ứng dụng toán sơ cấp vào giải các bài toán thực tế

Phòng giáo dục huyện gia viễn Trờng trung học cơ sở gia phơng ********************************** Sáng kiến kinh nghiệm Đề tài: ứng dụng toán sơ cấp vào giải các bài toán thực tế Họ và tên: trần quốc hng Đơn vị : Trờng THCS Gia phơng Gia Phơng, 20 tháng 4 năm 2009 Phần I Những vấn đề chung. 1. Lý do chọn đề tài. Toán học là chìa khóa vàng cho mọi tri thức. Toán học có nguồn gốc lâu đời trong những nền văn hoá và các nhà Toán học xuất sắc trong lịch sử đều đã có những cống hiến to lớn cho sự phát triển khoa học. Toán học có mặt trong tất cả các ngành khoa học tự nhiên và trong hầu hết các ngành khoa học xã hội, các phát minh đều có sự trợ giúp của Toán học. Không có môn khoa học nào có thể giúp cho sự phát triển trí tuệ ở học sinh nhiều bằng môn Toán mà trí tuệ hiện nay đợc coi là yếu tố chiến lợc trong sự phát triển kinh tế của một đất nớc. Không có ngành khoa học nào lại đợc tất cả mọi ngời biết đến nh là Toán học, toàn thế giới đều sử dụng các con số và các kí hiệu cộng trừ nhân chia giống nhau, ai cũng biết làm các phép toán cộng trừ nhân chia. Học Toán là biết giải toán và áp dụng kiến thức Toán vào trong thực tế, để giải một bài toán nói chung không phải chỉ có một cách giải mà có thể có nhiều cách giải khác nhau. Học sinh muốn giải Toán tốt thì phải cần nhiều tới sự trợ ngiúp của ngời thầy. Vai trò của ngời thày giáo chủ yếu và quyết định ở khâu hớng dẫn tìm lời giải, thày giáo phải dự kiến đợc các hớng giải và phân tích nên chọn hớng nào tiếp theo cần đa ra một số đề toán giúp học sinh luyện tập khả năng tìm lời giải. Để học tập tốt khi học Toán, làm Toán học sinh cần khai thác từ một bài toán để có đợc những bài toán tơng tự, bài toán mới. Theo chơng trình đổi mới nội dung sách giáo khoa hiện nay thì chơng trình yêu cầu học sinh phải nắm vứng kiến thức, có kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tế với một thái độ tích cực chủ động sáng tạo nhng trong thực tế ngày nay học sinh chúng ta vẫn còn yếu điểm là cha biết vận dụng kiến thức Toán học vào những tình huống thực tế trong cuộc sống hàng ngày mà các em thờng gặp nh cộng trù nhân chia các số, tính toán khi pha trộn, đo đạc khi bị vớng, đo đạc tính toán trên đờng, dùng hình học sơ cấp tại thực địa. Có một số em biết vận dụng nhng chỉ là những tình huống đơn giản. Việc ứng dụng Toán học nói chung và Toán học sơ cấp nói riêng là vô hạn, việc ứng dụng Toán học sơ cấp vào thực tế là cần thiết giúp học sinh phát triển t duy, kỹ năng, tìm cách thoát ra khỏi những tình huống lắt léo khó xử xuất hiện trong đời sống hàng ngày tạo cho các em sự huyứng thú niềm say mê học tập và yêu thích môn Toán hơn. Học sinh học tốt môn Toán thì việc tiếp thu các môn khoa học tự nhiên khác vô cùng thuận lợi và cũng dễ dàng tiếp