giáo trình không gian mêtric

ĐẠI HỌC HUẾ TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỪ XA TS. NGUYỄN HOÀNG GIÁO TRÌNH KHÔNG GIAN MÊTRIC (CƠ SỞ GIẢI TÍCH) Huế - 2007 1 MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU 3 A. KIẾN THỨC BỔ SUNG 5 § 1 TẬP HỢP SỐ THỰC 5 §2. LỰC LƯỢNG CỦA CÁC TẬP HỢP 10 B. KHÔNG GIAN MÊTRIC 16 §1. KHÁI NIỆM MÊTRIC. 16 BÀI TẬP 21 §2.TẬP MỞ VÀ TẬP ĐÓNG 23 BÀI TẬP 30 §3. ÁNH XẠ LIÊN TỤC 32 BÀI TẬP 37 $4 KHÔNG GIAN MÊTRIC ĐẦY ĐỦ 38 BÀI TẬP 50 §5 KHÔNG GIAN COMPACT 52 BÀI TẬP 67 §6. KHÔNG GIAN LIÊN THÔNG 69 BÀI TẬP 71 C. LỜI GIẢI VÀ HƯỚNG DẪN 72 PHẦN A 72 PHẦN B 73 TÀI LIỆU THAM KHẢO 87 2 LỜI NÓI ĐẦU Giáo trình này được viết dựa trên bài giảng cho sinh viên khoa Toán trường ĐHSP Huế trong những năm vừa qua. Học phần này có mục đích trang bị những kiến thức căn bản về giải tích hiện đại mà bất cứ sinh viên Toán nào cũng phải nắm được. Khác với giải tích cổ điển, trong đó người ta làm việc chủ yếu trên tập IR k các bộ k số thực, ở đây các khái niệm cơ bản của giải thích như lân cận, giới hạn liên tục… được xét trong không gian tổng quát hơn mà phần tử của nó có thể là các đối tượng tuỳ ý miễn sao có thể xác định được khoảng cách giữa hai phần tử đó. Ngoài một cách bản chất và sâu sắc những kiến thức về giải thích cổ điển đã học trong nh ững năm trước, cũng như chuẩn bị để học tốt các học phần tiếp theo như lý thuyết độ đo, tích phân, giải tích hàm… Các khá nhiều sách viết về không gian mêtric, tuy nhiên người ta thường chỉ trình bày những kiến thức đủ dùng cho mục đích của cuốn sách đó nên chưa có một giáo trình tương đối hoàn chỉnh riêng cho phần lý thuyết này. Ở đây, bạn đọc sẽ thấy nhiều bài tập đượ c đưa vào với tư cách rèn luyện tư duy và đồng thời cũng có thể xem như bài bổ sung lý thuyết. Phần lớn các bài tập đều có lời giản tóm tắt hoặc chi tiết. Điều này có lẽ sẽ mang lại lợi ích thiết thực rất hạn chế và cũng có ít sách giải bài tập để giúp cho sinh viên trong lúc học tập. Để học tốt học phần này, về nguyên tắc sinh viên chỉ cần nắm đượ c những kiến thức sơ cấp về lý thuyết tập hợp và ánh xạ, phép qui nạp và các suy luận logic toán học. Cần phải biết diễn tả một mệnh đề bằng nhiều mệnh đề tương đương với nó cũng như hiểu và vận dụng cách chứng minh hay xây dựng các đối tượng bằng qui nạp hữu hạn. Tuy nhiên để có thể hiểu sâu sắc và nhất là làm được các bài tập. Ở đây, ngôn ngữ hình học được dùng để diễn tả các khái niệm không gian mêtric, nhưng đôi lúc có những vấn đề vượt ra khỏi trực giác và suy luận chủ quan thông thường. Do đó với từng khái niệm, người học nhất thiết phải hiểu thấu được định nghĩa, tự mình tìm được những ví dụ minh họa cho các định nghĩa đó. Như Dieudonne đã nói: trực quan hình học, cùng với sự đề phòng thích đáng là một người hướng dẫn rất đáng tin tưởng trong hoàn cảnh tổng quát… Cuốn sách được chia làm hai phần. Phần kiến thức bổ sung nêu lại một cách có hệ thống các tính chất của tập số thực IR. Sinh viên tăng cường chú ý đến khái niệm infimum và suptemum của một tập số thực và cần sử dụng một cách thành 3 thạo, biên soạn. Về khái niệm lực lượng tập hợp, cần nắm được trong trường hợp nào thì một tập là đếm được, Phần thứ hai là phần chính của chương trình. Có nhiều con đường để trình bày các khái niệm. Ở đây chúng tôi chọn cách tiếp cận với ngôn ngữ thường dùng, một mặt để người học dễ nhớ, mặt khác phần nào giải thích lý do đưa ra tên gọi như vậy. Tuy nhiên, nhất thiết phải được hiểu theo đúng định nghĩa. Các khái niệm quan trọng phải kể đến là hội tụ, mở, đóng, liên tục, đầy đủ, compact… Đặc trưng phần này là nặng về suy luận hơn tính toán, hơn nữa nhiều thuật ngữ chồng chất lên nhau làm người mới học thấy lúng túng. Vì thế sinh viên nên tìm thêm ví dụ và hình ảnh trực quan để dễ nhớ. Sau khi nắm được lý thuyết, các bạn tự mình giải các bài tập cẩn thận trước khi xem lời giải. Các bài tập khó hơn có đánh dấu * dành cho sinh viên khá, và phải có thời gian nghiền ngẫm nhiều hơn. Tác giả xin cám ơn các bạn trong tổ Giải tích khoa Toán trường ĐHSP Huế đã động viên góp ý khi viết cuốn sách này. Mong được nhận được những phê bình của các đồng nghiệp gần xa. Tác giả 4 A. KIẾN THỨC BỔ SUNG § 1 TẬP HỢP SỐ THỰC Chúng ta đã tiếp xúc nhiều với tập hợp số thực từ chương trình toán ở bậc phổ thông. Có nhiều cách xây dựng tập hợp số thực, chẳng hạn dùng nhát cắt Dedekind, các dãy cơ bản…. của tập hợp số hữu tỉ Q. Ở đây với mục đích là hệ thống lạ i những kiến thức cần thiết cho giải tích, chúng tôi sẽ chọn một số mệnh đề cơ bản làm tiền đề để định nghĩa tập hợp số thực. Các tính chất còn lại được suy từ các tiên đề này. 1.1. Định nghĩa: Tập hợp số thực, ký hiệu IR là một tập cùng với các phép toán cọng + và nhân . xác định trên đó, thoả mãn các tiên đề sau: I. (IR, +) là một nhóm cọng Abel, tức là với mọ i x, y, z thuộc IR ta có: x + y = y + x x + (y + z) = (x + y) + z ( ∃ 0 ∈ IR ) ( ∀ x ∈ IR ): x + 0 = 0 + x= x ( ∀ x ∈ IR)( ∃ (-x) ∈ IR): x + (-x) = 0 II. (IR * ,.) là một nhóm phân Abel, trong đó IR * = IR \{0}, nghĩa là với mọi x, y, z thuộc IR * , ta có: xy = yx x( yz) = (xy) z (( ∃ 1 Є IR * ) : x1= 1x = x (∀x ∈ IR * )(∃ x -1 ∈ IR * ): xx -1 = x -1 x = 1 (Ở đây để cho gọn, ta viết xy thay cho x.y) III. Phép nhân có tính chất phân phối đối với phép cọng: Với mọi x,y thuộc IR ta có: x(y + z) = xy+ xz Như thế IR cùng với các phép toán cọng và nhân lập thành một trường IV. IR là một trường được sắp thứ tự, nghĩa là trong IR có xác định một quan hệ thứ tự ‘≤’ thoả: 5 1. x ≤ y và y ≤ z kéo theo x ≤ z 2. x ≤ y và y ≤ z tương đương x = y 3.Với hai phần tử tuỳ ý x,y Є IR thì hoặc x ≤ y hoặc y ≤ x 4. x ≤ y kéo theo x + z ≤ y + z với mọi z ∈ IR 5. 0 ≤ x và 0 ≤ y kéo theo 0 ≤ xy Nếu x ≤ y và x ≠ y thì ta viết x < y hay y > x . V. Ta gọi một nhát cắt trong IR là một cặp (A,B) các tập con của IR sao cho A, B khác trống, A ∩ B = Ø, IR = A ∪ B và với mọi a ∈ A, b ∈ B thì a < b . Tiên đề Dedekink. IR l à m ột trường được sắp liên tục, nghĩa là: Với mỗi nhát cắt (A,B) của tập IR đều xảy ra: hoặc có một phần tử lớn nhất trong A hoặc có một phần tử nhỏ nhất trong B và không thể vừa có phần tử lớn nhất trong A, vừa có phần tử nhỏ nhất trong B. Ph ần tử lớn nhất trong A (hoặc phần tử nhỏ nhất trong B) gọi là biên của nhát cắt (A,B). Tập hợp số thực cũng gọi là đường thẳng thực. 1.2. Các tính chất cơ bản: 1.2.1 Supremum và infimum : Cho M là một tập con khác trống của IR. Số x ∈ IR được gọi là một cận trên của M nếu với mọi y ∈ M thì y ≤ x, số x ∈ IR gọi là cận dưới của M nếu x ≤ y với mọi y ∈ M. Tất nhiên nếu x là cận trên (tương ứng, cận dưới) thì với mọi x 1 > x ( t.ư… x 1 < x) cũng là cận trên (t.ư cận dưới) của tập M. Cận trên bé nhất (nếu có) của tập M được gọi là supremum của tập M, ký hiệu sup M. Như vậy, α = sup M khi và chỉ khi i) ∀ x ∈ M: x ≤ α ii) ( ∀ α ’ ∈ α < α) ( ∃ x ∈ M) : α ’ < x (Điều kiện ii) nói rằng vì α là cận trên bé nhất nên nếu α ’ <n thì α ’ không còn là cận trên của M, do đó α ’ không thể lớn hơn tất cả các x thuộc M). Tương tự, cận dưới lớn nhất (nếu có) của tập M gọi là infimum của tập M ký hiệu là inf M. Do định nghĩa, β = inf M khi và chỉ khi i) ∀ x ∈ M: β ≤ x ii) ( ∀ β ’ > β) ( ∃ x ∈ M) : x < β ’ Nguyên lý supremum: Mọi tập con khác trống của IR có cận trên thì phải có supremum. Cũng vậy, mọi tập con khác trống của IR có cận dưới thì phải có infimum. Chứng minh: Giả sử M ≠ Ø và c là một cận trên của M. Ta hãy xét các tập hợp sau: 6 A ={x Є IR : ( ∃ a ∈ M) x ≤ a}; B ={y Є IR : ( ∀ aЄ M) a < y}. Khi đó A ≠ Ø vì M ⊂ A; B ≠ Ø vì với c ’ > c thì c ’ Є B. Với mọi z Є IR thì hoặc z Є A hoặc z Є B nên IR = A ∪ B. Nếu z Є A∩B thì có a ∈ M sao cho z ≤ a < z hay z < z, vô lý nên A∩B = Ø. Hơn nữa, nếu x ∈ A , y ∈ B ta có x ≤ a < y với a nào đó thuộc M nên x < y. Theo định nghĩa, (A,B) là một nhát cắt của IR. Gọi m là biên của (A,B). Khi đ ó ta sẽ có m = sup A. Thực vậy, chẳng hạn m ∈ A thì theo định nghĩa sẽ có a ∈ M để m ≤ a vì M ⊂ A nên m = a. Còn nếu m Є B thì ∀a ∈ M : a < m. Nếu m ’ < m thì m’∉ B tức là m ’ ∈ A, hơn nữa m’ không phải là phần tử lớn nhất trong A nên có m”∈ A, a ∈ M để m ’ < m ’’ ≤ a < m. Phần còn lại của định lý chứng minh tương tự. Chú ý: Giả sử M là một tập con khác rỗng của IR nhưng không có cận trên nào cả. Khi đó ta quy ước sup M = + ∞. Tương tự, nếu M không có cận dưới, ta quy ước inf M = - ∞. 1.2.2 Ta gọi các số a ∈ IR , a > 0 là số dương, a < 0 là số âm và đặt ⎪x⎪ nếu x ≥ 0; ⎪x⎪= - x nếu x < 0 và gọi ⎪x⎪là giá trị tuyệt đối của số thực x. Số a ∈ IR gọi là giới hạn của dãy số (x n ) n ⊂ IR và ký hiệu ax n n = ∞→ lim nếu: (∀ ε > 0)(∃n 0 )(∀n ≥ n 0 ): ⎟ x – a⎟ < ε Dãy (x n ) n gọi là đơn điệu tăng (t.ư giảm) nếu x n ≤ x n+1 (t.ư x n ≥ x n+1 ) với mọi n ∈ N bị chặn trên (t.ư dưới) nếu tập {x n } có cận trên (t.ư., dưới) hội tụ nếu (x n ) có giới hạn. Nguyên lý Weierstrass: Mọi dãy đơn điệu tăng (t.ư.,giảm) và bị chặn trên (t.ư., dưới) đều hội tụ. Chứng minh: Giả sử (x n ) n là một dãy đơn điệu tăng và bị chặn trên. Theo nguyên lý supremum, tập {x n } có một supremum α. Với ε > 0 cho trước, theo điều kiện ii) có số nguyên n 0 sao cho α – ε < x n0 . Mặt khác, theo tính đơn điệu tăng của dãy (x n ), ta có α – ε < x n0 ≤ x n < α + ε với mọi n ≥ n 0 . Khi đó:⎟ x n – α⎥ < ε với mọi n ≥ n 0 . Như vậy dãy (x n ) hội tụ về α. Trường hợp (x n ) là dãy đơn điệu giảm, bị chặn dưới cũng được chứng minh tương tự. 1.2.3. Các phần tử của tập IR: 0, 1, 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1 và -1, -2, -3… gọi là các số nguyên, ký hiệu tập các số nguyên là Z. Tập Z không có cận trên và cận dưới. Thật vậy, nếu Z có cận trên α thì dãy đơn điệu tăng 1, 2, 3… phải có giới hạn α; lúc đó α – 1 < p với một p nào đó củ a Z và thành ra α < p + 1 trái với α là cận trên. Ký hiệu Q = { ab -1 = a b , a, b Є Z, b ≠ 0} và gọi nó là tập hợp các số hữu tỉ, còn N là tập số nguyên dương (số tự nhiên) ta có bao hàm thức sau: 7 N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ IR Nguyên lý Archimède: Cho hai số thực a, b bất kỳ với a > 0. Khi đó tồn tại n Є N sao cho b < na. Thực vậy, do N không bị chặn trên (tức là không có cận trên) nên với số thực a b sẽ có n ∈ N để b a < n hay b < na 1.2.4. Các tập ( a, b) = {x ∈ IR : a < x < b } và [ a,b] = {x ∈ IR : a ≤ x ≤ b} lần lượt gọi là khoảng (hay khoảng mở) và đoạn (hay khoảng đóng). Một dãy đoạn {[ a n , b