Giáo trình không gian metric phần 1 TS nguyễn hoàng

Khác với giải tích cổ điển, trong đó người ta làm việc chủ yếu trên tập IRk các bộ k số thực, ở đây các khái niệm cơ bản của giải thích như lân cận, giới hạn liên tục… được xét trong khô

ĐẠI HỌC HUẾ TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỪ XA

TS NGUYỄN HOÀNG

GIÁO TRÌNH KHÔNG GIAN

MÊTRIC

(CƠ SỞ GIẢI TÍCH)

Huế - 2007

MỤC LỤC

LỜI NÓI ĐẦU 3

A KIẾN THỨC BỔ SUNG 5

§ 1 TẬP HỢP SỐ THỰC 5

§2 LỰC LƯỢNG CỦA CÁC TẬP HỢP 10

B KHÔNG GIAN MÊTRIC 16

§1 KHÁI NIỆM MÊTRIC .16

BÀI TẬP 21

§2.TẬP MỞ VÀ TẬP ĐÓNG 23

BÀI TẬP 30

§3 ÁNH XẠ LIÊN TỤC 32

BÀI TẬP 37

$4 KHÔNG GIAN MÊTRIC ĐẦY ĐỦ 38

BÀI TẬP 50

§5 KHÔNG GIAN COMPACT 52

BÀI TẬP 67

§6 KHÔNG GIAN LIÊN THÔNG 69

BÀI TẬP 71

C LỜI GIẢI VÀ HƯỚNG DẪN 72

PHẦN A 72

PHẦN B 73

TÀI LIỆU THAM KHẢO 87

LỜI NÓI ĐẦU

Giáo trình này được viết dựa trên bài giảng cho sinh viên khoa Toán trường ĐHSP Huế trong những năm vừa qua Học phần này có mục đích trang bị những kiến thức căn bản về giải tích hiện đại mà bất cứ sinh viên Toán nào cũng phải nắm được Khác với giải tích cổ điển, trong đó người ta làm việc chủ yếu trên tập IRk các bộ k số thực, ở đây các khái niệm cơ bản của giải thích như lân cận, giới hạn liên tục… được xét trong không gian tổng quát hơn mà phần tử của nó

có thể là các đối tượng tuỳ ý miễn sao có thể xác định được khoảng cách giữa hai phần tử đó Ngoài một cách bản chất và sâu sắc những kiến thức về giải thích

cổ điển đã học trong những năm trước, cũng như chuẩn bị để học tốt các học phần tiếp theo như lý thuyết độ đo, tích phân, giải tích hàm…

Các khá nhiều sách viết về không gian mêtric, tuy nhiên người ta thường chỉ trình bày những kiến thức đủ dùng cho mục đích của cuốn sách đó nên chưa

có một giáo trình tương đối hoàn chỉnh riêng cho phần lý thuyết này Ở đây, bạn đọc sẽ thấy nhiều bài tập được đưa vào với tư cách rèn luyện tư duy và đồng thời cũng có thể xem như bài bổ sung lý thuyết Phần lớn các bài tập đều có lời giản tóm tắt hoặc chi tiết Điều này có lẽ sẽ mang lại lợi ích thiết thực rất hạn chế và cũng có ít sách giải bài tập để giúp cho sinh viên trong lúc học tập

Để học tốt học phần này, về nguyên tắc sinh viên chỉ cần nắm được những kiến thức sơ cấp về lý thuyết tập hợp và ánh xạ, phép qui nạp và các suy luận logic toán học Cần phải biết diễn tả một mệnh đề bằng nhiều mệnh đề tương đương với nó cũng như hiểu và vận dụng cách chứng minh hay xây dựng các đối tượng bằng qui nạp hữu hạn Tuy nhiên để có thể hiểu sâu sắc và nhất là làm được các bài tập Ở đây, ngôn ngữ hình học được dùng để diễn tả các khái niệm không gian mêtric, nhưng đôi lúc có những vấn đề vượt ra khỏi trực giác và suy luận chủ quan thông thường Do đó với từng khái niệm, người học nhất thiết phải hiểu thấu được định nghĩa, tự mình tìm được những ví dụ minh họa cho các định nghĩa đó Như Dieudonne đã nói: trực quan hình học, cùng với sự đề phòng thích đáng là một người hướng dẫn rất đáng tin tưởng trong hoàn cảnh tổng quát…

