dịch bài toán đã cho sang ngôn ngữ vectơ; + Chuyển bài toán từ ngôn ngữ vectơ sang ngôn ngữ toạ độ; + Dùng các kiến thức toạ độ để giải toán; + Phiên dịch kết quả từ ngôn ngữ toạ độ sang ngôn ngữ hình học. 9 II. Vận dụng phương pháp toạ độ vào giải các bài toán hình học phẳng. 1. Các bài toán chứng minh tính chất hình học: thẳng hàng, vuông góc, đồng quy… Bài 1: Cho ∆ABC cân tại A. Gọi M là trung điểm của cạnh AB, G là trọng tâm ∆ACM, I là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC . Chứng minh rằng GI CM⊥ . Hướng dẫn Gọi O là trung điểm cạnh đáy BC. Dựng hệ toạ độ Oxy (như hình vẽ ) Các điểm A, B, C có toạ độ: A(0; h), B(- a; 0), C(a; 0). (ở đây giả sử BC = 2a, OA = h ). Do M là trung điểm của AB nên M a h ; 2 2 −    ÷   G là trọng tâm ∆AMC G A C M G A C M 1 1 a a x (x x x ) (0 a ) 3 3 2 6 1 1 h h y ( y y y ) (h 0 ) 3 3 2 2  = + + = + − =   ⇒   = + + = + + =   ⇒ G a h ; 6 2    ÷   Gọi I ( 0 ; y 0 ) 0 a h IM ( ; y ). 2 2 − ⇒ − uuur mà AB uuur (-a; - h) Theo giả thiết IM AB IM.AB 0⊥ ⇔ = uuur uuur uuur uuur ⇔ 0 a h ( ).( a ) ( y ).( h) 0 2 2 − − + − − = 10 [...]... sâu hơn nữa về phuơng pháp này và hy vọng sẽ có thêm một phương pháp hữu hiệu khi giải các bài toán hình phẳng trong các đề thi HSG Qua thời gian giảng dạy phương pháp này cho học sinh tôi nhận thấy: a) Khi nào ta vận dụng phương pháp? Nếu đề toán xuất hiện nhiều yếu tố vuông góc và thuận lợi cho việc gắn hệ trục tọa độ: Có hình vuông, hình chữ nhật và những trường hợp tương tự Đề toán chứa đựng các thông... đề toán không chứa đường tròn hoặc chứa rất ít đường tròn mà các yếu tố cho rất đơn giản nhưng lại khó khai thác các mối liên hệ của các giả thiết b) Ưu điểm của phương pháp Thay thế các tư duy của hình học bằng các phép toán đại số dẫn tới dễ dàng chọn ra hướng đi cũng như giải quyết được vấn đề Dễ dàng vận dụng các giả thiết của bài toán để giải quyết vấn đề, trong khi nếu giải bằng phương pháp hình. ..  ⇒ Toạ độ E  − ; ÷ 2   2 y− b 2 x b2 Phương trình EF: b 2 = b ( 1 − a ) b ⇔ ax − by + 2 = 0 − − 2 2 2  b2  K  − ;0 ÷ Toạ độ giao điểm K của EF và AB là:  2a  Ta có, toạ độ K thoả mãn phương trình CD ⇒ K ∈ CD Vậy 3 điểm K, C, D thẳng hàng Nhận xét: + Bài hình này ít khi nghĩ tới phương pháp toạ độ mà thường nghĩ tới phương pháp khác Tuy nhiên, khi chọn hệ toạ độ khéo léo ta giải bài toán này... IG ⊥ CM (đpcm ) Nhận xét: + Do ∆ABC cân tại A nên ta chọn hệ toạ độ có trục Oy qua A và vuông góc BC, Ox qua BC + Cách giải trên không phụ thuộc vào góc A là nhọn, vuông hay tù Nếu giải bằng phương pháp toán học thuần tuý, thì khi vẽ hình thì phải xét 3 trường hợp trên Đó cũng chính là lợi thế của Phương pháp toạ độ Bài 2 (Thi vào chuyên Toán PTNK TP.HCM năm 2009): Cho đường tròn (O) đường kính AB C... đường tròn (C 2) thuộc (C1) Trục đẳng phương của (C1), (C2) cắt (C) tại A và B Các đường thẳng MA, MB cắt lại đường tròn (C) tại E và F Chứng minh rằng EF tiếp xúc với (C2) 35 B/ KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU: Qua quá trình nghiên cứu và vận dụng đề tài “GIẢI TOÁN HÌNH PHẲNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ ”, tôi nhận thấy vấn đề này giúp ích nhiều cho học sinh trong việc học toán, giải toán Riêng bản thân tôi sẽ tiếp tục... thể chọn hệ trục toạ độ sao cho trục hoành chứa đường thẳng O1O2, tuy nhiên, khi đó việc tìm phương trình của B 1B2 ( và do đó toạ tìm toạ độ B1, B2) không đơn giản Việc chọn hệ trục như trong hướng dẫn là khôn ngoan vì việc tính toạ độ của các điểm cần thiết là rất dễ dàng + Trong lời giải trên đã có sự kết hợp giữa phương pháp toạ độ và phương 28 pháp tổng hợp Điều đó giúp lời giải ngắn gọn và đẹp... Tuy nhiên, khi chọn hệ toạ độ khéo léo ta giải bài toán này mà không phải tính toán nhiều + Bài toán này có nhiều cách giải Trong phương pháp toạ độ như trên nhận xét CD là trục đẳng phương của hai đường tròn (O) và (I) là khá quan trọng, giúp ta giảm nhiềm trong việc tính toán Ý tưởng này cũng thường hay được sử dụng để viết phương trình đường thẳng qua giao điểm của hai đường tròn hay đường thẳng đi... AC lần lượt tại E, D Gọi F, G là hình chiếu của D và E trên BC; M là giao điểm của EF và DG Chứng minh rằng AM ⊥ BC Hướng dẫn Chọn hệ trục toạ độ Oxy như hình vẽ (chân đường cao hạ từ đỉnh A là gốc toạ độ) 13 Khi đó, giả sử toạ độ các đỉnh: A(0; 1); B(b; 0); C(c; 0) Phương trình AC: x + cy – c = 0 A Phương trình AB: x + by – b = 0 E D Phương trình BD: cx – y – bc = 0 M Phương trình CE: bx – y – bc =... O B Chọn hệ trục toạ độ Hxy như hình vẽ, khi đó: H(0; 0); O(0; a); A(a – 1;0); B(a + 1; 0) và C(0; b) ⇒ b2 = |(a – 1)(a + 1)| = 1 – a2 2 b b2  Phương trình đường tròn tâm I đường kính CH: x +  y − ÷ = 2 4  2 Phương trình đường tròn tâm O: ( x − a ) + y 2 = 1 2 ⇒ Phương trình trục đẳng phương CD của (O) và (I) là: 2ax – by + b2 = 0 Phương trình AC: bx + (a – 1)y = b(a – 1) Phương trình HE: (a –... yếu tố vuông góc và dựa vào hình vẽ ta thấy bài toán này rất thuận lợi cho việc áp dụng toạ độ + Chú ý đến tính đối xứng của biểu thức toạ độ để việc tính toán thuận lợi hơn Bài 4: Cho hai hình vuông ABCD và AB’C’D’ cùng chiều Chứng minh các đường thẳng BB’, CC’, DD’ đồng quy C B Hướng dẫn Chọn hệ trục toạ độ Oxy sao cho A(0; 0); B(0; 1); D(1; 0) B' C' Gọi B’(a; b), vì hai hình vuông cùng chiều nên ta . dụng phương pháp toạ độ. Có thể nói rằng, phương pháp toạ độ là một phương pháp vạn năng, có thể giải được mọi bài toán hình học. Các bạn đã quen với hình học suy luận đôi khi không thích đến phương. hướng giải toán. Đồng thời thông qua lời giải các bài toán đó giúp học sinh hình thành phương pháp giải toán cũng như các kỹ năng, kỹ xảo cần thiết khi vận dụng phương pháp toạ độ vào giải toán. *. độ để giải toán; + Phiên dịch kết quả từ ngôn ngữ toạ độ sang ngôn ngữ hình học. 9 II. Vận dụng phương pháp toạ độ vào giải các bài toán hình học phẳng. 1. Các bài toán chứng minh tính chất hình