Nghiên cứu sự hấp thụ phi tuyến sóng điện từ bởi điện từ giam cầm trong dây lượng tử

49 2.2 Sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ vào năng lượng photon trong dây lượng tử hình trụ hố thế cao vô hạn và trong hố lượng tử.. 50 2.3 Sự phụ thuộc của hệ số hấp

Đại Học Quốc �ia Hà Nội

Trường đại học khoa học tự nhiên

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi Các kếtquả, số liệu, đồ thị, được nêu trong luận án là trung thực và chưa từng

được ai công bố trong bất kỳ các công trình nào khác

Hà Nội, tháng 01 năm 2012

Tác giả luận án

Hoàng Đình Triển

Lời cảm ơn

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất đến GS TS Nguyễn QuangBáu, người thầy đã hết lòng tận tụy giúp đỡ, hướng dẫn tôi trong quá trìnhhọc tập, nghiên cứu và hoàn thành luận án

Tôi xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ, hướng dẫn tận tình của GS.TSKH Nguyễn Xuân Hãn, GS TS Nguyễn Văn Thỏa, PGS TS Nguyễn

Đình Dũng và các thầy trong Khoa Vật lý, Trường Đại học Khoa học Tựnhiên

Tôi xin gửi lời cảm ơn đến Quỹ phát triển khoa học và công nghệ Quốcgia (Nafosted) đã tài trợ cho tôi trong việc công bố các công trình khoa học.Xin chân thành cảm ơn đến tất cả những người thân, bạn bè và đồngnghiệp đã giúp đỡ, động viên tôi trong suốt quá trình nghiên cứu Từ đáylòng tôi xin gửi lời tri ân đến tất cả mọi người

Hà nội, tháng 01 năm 2012

Tác giả luận án

Hoàng Đình Triển

DANH MỤC CÁC BẢNG

2.1 Các thông số cơ bản của dây lượng tử hình trụ hố thế cao vô hạn 48 4.1 Các thông số cơ bản của dây lượng tử hình chữ nhật hố thế cao vô hạn 90

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ

1.1 Mô hình cấu trúc các hệ bán dẫn 16 1.2 Mô hình tương tác giữa vật chất và sóng điện từ 22 2.1 Sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ vào bán kinh dây lượng

tử hình trụ hố thế cao vô hạn (tán xạ điện tử-phonon âm) 49 2.2 Sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ vào năng lượng photon

trong dây lượng tử hình trụ hố thế cao vô hạn và trong hố lượng tử 50 2.3 Sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ vào cường độ sóng điện

từ cho trường hợp tán xạ điện tử -phonon âm trong dây lương tử hình trụ hố thế cao vô hạn và trong hố lượng tử 50 2.4 Sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ vào bán kính dây lượng

tử hình trụ hố thế cao vô hạn cho trường hợp tán xạ điện tử-phonon quang (Trường hợp hấp thụ gần ngưỡng) 51 2.5 Sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ vào bán kính dây lượng

tử hình trụ hố thế cao vô hạn cho trường hợp tán xạ điện tử-phonon quang (hấp thụ xa ngưỡng) 51 2.6 Sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ trong dây lượng tử hình

trụ hố thế cao vô hạn vào nhiệt độ của hệ tại các giá trị khác nhau của bán kính dây 52 2.7 Sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ vào cường độ của sóng

điện từ tại các giá trị khác nhau của nhiệt độ 53 2.8 Sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ vào năng lượng photon

tại các giá trị khác nhau của bán kính dây 53 2.9 Sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ vào bán kính dây lượng

tử khi có mặt của từ trường 54 2.10 Sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ vào nhiệt độ của hệ và

cường độ sóng điện từ khi có mặt của từ trường 54 2.11 Sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ vào năng lượng photon

khi có mặt của từ trường ngoài 55 2.12 Sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ vào năng lượng

cyclotron 56 3.1 Sư phụ thuộc của hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ vào bán kinh dây trong

dây lượng tử hình trụ hố thế parabol với các giá trị khác nhau của nhiệt độ của

hệ, trường hợp hấp thụ gần ngưỡng 72 3.2 Sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ vào bán kính dây với

các giá trị khác nhau của tần số hiệu dụng của hố thế trong dây lượng tử hình trụ hố thế parabol, trường hợp hấp thụ xa ngưỡng 72

các giá trị khác nhau của tần số sóng điện từ, trường hợp hấp thụ gần ngưỡng 73

3.4 Sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ vào nhiệt độ của hệ với

các giá trị khác nhau của tần số song điện từ, trường hợp hấp thụ xa ngưỡng 74 3.5 Sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ vào năng lượng sóng

điện từ với các giá trị khác nhau của tần số hiệu dụng của hố thế, trường hợp hấp thụ gần ngưỡng 75 3.6 Sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ vào năng lượng phonton

tại các giá trị khác nhau của tần số hiệu dụng của hố thế, trường hợp tán xạ điện tử-phonon âm 75 3.7 Sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ vào bán kính dây với

các giá trị khác nhau của tần số hiệu dụng của hố thế, trường hợp tán xạ điện tử-phonon âm 76 3.8 Sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ vào năng lượng

cyclotron với các giá trị khác nhau của tần số hiệu dụng của hố thế 76 3.9 Sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ vào năng lượng photon

với các giá trị khác nhau của tần số hiệu dụng của hố thế 77 4.1 Sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ vào kích thước dây 90 4.2 Sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ vào nhiệt độ của hệ tại

các giá trị khác nhau của cường độ điện trường, trường hợp tán xạ điện

tử-phonon âm 91 4.3 Sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ trong dây lượng tử hình

chữ nhật hố thế cao vô hạn vào cường độ điện trường tại các giá trị khác nhau của nhiệt độ của hệ 92 4.4 Sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ vào nhiệt độ của hệ tại

các giá trị khác nhau của kích thước dây lượng tử hình chữ nhật cho trường hợp tán xạ điện tử-phonon quang 92 4.5 Sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ phi tuyến vào cường độ sóng điện từ 93 4.6 Sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ vào vào năng lượng

