Sáng kiến kinh nghiệm SKKN môn toán THPT giải toán hình học bằng phương pháp tọa độ

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: "GIẢI TOÁN HÌNH HỌC BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ" PHẦN MỞ ĐẦU 1/ Lý chọn đề tài: Trong năm gần đây, môn Toán Tỉnh Hưng Yên có tiến thành tích kỳ thi học sinh giỏi cấp Quốc gia ngày tốt Qua trình nghiên cứu, theo dõi đề thi học sinh giỏi lần dạy ôn thi học sinh giỏi khẳng định kiến thức vectơ, toạ độ cần thiết thiếu chương trình toán THPT thi học sinh giỏi Trong kì thi Olympic, toán hình học cổ điển toán hay Cài hay toán không mức độ khó mà ẩn chứa kết toán, đặc trưng, tích chất hình học khai thác Về mặt nguyên tắc, toán hình học giải phương pháp toạ độ (phương pháp đại số) Tuy nhiên, nhiều toán hình học giải phương pháp tổng hợp thông thường lại đến kết cách nhanh chóng đương nhiên lời giải đẹp nhiều Cũng vậy, nhiều toán hình học giải cách nhanh chóng, gọn gàng dụng phương pháp toạ độ Có thể nói rằng, phương pháp toạ độ phương pháp vạn năng, giải toán hình học Các bạn quen với hình học suy luận không thích đến phương pháp dựa nhiều vào tính toán Tuy nhiên, mạnh phương pháp toạ độ giúp ta giải toán quỹ tích khó, chứng minh mà ta không giải suy luận Phương pháp cứu cánh ta bí, hiệu lúc thời gian dù phải tính toán rắc rối không cần phải suy nghĩ nhiều Việc giải nhanh hay chậm phương pháp phụ thuộc nhiều vào phương pháp, kĩ tính toán chúng ta, phụ thuộc vào việc chọn hệ trục lúc ban đầu Do vậy, viết chuyên đề nhằm phần đáp ứng yêu cầu góp phần nâng cao chất lượng bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi tỉnh nhà 2/ Mục tiêu nghiên cứu: Bài viết nhằm hệ thống kiến thức phương pháp toạ độ, trình bày kết qua trình nghiên cứu phương pháp toạ độ Giúp em học sinh có kiến thức tốt phương pháp toạ độ, mở số hướng cho em học sinh suy nghĩ sáng tạo toán 3/ Nhiệm vụ nghiên cứu: * Hệ thống phân loại toán nhằm giúp học sinh có nhìn tổng quan phương pháp toạ độ việc giải toán hình học phẳng việc vận dụng phương pháp vào laọi toán * Qua vị dụ minh hoạ chuyên đề, người viết có nhận xét gợi ý việc định hướng giải toán Đồng thời thông qua lời giải toán giúp học sinh hình thành phương pháp giải toán kỹ năng, kỹ xảo cần thiết vận dụng phương pháp toạ độ vào giải toán * Thực đổi phương pháp giảng dạy toán làm cho học sinh sáng tạo tìm kết mới, lời giải hay loại bài, giúp thân nắm vững phương pháp toạ độ, đồng thời trao đổi học tập kinh nghiệm thầy cô tổ Toán 4/ Các phương pháp nghiên cứu: * Phương pháp suy luận, tổng hợp: kết hợp với đề thi học sinh giỏi rút kinh nghiệm, hệ thống lại kiến thức, mở hướng * Phương pháp trò chuyện – vấn: trao đổi với nhiều học sinh giỏi để nắm tình hình sử dụng phương pháp toạ độ giải toán không gian * Phương pháp khảo sát: thân tham dự kỳ chấm thi học sinh giỏi nên có nắm tình hình sử dụng phương pháp làm em học sinh * Phương pháp phân tích lý luận: phân tích giúp học sinh nắm thật rõ chất vấn đề, lựa chọn phương pháp giải cho phù hợp Đối tượng nghiên cứu - Các tài liệu: SGK, đề thi học sinh giỏi tỉnh, quốc gia, quốc tế… - Học sinh trường THPT chuyên Hưng Yên học sinh đội tuyển học sinh giỏi Quốc Gia Những đóng góp đề tài - Về mặt lý luận, chuyên