Cuốn sách được chia làm hai phần Phần kiến thức bổ sung nêu lại một cách

có hệ thống các tính chất của tập số thực IR Sinh viên tăng cường chú ý đến khái

niệm infimum và suptemum của một tập số thực và cần sử dụng một cách thành

thạo, biên soạn Về khái niệm lực lượng tập hợp, cần nắm được trong trường hợp nào thì một tập là đếm được,

Phần thứ hai là phần chính của chương trình Có nhiều con đường để trình bày các khái niệm Ở đây chúng tôi chọn cách tiếp cận với ngôn ngữ thường dùng, một mặt để người học dễ nhớ, mặt khác phần nào giải thích lý do đưa ra tên gọi như vậy Tuy nhiên, nhất thiết phải được hiểu theo đúng định nghĩa Các khái niệm quan trọng phải kể đến là hội tụ, mở, đóng, liên tục, đầy đủ, compact… Đặc trưng phần này là nặng về suy luận hơn tính toán, hơn nữa nhiều thuật ngữ chồng chất lên nhau làm người mới học thấy lúng túng Vì thế sinh viên nên tìm thêm ví dụ và hình ảnh trực quan để dễ nhớ Sau khi nắm được lý thuyết, các bạn tự mình giải các bài tập cẩn thận trước khi xem lời giải Các bài tập khó hơn có đánh dấu * dành cho sinh viên khá, và phải có thời gian nghiền ngẫm nhiều hơn

Tác giả xin cám ơn các bạn trong tổ Giải tích khoa Toán trường ĐHSP Huế

đã động viên góp ý khi viết cuốn sách này Mong được nhận được những phê bình của các đồng nghiệp gần xa

Tác giả

A KIẾN THỨC BỔ SUNG

§ 1 TẬP HỢP SỐ THỰC

Chúng ta đã tiếp xúc nhiều với tập hợp số thực từ chương trình toán ở bậc phổ thông Có nhiều cách xây dựng tập hợp số thực, chẳng hạn dùng nhát cắt

Dedekind, các dãy cơ bản… của tập hợp số hữu tỉ Q Ở đây với mục đích là hệ

thống lại những kiến thức cần thiết cho giải tích, chúng tôi sẽ chọn một số mệnh

đề cơ bản làm tiền đề để định nghĩa tập hợp số thực Các tính chất còn lại được suy từ các tiên đề này

II (IR*,.) là một nhóm phân Abel, trong đó IR* = IR \{0}, nghĩa là với mọi x,

y, z thuộc IR*, ta có:

xy = yx x( yz) = (xy) z (( ∃ 1 Є IR*) : x1= 1x = x

(∀x ∈ IR*)(∃ x-1∈ IR*): xx -1 = x-1x = 1 (Ở đây để cho gọn, ta viết xy thay cho x.y)

III Phép nhân có tính chất phân phối đối với phép cọng:

Với mọi x,y thuộc IR ta có:

x(y + z) = xy+ xz

Như thế IR cùng với các phép toán cọng và nhân lập thành một trường

IV IR là một trường được sắp thứ tự, nghĩa là trong IR có xác định một quan

hệ thứ tự ‘≤’ thoả:

1 x ≤ y và y ≤ z kéo theo x ≤ z

2 x ≤ y và y ≤ z tương đương x = y

3.Với hai phần tử tuỳ ý x,y Є IR thì hoặc x ≤ y hoặc y ≤ x

4 x ≤ y kéo theo x + z ≤ y + z với mọi z ∈ IR

5 0 ≤ x và 0 ≤ y kéo theo 0 ≤ xy

Nếu x ≤ y và x ≠ y thì ta viết x < y hay y > x

V Ta gọi một nhát cắt trong IR là một cặp (A,B) các tập con của IR sao cho A,

B khác trống, A ∩ B = Ø, IR = A ∪ B và với mọi a ∈ A, b ∈ B thì a < b

Tiên đề Dedekink IR là một trường được sắp liên tục, nghĩa là: Với mỗi

nhát cắt (A,B) của tập IR đều xảy ra: hoặc có một phần tử lớn nhất trong A hoặc

có một phần tử nhỏ nhất trong B và không thể vừa có phần tử lớn nhất trong A, vừa có phần tử nhỏ nhất trong B

Phần tử lớn nhất trong A (hoặc phần tử nhỏ nhất trong B) gọi là biên của nhát cắt (A,B) Tập hợp số thực cũng gọi là đường thẳng thực