photon 94 4.7 Sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ vào năng lượng photon

khi có mặt của từ trường trong dây lượng tử hình chữ nhật 95 4.8 Sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ vào năng lượng

cyclotron của từ trường trong dây lượng tử hình chữ nhật 95 5.1 Sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ trong dây lượng tử hình

chữ nhật hố thế cao vô hạn vào năng lượng photon cho cả hai trường hợp phonon giam cầm và phonon không giam cầm 104 5.2 Sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ trong dây lượng tử hình

trụ chữ nhật hố thế cao vô hạn vào nhiệt độ cho cả hai trường hợp phonon giam

Mục lục Danh mục các bảng

Chương 2 Hấp thụ phi tuyến sóng điện từ bởi điện tử giam cầm trong

dây lượng tử hình trụ hố thế cao vô hạn

2.1 Hamiltonian của hệ điện tử-phonon trong dây lượng tử hình trụ hố thế

2.1.1 Trường hợp vắng mặt của từ trường

2.1.2 Trường hợp có mặt của từ trường ngoài

2.2 Phương trình động lượng tử cho điện tử giam cầm trong dây lượng tử hình trụ hố thế cao vô hạn

2.2.1 Trường hợp vắng mặt từ trường ngoài

2.2.2 Trường hợp có mặt của từ trường ngoài

2.3 Hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh bởi điện tử giam cầm trong dây lượng tử hình trụ hố thế cao vô hạn

2.3.1 Trườnghợp vắng mặt của từ trường ngoài

2.3.2 Trường hợp có mặt của từ trường ngoài

2.4 Kết quả tính số và thảo luận

2.4.1 Trường hợp vắng mặt từ trường ngoài

2.4.2 Trường hợp có mặt của từ trường ngoài

2.5 Kết luận chương 2

Chương 3 Hấp thụ phi tuyến sóng điện từ bởi điện tử giam cầm trong dây lượng tử hình trụ hố thế parabol 3.1 Hamiltonian của hệ điện tử-phonon trong dây lượng tử hình trụ hố thế parabol

3.1.1 Trường hợp vắng mặt của từ trường ngoài

3.1.2 Trường hợp có mặt của từ trường ngoài

3.2 Phương trình động lượng tử cho điện tử giam cầm trong dây lượng

tử hình trụ hố thế parabol

3.2.1 Trường hợp vắng mặt của từ trường ngoài

27

28

29

29

32

35

35

42

48

48

54

57

59

59

59

60

61

61

3.2.2 Trường hợp có mặt của từ trường ngoài 64

3.3 Hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh bởi điện tử giam cầm trong dây lượng tử hình trụ hố thế parabol

3.3.1 Trường hợp vắng mặt của từ trường ngoài

3.3.2 Trường hợp có mặt của từ trường ngoài

3.4 Kết quả tính số và thảo luận

3.4.1 Trường hợp vắng mặt từ trường ngoài

3.4.2 Trường hợp có mặt của từ trường ngoài

3.5 Kết luận chương 3

Chương 4 Hấp thụ phi tuyến sóng điện từ bởi điện tử giam cầm trong dây lượng tử hình chữ nhật hố thế cao vô hạn 4.1 Hamiltonian của hệ điện tử-phonon trong dây lượng tử hình chữ

nhật hố thế cao vô hạn

4.1.1 Trường hợp vắng mặt của từ trường

4.1.2 Trường hợp có mặt của từ trường ngoài

4.2 Phương trình động lượng tử cho điện tử giam cầm trong dây lượng tử hình chữ nhật hố thế cao vô hạn

4.2.1 Trường hợp vắng mặt từ trường ngoài

4.2.2 Trường hợp có mặt của từ trường ngoài

4.3 Hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh bởi điện tử giam cầm

trong dây lượng tử hình chữ nhật hố thế cao vô hạn

4.3.1 Trường hợp vắng mặt của từ trường ngoài

4.3.2 Trường hợp có mặt của từ trường ngoài

65

65

68

71

71

77

78

80

80

80

81

82

82

83

84

84

87

4.4 Kết quả tính số và thảo luận

4.4.1 Trường hợp vắng mặt từ trường ngoài

4.4.2 Trường hợp có mặt của từ trường ngoài

89 90 94 4.5 Kết luận chương 4

Chương 5 ảnh hưởng của sự giam cầm phonon lên sự hấp thụ phi tuyến sóng điện từ bởi điện tử giam cầm trong dây lượng tử 5.1 Hamiltonian của hệ điện tử-phonon giam cầm trong dây lượng tử 5.2 Phương trình động lượng tử của điện tử trong dây lượng tử khi phonon giam cầm

5.3 Hệ số hấp thụ sóng điện từ mạnh bởi điện tử giam cầm trong dây lượng tử hình chữ nhật khi có sự giam cầm phonon

5.4 Tính toán số và bàn luận

5.5 Kết luận chương 5

Kết luận

Danh mục các công trình của tác giả liên quan đến luận án

Tài liệu tham khảo

Phụ lục

96

98

99

100

102

104

106

107

109

111

122

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Trong những thập niên gần đây, ngành vật lý hệ thấp chiều (vật lý nano)

được nhiều nhà vật lý quan tâm bởi những đặc tính ưu việt mà cấu trúc tinhthể 3 chiều không có được Trong các cấu trúc có kích thước lượng tử, nơicác hạt dẫn bị giới hạn bởi trong những vùng có kích thước đặc trưng vào cỡbước sóng De Broglie, các tính chất vật lý của điện tử thay đổi kịch tính Tại

đây, các quy luật của cơ học lượng tử bắt đầu có hiệu lực, trước hết, thôngqua việc biến đổi đặc trưng cơ bản nhất của hệ điện tử là hàm sóng và phổnăng lượng của nó Phổ năng lượng trở thành gián đoạn dọc theo hướng toạ