nhận kiến thức các môn khoa học xã hội hơn tạo cho các em có một hành trang tri thức đầy đủ để bớc vào học bậc trung học phổ thông hoặc học nghề và tham gia cuộc sống lao động. Với ý nghĩa đó tôi chon đề tài : ứng dụng Toán học sơ cấp vào giải các bài toán thực tế. 2. Đối tợng sử dụng đề tài. - Giáo viên: bậc Tiểu học và THCS. - Học sinh : bậc Tiểu học và THCS. 3. Hình thức tổ chức. Tổ chức về đề tài thông qua các buổi sinh hoạt ngoại khoá. 4. Cấu trúc của đề tài. Nội dung 1: ứng dụng Toán sơ cấp vào việc cộng trừ nhân chia các số. Nội dung 2: ứng dụng Toán sơ cấp vào đo đạc và tính toán trên đờng đi. Nội dung 3: Một số mẹo vặt nhờ vào Toán học. Phần II Nội dung chính của đề tài. Nội dung 1: ứng dụng Toán sơ cấp vào việc cộng trừ nhân chia các số. Có lẽ trong cuộc sống hàng ngày nhiều bạn đã phải tiến hành các công việc tính toán khác nhau hẳn các bạn đều thấy rằng việc tính toán bằng tay trên giấy nhất là tính nhẩm là công việc cũng lắm rác rối, hơn nữa bản thân nhiều khi vẫn còn băn khoăn với kết quả tính toán của mình và việc kiểm tra có nghĩa là làm lại toàn bộ công việc từ đầu và rồi nếu nếu kết quả kiểm tra lại khác với kết quả trớc thì biết tin vào kết quả nào hơn. Và nh vậy lại phải kiên trì lấy thêm nghị lực để tính toán lại và cũng có thể không phải chỉ là một lần. Các bạn có thể hỏi tại sao không dùng máy tính, máy tính đang tràn ngập thị trờng với nhiều loại, nhng có điều không phải lúc nào bên cạnh ta cũng có máy tính mà ta cần rèn luyện kĩ năng tính toán làm cho t duy phát triển nhất là đối với thế hệ trẻ vì vậy nhiều khi ta cũng phải làm những coong việc buồn tẻ và sử dụng các phơng pháp khác nhau nhằm đơn giản hoá các biến đổi và công việc kiểm tra. Bây giờ ta xét những bài toán nhằm phát huy những thủ thuật nh vậy. I. Phép cộng và phép trừ. 1. Cộng nhiều số có một chữ số. Làm thế nào để giảm nhẹ công việc và thu đợc kết quả đúng một cách nhanh hơn khi phải cộng nhiều số có một chữ số? Có phơng pháp gì để đơn giản hoá công việc cộng nhiều số có hai chữ số? Nên đếm xem các số hạng 1, 2, 3, 9 gặp bao nhiêu lần trong tổng đó, nếu số lần đó tơng ứng là a, b, c, m thì tổng phải tính sẽ là a + 2xb + 3xc + + 9xm cách làm này tiết kiệm thời gian hơn và ít sai xót. Nếu số có hai chữ số trong tổng có nhiều thì rất có khả năng gặp những cặp số hoặc bộ ba số có tổng là số chẵn chục. Ta thay các nhóm đó bằng các tổng của chúng sau đó trong các số hạng mới lại gộp lại những nhóm cho ta tổng là những số chẵn trăm. Làm nh vậy ta có thể giảm nhẹ rất nhiều công việc. 2. Thay phép nhân bằng phép trừ. Ta có thể thay phép nhân một số nào đó với 9 bằng phép trừ hai số. Bạn hãy nghĩ xem hai số nào?. Hãy đa ra phơng pháp tơng tự khi nhân một số với 99 và 999, với các số gần 10, 100, 1000, Vì 9n = 10n + n nên để nhân số n với 9 ta chỉ việc tăng số đó lên 10 lần và trừ đi chính bản thân số n đó. Ví dụ nh: 538 x 90 = 5380 - 538 = 4842 Tơng tự khi nhân số n với số 99 hoặc 999 ta nhân số đó với 100 hoặc 1000 và sau đó trừ đi bản thân số n đó. B. Phép nhân và phép chia. 1. Nhân và chia cho luỹ thừa của 5. Chúng ta khó mà đồng ý rằng chia nhẩm một số bất kì nào đó cho 2 dễ hơn là chia số đó cho 5. Hãy lợi dụng điều này để nhân một số với 5, 25 và 125 một cách dễ dàng hơn. Bạn có suy nghĩ gì về phép chia một số cho 5, 25 và 125. Thay vì nhân số n với 5 ta chia số đó cho 2 và nhân kết quả với 10 bởi vì 10. 2 n 5n = . Ví dụ nh 1393 x 5 = 696,5 x 10 = 6965 2. Nhân các số hàng 1 chục. Để nhân hai số có 2 chữ số nhỏ hơn 20 ta chỉ cần cộng 2 số hàng đơn vị rồi nhân với 10; lấy kết quả đó cộng thêm với 100 và tích của 2 số hàng đơn vị nói trên. Chẳng hạn nh : 12 x 16 = 10( 2 + 6 ) + 100 + 2 x 6 = 192. Hãy chứng minh phơng pháp đó. Ta có abbaabbababa +++=+++=++= 100)(101010100)10)(10(1.1 3. Nhân các số hàng 9 chục. Để nhân hai số gần 100 ta chỉ cần lấy một số trừ đi phần thiếu của số kia so với 100; nhân hiệu đó với 100 và cuối cùng cộng tích của hai phần thiếu của chính hai số đó so với 100. Chẳng hạn nh: 96 x 98 = (96 - 2) x 100 + 4 x 2 = 9408 Hãy chứng minh phơng pháp đó. Ta có (100 - a)(100 - b) = (100 - a).100 - 100b + ab = 100((100 - a) - b) + ab trong đó a, b là phần thiếu tới 100 của hai thừa số tơng ứng thứ nhất và thứ hai. 4. Nhân các số gần 1000. Để nhân hai số gần 1000 ta làm nh ví dụ sau: 988 x 997 = (988 - 3) x 1000 + 12 x 3 = 985036 Hãy nêu phơng pháp và chứng minh phơng pháp đó. Ta có: (1000 - a)(1000 - b)=(1000 - a).1000 1000b + ab = 1000((1000 - a) - b) + ab 5. áp dụng phân số thờng. Hãy đa ra các phơng pháp nhân nhanh một số với 2,5; 1,25; 1,5; 0,75 bằng cách sử dụng cách biểu diễn phân số thập phân dới dạng phân số thờng. Ta có 2,5 = 10 : 4; 1,25 = 10 : 8 = 1 + 1/4; 1,5 = 1 + 1/2; 0,75 = 1 -S 1/4 Do đó khi nhân với 2,5 ta có thể nhân số đó với 10 sau đó chia cho 4; khi nhân với 1,25 ta có thể cộng vào số đó một phần t của nó; khi nhân với 1,5 ta có thể cộng vào số đó với một nửa của nó; khi nhân với 0,75 ta lấy số đó trừ đi một phần t của nó. Nội dung 2: ứng dụng Toán sơ cấp vào đo đạc và tính toán trên đ- ờng đi. Một loạt những câu hỏi sẽ xuất hiện trong đầu chúng ta trong thời gian ta mỗi khi ta đi trên đờng trong thời gian du lịch, đi cắm trại chẳng hạn nh : chiếc ôtô, tàu hoả đang chạy với vận tốc là bao nhiêu, tốc độ dòng chảy của con sông là bao nhiêu, khoảng cách giữa các điểm là bao nhiêu, liệu hai vật thể đang chuyển động có va chạm vào nhau không? Nhng những câu trả lời hoặc đáp số đâu có phải lúc nào cũng có ngay lập tức đợc. Những bài tập trong mục này cho phép bạn giải trong điều kiện yên tĩnh với giấy bút trong tay để sau này những câu hỏi