đề hệ thống lý thuyết cần thiêt tư phương pháp việc bồi dưỡng học sinh giỏi toán Đồng thời thông qua chuyên đề cung cấp cho học sinh phương pháp “đa năng” cho việc giải toán, không với toán hình học phẳng - Về mặt thực tiễn, chuyên đề tài liệu tham khảo giáo viên dạy đội tuyển toán đồng thời tài liệu học tập học sinh chuyên toán PHẦN NỘI DUNG A NỘI DUNG NGHIÊN CỨU I Các kiến thức toạ đô, véc tơ I.1: Kiến thức toạ độ Toạ độ vectơ diểm trục r r r r Cho u nằm trục (O, i ) ⇒ ∃a ∈ ¡ cho: u = a.i Số a gọi r r toạ độ vectơ u trục (O, i ) r uuuu r r Cho điểm M trục (O, i ) ⇒ ∃ OM = m.i số m gọi toạ độ r điểm M trục (O, i ) Toạ độ vectơ, điểm hệ trục toạ độ r r r Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, a = x.i + y.j cặp số (x ; y) gọi toạ độ r r vectơ a , ký hiệu a = (x; y) ; uuuu r Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, toạ độ OM gọi toạ độ điểm M Các phép toán r r Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho vectơ u(x; y), v(x1; y1 ) số thực k: ur r u + v = ( x + x1 ; y + y1 ); ur r u − v = ( x − x1 ; y − y1 ); ur ku = ( kx ;ky ); k ∈¡ Phương trình đường thẳng, đường tròn: Phương trình đường thẳng mặt phẳng toạ độ Oxy có dạng: ax + by + c = , a + b ≠ Đường tròn tâm I (a; b ) bán kính R có phương trình là: (x - a)2 + (y - b)2 = R2 Cho hai đường tròn (C1): (x – a1)2 + (y – b1)2 = R12 (C2): (x – a2)2 + (y – b2)2 = R 22 phương trình trục đẳng phương hai đường tròn là: ( a1 − a ) x + ( b1 − b ) y + R 12 − R 22 = Phương trình đường cônic Phương trình tắc parabol: y = 2px, p > x y2 Phương trình tắc elip: + = 1, a > b > a b Phương trình tắc hypebol: x y2 − = 1, a > 0, b > a b2 I.2: Xây dựng quy trình giải toán hình học phương pháp toạ độ Diễn đạt kiện hình học ngôn ngữ vectơ uuuu r uuur a) Điểm M trùng với điểm N ⇔ OM = ON (với O điểm bất kỳ) uur uur r b) I trung điểm đoạn thẳng AB ⇔ IA + IB = uur hay I trung điểm đoạn thẳng AB ⇔ OI = uuur uuur uuur uuur uuur OA + OB (với điểm O bất kỳ) ( ) r c) G trọng tâm ∆ABC ⇔ GA + GB + GC = uuur uuur uuur uuur ( OA + OB + OC) (với O điểm bất kỳ) uuur uuur d) Đường thẳng a song song với đường thẳng b ⇔ AB = kCD ( k ∈¡ ) hay G trọng tâm ∆ABC ⇔ OG = uuu r uuur (với vectơ AB , CD vectơ phương a, b) uuur uuu r e) Ba điểm A, B, C thẳng hàng ⇔ AB = kBC ( k ∈¡ ) uuur uuur f) Đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b ⇔ AB CD = uuu r uuur (với vectơ AB , CD vectơ phương a, b) uuur uuur2 g) Tính độ dài đoạn thẳng AB: sử dụng công thức AB = AB = AB Diễn đạt ngôn ngữ vectơ ngôn ngữ toạ độ Trong hệr trục toạ độ Oxy, cho điểm A (x 1; y1), B (x2; y2), C (x3; y3) véctơ r a ( x ; y ), b ( x '; y ') Khi đó: uuur uuur  x1 = x  y1 = y a) OA = OB ⇔  uur uur r x1 + x y1 + y  ; ÷    b) IA + IB = ⇔ I  uuur uuur uuur r x1 + x + x y1 + y + y3  ; ÷ 3    c) GA + GB + GC = ⇔ G  r r d) Vectơ a vectơ b phương ⇔ x.y ' − x ' y = r r e) a ⊥ b ⇔ x.x ' + y.y ' = uuur uuur2 g) AB = AB = AB = ( x − x1 ) + ( y − y1 ) I.3 Thực hành phương pháp giải toán hình học phương pháp toạ độ Một số ý giảng dạy vấn đề PPTĐ Cần hướng dẫn học sinh ôn tập làm cho học sinh nắm vững kiến thức vectơ đặc biệt kiến thức toạ độ phép toán vectơ để làm sở cho việc nghiên cứu toạ độ Cần cho học sinh thấy rõ tương ứng – tập hợp điểm tập hợp số Trên đường thẳng: điểm ứng với số thực xác định; Trên mặt phẳng: điểm ứng với cặp số thực thứ tự Từ làm bật cho học sinh thấy hình mặt phẳng tập hợp điểm thứ tự theo quy tắc đó, hình xác định hệ buộc định tương ứng mối liên hệ toạ độ điểm hình đó, thể học sinh phải có kỹ sau : + Khi lấy M thuộc hình H toạ độ M phải thoả mãn hệ buộc toạ độ điểm hình H + Ngược lại có điểm M có toạ độ thoả mãn hệ buộc toạ độ điểm hình H M thuộc hinh H Hướng dẫn học sinh giải toán PPTĐ Với toán hình học phẳng có chứa quan hệ hình học: thẳng hàng, song song, vuông góc hay có chứa yếu tố khoảng cách, tính góc, ta chọn hệ toạ độ thích hợp ta chuyển toán đại số với quan hệ số vectơ, phép toán Các toán có khả tìm lời giải, chí ngắn gọn Việc giải tập PPTĐ đòi hỏi học sinh phải luyện tập vận dụng tổng hợp kiến thức liên quan Học sinh cần nắm quy trình : + Chọn hệ trục toạ độ thích hợp (đây vấn đề mấu chốt toán, chọn thích hợp toan giải nhanh gọn); + Phiên dịch toán cho sang ngôn ngữ vectơ; + Chuyển toán từ ngôn ngữ vectơ sang ngôn ngữ toạ độ; + Dùng kiến thức toạ độ để giải toán; + Phiên dịch kết từ ngôn ngữ toạ độ sang ngôn ngữ hình học II Vận dụng phương pháp toạ độ vào giải toán hình học phẳng Các toán chứng minh tính chất hình học: thẳng hàng, vuông góc, đồng quy… Bài 1: Cho ∆ABC cân A Gọi M trung điểm cạnh AB, G trọng tâm ∆ACM, I tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC Chứng minh GI ⊥ CM Hướng dẫn Gọi O trung điểm cạnh đáy BC Dựng hệ toạ hình vẽ ) độ Oxy (như Các điểm A, B, C có toạ độ: A(0; h), B(- a; 0), C(a; 0) (ở giả sử BC = 2a, OA = h ) −a h   Do M trung điểm AB nên M  ; ÷  2 1 a a   x G = ( x A + x C + x M ) = ( + a − ) = a h G trọng tâm ∆AMC ⇒  ⇒ G  ; ÷ 6 2 y = ( y + y + y ) = ( h + + h ) = h  G A C M 2 uuu r −a h uuu r ; − y ) mà AB (-a; - h) 2 Gọi I ( ; y0 ) ⇒ IM ( uuu r uuur uuu r uuur Theo giả thiết IM ⊥ AB ⇔ IM.AB = ⇔ ( −a h ).( − a ) + ( − y ).(−h ) = 2 a2 h2 − + y0 h = 2 h2 − a2 ⇔ y0 = 2h ⇔  h2 − a2  ⇔ I  0; 2h ÷   uuuu r uur −a h −3a h a h h2 − a2 − a; )=( ; ) ⇒ IG = ( ; − ) Ta có CM = ( 2 2 2h uur uuuu r − a2 h2 h2 a2 ⇒ IG.CM = + − + = 4 4 uur uuuu r Vậy IG ⊥ CM (đpcm ) Nhận xét: + Do ∆ABC cân A nên ta chọn hệ toạ độ có trục Oy qua A vuông góc BC, Ox qua BC + Cách giải không phụ thuộc vào góc A nhọn, vuông hay tù Nếu giải phương pháp toán học tuý, vẽ hình phải xét trường hợp Đó lợi Phương pháp toạ độ Bài (Thi vào chuyên Toán PTNK TP.HCM năm 2009): Cho đường tròn (O) đường kính AB C điểm thay đổi đường tròn (O) cho ∆ABC không cân C Gọi H chân đường cao ∆ABC hạ từ C Hại HE, HF vuông góc với AC, BC tương ứng Các đường thẳng EF AB cắt K Gọi D giao điểm (O) đường tròn đường kính CH, D khác C Chứng minh K, D, C thẳng hàng Hướng dẫn C D F I E K A 10 H O B  y = ax + a  2ma + − a 2ma + 2a  ⇒ A ;  ÷ 2 1+ a2   1+ a  x + y − 2my − =  2mb + − b 2mb + 2b  ; Tương tự, toạ độ điểm B B  ÷ + b2   1+ b Toạ độ trọng tâm G tam giác IAB là:  2 1  2 a b   x G = − +  + a + + b ÷+  + a + + b ÷m      (1)  1 2ab a b     y = + + + m  2 ÷  G  + a + b ÷  1+ a 1+ b  Từ ⇒ G chạy đường thẳng có phương trình tham số (1)  m≥−   x A ≥ −1  a ⇒ Giới hạn: Ta có:   x B ≥ −1 m ≤ −  b   Vậy quỹ tích trọng tâm G đoạn thẳng thuộc