độ giới hạn Dáng điệu của hạt dẫn trong các cấu trúc kích thước lượng tửtương tự như khí hai chiều [3, 4, 61, 68, 71, 73, 75-79, 81, 84] hoặc khí mộtchiều [3, 4, 10, 16, 24, 40], Từ đó, hầu hết các tính chất quang, điện đều

có những thay đổi đáng kể [11, 27, 37, 45] Đặc biệt, một số tính chất mớikhác, được gọi là hiệu ứng kích thước, đã xuất hiện

Sự phát triển mạnh mẽ của công nghệ chế tạo vật liệu, đặc biệt là côngnghệ epitaxy chùm phân tử, rất nhiều hệ vật liệu với cấu trúc nano như cấutrúc hố lượng tử, siêu mạng bán dẫn, các dây lương tử và chấm lượng tử

được chế tạo Với đặc tính ưu việt của nó, hàng loạt các hiệu ứng đã đượcnghiên cứu như: các cơ chế tán xạ điện tử-phonon [31, 52, 56 ,60, 70, 72],tính dẫn điện tuyến tính và phi tuyến [66, 79, 89-91], độ linh động của điện

tử [59, 62, 69], các tính chất quang [32, 55, 71], Vật liệu nano ngày càng

được phát triển mạnh mẽ về cả lý thuyết lẫn thực nghiệm

Dây lượng tử là cấu trúc đặc trưng của hệ một chiều (1D), nó có thể

được tạo ra nhờ kỹ thuật lithography (điêu khắc) và photoetching (quangkhắc) từ các lớp giếng lượng tử Bằng kỹ thuật này, các dây lượng tử có hìnhdạng khác nhau được tạo thành như dây lượng tử hình chữ nhật, dây lượng

tử hình trụ, Đặc điểm chung của các loại dây lượng tử là chuyển động của

điện tử bên trong nó bị giới hạn trong các hố thế giam cầm theo hai chiều

ứng với các chiều bị giới hạn của dây Có nghĩa là điện tử chỉ có thể chuyển

động tự do theo trục của dây lượng tử (chiều không bị giới hạn) Sự giamcầm điện tử trong các dây lượng tử làm thay đổi đáng kể các tính chất vật

lý của hệ, các hiệu ứng vật lý bên trong có nhiều sự khác biệt so với cấutrúc ba chiều và hai chiều Ví dụ, tán xạ điện tử-phonon và tỉ lệ tán xạ [10,

26, 49, 57, 83], tính dẫn điện tuyến tính và phi tuyến [65, 82], hấp thụ sóng

điện từ yếu [15] và hàng loạt các hiệu ứng khác [12, 28-30, 34, 35, 41-44,

51, 92]

Chúng ta đã biết khi chiếu chùm bức xạ sóng điện từ vào vật chất, sựtương tác của sóng điện từ với vật chất xẩy ra, một phần bức xạ được truyềnqua vật chất, một phần bị phản xạ và phần còn lại bị hấp thụ bởi môi trườngvật chất Sự hấp thụ sóng điện từ của vật chất đã và đang được nghiên cứu

và phát triển cả về lý thuyết lẫn thực nghiệm với nhiều ứng dụng mạnh mẽ

và sâu rộng trong khoa học kỹ thuật Đặc biệt là lĩnh vực kỹ thuật quân sự,vật liệu hấp thụ sóng điện từ đặc biệt được quan tâm nghiên cứu nhằm ứngdụng cho kỹ thuật “tàng hình” cho các phương tiện quân sự

Trên phương diện lý thuyết, bài toán hấp thụ sóng điện từ được xem xétdưới hai quan điểm khác nhau theo sự phát triển của vật lý hiện đại Trênquan điểm lý thuyết cổ điển, bài toán này đã được giải quyết chủ yếu dựa trênviệc giải phương trình động cổ điển Boltzmann [36, 88] Trên quan điểm lýthuyết lượng tử, bài toán hấp thụ sóng điện từ đã được giải quyết bằng nhiềuphương pháp khác nhau như lý thuyết hàm Green, lý thuyết nhiễu loạn [6],phương pháp phương trình động lượng tử [5, 8], phương pháp Kubo-Mori mởrộng [76, 78].Với hệ bán dẫn thấp chiều, bài toán hấp thụ tuyến tính sóng

điện từ được đặc biệt phát triển nghiên cứu bằng phương pháp Kubo-Mori

mở rộng như: hấp thụ sóng điện từ yếu trong hố lương tử [13], trong siêumạng pha tạp [14], trong dây lượng tử [15]

Bên cạnh sự phát triển mạnh mẽ của vật liệu bán dẫn thấp chiều cũngnhư những nghiên cứu và ứng dụng đối với sóng điện từ, vào đầu thập niên

60 của thế kỉ trước, sự ra đời của laser cho ta những nguồn bức xạ điện từ

có cường độ lớn, độ đồng bộ cao với biên độ vectơ cường độ sóng điện từvào khoảng 107-1010 V/cm, khi tương tác với vật liệu, các tính chất quangcủa vật liệu bắt đầu không những phụ thuộc vào bản chất của vật liệu màcòn phụ thuộc vào cường độ của trường laser Từ đó, các hiện tượng mớixuất hiện gọi là hiệu ứng quang phi tuyến Cùng với sự phát triển của côngnghệ laser, quang phi tuyến ngày càng được mở rộng và trở thành một ngành

độc lập nghiên cứu tương tác của sóng điện từ mạnh với vật chất Cả lýthuyết lẫn thực nghiệm, quang phi tuyến ngày càng được quan tâm nghiêncứu nhằm liên tục cải thiện sự đánh giá chính xác hấp thụ phi tuyến cũngnhư hệ số khúc xạ [32, 33, 39, 46, 47, 53, 58, 71, 93, 94] Hấp thụ phi tuyếnsóng điện từ trong bán dẫn khối đã được V V Pavlovich và E M Epshteinnghiên cứu và công bố vào năm 1977 [64], bằng phương pháp phương trình