đại loại trên sẽ không làm bạn gặp khó khăn. 1. Sau tay lái ôtô. Bạn hãy tởng tợng rằng bạn đang ngồi sau tay lái của ôtô và muốn biết tốc độ của chiếc xe đang chạy trớc bạn. Đơn giẩn nhất là làm thế nào? Bạn hãy giữ cho khoảng cách giữa bạn và xe đi trớc là không đổi trong một thời gian, khi đó đồng hồ đo tốc độ ở xe bạn sẽ là tốc độ của xe đi trớc vì tốc độ của nó trùng với tốc độ của xe bạn. 2. Tốc độ xe lửa. Khi đang ở trong một chiếc xe lửa đang chuyển động có lẽ nhiều khi bạn suy nghĩ liệu chừng có thể xác định đợc tốc độ của nó không. Hãy đa ra các biện pháp nào đó để đo tốc độ đó (tất nhiên là phải thực hiện trong điều kiện thực tế của chuyến đi). Liệu vẫn nằm trên giờng, thậm chí không nhìn qua cửa sổ có thể đo đợc tốc độ xe lửa hay không? Một trong những phơng pháp là: đo thời gian mà con tầu đi đợc 1km (theo cột km trên đờng và đồng hồ đeo tay) và sau đó tính vận tốc của con tàu sau khi đổi về đơn vị cần thiết (m/s hoặc km/h). Ví dụ nh con tàu đi đợc 1km trong 100 giây thì tốc độ của nó là: hkmhkm gio km giay km /36/ 100 3600 100 3600.1 100 1 === Một phơng pháp khác dựa trên cơ sở là khi trong tàu bạn có thể nghe tiếng va đập giữa bánh xe tàu và các điểm ghép hai thanh ray. Độ dài của thanh ray thờng bằng 12,5m bạn có thể đếm số thanh ray ví dụ là n trong khoảng thời gian chẳng hạn nh 1 phút là bạn có thể tính đợc tốc độ của con tàu: hkmn n gio kmn phut mn / 4 3 . 1000 60.5,12. 60 1 1000 5,12 . 1 5,12. === 3. Tốc độ trung bình. Một chiếc xe tải chở đầy hàng chạy từ một thành phố này tới thành phố kia với tốc độ 50km/h. Khi quay lại không hàng thì chạy với tốc độ 70km/h. Vậy tốc độ trung bình của xe tải dó là bao nhiêu? Đừng vội trả lời rằng 60km/h đấy! Ta không thể cộng hai số đó lại rồi chia đôi đợc vì khoảng thời gian lúc đi và lúc về không bằng nhau (tốc độ khác nhau). Ta phải dùng đúng định nghĩa về tốc độ trung bình: Tỉ số giữa toàn bộ đoạn đờng đi đợc với tổng thời gian thực hiện. Vậy nếu đặt khoảng cách giữa hai thành phố là S thì tốc độ trung bình là: hkmx x SS S / 3 1 582 12 350 705 57 2 7050 2 == + = + 4. Trong đờng hầm. Một chiếc tàu hoả dài 500m đang chuyển động với tốc độ 40km/h. Hãy tính xem nó cần bao nhiêu thời gian để đi qua chiếc hầm dài 1km? Để thoát hẳn khỏi hầm con tàu phải đi qua chặng đờng dài 1km + 500m = 1,5km, vậy thời gian cần tìm là: giayphutphuth hkm km 152 40 60.5,1 40 5,1 /40 5,1 === 5. Trên bờ sông? Làm thế nào để có thể đo đợc tốc độ dòng chảy của con sông? Ném một vật nhẹ nào đó xuống sông cách càng xa bờ càng tốt và bấm thời gian mà vật đó trôi theo dòng sông đi một đoạn nào đó ứng với khoảng cách giữa hai điểm trên bờ. Lấy khoảng cách giữa hai điểm chia cho khoảng thời gian bấm đợc ta đ- ợc tốc độ dòng chảy của sông. Có thể lặp đi lặp lại mấy lần tại những vị trí khác nhau của