đường thẳng (1) với m ∈  − ; −   a b 1 Tương tự, với quỹ tích trực tâm H Nhận xét: Với toán này, không khó để dự đoán quỹ tích đường thẳng Với quỹ tích đường thẳng hoàn toàn tự tin để giải phương pháp toạ độ Bài (Đề thi học sinh giỏi quốc gia 2006-2007): Cho tam giác ABC có hai đỉnh B, C cố định đỉnh A thay đổi Gọi H, G trực tâm trọng tâm tam giác ABC Tìm quỹ tích điểm A, biết trung điểm K HG thuộc đường thẳng BC Hướng dẫn Chọn hệ trục Oxy với O trung điểm BC trục Ox đường thẳng BC Đặt BC = 2a > Khi tọa độ B(−a ,0) ; C(a ,0) Giả sử A(x , y ) y ≠ 18 Khi trực tâm H nghiệm hệ phương trình x = x0   (x + a)(a − x ) − y y =  a − x 02  ⇒ H  x0 , ÷ y0    2x 3a − 3x 02 + y02   x y0  ; Trọng tâm G  ; ÷, suy trung điểm K  ÷ 6y  3    K thuộc đường thẳng BC khi: 3a − 3x 02 + y02 = ⇔ Vậy quỹ tích A hyperbol x 02 y02 − = (y ≠ 0) a 3a x y2 − = bỏ hai điểm B, C a 3a Bài 10 (Đề thi OLYMPIC 30/4 năm học 2008-2009): Cho tam giác ABC có hai đỉnh B, C cố định đỉnh A thay đổi Qua B dựng đường thẳng d vuông góc với BC, d cắt đường trung tuyến AI tam giác ABC K.Gọi H trực tâm tam giác ABC Tìm quỹ tích điểm A, biết IH song song với KC Hướng dẫn ^y A Chọn hệ trục Oxy với O trùng I trục đường thẳng BC Ox H B Đặt BC = 2a > Khi B(−a; 0); C(a; 0) C I >x Giả sử tọa độ điểm A(x ; y ) với y0 ≠ Khi trực tâm H nghiệm hệ phương K 19 trình:  x = x0  a − x 02  ⇒ H  x0;  ÷ y0   (x + a)(a − x ) − y y =  x = −a  y   K = d ∩ (AI) nghiệm hệ phương trình:  y ⇒ K  −a; − a ÷ với x ≠ x0   y = x x  y0 a − x 02 ⇔ a x − 2a =0 Theo giả thiết, ta có : IH phương KC x0 y0 → → x 02 y 02 ⇔ + =1 a 2a x 02 y02 Vậy quỹ tích A elip + = bỏ điểm B, C, A1 (0; − a 2) , A (0; a 2) đỉnh a 2a elip Bài 11: Cho ∆ABC có M điểm di động cạnh BC Hạ MN, PQ tương ứng vuông góc song song với AB ( N ∈ AB, Q∈ BC ) Gọi P hình chiếu Q AB, I tâm hình chữ nhật MNPQ Tìm quỹ tích tâm I M chạy cạnh AB Hướng dẫn Gọi O chân đường cao hạ từ C xuống AB Chọn hệ trục toạ độ Oxy ( hình vẽ ) Giả sử toạ độ đỉnh A, B, C là: A(a; 0), C(0; h ), h > 0), Phương trình đường thẳng AB theo đoạn x y + =1 a h Phương trình đường thẳng BC theo đoạn chắn: 20 x y + = b h B(b; chắn: Giả sử MQ có phương trình y = m ( ≤ m ≤ h ) Toạ độ điểm Q nghiệm hệ phương trình: y = m y = m a   ⇔  a ⇒ Q ( ( h − m );m) x y h  a + h =  x = h ( h − m ) b h a h Tương tự ta có : M ( ( h − m );m) Toạ độ điểm P P( ( h − m );0) Gọi I tâm hình chữ nhật ABCD Suy I trung diẻm MP ( a + b )( h − m )  x = ( x + x ) = (1) I M P  2h ⇒ Khi  y = ( y + y ) = m (2)  I M p xI Y + I = (*) a+b h 2 2x I Từ (1) suy m = h(1 − a + b ) a−b  2x I  ≤ x ≤ I  ) ≤ h 0 ≤ h(1 −  a+b ⇔ (2) suy m = 2yI Vì ≤ m ≤ h nên  (**) 0 ≤ 2y ≤ h 0 ≤ y ≤ c I  I  Từ (*) (**) suy quỹ tích tâm I hình chữ nhật MNPQ đoạn KH, K, H trung điểm OC AB (đpcm) Nhận xét: Mọi lập luận không phụ thuộc vào hình dáng ∆ABC Một số dạng toán khác 21 Bài 12 (Đề thi HSG toàn quốc – Năm 1979): Cho điểm M nằm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh giá trị MA + MB4 + MC4 không phụ thuộc vào vị trí M Hướng dẫn Gọi I,R tâm bán kính đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác ABC Dựng hệ trục toạ độ Oxy cho: A(0,0);B( 3R R 3R −R , );C( , );I(R,0) 2 2 M(x, y) ∈ (C) ⇒ MI = R ⇒ MI = R ⇒ x + y = 2Rx