n ]} gọi là thắt lại nếu [a n+1 ,b n+1 ] ⊂ [a n ,b n ] và 0)ab(lim nn n = − ∞→ Nguyên lý Cantor: Mỗi dãy đoạn thắt lại có một phần tử duy nhất chung cho tất cả các đoạn ấy. Chứng minh: Giả sử ([a n , b n ]) n là dãy đoạn thắt lại. Ta có: a 1 ≤ a 2 …≤ a n+1 ≤ …≤ b n+1 ≤ b n ≤ … ≤ b 1 với mọi n Є N. Theo nguyên lý Weierstrass, dãy (a n ) n tăng, bị chặn trên (bởi b 1 chẳng hạn) nên hội tụ về số ξ = sup {a n }. Như thế a n ≤ ξ với mọi n. Nếu ξ ∉ [ a no , b no ] với một n 0 nào đó thì ắt hẳn b no < ξ. Đặt ε = ξ - b no . Khi đó với n đủ lớn thì ξ - a n < ξ - b no tức là b no < a n ! vô lý. Vậy ξ Є [a n ,b n ] với mọi n. Mặt khác, nếu có ξ ’ Є[a n ,b n ] với mọi n thì⎥ ξ-ξ ’ ⎥ ≤ b n – a n . Do đó 0 ≤⎥ ξ-ξ ’ ⎥ ≤ 0)(lim = − ∞→ nn n ab hay⎥ ξ-ξ ’ ⎥ = 0 nghĩa là ξ = ξ ’ 1.2.5. Dãy (x n ) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới. Điều này tương đương với: ( ∃ a ∈ IR) ( ∀ n ∈ N):⎟ x n ⎟ ≤ a Nguyên lý Bolzano –Weierstrass: Mọi dãy số thực bị chặn (x n ) n đều có một dãy con hội tụ. Chứng minh: Theo giả thiết, tồn tại số a sao cho với mọi n Є N ta có – a ≤ x n ≤ a. Trong hai giai đoạn [-a,0] và [0,a] phải có một đoạn chứa vô số các phần tử x n (nếu không, hoá ra (x n ) n chỉ có hữu hạn các số hạng). Ta gọi đoạn này là [ a 1 ,b 1 ].Chia hai đoạn này bằng điểm giữa c 1 = a 1 + b 1 2 . Trong hai đoạn [a 1 ,c 1 ] và [ c 1 ,b 1 ] cũng có một đoạn chứa vô số các x n , ký hiệu đoạn này là [a 2 ,b 2 ] và lại chia đôi đoạn này bởi điểm giữa c 2 = 2 22 ba + v.v Tiếp tục quá trình đó ta thu 8 được một dãy đoạn thắt lại [a k , b k ] (vì hiển nhiên [a k+1 , b k+1 ] ⊂ [a k , b k ] và b k – a k = k a 2 → 0 khi k → ∞). Theo nguyên lý Cantor, dãy đoạn này có duy nhất phần tử chung ξ Є . Vì mỗi đoạn [a [ kk k ba , 1 ∞ = I ] k , b k ] chứa vô số các phần tử x n nên ta hãy lấy phần tử x n1 ∈ [a 1 , b 1 ] rồi x n2 ∈ [a 2 , b 2 ] với n 2 > n 1 , x n3 ∈ [a 3 , b 3 ], n 3 > n 2 … khi đó (x nk ) k là dãy con của dãy (x n ) n và⎟x nk – ξ⎪ ≤ b k - a k → 0 (k → ∞), nghĩa là dãy ( x nk ) hội tụ về ξ. 1.2.6 Dãy số thực ( x n ) n được gọi là dãy cơ bản (hay dãy Cauchy) nếu: ( ∀ ε > 0)( ∃ n 0 )( ∀ n ≥ n 0 )( ∀ m ≥ n 0 ) : ⎪x n –x m ⎪ < ε Nguyên lý Cauchy: Mọi dãy số thực cơ bản thì phải hội tụ: Chứng minh: Trước hết ta chứng minh rằng nếu (x n ) n cơ bản thì nó phải bị chặn. Với ε = 1, tồn tại n 0 để với mọi n ≥ n 0 ta có ⎪x n –x no ⎪ < 1 hay x no - 1≤ x n ≤ x no + 1. Đặt a = max { ⎪x 1 ⎪,…,⎪x no ⎪, ⎪x no ⎪+1}, khi ấy với mọi n thì -a ≤ x n ≤ a. Do đó theo nguyên lý Bolzano- Weierstrass, dãy ( x n ) n có một dãy con hội tụ về ξ. Bây giờ với ε > 0 cho trước sẽ có n k n x 0 sao cho với m, n ≥ n 0 thì⎪x n – x m ⎪< ε/2 do (x n ) n cơ bản. Mặt khác → ξ nên cũng tồn tại số m k n x 0 để nếu n ≥ m 0 thì | – ξ| < ε/2. k n x Đặt n 0 ’ = max(n 0 , m 0 ) khi đó nếu n > n 0 ’ thì ⎪x n – ξ ⎪ ≤ ⎪x n – ⎪ +⎪ – ξ ⎪ < ε/2 + ε/2 = ε. k n x k n x Vậy dãy (x n ) n cũng hội tụ về ξ và điều này kết thúc việc chứng minh. 1.2.7. Tính trù mật của tập Q trong IR: Định lý: Với mỗi cặp số thực ( a;b), a < b bao giờ cũng tồn tại một số hữu tỉ r sao cho a < r < b. Chứng minh: Do tập IR có tính chất Archimède nên có số nguyên n để n > 1 b-a hay b - a > 1/n. Tương tự, có số nguyên p để p ≥ nb. Gọi q là số nguyên bé nhất thoả mãn q ≥ n, do đó q-1 < nb hay q-1 n < b. Lúc này a < q-1 n vì nếu a ≥ q-1 n sẽ dẫn đến b-a ≤ b - q-1 n < q n - q-1 n = 1/n trái với b-a > 1/n trở lên. Vậy ta tìm được số hữu tỉ r = q-1 n ∈ (a,b) Sự kiện phát biểu bởi định lý trên được gọi là tập số hữu tỉ Q trù mật trong tập số thực IR. Cũng từ định lý này, ta suy ra trong khoảng ( a,b) có chứa vô số số hữu tỉ. 9 §2. LỰC LƯỢNG CỦA CÁC TẬP HỢP Cho một tập hợp A, có các phần tử là những đối tượng nào đó. Ta chưa quan tâm đến bản chất các đối tượng này. Trước hết hãy thử để ý đến “số lượng” các phần tử của tập hợp A. Có thể xảy ra một trong hai khả năng: - Nếu đếm hết được các phần tử của tập hợ p A thì A được gọi là tập hữu hạn và số nguyên cuối cùng đếm tới chính là số lượng các phần tử của tập hợp A. - Nếu việc đếm các phần tử của tập hợp A không thể nào kết thúc được thì tập hợp A được gọi là tập hợp vô hạn. - Bây giờ chúng ta muốn so sánh “số lượng” các phần tử của hai tập A, B. Nếu trong hai tập này có ít nhất một tập h ữu hạn thì việc so sánh trở nên dễ dàng nhờ việc đếm các phần tử. Trường hợp cả A lẫn B đề vô hạn thì cách đếm không thể thực hiện nên chưa so sánh được. Ta xét ví dụ sau. Ký hiệu B là tập hợp các số tự nhiên chẵn: B = {2,4,6,…, 2n,…} Hiển nhiên B là tập con thực sự của tập số tự nhiên N = {1, 2,3,…}. Tuy nhiên chúng ta không thể quả quyết rằng “số lượng” các phần tử của N nhiều gấp đôi “số lượng” các phần tử của B. Mặt khác, thực chất của việc đếm là thực hiện một đơn ánh từ tập ta đếm vào tập số tự nhiên N và muốn biết hai tập hợp có cùng số l ượng hay không, ta chỉ cần xem có thể thiết lập một song ánh giữa hai tập này ( tức là có thể cho tương ứng mỗi phần tử của tập này với một và chỉ một phần tử của tập kia) hay không. Bằng phương pháp này, việc so sánh “số lượng” phần tử của tập hữu hạn hay vô hạn vẫn còn hiệu lực. 2.1. Tập hợp tương đương: 2.1.1. Định nghĩa: Ta nói hai t ập hợp A, B là tương đương với nhau nếu tồn tại một song ánh từ A lên B. 2.1.2. Ví dụ: 1. Hai tập hợp hữu hạn có cùng một số lượng các phần tử thì tương đương với nhau. 2. Ở ví dụ trong phần mở đầu, hai tập B = { 2,4, ,2n,…} và N tương đương với nhau vì ta có một song ánh từ N lên B xác định bởi n → 2n, n ∈ N. Nhận xét: Tập B có được từ N sau khi bỏ đi tất cả các số nguyên lẻ nhưng B vẫn tương đương với N. Điều này không thể xảy ra đối với các tập hữu hạn. 10 [...]... (X,dx) và (Y,dy) là hai không gian mêtric tuỳ ý Trên tích Descartes X × Y = {(x,y) : x Є X, y ∈ Y} ta đặt d((x1, y1),(x2, y2)) = dX(x1, x2) + dY(y1, y2) Dễ dàng kiểm tra để thấy rằng d là một mêtric trên tập X × Y Khi đó không gian ( X × Y,d) được gọi là tích của các không gian mêtric X và Y 1.5 Sự hội tụ trong không gian mêtric: Các khái niệm hội và giới hạn trong không gian mêtric X bất kỳ được định... X là một không gian mêtric, Y là một tập bất kỳ Giả sử có một song ánh f : Y → X Khi đó nếu đặt d*(y, y’) = d(f(x), f(y’) thì d* là một mêtric trên Y và hơn nữa X, Y là hai không gian mêtric đẳng cự 34 3) Theo quan niệm của không gian mêtric, nếu X và Y đẳng cự thì chúng được đồng nhất với nhau 3.2.3 Mêtric tương đương Cho d1,d2 là hai mêtric trên cùng một tập X Khi đó ta có hai không gian mêtric khác... xem c0 như là không gian con của không gian c (bài tập 1.2) Chứng minh c0 là không gian khả ly 2.7 Giả sử X là không gian mêtric và Y là không gian con của X sao cho Y = U ∩ V với U, V là các tập mở, khác trống trong Y và U ∩ V = ∅ Chứng minh tồn tại các tập mở A, B trong X, A ∩ B = ∅ và U = A ∩ Y, V = B ∩ Y 31 §3 ÁNH XẠ LIÊN TỤC 3.1 Định nghĩa và các tính chất chung Cho hai không gian mêtric (X,d1)... quả được chứng minh 1.4 Không gian metric con và không gian metric tích 1.4.1 Định nghĩa Giả sử (X,d) là một không gian metric và Y là một tập con khác trống của X Nếu xét hàm thu hẹp d’ của hàm d lên tập Y x Y : d\Y x Y thì hiển nhiên d’ là một metric trên Y Ta gọi d’ là mêtric cảm sinh bởi d lên Y Với mêtric cảm sinh này, (Y,d’’) được gọi là không gian mêtric con của không mêtric (X, d) 1.4.2 Định... G2 và G1 ∩ G2 = ∅ 2.3* Một tập A trong không gian mêtric X được gọi là một tập kiểu Gδ và tập mở kiểu Fσ 2.4 Giả sử A, B là các tập con của không gian mêtric Chứng minh: a int(int A) = intA, A = A 0 0 b Nếu a ⊂ B thì A ⊂ B 30 0 0 0 0 c int (a ∩ B) = A ∩ B Int (A∪B ) ⊃ A ∪ B d A ∩ B = A ∪ B , A ∩ B ⊂ A ∩ B 2.5 Chứng minh rằng mọi không gian con của không gian mêtric khả ly là khả ly 2.6 Ký hiệu c0... o f liên tục tại x0 3.2 Ánh xạ đồng phôi 3.2.1 Phép