động lượng tử các tác giả đã xây dựng biểu thức của hệ số hấp thụ phi tuyếnsóng điện từ thông qua việc giải phương trình động lượng tử cho điện tử vàbiểu thức của mật độ dòng hạt tải

Trong thời gian gần đây, bài toán hấp thụ sóng điện từ bởi điện tử giamcầm trong hệ hai chiều cũng đã được nghiên cứu [16, 19] Tuy nhiên, đốivới hệ một chiều, bài toán hấp thụ phi tuyến sóng điện từ vẫn còn bỏ ngỏ và

thụ phi tuyến sóng điện từ bởi điện tử giam cầm trong dây lượng tử” Với

đề tài này của luận án, lần đầu tiên sự hấp thụ phi tuyến sóng điện từ trongdây lượng tử được nghiên cứu có hệ thống và tổng thể trong hệ cấu trúc mộtchiều với các dây lượng tử đặc trưng cho cả hai trường hợp vắng mặt và có

phi tuyến sóng điện từ lần đầu tiên cũng được xem xét trong dây lượng tử

2 Mục tiêu nghiên cứu

Luận án nghiên cứu sự hấp thụ phi tuyến sóng điện từ bởi điện tử giamcầm trong các loại dây lượng tử đặc trưng cho hệ bán dẫn một chiều cho cảhai trường hợp vắng mặt và có mặt của từ trường với hai cơ chế tán xạ điện

tử-phonon âm và tán xạ điện tử-phonon quang Biểu thức giải tích của hệ

số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ được thu nhận, từ đó thực hiện tính số để

đánh giá về cả định tính lẫn định lượng sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ phituyến sóng điện từ vào các tham số bên ngoài như cường độ và tần số củasóng điện từ, nhiệt độ của hệ Sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ phi tuyến sóng

điện từ vào tham số của dây lượng tử cũng được xem xét để đánh giá ảnhhưởng của cấu trúc của hệ lên sự hấp thụ phi tuyến sóng điện từ Các kếtquả thu được trong dây được so sánh với kết quả đã được nghiên cứu trongbán dẫn khối [64] cũng như hệ hai chiều [16], đồng thời so sánh kết quảthu được giữa các dây lượng tử có hình dạng và hố thế khác nhau để xemxét ảnh hưởng của thế giam giữ điện tử và hình dạng và kích thước dây lên

sự hấp thụ phi tuyến sóng điện từ Bên cạnh đó, hấp thụ sóng điện từ bởi

điện tử giam cầm trong dây lượng tử cũng được nghiên cứu cho trường hợpphonon giam cầm, từ đó đánh giá sự ảnh hưởng của sự giam cầm phononlên sự hấp thụ phi tuyến sóng điện từ

3 Phương pháp nghiên cứu

Như đã nói ở trên, theo quan điểm lý thuyết lượng tử, bài toán hấp thụsóng điện có thể được giải quyết theo nhiều phương pháp khác nhau, mỗiphương pháp có những ưu nhược điểm nhất định Vì vậy, tùy vào bài toán

cụ thể để lựa chọn phương pháp giải quyết phù hợp Trong khuôn khổ củaluận án, bài toán hấp thụ phi tuyến sóng điện từ bởi điên tử giam cầm trongdây lượng tử được tác giả nghiên cứu bằng phương pháp phương trình độnglượng tử, đây là phương pháp đã được sử dụng cho bài toán tương tự trongbán dẫn khối [55, 64] cũng như các hệ hai chiều [16, 67] và đã thu đượcnhững kết quả có ý nghĩa khoa học nhất định Xuất phát từ việc giải phươngtrình động lượng tử cho điện tử trong dây lượng tử, hàm phân bố điện tửkhông cân bằng được tìm thấy, từ đó biểu thức của hệ số hấp thụ phi tuyếnsóng điện từ mạnh được tính toán giải tích Kết hợp với phương pháp tính

số bằng phần mềm tính số Matlab, đây là phần mềm tính số và mô phỏng

được sử dụng nhiều trong vật lý cũng như các ngành khoa học kỹ thuật, hệ

số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh trong các dây lượng tử được đánhgiá và thảo luận cả về định tính lẫn định lượng

4 Nội dung nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu

Bằng những công nghệ chế tạo vật liệu hiện đại, người ta có thể chế tạorất nhiều loại dây lượng tử với hình dạng và thế giam giữ khác nhau, Vớimục tiêu đã đề ra, luận án nghiên cứu với ba loại dây lượng tử đặc trưng:dây lượng tử hình trụ hố thế cao vô hạn, dây lượng tử hình trụ hố thế parabol

và dây lượng tử hình chử nhật hố thế cao vô hạn Bài toán hấp thụ phi tuyếnsóng điện từ được xem xét cho cả hai trường hợp có mặt và vắng mặt của từtrường ngoài với hai cơ chế tán xạ điện tử-phonon quang và điện tử-phonon

âm Bên cạnh đó luận án cũng quan tâm nghiên cứu đến sự ảnh hưởng củaphonon giam cầm lên hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ trong dây lượng

tử, cụ thể là dây lượng tử hình chữ nhật với hố thế cao vô hạn

5. ý nghĩa khoa học và thực tiễn của luận án

Những kết quả thu được của luận án đóng góp một phần vào việc hoànthiện lý thuyết về các hiệu ứng động trong hệ thấp chiều mà cụ thể là lýthuyết hấp thụ phi tuyến sóng điện từ bởi điện tử giam cầm trong cấu trúcdây lượng tử Sự hấp thụ phi tuyến sóng điện từ trong dây lượng tử lần đâutiên được nghiên cứu một cách hệ thống và tổng thể trên quan điểm lý thuyếtlượng tử Khảo sát tính số cho sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ phi tuyếnsóng điện từ vào các tham số cho phép có được những đánh giá trực quan

về mặt định tính cũng như định lượng của sự hấp thụ phi tuyến sóng điện từtrong vật liệu có cấu trúc nano một chiều