Ta có:  3R R 2  3R R 2 MA + MB MC = (x + y ) + (x − ) + (y − )  + (x − ) + (y + )  2 2     4 2 2 = (2Rx) + (3R − Rx − R 3y) + (3R − Rx + R 3y) = 6R x + 6R y + 18R − 12R 3x = 6R (x + y ) + 18R − 12R x = 6R 2Rx + 18R − 12R 3x = 18R Vậy giá trị MA4 + MB4 + MC4 không phụ thuộc vào vị trí M Bài 13: Cho góc Oxy vuông O M điểm bên góc cho khoảng cách từ M đến Ox, Oy Tìm điểm A ∈ Ox, B ∈ Oy cho AB qua M OA + OB nhỏ Hướng dẫn B Xét hệ trục toạ độ Oxy với O gốc toạ độ Khi đó, M(3; 4) Giả sử A(a; 0), B(0; b) Phương trình AB: M x y + =1 a b O 22 A M ∈ AB nên ta có: + =1 a b 3 4 Khi đó: OA + OB = a + b = ( a + b )  + ÷ ≥ ( + ) a b 3  a + b = a = + ⇔ Dấu “=” xảy  b a = b = +  Vậy OA + OB nhỏ ( ) + OA = + OB = + Bài 14 (IMO 2000): Cho hai đường tròn (O1), (O2) cắt hai điểm phân biệt M, N Tiếp tuyến chung (gần M hơn) tiếp xúc với (O 1), (O2) A1 A2 Đường thẳng qua M song song với A1A2 cắt lại đường tròn (O1), (O2) B1 B2 Các đường thẳng A1B1 A2B2 cắt C, đường thẳng A1N, A2N cắt đường thẳng B1B2 D E Chứng minh CD = CE Hướng dẫn Chọn hệ trục toạ độ A1xy cho: A1(0; 0) A2(a; 0), O1(0; r1), O2(a; r2) 23 Giả sử, toạ độ M(s; t), đó: B1(-s; t), B2(2a – s; t) ⇒ B1B2 = 2a = 2A1A2 Do A1A2 // B1B2 nên A1, A2 theo thứ tự trung điểm B1C B2C ⇒ C(s; -t) uuuu r uuuuu r CM ( 0;2t ) , B1B2 ( 2a;0 ) ⇒ CM ⊥ B1B hay CM ⊥ DE (1) Gọi K giao điểm MN với A1A2 Ta có: PK / ( O1 ) = KA1 = KM.KN = PK/ ( O2 ) = KA 2 ⇒ K trung điểm A1A2 Từ đó, A1A2 // B1B2 nêm M trung điểm DE (2) Từ (1) (2) ⇒ CM trung trực DE (đpcm) Nhận xét: + Trong ví dụ trên, hoàn toàn chọn hệ trục toạ độ cho trục hoành chứa đường thẳng O1O2, nhiên, việc tìm phương trình B 1B2 ( toạ tìm toạ độ B1, B2) không đơn giản Việc chọn hệ trục hướng dẫn khôn ngoan việc tính toạ độ điểm cần thiết dễ dàng + Trong lời giải có kết hợp phương pháp toạ độ phương pháp tổng hợp Điều giúp lời giải ngắn gọn đẹp Bài 15 (VMO 2011): Trong mặt phẳng, cho đường tròn (O) đường kính AB Xét điểm P di động tiếp tuyến B (O) cho P không trùng với B, Đường thẳng PA cắt (O) điểm thứ hai C Gọi D điểm đối xứng với C qua O Đường thẳng PD cắt (O) điểm thứ hai E Chứng minh đường thẳng AE, BC, PO đồng quy Hướng dẫn 24 Chọn hệ trục toạ độ Bxy cho B(0; 0), A(2R; 0), P(0; t) với t > Ta có O(R; 0) phương trình (O): x2 – 2Rx + y2 = Phương trình PA: x y + = ⇔ tx + 2Ry = 2Rt 2R t Ta có: PA ∩ (O) = {A; C} nên toạ độ A, C nghiệm hệ: t  x = 2R  x y = t − ⇔ 2R  2Rt  x =  x − 2Rx + y =  4R + t   2Rt 4R t  ⇒ C  4R + t ; 4R + t ÷    8R 4R t  Mà D đối xứng với C qua O nên D  2 ; − 2 ÷ 4R + t   4R + t Phương trình BC: y = Phương trình PO: 2R x t x y + = ⇔ tx + Ry = Rt R t  Rt t x=  x y =  2R + t ⇔ Gọi M = PO ∩ BC, toạ độ M nghiệm hệ:  2R  tx + Ry = Rt  y = 2R t 2R + t   Rt 2R t  ; ⇒ Toạ độ điểm M  2R + t 2R + t ÷   25 Để chứng minh BC, AE, PO đồng quy ta cần chứng minh A, E, M thẳng hàng  t2 t  t   M ; D ;− Để đơn giản, ta chọn 2R = 1,  ÷ 2 ÷; A(0; 1), 1+ t2  1+ t  + 2t + 2t  Phương trình (O): x2 + y2 – x = Phương trình PD: (t3 + 2t)x + y – t = Ta có: PD ∩ (O) = {D; E} nên toạ độ D, E nghiệm hệ:   y = t − ( t + 2t ) x x = + t2 ⇔  2 t2 x =  x − x + y =  t + 3t +  t2 t3 + t  ⇒ E ; ÷ 2  t + 3t + t + 3t +  uuuu r  −t − t  uuur  − t − 2t − t3 + t  ; ;AE  ; Do đó, AM  ÷ 2 ÷ 2  + 2t + 2t   t + 3t + t + 3t +  uuuu r uuur ⇒ AM;AE phương Vậy BC, AE, PO đồng quy (đpcm) Bài 16: Cho ∆ABC có trực tâm H Trên đoạn HB, HC lấy điểm B1, C1 cho góc AB1C góc AC1B vuông Chứng minh AB1 = AC1 Hướng dẫn 26 Chọn hệ trục toạ độ Oxy ( hình vẽ ) Trong hệ toạ độ A (0; h), B (b; 0), C (c; 0) , ( h, c > 0, b < ) uuur Ta có AC = (c; - h) Theo gt BH ⊥ AC uuur Đường cao BH qua B (b; 0) có vectơ pháp tuyến AC = (c; - h) nên có phương trình : c(x - b) - h(y – 0) = ⇔ cx – hy – bc = Gọi B1 ( x1; y1) B1 ∈ BH ⇒ cx1 – hy1 – bc = ⇔ cx1 – hy1 = bc (1) uuuu r uuuu r Ta có AB1 = ( x1; y1 – h ), CB1 = ( x1 – c; y1) uuuu r uuuu r uuuu r uuuu r Vì AB1 ⊥ CB1 ⇒ AB1 CB1 = hay x1(x1 – c) + y1(y1 – h) = ⇔ x12 + y12 − cx1 − hy1 = (2) Mặt khác : AB12 = x12 + (y1 – h)2 = x12 + y12 - 2hy1 + h2 = ( x12 + y12 - hy1 - cx1) + (cx1 – hy1 ) + h2 (3) Thay (1),(2) vào (3) ta AB1 = bc + h2 Tương tự ta có: AC1 = bc + h2 Từ suy AB1 = AC1 (đpcm) 27 III Bài tập tự luyện Bài 1: Cho hình vuông ABCD Trên BD lấy điểm M không trùng với B, D Gọi E, F hình chiếu M cạnh AB, AD Chứng minh rằng: a) CM ⊥ EF b) Các đường thẳng CM, BF, DE đồng quy Bài (APMO) Cho tam giác ABC, đường trung tuyến phân giác kẻ từ A theo thứ tự cắt BC M N Từ N kẻ đường thẳng vuông góc với NA cắt MA BA Q P Từ P kẻ đường thẳng vuông góc với BA cắt NA O Chứng minh QO vuông góc với BC Bài (IMO 1995) Cho A, B, C, D bốn điểm phân biệt đường thẳng, theo thứ tự Đường tròn đường kính AC BD cắt X Y Đường thẳng XY cắt BC Z Cho P điểm nằm đường thẳng XY khác Z Đường thẳng CP cắt đường tròn đường kính AC C M, đường thẳng BP cắt đường tròn đường kính BD B N chứng minh đường thẳng AM, DN cắt tịa điểm thuộc đường thẳng XY Bài (Iran 1996) cho hai điểm D, E tương ứng hai cạnh AB, AC tam giác ABC cho DE // BC Gọi P điểm tuỳ ý nằm bên tam giác, F, G giao điểm đường thẳng BP, CP với DE Gọi O 1, O2 theo thứ tự tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác PGD PEF Chứng minh AP ⊥ O1O2 Bài (Tournament of Towns 1995) Cho điểm P nằm tứ giác lồi ABCD Đường phân giác góc APB, BPC, CPD DPA cắt cạnh AB, BC, CD DA K, L, M N theo thứ tự Xác định vị trí P cho tứ giác KLMN hình bình hành Bài (BMO 2006) Cho tam giác ABC có AC > AB Lấy điểm X tia đối tia AB, điểm Y tia đối tia AC cho BX = CA, CY = AB Gọi P giao điểm · · đường thẳng XY với đương trung trực BC Chứng minh BPC + BAC = 1800 Bài (IMO 1977) Cho hình vuông ABCD, dựng tam giác ABK, BCL, CDM DAN phía hình vuông Chứng minh trung điểm đoạn thẳng 28 KL, LM, MN, NK trung điểm đoạn thẳng AK, BK, BL,CL, CM, DM, DN, AN đỉnh thập nhị diện Bài (IMO 1999) Cho hai đường tròn (C1), (C2) nằm bên tiếp xúc với đường tròn (C) M, N theo thứ tự tâm đường tròn (C 2) thuộc (C1) Trục đẳng phương (C1), (C2) cắt (C) A B Các đường thẳng MA, MB cắt lại đường tròn (C) E F Chứng minh EF tiếp xúc với (C2) 29 B/ KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU: Qua trình nghiên cứu vận dụng đề tài “GIẢI TOÁN HÌNH PHẲNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ ”, nhận thấy vấn đề giúp ích nhiều cho học sinh việc học toán, giải toán Riêng thân tiếp tục nghiên cứu sâu phuơng pháp hy vọng có thêm phương pháp hữu hiệu giải toán hình phẳng đề thi HSG Qua thời gian giảng