đồng phôi Cho X, Y là hai không gian mêtric Giả sử f : X → Y là một song ánh sao cho f và f -1 đều là các ánh xạ liên tục thì f được coi là một phép đồng phôi từ X lên Y Hai không gian mêtric được gọi là đồng phôi với nhau nếu có phép đồng phôi từ không gian này lên không gian kia Ví dụ 1 Lấy X = (a,b), Y = (0,1) là hai tập con của tập số thực IR,... gọi là các khoảng kề của tập đóng đó 2.7 Tập mở và tập đóng trong không gian: Giả sử X là một không gian mêtric, Y là không gian con của X và A là một tập con của Y Để ý rằng, nếu A là một tập mở (hay đóng) trong Y là chưa chắc A là mở (hay đóng) trong X Tuy nhiên ta có: 2.7.1 Định lý Điều kiện cần và đủ là tập A mở trong không gian mêtric con Y là tồn tại tập mở G và X sao cho A = G ∩ Y Chứng minh... β ) > 0 Điều này mâu thuẫn Vậy f = g Không gian metric này được ký hiệu là C[L ,b ] a Nhận xét: Qua các ví dụ trên, ta thấy có thể cho nhiều mêtric khác nhau trên cùng một tập X (tất nhiên sẽ nhận được các không gian mêtric khác nhau) Tùy mục đích nghiên cứu, người ta sẽ chọn mêtric nào phù hợp với yêu cầu 1.3 Một số tính chất đơn giản Giả sử (X,d) là một không gian metric, ta có: 1.3.1 Cho x1, ,xn... d(y, z) k Vậy (IR ,d) là một không gian mêtric và gọi mêtric này là mêtric thông thường trên IRk Chú ý: 1 Khi k = 1 ta trở về ví dụ 1.2.1 với M = IR 2 Khi xét IRk mà không nói rõ mêtric nào thì ta qui ước là xét IRk với mêtric thông thường 1.2.3 Giả sử X là một tập tuỳ ý khác trống Ta đặt 0, nếu x = y d(x,y) = 1, nếu x ≠ y 2 ( 2 2 2 ) với mọi x, y Є X Ta hãy kiểm tra d là một mêtric trên X Tiên đề 1) và... thấy X\ B’(a,r) là tập mở 3 Tập gồm một điểm trong bất kỳ không gian mêtric nào cũng là tập đóng vì luôn luôn chứa các điểm biên của nó 4 Giả sử a, b là hai số thực Các tập (a,b), (a,+ ∞) là mở: các tập [a,b], [a,+ ∞] là đóng trong IR Lưu ý: Trong một không gian mêtric tuỳ ý X ta có: 1 (A mở) ↔ (Ac đóng) 2 Có thể có những tập không mở mà cũng không đóng 3 Có những tập vừa mở, vừa đóng (chẳng hạn, các . một mêtric trên tập X × Y. Khi đó không gian ( X × Y,d) được gọi là tích của các không gian mêtric X và Y. 1.5. Sự hội tụ trong không gian mêtric: Các khái niệm hội và giới hạn trong không gian. là mêtric cảm sinh bởi d lên Y. Với mêtric cảm sinh này, (Y,d’’) được gọi là không gian mêtric con của không mêtric (X, d). 1.4.2 Định nghĩa: Giả sử (X,d x ) và (Y,d y ) là hai không gian mêtric. B. KHÔNG GIAN MÊTRIC 16 §1. KHÁI NIỆM MÊTRIC. 16 BÀI TẬP 21 §2.TẬP MỞ VÀ TẬP ĐÓNG 23 BÀI TẬP 30 §3. ÁNH XẠ LIÊN TỤC 32 BÀI TẬP 37 $4 KHÔNG GIAN MÊTRIC ĐẦY ĐỦ 38 BÀI TẬP 50 §5 KHÔNG GIAN