1.2 Các tính chất cơ bản:

1.2.1 Supremum và infimum :

Cho M là một tập con khác trống của IR Số x ∈ IR được gọi là một cận trên của M nếu với mọi y ∈ M thì y ≤ x, số x ∈ IR gọi là cận dưới của M nếu x ≤ y với mọi y ∈ M Tất nhiên nếu x là cận trên (tương ứng, cận dưới) thì với mọi x 1 > x ( t.ư… x 1 < x) cũng là cận trên (t.ư cận dưới) của tập M

Cận trên bé nhất (nếu có) của tập M được gọi là supremum của tập M, ký hiệu sup M Như vậy, α = sup M khi và chỉ khi

i)∀x ∈ M: x ≤ α

ii) (∀α ’∈ α < α) (∃ x ∈ M) : α ’ < x

(Điều kiện ii) nói rằng vì α là cận trên bé nhất nên nếu α ’ <n thì α ’ không

còn là cận trên của M, do đó α ’ không thể lớn hơn tất cả các x thuộc M)

Tương tự, cận dưới lớn nhất (nếu có) của tập M gọi là infimum của tập M

ký hiệu là inf M Do định nghĩa, β = inf M khi và chỉ khi

i)∀x ∈ M: β ≤ x

ii) (∀ β ’ > β) (∃ x ∈ M) : x < β ’

Nguyên lý supremum: Mọi tập con khác trống của IR có cận trên thì phải

có supremum Cũng vậy, mọi tập con khác trống của IR có cận dưới thì phải có infimum

Chứng minh: Giả sử M ≠ Ø và c là một cận trên của M Ta hãy xét các tập

hợp sau:

A ={x Є IR : (∃ a ∈ M) x ≤ a};

B ={y Є IR : (∀aЄ M) a < y}

Khi đó A ≠ Ø vì M ⊂ A; B ≠ Ø vì với c’ > c thì c ’ Є B Với mọi z Є IR thì hoặc z Є A hoặc z Є B nên IR = A ∪ B Nếu z Є A∩B thì có a ∈ M sao cho z ≤ a

< z hay z < z, vô lý nên A∩B = Ø Hơn nữa, nếu x ∈ A , y ∈ B ta có x ≤ a < y với

a nào đó thuộc M nên x < y Theo định nghĩa, (A,B) là một nhát cắt của IR Gọi

m là biên của (A,B) Khi đó ta sẽ có m = sup A Thực vậy, chẳng hạn m ∈ A thì theo định nghĩa sẽ có a ∈ M để m ≤ a vì M ⊂ A nên m = a Còn nếu m Є B thì

∀a ∈ M : a < m Nếu m ’ < m thì m’ ∉ B tức là m ’ ∈ A, hơn nữa m’ không phải

là phần tử lớn nhất trong A nên có m”∈ A, a ∈ M để m ’ < m ’’ ≤ a < m Phần còn

lại của định lý chứng minh tương tự

Chú ý: Giả sử M là một tập con khác rỗng của IR nhưng không có cận trên nào cả Khi đó ta quy ước sup M = + ∞ Tương tự, nếu M không có cận dưới, ta

quy ước inf M = - ∞

1.2.2 Ta gọi các số a ∈ IR , a > 0 là số dương, a < 0 là số âm và đặt ⎪x⎪ nếu

x ≥ 0; ⎪x⎪= - x nếu x < 0 và gọi ⎪x⎪là giá trị tuyệt đối của số thực x Số a ∈ IR

gọi là giới hạn của dãy số (xn)n ⊂ IR và ký hiệu x n a

Dãy (x n ) n gọi là đơn điệu tăng (t.ư giảm) nếu x n ≤ x n+1 (t.ư x n ≥ x n+1) với mọi

n ∈ N bị chặn trên (t.ư dưới) nếu tập {x n } có cận trên (t.ư., dưới) hội tụ nếu (x n)

có giới hạn

Nguyên lý Weierstrass: Mọi dãy đơn điệu tăng (t.ư.,giảm) và bị chặn trên

(t.ư., dưới) đều hội tụ

Chứng minh: Giả sử (x n)n là một dãy đơn điệu tăng và bị chặn trên Theo

nguyên lý supremum, tập {x n } có một supremum α Với ε > 0 cho trước, theo điều kiện ii) có số nguyên n 0 sao cho α – ε < x n0 Mặt khác, theo tính đơn điệu tăng của dãy (x n ), ta có α – ε < x n0 ≤ x n < α + ε với mọi n ≥ n 0 Khi đó:⎟ xn – α⎥ < ε

với mọi n ≥ n 0 Như vậy dãy (x n ) hội tụ về α Trường hợp (x n) là dãy đơn điệu giảm, bị chặn dưới cũng được chứng minh tương tự