dạy phương pháp cho học sinh nhận thấy: a) Khi ta vận dụng phương pháp? Nếu đề toán xuất nhiều yếu tố vuông góc thuận lợi cho việc gắn hệ trục tọa độ: Có hình vuông, hình chữ nhật trường hợp tương tự Đề toán chứa đựng thông tin dẫn tới hai đường thẳng vuông góc Như tam giác cân, tam giác đều, đường cao tam giác, hai đường tròn giao nhau, Những đề toán không chứa đường tròn chứa đường tròn mà yếu tố cho đơn giản lại khó khai thác mối liên hệ giả thiết b) Ưu điểm phương pháp Thay tư hình học phép toán đại số dẫn tới dễ dàng chọn hướng giải vấn đề Dễ dàng vận dụng giả thiết toán để giải vấn đề, giải phương pháp hình học túy ta khó khai thác giả thiết Giải nhanh gọn toán điểm cố định, quỹ tích mà phương pháp hình học túy gặp nhiều khó khăn Đặc biệt kết quỹ tích đường Hypebol, Elip, Parabol Rất dễ chọn hệ trục tọa độ nên xác định hướng nhanh phong phú, nên phù hợp với học sinh làm thi Thông thường ta thời gian để xác định hệ trục công việc lại xử lí phép toán, theo phương pháp hình học túy ta nhiều thời gian cho toán mà chưa đạt 30 kết nên dẫn tới hoang mang tâm lí ức chế dẫn tới hiệu thi không cao c) Nhược điểm phương pháp Làm triệt tiêu khả tư hình học Thông thường lời giải dài so với phương pháp hình học túy Nếu số biến toán nhiều ta gặp khó khăn việc xác định mối liên hệ biến số Đây khó khăn lớn lựa chọn phương pháp Đôi thời gian cho việc phân tích, biến đổi đại số chiêm mà thời gian dành cho việc xử lí biểu thức bước cuối để kết theo ý đồ lại chiếm nhiều Điều thể rõ toán có chứa đường tròn, ta chọn hệ trục chưa thực tối ưu việc áp dụng phương pháp gượng ép tùy tiện Kinh nghiệm chọn hệ trục tọa độ đưa vào biến số: Tìm cách giảm số biến số không làm ảnh hưởng tới kết toán 31 III PHẦN KẾT LUẬN: / Kết luận: Thông qua tập giải phương pháp toạ độ, bạn nghĩ tính toán nhiều phức tạp cảm thấy không thích Tuy nhiên, phương pháp có hay đẹp ta vận dụng cách hợp lý Đối với phương pháp người làm cần phải kiên trì, cẩn thận không ngại tính toán Tôi viết đề tài nhằm mục đích trao đổi với Quý Thầy Cô dạy môn toán phương pháp giải toán hình học phẳng đề thi HSG tỉnh, Quốc gia, Quốc tế Vì kiến thức thời gian nhiều hạn chế nên tài liệu có thiếu sót, chân thành đón nhận góp ý Quý Thầy Cô Xin chân thành cảm ơn 32 [...]... sâu hơn nữa về phuơng pháp này và hy vọng sẽ có thêm một phương pháp hữu hiệu khi giải các bài toán hình phẳng trong các đề thi HSG Qua thời gian giảng dạy phương pháp này cho học sinh tôi nhận thấy: a) Khi nào ta vận dụng phương pháp? Nếu đề toán xuất hiện nhiều yếu tố vuông góc và thuận lợi cho việc gắn hệ trục tọa độ: Có hình vuông, hình chữ nhật và những trường hợp tương tự Đề toán chứa đựng các thông... phép toán, trong khi nếu đi theo phương pháp hình học thuần túy ta có thể mất nhiều thời gian cho một bài toán mà chưa chắc đã đạt được 30 kết quả gì nên dẫn tới sự hoang mang và tâm lí ức chế dẫn tới hiệu quả của bài thi không cao c) Nhược điểm của phương pháp Làm triệt tiêu đi khả năng tư duy hình học Thông thường lời giải sẽ rất dài so với phương pháp hình học thuần túy Nếu số biến trong bài toán. .. đề toán không chứa đường tròn hoặc chứa rất ít đường tròn mà các yếu tố cho rất đơn giản nhưng lại khó khai thác các mối liên hệ của các giả thiết b) Ưu điểm của phương pháp Thay thế các tư duy của hình học bằng các phép toán đại số dẫn tới dễ dàng chọn ra hướng đi cũng như giải quyết được vấn đề Dễ dàng vận dụng các giả thiết của bài toán để giải quyết vấn đề, trong khi nếu giải bằng phương pháp hình. ..  