Về mặt phương pháp, với những kết quả thu được từ việc sử dụng phươngpháp phương trình động lượng tử cho điện tử giam cầm, luận án góp phầnkhẳng định thêm tính hiệu quả và sự đúng đắn của phương pháp này cho cáchiệu ứng phi tuyến trên quan điểm lượng tử

Bên cạnh đó, tác giả cũng hi vọng kết quả của luận án có thể đóng gópmột phần vào việc định hướng, cung cấp thông tin về tính hấp thụ phi tuyếnsóng điện từ của dây lượng tử cho vật lý thực nghiệm trong việc nghiên cứuchế tạo vật liệu nano Sự phụ thuộc của các đại lượng vật lý nói chung và

hệ số hấp thụ phi tuyến nói riêng vào tham số đặc trưng cho cấu trúc dâylượng tử có thể được sử dụng làm thước đo, làm tiêu chuẩn hoàn thiện côngnghệ chế tạo vật liệu cấu trúc nano ứng dụng trong điện tử siêu nhỏ, thôngminh và đa năng hiện nay

6 Cấu trúc của luận án

Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục các công trình liên quan đếnluận án đã công bố, các tài liệu tham khảo và phần phụ lục, nội dung củaluận án gồm 5 chương, 22 mục với 33 hình vẽ và đồ thị, tổng cộng 140trang Nội dung của các chương như sau:

Chương 1 trình bày tổng quan về dây lượng tử và hấp thụ phi tuyếnsóng điện từ mạnh trong bán dẫn khối Đây được xem là những kiến thứccơ sở cho các nghiên cứu được trình bày trong các chương sau Hàm sóng

và phổ năng lượng của điện tử trong ba loại dây lượng tử (dây lượng tử hìnhtrụ hố thế cao vô hạn, dây lượng tử hình trụ hố thế parabol và dây lượng tửhình chữ nhật hố thế cao vô hạn) cho cả hai trường hợp vắng mặt và có mặtcủa từ trường Hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh trong bán dẫn khối vớiphương pháp phương trình động lượng tử cũng đã được trình bày

Chương 2 nghiên cứu sự hấp thụ phi tuyến sóng điện từ bởi điện tử giamcầm trong dây lượng tử hình trụ hố thế cao vô hạn Hamiltonian của hệ điệntử-phonon, các phương trình động lượng tử cho điện tử cũng như hệ số hấpthụ phi tuyến sóng điện từ bởi điện tử giam cầm trong dây lượng tử hình trụ

hố thế cao vô hạn được thiết lập cho cả hai trường hợp vắng mặt và có mặtcủa từ trường ngoài Hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh được tínhtoán, nghiên cứu cho cả hai cơ chế tán xạ điện tử-phonon âm và tán xạ điện

tử phonon quang cho trường hợp vắng mặt của từ trường Hấp thụ phi tuyếnsóng điện từ mạnh trong trường hợp có mặt của từ trường được nghiên cứucho cơ chế tán xạ điện tử-phonon quang Các kết quả giải tích của hệ số hấpthụ phi tuyến sóng điện từ mạnh bởi điện tử giam cầm trong dây lượng tửhình trụ hố thế cao vô hạn được áp dụng tính số và bàn luận cho dây lượng

tử bán dẫn GaAs/GaAsAl

Chương 3 nghiên cứu sự hấp thụ phi tuyến sóng điện từ bởi điện tử giamcầm trong dây lượng tử hình trụ hố thế parabol Các nội dung nghiên cứutrong chương này tương tự như chương 2 nhưng áp dụng cho dây lượng tử hốthế parabol, đồng thời tập trung tính số và bàn luận để xem xét ảnh hưởngcủa thế giam cầm điện tử lên hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh.Tương tự như chương 2 và chương 3, nội dung của chương 4 nghiêncứu sự hấp thụ phi tuyến sóng điện từ manh bởi điện tử giam cầm trong dâylượng tử hình chữ nhật hố thế cao vô hạn, đồng thời xem xét ảnh hưởng củakích thước dây lượng tử hình chữ nhật lên hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện

từ và so sánh với các kết quả thu được đối với dây lượng tử hình trụ, từ đó

đánh giá sự ảnh hưởng của hình dạng dây lượng tử lên sự hấp thụ phi tuyếnsóng điện từ

Chương 5 nghiên cứu ảnh hưởng của sự giam cầm phonon lên hệ số hấpthụ phi tuyến sóng điện từ mạnh bởi điện tử giam cầm trong dây lượng tử.Hamiltonian của hệ điện tử giam cầm-phonon giam cầm, phương trình độnglượng tử cũng như hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ bởi điện tử giam cầmkhi có sự giam cầm phonon trong dây lượng tử hình chữ nhật hố thế cao vôhạn được thiết lập Các kết quả tính số được trình bày và bàn luận để thấy

rõ mức độ ảnh hưởng của sự giam cầm phonon lên hệ số hấp thụ phi tuyếnsóng điện tử mạnh trong dây lượng tử

Phần phụ lục đưa ra các chương trình tính số bằng phần mềm Matlabcho việc tính số và vẽ các đồ thị

Các kết quả nghiên cứu chính của luận án được công bố trong 9 côngtrình dưới dạng các bài báo và báo cáo khoa học đăng trong các tạp chí

và ký yếu hội nghị khoa học trong nước và quốc tế, trong đó có 02 bài

USA-Progress In Electromagnetics Research Letters; 01 bài trong cuốn sách

Wave Propagation; 02 bài đăng trong tuyển tập hội nghị khoa học quốc tế và

của Đại học Quốc gia Hà Nội

Chương 1

Tổng quan về dây lượng tử và hấp thụ phi tuyến

sóng điện từ mạnh trong bán dẫn khối

1.1.1 Cấu trúc của dây lượng tử bán dẫn

Dây lượng tử (quantum wires) thuộc hệ cấu trúc bán dẫn một chiều(one-dimension systems) [3, 4] Mô hình cấu trúc của các hệ bán dẫn có thể

giới hạn theo hai chiều giới hạn của dây và nó chỉ có thể chuyển động tự dotheo chiều còn lại Sự giam cầm điện tử trong dây lượng tử làm xuất hiệncác hiệu ứng giảm kích thước, hàm sóng và phổ năng lượng trở nên gián