1.2.3 Các phần tử của tập IR: 0, 1, 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1 và -1, -2, -3… gọi

là các số nguyên, ký hiệu tập các số nguyên là Z Tập Z không có cận trên và cận dưới Thật vậy, nếu Z có cận trên α thì dãy đơn điệu tăng 1, 2, 3… phải có giới

hạn α; lúc đó α – 1 < p với một p nào đó của Z và thành ra α < p + 1 trái với α là cận trên Ký hiệu Q = { ab -1 = a b , a, b Є Z, b ≠ 0} và gọi nó là tập hợp các số

hữu tỉ, còn N là tập số nguyên dương (số tự nhiên) ta có bao hàm thức sau:

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ IR Nguyên lý Archimède: Cho hai số thực a, b bất kỳ với a > 0 Khi đó tồn tại n

Є N sao cho b < na

Thực vậy, do N không bị chặn trên (tức là không có cận trên) nên với số

Nguyên lý Cantor: Mỗi dãy đoạn thắt lại có một phần tử duy nhất chung

cho tất cả các đoạn ấy

Chứng minh: Giả sử ([a n , b n])n là dãy đoạn thắt lại Ta có:

a 1 ≤ a 2 …≤ a n+1 ≤ …≤ b n+1 ≤ b n ≤ … ≤ b 1

với mọi n Є N Theo nguyên lý Weierstrass, dãy (a n ) n tăng, bị chặn trên (bởi b 1

chẳng hạn) nên hội tụ về số ξ = sup {a n} Như thế a n ≤ ξ với mọi n Nếu ξ ∉ [a no , b no] với một n 0 nào đó thì ắt hẳn b no < ξ Đặt ε = ξ - b no Khi đó với n đủ lớn thì

ξ - a n < ξ - b no tức là b no < a n! vô lý Vậy ξ Є [a n ,b n] với mọi n Mặt khác, nếu có

ξ’ Є[an,bn] với mọi n thì⎥ ξ-ξ’⎥ ≤ b n – a n Do đó

0 ≤⎥ ξ-ξ’⎥ ≤ lim( − )=0

∞

n b a hay⎥ ξ-ξ’⎥ = 0 nghĩa là ξ = ξ’

1.2.5 Dãy (x n) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới Điều này tương đương với:

(∃a ∈ IR)(∀ n ∈ N):⎟ x n ⎟ ≤ a

Nguyên lý Bolzano –Weierstrass: Mọi dãy số thực bị chặn (x n ) n đều có một dãy con hội tụ

Chứng minh: Theo giả thiết, tồn tại số a sao cho với mọi n Є N ta có – a ≤

x n ≤ a Trong hai giai đoạn [-a,0] và [0,a] phải có một đoạn chứa vô số các phần

tử x n (nếu không, hoá ra (x n ) n chỉ có hữu hạn các số hạng) Ta gọi đoạn này là [a 1 ,b 1].Chia hai đoạn này bằng điểm giữa c 1 = a 1 + b 2 Trong hai đoạn [a 1 1 ,c 1] và [c 1 ,b 1] cũng có một đoạn chứa vô số các x n, ký hiệu đoạn này là [a 2 ,b 2] và lại chia đôi đoạn này bởi điểm giữa c 2 =

được một dãy đoạn thắt lại [ak, bk] (vì hiển nhiên [a k+1 , b k+1] ⊂ [ak , b k] và b k – a k

Nguyên lý Cauchy: Mọi dãy số thực cơ bản thì phải hội tụ:

Chứng minh: Trước hết ta chứng minh rằng nếu (xn)n cơ bản thì nó phải bị chặn Với ε = 1, tồn tại n 0 để với mọi n ≥ n 0 ta có ⎪x n –x no ⎪ < 1 hay x no - 1≤ x n≤

x no + 1 Đặt a = max {⎪x1⎪,…,⎪xno⎪, ⎪xno⎪+1}, khi ấy với mọi n thì -a ≤ x n ≤ a Do