E ⇒ Toạ độ  − ; ÷ 2   2 b y− x b2 2 = ⇔ ax − by + =0 Phương trình EF: b 2 b ( 1 − a ) b 2 − − 2 2 2  b2  Toạ độ giao điểm K của EF và AB là: K  − ;0 ÷  2a  Ta có, toạ độ K thoả mãn phương trình CD ⇒ K ∈ CD Vậy 3 điểm K, C, D thẳng hàng Nhận xét: + Bài hình này ít khi nghĩ tới phương pháp toạ độ mà thường nghĩ tới phương pháp khác Tuy nhiên, khi chọn hệ toạ độ khéo léo ta giải bài toán này... đường tròn (C 2) thuộc (C1) Trục đẳng phương của (C1), (C2) cắt (C) tại A và B Các đường thẳng MA, MB cắt lại đường tròn (C) tại E và F Chứng minh rằng EF tiếp xúc với (C2) 29 B/ KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU: Qua quá trình nghiên cứu và vận dụng đề tài “GIẢI TOÁN HÌNH PHẲNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ ”, tôi nhận thấy vấn đề này giúp ích nhiều cho học sinh trong việc học toán, giải toán Riêng bản thân tôi sẽ tiếp tục... làm ảnh hưởng tới kết quả bài toán 31 III PHẦN KẾT LUẬN: 1 / Kết luận: Thông qua các bài tập trên giải bằng phương pháp toạ độ, các bạn có thể nghĩ rằng tính toán quá nhiều và phức tạp và cảm thấy không thích Tuy nhiên, mọi phương pháp đều có cái hay và đẹp nếu ta vận dụng một cách hợp lý Đối với phương pháp này người làm cần phải kiên trì, cẩn thận và không ngại tính toán Tôi viết đề tài nhằm mục... thể chọn hệ trục toạ độ sao cho trục hoành chứa đường thẳng O1O2, tuy nhiên, khi đó việc tìm phương trình của B 1B2 ( và do đó toạ tìm toạ độ B1, B2) không đơn giản Việc chọn hệ trục như trong hướng dẫn là khôn ngoan vì việc tính toạ độ của các điểm cần thiết là rất dễ dàng + Trong lời giải trên đã có sự kết hợp giữa phương pháp toạ độ và phương pháp tổng hợp Điều đó giúp lời giải ngắn gọn và đẹp hơn... trong khi nếu giải bằng phương pháp hình học thuần túy thì ta rất khó khai thác các giả thiết Giải quyết nhanh gọn các bài toán điểm cố định, quỹ tích mà phương pháp hình học thuần túy gặp nhiều khó khăn Đặc biệt khi kết quả của quỹ tích là các đường Hypebol, Elip, Parabol Rất dễ chọn hệ trục tọa độ nên xác định hướng đi rất nhanh và phong phú, nên phù hợp với học sinh khi làm bài thi Thông thường ta... là hình chiếu của D và E trên BC; M là giao điểm của EF và DG Chứng minh rằng AM ⊥ BC Hướng dẫn Chọn hệ trục toạ độ Oxy như hình vẽ (chân đường cao hạ từ đỉnh A là gốc toạ độ) Khi đó, giả sử toạ độ các đỉnh: A(0; 1); B(b; 0); C(c; 0) Phương trình AC: x + cy – c = 0 A Phương trình AB: x + by – b = 0 E Phương trình BD: cx – y – bc = 0 Phương trình CE: bx – y – bc = 0 D M B  bc 2 + c c 2 − bc  ⇒ Toạ độ. .. được phương trình (2) Do đó BB’ và DD’ cắt nhau tại I(x 0; y0) thì (x0; y0) cũng thoả mãn phương trình CC’ Vậy 3 đường thẳng BB’, CC’, DD’ đồng quy tại I (đpcm) Nhận xét: Bài toán này đề bài khá đơn giản, nhưng chứng minh bằng phương pháp tổng hợp khá rắc rối Trong hình có nhiều yếu tố vuông góc nên có thể nghĩ tới cách dùng toạ độ Với bài này ta có thể thấy ngay cách xây dựng hệ trục toạ độ để bài toán