đoạn và lượng tử theo hai chiều

Dây lượng tử được chế tạo bằng nhiều phương pháp khác nhau, ví dụnhư pháp epitaxy (Molecular beam epitaxy-MBE), phương pháp kết tủa hóahữu cơ kim loại (metal organic chemical vapor deposition-MOCVD ) hoặc

sử dụng các cổng (gates) trên một Transistor hiệu ứng trường, bằng cách này

có thể tạo ra các kênh thấp chiều hơn trên khí điện tử hai chiều Với côngnghệ chế tạo vật liệu hiện đại, người ta có thể tạo ra các dây lượng tử cóhình dạng khác nhau, như dây hình trụ, dây hình chữ nhật, Mỗi dây lượng

tử được đặc trưng bởi một thế giam giữ khác nhau, việc khảo sát lý thuyết vềdây lượng tử chủ yếu dựa trên hàm sóng và phổ năng lượng của điện tử thu

được nhờ giải phương trình Schrodinger với hố thế đặc trưng của nó Trongluận án này, chúng tôi quan tâm đến ba loại dây lượng tử với hình dạng vàthế giam giữ khác nhau: dây lượng tử hình trụ hố thế cao vô hạn; dây lượng

tử hình trụ hố thế parabol và dây lượng tử hình chữ nhật hố thế cao vô hạn

1.1.2 Hàm sóng và phổ năng lượng của điện tử trong dây lượng tử

hình trụ với hố thế vô hạn

a) Trường hợp vắng mặt của từ trường

Chúng ta xem xét một dây lượng tử hình trụ bán kính R với chiều

tương ứng thu được từ việc giải phương trình Schrodinger [94], [38]

của điện tử chuyển động trong mặt phẳng (Oxy) có dạng:

còn lại, m là khối lượng hiệu dụng của điện tử (trong luận án này chúng tôi

b) Trường hợp có mặt của từ trường

Đặt một từ trường đồng nhất song song với trục của dây, giải phươngtrình Schrodinger với thế giam cầm điện tử cao vô hạn khi có mặt của từtrường ngoài, hàm sóng và phổ năng lượng của điện tử thu được như sau [1,

´

�1.6)

NÔĂ2 = a2c

Z ằR0

F1(Ăajnj;1;jnj + 1; ằ) là dạng tổng quát của hàm siêu bội, hữu hạn tại ằ = 0;

Với hàm sóng chứa hàm siêu bội như trên, thừa số dạng phụ thuộc đặctrưng của dây lượng tử và từ trường sẽ không cho được biểu thức giải tích.Tuy nhiên ta có thể xét trường hợp giới hạn với từ trường mạnh, bán kính

xấp xỉ là một số không âm Hàm sóng và phổ năng lượng của điện tử trongdây lượng tử hình trụ hố thế cao vô hạn khi có mặt của từ trường có thể đượcviết lại như sau:

´

trong đó N=0, 1, 2, là chỉ số các mức Landau

1.1.3 Hàm sóng và phổ năng lượng của điện tử trong dây lượng tử

hình trụ với hố thế parabol

a) Trường hợp vắng mặt của từ trường

Giả sử hố thế giam giữ dạng parabol đối xứng trong mặt phẳng xy:

2

Hàm sóng và phổ năng lượng thu được từ việc giải phương trình Schrodingercho hố thế dạng parabol như sau:

ikz

pL

s2n!

trong đó,

s1m!Ô0

b) Trường hợp có mặt của từ trường

Xét dây lượng tử hình trụ dưới tác dụng của từ trường ngoài, thế giamgiữ điện tử có dang parabol bất đối xứng:

2

xx2+ ư2yy2); �1.13)

hóa x và y Khi đó, hàm sóng và phổ năng lượng của điện tử có dạng [45,

76, 84]:

ipz

pL

a) Trường hợp vắng mặt của từ trường ngoài

Với các cấu trúc dây lượng tử được chế tạo bằng cách đặt các cổngtrên hệ 2 chiều, dây lượng tử thường có dạng hình học không xác định vàtùy thuộc vào công nghệ chế tạo Do yêu cầu thực nghiệm, mô hình dây

lượng tử hình chữ nhật cũng hay được đề cập đến trong các công trình mangtính lý thuyết [67, 80] Chúng ta xét trường hợp đơn giản, thế giam giữ điện

tử là cao vô hạn, lúc này việc tìm hàm sóng và phổ năng lượng của trở nên

đơn giản nhờ sử dụng phương pháp phân ly biến số [7] Hàm sóng và phổnăng lượng điện tử là nghiệm của phương trình Schrodinger và được viết dướidạng[3, 4]:

2

L2 y

kích thước của dây lượng tử theo hai phương x, y

b) Trường hợp có mặt của từ trường

Giả sử dây lượng tử hình chữ nhật với thế giam giữ điện tử được đặttrong từ trường yếu, hàm sóng của điện tử như trong trường hợp không có từtrường:

r1

Lxe

r2

nẳx

s2

`ẳx

Ly ) �1.18)Tuy nhiên, cấu trúc của phổ năng lượng của điện tử dưới ảnh hưởng của từtrường có thay đổi, nó đặt thêm một sự giam hãm điện tử bên cạnh sự giamhãm do giảm kích thước Phổ năng lương của điện tử lúc này được viết nhưsau:

"n;`;N(~p) = p

2 z

2

L2 y

); �1.19)

trong đó N=1, 2, là chỉ số vùng Landau

1.2. Hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh trong bán

dẫn khối

1.2.1 Sự hấp thụ sóng điện từ

Khi chiếu một chùm bức xạ lazer (sóng điện từ mạnh) vào tinh thể bándẫn, một phần bức xạ bị phản xạ trở lại, một phần được truyền qua và phầncòn lại được hấp thụ bởi tinh thể bán dẫn

Hình 1.2: Tương tác giữa vật chất và sóng điện từ (1) sóng tới, (2) sóng phản xạ, (3) sóng truyền qua, (4) sóng hấp thụ

Phổ hấp thụ sóng điện từ của bán dẫn rất phức tạp, bao gồm ba phầnchính: Chuyển dịch trực tiếp, chuyển dịch gián tiếp giữa các vùng hóa trịhoặc chuyển dịch nội vùng Sự hấp thụ do chuyển dịch trực tiếp giữa cácvùng dẫn và vùng hóa trị xuất hiện khi điện tử vùng hóa trị hấp thụ mộtphoton có năng lượng lớn hơn độ rộng vùng cấm và dịch chuyển lên vùngdẫn với vectơ sóng ~k gần như không đổi, khi đó vùng hóa trị xuất hiện một

dẫn có khe vùng cấm trực tiếp như InSb, InAs, GaAs, GaSb Sự hấp thụ dochuyển dịch gián tiếp giữa vùng dẫn và vùng hóa trị được thực hiện với sựhấp thụ hay phát xạ một phonon Điện tử vùng hóa trị hấp thụ một photon,

đồng thời nó hấp thụ hoặc phát xạ một phonon để có thể di chuyển tới đáy

vùng dẫn Chuyển dịch gián tiếp của điện tử thường xuất hiện ở tinh thể bándẫn có khe vùng cấm gián tiếp như Si, Ge, GaP,

Ngoài hấp thụ do chuyển dịch giữa các vùng, sự hấp thụ sóng điện từcòn phụ thuộc vào chuyển dịch nội vùng, được thể hiện rõ khi tần số sóng

điện từ nhỏ hơn độ rộng vùng cấm Sự chuyển dịch nội vùng là sự hấp thụsóng điện từ bởi các điện tử tự do có sự đóng góp của phonon Khi đó các

điện tử tự do hấp thụ hay phát xạ phonon liên tục để có thể chuyển dịch lêncác trạng thái khác

Như vậy, sự hấp thụ sóng điện từ trong bán dẫn có đóng góp đáng kểcác phonon, cụ thể là tương tác giữa điện tử và phonon

Hấp thụ phi tuyến sóng điện từ xảy ra khi chiếu một bức xạ điện từ mạnh(trường laze) vào tinh thể bán dẫn Lúc này phổ hấp thụ sóng điện từ phụthuộc vào bậc cao của cường độ sóng điện trường mạnh

1.2.2 Lý thuyết lượng tử về hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh

trong bán dẫn khối

Lý thuyết hấp thụ phi tuyến sóng điện từ trong bán dẫn khối đã được

V V Pavlovich và E M Epshtein nghiên cứu và công bố vào năm 1977[26], tác giả bắt đầu từ việc xây dựng Hamiltonian của hệ điện tử - phonon(phonon quang) trong bán dẫn khối khi có mặt sóng điện từ

Trong đó: a+~; a~ là toán tử sinh hủy điện tử ở trạng thái j~pi, b+~q; b~q là toán tử

được xác định như sau:

Ăd ~A(t)

vectơ cường độ và tần số của sóng điện từ mạnh Hệ số hấp thụ phi tuyếnsóng điện từ bởi điện tử trong bán dẫn khối được tính bởi công thức:

i("~p+~q Ă "~+ !~q Ă kư + i±)(t Ă t0)i

++[n~Ă~q(t0)N~q Ă n~(t0)(N~q + 1)] exph

i("~p+~q Ă "~Ă !~ q Ă kư + i±)(t Ă t0)i

++[n~Ă~q(t0)(N~q+ 1)Ă n~(t0)N~q] exph

i("~p+~q Ă "~+ !~q Ă kư + i±)(t Ă t0)io

:

�1.25)

ở đây m và e là khối lượng hiệu dụng và điện tích của điện tử trong bán dẫn

phương trình (1.25) trong gần đúng bậc nhất rồi thay vào phương trình (1.23)

và (1.22) ta thu được biểu thức của hệ số hấp thụ đ trong bán dẫn khối:

thẫm điện môi tĩnh Xét hai trường hợp giới hạn: hấp thụ gần ngưỡng vàhấp thụ xa ngưỡng

Hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ trong bán dẫn khối trong trường hợpnày được xác định theo biểu thức:

được thỏa mãn Hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ thụ phi tuyến sóng

Chương 2

Hấp thụ phi tuyến sóng điện từ bởi điện tử giam cầm

trong dây lượng tử hình trụ hố thế cao vô hạn

Mô hình dây lượng tử hình trụ hố thế cao vô hạn đã được sử dụng nhiềutrong các nghiên cứu lý thuyết, sự lượng tử hóa do giảm kích thước trongdây lượng tử tác động đáng kể đến các tính chất vật lý của hệ, các hiệu ứng

động trong dây lượng tử có nhiều sự khác biệt so với bán dẫn khối cũng như

hệ hai chiều Trong chương này, trên quan điểm lý thuyết trường lượng tử,bằng phương pháp phương trình động lượng tử, luận án nghiên cứu sự hấpthụ phi tuyến sóng điện từ bởi điện tử giam cầm trong dây lượng tử hình trụ

hố thế cao vô hạn cho cả hai trường hợp vắng mặt và có mặt của từ trường.Khảo sát sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ phi tuyến vào các tham số như nhiệt

độ của hệ, cường độ và tần số của sóng điện từ, tấn số cyclotron (trường hợp

có mặt của từ trường) và bán kính của dây Các kết quả thu nhận được đánhgiá, so sánh với bài toán tượng tự trong bán dẫn khối và hệ hai chiều để thấy