đó theo nguyên lý Bolzano- Weierstrass, dãy (x n)n có một dãy con hội tụ về

ξ Bây giờ với ε > 0 cho trước sẽ có n

k

n x

0 sao cho với m, n ≥ n 0 thì⎪xn – xm⎪< ε/2 do (xn)n cơ bản Mặt khác → ξ nên cũng tồn tại số m

k

n

x 0 để nếu n ≥ m 0 thì | – ξ| < ε/2

k

n x

Đặt n 0 ’= max(n 0 , m 0) khi đó nếu n > n 0 ’ thì

⎪x n – ξ ⎪ ≤ ⎪xn – x n k ⎪ +⎪ – ξ⎪ < ε/2 + ε/2 = ε

k

n x

Vậy dãy (xn)n cũng hội tụ về ξ và điều này kết thúc việc chứng minh

1.2.7 Tính trù mật của tập Q trong IR:

Định lý: Với mỗi cặp số thực (a;b), a < b bao giờ cũng tồn tại một số hữu tỉ

r sao cho a < r < b

Chứng minh: Do tập IR có tính chất Archimède nên có số nguyên n để n > 1

b-a hay b - a > 1/n Tương tự, có số nguyên p để p ≥ nb Gọi q là số nguyên bé

nhất thoả mãn q ≥ n, do đó q-1 < nb hay q-1 n < b Lúc này a < q-1 n vì nếu a ≥ q-1

n = 1/n trái với b-a > 1/n trở lên Vậy ta

tìm được số hữu tỉ r = q-1 n ∈ (a,b)

Sự kiện phát biểu bởi định lý trên được gọi là tập số hữu tỉ Q trù mật trong

tập số thực IR Cũng từ định lý này, ta suy ra trong khoảng (a,b) có chứa vô số số

hữu tỉ

§2 LỰC LƯỢNG CỦA CÁC TẬP HỢP

Cho một tập hợp A, có các phần tử là những đối tượng nào đó Ta chưa quan tâm đến bản chất các đối tượng này Trước hết hãy thử để ý đến “số lượng” các phần tử của tập hợp A Có thể xảy ra một trong hai khả năng:

- Nếu đếm hết được các phần tử của tập hợp A thì A được gọi là tập hữu hạn và số nguyên cuối cùng đếm tới chính là số lượng các phần tử của tập hợp

số tự nhiên chẵn:

B = {2,4,6,…, 2n,…}

Hiển nhiên B là tập con thực sự của tập số tự nhiên N = {1, 2,3,…} Tuy nhiên chúng ta không thể quả quyết rằng “số lượng” các phần tử của N nhiều

gấp đôi “số lượng” các phần tử của B

Mặt khác, thực chất của việc đếm là thực hiện một đơn ánh từ tập ta đếm vào tập số tự nhiên N và muốn biết hai tập hợp có cùng số lượng hay không, ta chỉ cần xem có thể thiết lập một song ánh giữa hai tập này ( tức là có thể cho tương ứng mỗi phần tử của tập này với một và chỉ một phần tử của tập kia) hay không Bằng phương pháp này, việc so sánh “số lượng” phần tử của tập hữu hạn hay vô hạn vẫn còn hiệu lực

2.1 Tập hợp tương đương:

2.1.1 Định nghĩa: Ta nói hai tập hợp A, B là tương đương với nhau nếu

tồn tại một song ánh từ A lên B

2.1.2 Ví dụ:

1 Hai tập hợp hữu hạn có cùng một số lượng các phần tử thì tương đương với nhau

2 Ở ví dụ trong phần mở đầu, hai tập B = {2,4, ,2n,…} và N tương đương

với nhau vì ta có một song ánh từ N lên B xác định bởi n → 2n, n ∈ N

Nhận xét: Tập B có được từ N sau khi bỏ đi tất cả các số nguyên lẻ nhưng

B vẫn tương đương với N Điều này không thể xảy ra đối với các tập hữu hạn

Do vậy, ta có định nghĩa khác (tương đương với định nghĩa trước) về tập hữu hạn và vô hạn như sau:

Tập A được gọi là vô hạn nếu A tương đương với một tập con thực sự của

nó

Tập A được gọi là hữu hạn nếu A không phải là tập vô hạn

3 Tập (0,1) tương đương với tập (a,b) với a, b bất kỳ thuộc IR , a < b, nhờ

π π

, → IR : x → y = f(x) = tg x

Khi hai tập hợp tương đương với nhau ta bảo chúng có cùng lực lượng hay cùng bản số Đối với các tập hữu hạn, rõ ràng hai tập có cùng lực lượng khi và chỉ khi chúng có cùng số lượng các phần tử Do đó ta đồng nhất lực lượng của

