B. KHễNG GIAN MấTRIC
Đ6. KHễNG GIAN LIấN THễNG
tập ∅ và X đồng thời vừa mở, vừa đúng.
Núi cỏch khỏc, X là khụng gian liờn thụng nếu khụng tồn tại hai tập mở
khỏc trống A, B sao cho A ∩ B = ∅ và X = A ∪ B.
Tập Y ⊂ X được gọi là tập liờn thụng nếu Y, xem như là khụng gian con của X, là khụng gian liờn thụng.
6.2 Cỏc định lý.
6.2.1 Định lý. Nếu A là tập liờn thụng trong khụng gian X thỡ mọi tập B thỏa món A⊂ B⊂ A đều liờn thụng.
Chứng minh. Giả sử B khụng liờn thụng, khi đú cả hai tập mở khỏc trống trong B sao cho U ∪ V = B và U ∩ V = ∅. Vỡ A trự mật trong B nờn U ∩ A, V
∩ A là cỏc tập khỏc trống mở trong khụng gian con A, đồng thời (U ∩ A) ∩ (V
∩ A) = ∅, hơn nữa (U ∩ A) ∪ (V ∩ A) = A. Điều này mõu thuẫn với A là tập liờn thụng.
6.2.2 Định lý. Giả sử (Aα)α∈I là một họ thuộc tập liờn thụng trong X sao cho
∅. Khi đú A = là tập liờn thụng trong X.
≠ ∈ α α A I I α α A I ∈ I Chứng minh. Giả sử A = B ∪ C, B, C khỏc trống và mở trong A, B ∩ C = ∅. Lấy a ∈ , a ∈ A = B ∩ C nờn a ∈ B, chẳng hạn do đú a ∈ B ∩ Aα với mọi α ∈ I. Mặt khỏc α0 ∈I để C α ∈ α A I I ≠ α0 A I ∅ như thế ta cú hai tập khỏc trống và mở trong là B ∩ Aα0 và C ∩ Aα0 hơn nữa (B ∩ Aα0) ∩ (C ∩ Aα0) = ∅ và Aα0 = (B ∩ Aα0) ∩ (C ∩ Aα0). Điều này mõu thuẫn với giả thiết Aα0 liờn thụng. Vậy tập A là tập liờn thụng.
0
α
A
6.2.3. Định lý. Cho A1,…,An là cỏc tập trong khụng gian mờtric X sao cho Ai∩ Ai+1 ≠∅ với i = 1,2,…, n-1. Khi đú Un cũng là tập liờn thụng trong X.
i i
A
1
=
Chứng minh. Ta chứng minh bằng qui nạp. Với n = 1 là hiển nhiờn. Giả sử định lý đỳng với n = k. Cho A1,…, Ak, Ak+1 liờn thụng và Ai ∩ Ai+1 ≠∅ với i = 1,…,k. Lỳc đú A = liờn thụng theo giả thiết qui nạp, hơn nữa ∅ ≠ Ak ∩
Ak+1. Vậy theo định lý 6.2.2 A ∪ Ak+1 = liờn thụng. Un i i A 1 = U1 1 + = k i i A
6.2.4. Định nghĩa. Cho X là khụng gian mờtric, x ∈ X. Ký hiệu C(x) là hợp tất cả cỏc tập liờn thụng A sao cho x ∈ A ta gọi C(x) là thành phần liờn thụng của
x trong X.
Nhận xột.
1. Thành phần liờn thụng C(x) là tập liờn thụng lớn nhất trong X chứa x 2. Nếu y ∈ C(x) thỡ C(x) = C(y); y ∉ C(x) thỡ C(x) ∩ C(y) = ∅.
3. Từ định lý 6.2.1 ta suy ra C(x)là tập đúng trong X vỡ C(x)=C(x).
4. Nếu C(x) = {x} với mọi x ∈ X thỡ X được gọi là khụng gian hoàn toàn bất liờn thụng.
6.2.5. Định lý. Giả sử f là một ỏnh xạ từ X vào Y và A là một tập liờn thụng trong X. Khi đú A là một tập liờn thụng trong Y.
Chứng minh. Giả sử f(A) là tập khụng liờn thụng, như vậy f(A) = M ∪ N, với M, N là tập mở khỏc trống trong f(A), M ∩ N = ∅. Khi đú ta cú f -1(M) ∩ A, f -1(N) ∩ A là cỏc tập mở khỏc trống trong A, (f -1(M) ∩ A) ∩ (f -1(N) ∩ A) = ∅
và A = (f -1(M) ∩ A) ∪ (f -1(N) ∩ A). Điều này cú nghĩa tập A khụng liờn thụng, trỏi với giả thiết. Vậy f(A) phải là tập liờn thụng.
Định lý sau đõy nờu lờn đặc trưng của tập liờn thụng trong IR.
6.2.6 Định lý. Tập con E ⊂ IR là liờn thụng khi chỉ khi E thỏa món tớnh chất sau. Với mọi x∈ E, y∈ E và x < z < y thỡ z∈ E.
Chứng minh. Giả sử tồn tại x, y∈ E và cú z thỏa món x < z < y nhưng z ∉ E.
Đặt
A = {α ∈ E : α < z} = E ∩ (-∞, z) B = {β∈ E : z < β} = E ∩ (z, +∞)
Khi đú A, B là cỏc tập mở trong E, khỏc trống vỡ chỳng lần lượt cú chứa x, y tương ứng. Hơn nữa A ∪ B = E, húa ra E khụng liờn thụng.
Ngược lại, giả sử E khụng liờn thụng. Theo định nghĩa và bài tập 2.7 tồn tại cỏc tập mở khỏc trống A, B trong IR, A ∩ B = ∅, (A ∩ E) ∪ (B ∩ E). Chọn x ∈ A
∩ E, y ∈ B ∩ E. Giả sử x < y. Đặt S = A ∩ [x,y] và z = sup S, ta chứng minh z∉ E
Trước hết vỡ y∈ B mở nờn z < y. Thực vậy, nếu z ≥ y thỡ z = y, sẽ cú dóy (xn) trong A, xn→ y nờn A ∩ B ≠∅ vỡ cú chứa cỏc xn, mõu thuẫn!
Tiếp theo, ta thấy vỡ A mở và z là cận trờn của S nờn z ∉ A và x < z. Nếu z
∈ B thỡ cũng do B mở nờn cú một khoảng mở (c,d) sao cho z ∈ (c,d) ⊂ B. Theo
định nghĩa của supremum, cú a∈ A ∩ [x,y] đểc < a < z < d. Điều này mõu thuẫn với A ∩ B = ∅. Vậy z ∉ B do đú z∉ E
6.2.7 Hệ quả. Tập E trong IR là liờn thụng khi và chỉ khi E là một khoảng( tức là một trong cỏc tập cú dạng sau:
(-∞,b), (-∞,b], (a,+∞), [a, +∞), (- ∞, +∞), [a,b), [a,b], (a,b] (a,b), a, b∈IR
BÀI TẬP
6.1 Giả sử A, B là hai tập liờn thụng trong khụng gian mờtric X sao cho
≠
B
AI ∅. Chứng minh A ∪ B cũng là một tập liờn thụng.
6.2 Giả sử X là khụng gian liờn thụng và f là một hàm số liờn tục từ X vào IR . Giả sử a, b ∈ f(X), a < b. Chứng minh rằng với mọi c ∈(a,b) tồn tại x∈ X
C. LỜI GIẢI VÀ HƯỚNG DẪN PHẦN A 1. Dựng định lý 2.2.6. Đặt f : [0,1] → (0,1) như sau ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = + = = ≠ ≠ = n 1