được ảnh hưởng của hiệu ứng giảm kích thước trong hệ một chiều lên sự hấpthụ phi tuyến sóng điện từ

2.1. Hamiltonian của hệ điện tử-phonon trong dây lượng

tử hố thế cao vô hạn

2.1.1 Trường hợp vắng mặt của từ trường

Giả sử một dây lượng tử được đặt trong trường leser có vectơ cường độ

tương tác của các hạt cùng loại, Hamiltonian của hệ điện tử-phonon trongdây lượng tử được viết như sau:

biểu thức (1.4) như sau:

"n;`(~pĂ ~A(t)) = (~pĂ ~A(t))2

2 n;`=2mR2 �2.5)

In;`;ản;ả`(~q) là thừa số dạng đặc trưng cho sự giam nhốt điện tử trong dây lượng

hàm Bessel, biểu thức của thừa số hạng (2.6) không thể tính toán giải tích,tuy nhiên theo [38] chúng ta có thể tính nó bằng cách áp dụng biểu thức gần

đúng cho hàm sóng và trạng thái năng lượng của điện tử như sau:

(q?R)3 �2.7)

(q?R)3 : �2.8)

2.1.2 Trường hợp có mặt của từ trường ngoài

Giả sử có một từ trường đều đặt song song với trục của dây Hamiltoniancủa hệ điện tử-phonon trong dây lượng tử khi có mặt của từ trường được viếtnhư sau:

"H° (~pĂ ~A(t)) a+°;~p a°;~p+X

~ q

(N = 0; 1; 2; :::), "Hn;`(~pĂecA(t)) là phổ năng lượng của điện tử dưới tác dụng~

của từ trường lên dây lượng tử được xác định theo tích phân như sau:

ở đây u = acq?2=2, r? và ac = c=eB lần lượt là vị trí và bán kính quỹ đạocyclotron.

trong dây lượng tử hình trụ hố thế cao vô hạn

2.2.1 Trường hợp vắng mặt từ trường ngoài

Để thu được biểu thức của phương trình động lượng tử cho điện tử giamcầm trong dây lượng tử chúng ta bắt đầu từ phương trình động cho toán tử

số hạt điện tử trong dây lượng tử nn;`;~ p(t) =ha+n;`;~ pan;`;~ pit ta có:

Sử dụng Hamiltonian (2.2)-(2.4) và các phép biến đổi toán tử ta được trên cơ

sở lý thuyết trường lượng tử cho hệ nhiều hạt [1]:

c

~A(t))Ă !~ q]F (t)

i("n;`;~p¡ "n 0 ;` 0 ;~ p ¡~q ¡ !~ q)(t¡ t2)i

hi("n;`;~p¡ "n 0 ;` 0 ;~ p ¡~q+ !~q)(t¡ t2)

i

hi("n 0 ;` 0 ;~ p+~ q ¡ "n;`;~ p¡ !~ q)(t¡ t2)

trong đó Jk(x) là hàm Bessel, m là khối lượng hiệu dụng của điện tử, N~q làhàm phân bố không phụ thuộc thời gian của phonon, và ± là đại lượng vôcùng bé xuất hiện do giả thiết đoạn nhiệt khi có sự tương tác với sóng điện

2.2.2 Trường hợp có mặt của từ trường ngoài

Tương tự với trường hợp vắng mặt của từ trường ngoài, để thu được biểuthức của phương trình động lượng tử cho điện tử giam cầm trong dây lượng

tử chúng ta bắt đầu từ phương trình động lượng tử cho toán tử số hạt điện tửtrong dây lượng tử khi có mặt của từ trường n°;~ p(t) = ha+°;~pa°;~ pit ta có:

Giải phương trình vi phân trên theo phương pháp biến phân ta thu được:

�2.25)

Thực hiện một số phép chuyển đổi ta có thể viết lại như sau :

i+ [n° 0 ;~ p Ă~q(t2)(N~ q + 1)Ă n°;~ p(t2)N~ q] exp

hi("°;~ pĂ "° 0 ;~ p Ă~q+ !~ q)(tĂ t2)

i

+ [n°;~p(t2)N~qĂ n° 0 ;~ p+~ q(t2)(N~q+ 1)] exph

i("°0 ;~ p+~ q Ă "°;~ pĂ !~ q)(tĂ t2)i+ [n°;~p(t2)(N~q + 1)Ă n° 0 ;~ p+~ q(t2)N~q] exph

i("°0 ;~ p+~ q Ă "°;~ p + !~q)(tĂ t2)io

�2.26)

cho điện tử trong dây lượng tử hình trụ hố thế cao vô hạn khi có mặt của từtrường ngoài

2.3. Hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh bởi

điện tử giam cầm trong dây lượng tử hình trụ hố thế cao vô hạn

2.3.1 Trường hợp vắng mặt của từ trường ngoài

Để thu được biểu thức của hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ bởi điện

tử giam cầm trong dây lượng tử, hàm phân bố điện tử trong dây lượng tử cầnthiết thu được từ việc giải phương trình động lượng tử, Tuy nhiên việc giảichính xác phương trình này là việc rất khó khăn, để đơn giản luận án này sửdụng phương pháp xấp xỉ gần đúng như sau:

phương pháp đã được sử dụng có hiệu quả cho bài toán tương tự trong bándẫn khối [64] Hàm phân bố không cần bằng thu được từ việc giải gần đúngxấp xỉ phương trình động lượng tử cho điện tử giam cầm trong dây lượng tử:

hạng trong dây hình trụ hố thế cao vô hạn theo (1.4), (2.7) và (2.8)

Sử dụng biểu thức của hàm phân bố điện tử không cân bằng (2.28) vớilưu ý rằng

X

thực hiện các bước chuyển đổi cần thiết chúng ta thu được biểu thức của mật

độ dòng hạt tải trong dây lượng tử hình trụ hố thế cao vô hạn

Lưu ý rằng, để thu được biểu thức (2.32) chúng ta đã sử dụng phép gần đúng