tập có n phần tử là n Lực lượng của tập A (hữu hạn hay vô hạn) được ký hiệu là

A hay card A Như vậy ví dụ card{1,2,3,4,5} = 5, card {a,b,c} = 3

Nếu tập hợp B tương đương với một con thực sự của A nhưng không tương đương với A thì ta nói lực lượng của B nhỏ hơn lực lượng của A ký hiệu B< A

hoặc cũng gọi lực lượng của A lớn hơn lực lượng của B, ký hiệu A>B

Người ta chứng minh được rằng, cho hai tập A, B bất kỳ bao giờ cũng xảy

2.2.1 Định nghĩa: Tập hợp A được gọi là tập hợp đếm được nếu A tương

đương với tập số tự nhiên N Nói cách khác, A đếm được nếu và chỉ nếu tồn tại một song ánh từ N lên A Khi đó ta cũng nói A có lực lượng đếm được

Gọi a: N→ A là song ánh nói trên, ta có:

N Э n → a (n) = a n Є A

Như vậy có thể nói tập hợp đếm được là một tập mà các phân tử của nó có thể đánh số thành một dãy vô hạn

a1, a2, a3,…,an,…

2.2.2 Ví dụ:

1 Tập hợp các số tự nhiên chẵn, các số tự nhiên lẻ đều là các tập đếm được

Thật vậy, theo mục trước, card {2,4,6…} = cardN, còn E = { 1,3,5, ,2n +1,…} tương đương với N nhờ song ánh

Dễ dàng kiểm tra f là song ánh ta có được kết luận

3 Tập các số hữu tỉ Q là đếm được Thật vậy, một số hữu tỉ có thể viết

được duy nhất thành một phân số tối giản

Tiếp theo, chúng ta thiết lập các định lý cơ bản của tập đếm được

2.2.3 Định lý: Mọi tập vô hạn luôn luôn có chứa một tập con đếm được

Chứng minh: Giả sử M là tập vô hạn Lấy ra một phần tử bất kỳ a 1Є M Khi

đó M \ {a 1 } vô hạn nên lấy tiếp phần tử a 2 Є M\ {a 1 } rồi a 3 Є M {a 1 ,a 2} v.v … Quá trình này được tiếp tục mãi và ta thu được tập đếm được A = {a1, a2,…} ⊂

M

2.2.4 Định lý: Mọi tập con của một tập đếm được thì phải là tập hữu hạn hoặc đếm được

Chứng minh: Giả sử A = {a1, a2,…} là tập đếm được và B là một tập con

của A Gọi a n1 , an 2, Là các phần tử của A thuộc tập hợp B theo thứ tự tăng dần

trong A Nếu trong các số n 1 , n 2, có số lớn nhất thì B là hữu hạn Trường hợp

trái lại, các phần tử của B được sắp thành dãy vô hạn a n1 , an 2, nên B đếm được

2.2.5 Định lý: Hợp một họ hữu hạn hay đếm được các tập đếm được là một tập đếm được

Chứng minh: Cho A1, A2,… là dãy các tập đếm được Ta có thể giả thiết các tập này không giao nhau vì nếu khác đi, ta đặt B1 = A1, B2 = A2\ A1, B3 = A3\ (A1

U A2), Các tập Bi này hữu hạn hoặc đếm được, không giao nhau và

Bây giờ ta sắp xếp các phần tử của A

a11, a21, a12, a31, a22, a13,…

Vậy tất cả các phần tử của tập được đánh số thành một dãy nên tập A đếm được

i i

Nhận xét: Trong cách chứng minh ta thấy nếu một số hữu hạn hay đếm

được các tập Ai (không phải tất cả) được thay bằng các tập hữu hạn thì kết luận của định lý không thay đổi

2.2.6 Định lý: Khi thêm một tập hợp hữu hạn hay đếm được vào một tập

vô hạn M thì lực lượng của nó không thay đổi

Chứng minh: Giả sử A là tập hữu hạn hay đếm được Ký hiệu N = M ∪ A Theo định lý 2.2.3, tồn tại một tập đếm được B ⊂ M Đặt M’= M\B, ta có M =

M’ ∪ B nên N = M’ ∪ B ∪ A Theo định lý 2.2.5, B ∪ A là tập đếm được nên

tồn tại song ánh f giữa B và B ∪ A Ta đặt:

Theo định lý này ta thấy khoảng (a,b) tương đương với đoạn [a,b] Hơn nữa (a,b) tương đương với IR nên [a,b] cũng tương đương với IR

Nhận xét: Từ các định lý 2.2.3 và 2.2.6 ta thấy lực lượng đếm được là lực

lượng “bé nhất” trong các lực lượng của tập vô hạn

2.2.7 Định lý: Tập hợp tất cả các dãy hữu hạn có thể thành lập được với tất cả các phần tử của một tập hợp đếm được là tập đếm được

Chứng minh: Giả sử A = {a1,a2, } là một tập đếm được Ký hiệu Sm là tập

các dãy có đúng m phần tử của A dạng (ai1, ai2, aim) Đặt Ta chứng minh

S đếm được Trước hết S

m m

S

S =U∞=

1

1 = A đếm được Bằng qui nạp, giả sử Sm đếm được,

hãy lấy a kЄ A và ký hiệu Skm+1 là tập hợp tất cả các dãy có dạng (ai1, ai2,…,aim,

ak) Giữa Skm+1 và Sm có một song ánh cho bởi (a i1 , a i2 ,…,a im ,a k) → (ai1,ai2,…,aim) nên Skm+1 đếm được Mặt khác vì Sm+1 = k nên S

được theo định lý 2.2.5 Cũng từ định lý này, S là một tập đếm được

2.2.8 Hệ quả: Tập hợp tất cả các đa thức P(x) = a0 +a1x + anxn (n bất kỳ) lấy giá trị trong IR với các hệ số hữu tỉ a0,a1,…, an là đếm được

Chứng minh: Mỗi đa thức tương ứng với một và chỉ một dãy hữu hạn các hệ

số hữu tỉ của nó Vì tập Q đếm được nên theo định lý 2.2.7, tập tất cả các dãy

hữu hạn các số hữu tỉ là đếm được nên tập các đa thức này đếm được

2.3 Lực lượng continum:

Ta đã xét các ví dụ và thiết lập các định lý về các tập hợp đếm được Vậy có tập hợp vô hạn nào không phải là tập đếm được hay không? Định lý sau đây cho

ta câu trả lời khẳng định

2.3.1 Định lý. Tập hợp các số thực IR là tập vô hạn không đếm được

Chứng minh: Trong ví dụ ở Định lý 2.2.6 ta thấy IR tương đương với đoạn

[0,1] Do đó chỉ cần chứng minh [0,1] không đếm được Giả sử trái lại [0,1] là đếm được Khi đó các phần tử của nó được đánh số thành dãy x1,x2, xn,… Chia cho [0,1] thành 3 đoạn bằng nhau và gọi đoạn không chứa x1 là ∆1 Lại chia tiếp

∆1 thành 3 đoạn bằng nhau nữa và gọi ∆2 là đoạn không chứa x2,… Tiếp tục quá trình này ta thu được dãy đoạn ∆1 ⊃∆2 ⊃ với ∆n có độ dài là |∆n| = 31n sao cho

xn ∉ ∆n Đây là dãy đoạn thắt lại nên theo nguyên lý Cantor, tồn tại ξ

Є [0,1 Do đó ξ phải trùng với một x

1∆ ⊂

∞

= n

x noЄ ∆no Điều này mâu thuẫn với cách xây dựng các đoạn ∆n Vậy đoạn [0,1] không phải là tập đếm được

Nhận xét:

1 Đặt a = {1 n : n Є N) Rõ ràng A là tập đếm được và chứa trong đoạn [0,1]

Do đó lực lượng đoạn [0,1] (hay IR) lớn hơn lực lượng đếm được Người ta gọi

lực lượng này là lực lượng continum hay lực lượng c

2 Tập hợp số thực bằng hợp của số hữu tỉ và số vô tỉ Do tập số hữu tỉ đếm được nên tập số vô tỉ không đếm được và cũng có lực lượng là c

BÀI TẬP

1.Hãy thiết lập một song ánh giữa hai tập (0,1) và [0,1]

2.Chứng minh tập các điểm gián đoạn của một hàm số đơn điệu xác định trên [a,b] là hữu hạn hoặc đếm được

3 Giả sử E là một tập con của tập số thực IR có tính chất |x-y| > 1 với mọi x, y

Є E Chứng minh E là một tập hữu hạn hoặc đếm được

4 Giả sử E là một tập vô hạn D là một tập con hữu hạn hay đếm được của

E sao cho E\D vô hạn Chứng minh E\D có cùng lực lượng với E

5 Cho A và B là các tập đếm được Chứng minh A × B là tập đếm được

6* Ký hiệu E là tập hợp tất cả các dãy số (xn) trong đó xn = 0 hoặc xn = 1 Chứng minh E là tập hợp không đếm được (Thực ra E có lực lượng c)

B KHÔNG GIAN MÊTRIC

§1 KHÁI NIỆM MÊTRIC

Phép toán đặc trưng của môn giải tích là phép toán lấy giới hạn Để diễn tả khái niệm này ta phải tìm cách xác định mức độ “ xa”, “gần’’ giữa các đối tượng Các mứcs độ “xa”, “gần” đó có thể đưa vào một cách khá tự nhiên thông qua kháis niệm khoảng cách hay mêtric được chính xác hoá bởi các định nghĩa sau đây

1.1 Định nghĩa:

Giả sử X là một tập tuỳ ý khác trống cho trước, một mêtric ( hay khoảng cách) trên X là một hàm số d: X × X→ IR thoả mãn 3 tiên đề sau đây:

1) d(x, y) ≥ 0, với mọi x, y Є X: d (x, y) = 0 khi và chỉ khi x = y

2) d(x, y) = d(y, x) với mọi x, y Є X, (tính đối xứng)

3) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z),với mọi x, y, z Є X (bất đẳng thức tam giác)

Khi đó tập X với mêtric d đã cho gọi là một không gian mêtric và ký hiệu là (X,d) Đôi khi để đơn giản và nếu mêtric d được xác định rõ ràng, ta chỉ ký hiệu

X

Bằng ngôn ngữ hình học, phần tử x ∈ X gọi là điểm của không gian X, số

thực dương (hay bằng 0) d(x,y) gọi là khoảng cách giữa 2 điểm x và y

1.2 Các ví dụ:

1.2.1 Giả sử M là tập hợp con khác trống của tập số thực IR Ta hãy đặt

d(x,y) = | x-y | với x,y ∈ M Khi đó nhờ các tính chất quen thuộc của giá trị tuyệt đối, ta kiểm tra dễ dàng (M, d) là một không gian mêtric

Khi đó các tiên đề 1)-2) rõ ràng, ta chỉ cần kiểm tra tiên đề 3) tức là chứng minh:

2 1

) z x

k i

k i

k i

d2(x,z) = ∑

i =1

k (a i +b i ) 2 = ∑

với mọi x, y Є X Ta hãy kiểm tra d là một mêtric trên X

Tiên đề 1) và 2) được nghiệm đúng Tiên đề 3 có dạng:

a −

Vì f,g là các hàm liên tục trên [a,b] nên hàm⎪f - g⎪cũng vậy Do đó giá trị

lớn nhất của hàm ⎪f - g⎪ đạt được trên khoảng đóng [a,b] nên d(f,g) xác định Các tiên đề 1)-2) hiển nhiên Tiên đề 3) suy ra từ

∀x ∈ [a,b] : ⎪f(x)-h(x)⎪≤ ⎪f(x)-g(x)⎪+⎪g(x)+h(x)⎪

[ ] f ( x ) g ( x ) max[ ] g ( x ) h ( x )

max

b , a b

, a b

b

a

dx ) x (

)()()

()

α

β α

dx dx

x g x f dx x g x

f

b

a

Điều này mâu thuẫn Vậy f = g

Không gian metric này được ký hiệu là C[ ]L a,b

Nhận xét: Qua các ví dụ trên, ta thấy có thể cho nhiều mêtric khác nhau trên cùng một tập X (tất nhiên sẽ nhận được các không gian mêtric khác nhau) Tùy mục đích nghiên cứu, người ta sẽ chọn mêtric nào phù hợp với yêu cầu

1.3 Một số tính chất đơn giản

Giả sử (X,d) là một không gian metric, ta có:

1.3.1 Cho x1, ,xn là các điểm của X Khi đó ta có bất đẳng thức tam giác

mở rộng:

d(x1,xn) ≤ d(x1,x2) + +d(xn-1,xn)

Tính chất này được suy từ tiên đề 3 và lập luận qui nạp

1.3.2 Với mọi x,y,u,v thuộc X ta có bất đẳng thức tứ giác:

⎪d(x,y) – d(u,v)⎪≤ d(x,u) + d(y,v)

Thực vậy ta áp dung 1.3.1 ta có

d(x,y) ≤ d(x,u) + d(u,v) + d(v,y)

hay

d(x,y) - d(u,v) ≤ d(x,u) + d(y,v)

Thay đổi vai trò của x,y cho u,v ta lại được

d(u,v) - d(x,y) ≤ d(x,u) + d(y,v)