các điểm và độ cách bờ khác nhau sau đó tìm giá trị trung bình của các giá trị thu đợc. 6. Xuôi và ngợc gió. Một chiếc xe đạp đi xuôi gió 1km hết 3 phút, còn đi ngợc gió hết 5 phút. Cũng đoạn đờng đó trong thời tiết không có gió thì chiếc xe đạp đi hết mấy phút. Tốc độ khi xuôi gió là 3 1 km/phút và khi ngợc gió là 5 1 km/phút. Khi đó tốc độ của bản thân chiếc xe đạp bằng một nửa tổng của các tốc độ trên tức là bằng: 15 4 ) 5 1 3 1 ( 2 1 =+ km/phút Từ đó để đi hết 1km trong thời tiết không có gió phải mất: 4 15 phút = 3 phút 45 giây. Nội dung 3: Một số mẹo vặt nhờ vào Toán học . Trong cuộc số hàng ngày ta thờng gặp nhiều tình huống liên quan tới toán học để gải chúng đôi khi cần một chút sáng tạo, một mẹo nho nhỏ một chút thông minh lanh lợi nhng đôi khi khi giải các bài tập này các bạn chớ vội vàng thậm chí cả với các bài bạn cảm thâý quá dễ kẻo có thể bị sa vào bẫy đấy. 1. Đếm giấy. Có một số chồng giấy lớn, làm thế nào để biết số giấy đó có khoảng bao nhiêu tờ một cách chính xác nhanh nhất? Đầu tiên đo lấy một xấp giấy không lớn chẳng hạn có độ cao 1cm đếm số giấy trong đó sau đó đo tổng độ cao của tất cả các chồng giấy cần đếm. Cuối cùng theo tỷ lệ tơng ứng ta tính ra số giấy cần đếm. 2. Đếm đinh. Làm thế nào để biết gần đúng số đinh (cùng loại) trong một chiếc hòm trong một thời gian nhanh nhất. Đầu tiên ta lấy ra ít đinh chẳng hạn nh 100g sau đó đếm số đinh đó. Tiếp tục cân hòm đinh trừ vở hòm. Cuối cùng theo tỷ lệ tơng ứng ta tính ra số đinh cần đếm. 3. Chiếc Eke trong túi. Từ một đoạn dây có thể tạo ra một hình tam gáic vuông không cần phải sử dụng thớc kẻ, thớc đo độ. Làm thế nào, bạn hãy nghĩ xem? Trên dây lấy 3 đoạn bằng nhau đánh dấu lại , tiếp tục lấy 4 đoạn bằng nhau đó đánh dấu lần nữa sau đó lấy 5 đoạn nh vậy cũng đánh dấu lại ta có cả thảy trên dây có 4 điểm đợc đánh dấu (cả điểm mút đầu) . Bây giờ ta nối điểm đầu với điểm đánh dấu cuối cùng với nhau , hai điểm còn lại kéo căng ra sao cho tạo ra một hình tam giác. Hình này nhất định sẽ là một hình tam giác vuông. 4. Lấy lại đồng hồ. Bạn muốn lấy lại giờ trên đồng hồ treo tờng của nhà bạn nhng phải đi bộ dăm mời phút mới tới chiếc đồng hồ chính xác gần nhất mà đem đồng hồ của nhà bạn tới đó thì không đợc vậy bạn phải làm thế nào? Sau khi nhớ thời gian trên đồng hồ treo tờng bạn hãy đi xem giờ chính xác, về tới nhà cũng theo đồng hồ trên tờng xác định khoảng thời gian vắng nhà, cộng nửa thời gian đó với thời gian chính xác mà bạn nhìn thấy trên chiếc đồng hồ đúng khi đó thời gian này chính là thời gian bạn cần lấy lại trên đồng hồ của bạn. 5. Thể tích của chai. Bạn hãy dùng thớc kẻ đẻ xác định dung tích toàn phần của chiếc chai tròn có chứa một phần chất lỏng? Đo đờng kính d của đáy (lấy đờng kính trong vì phải trừ độ dày của chai) và chiều cao h 1 của chất lỏng sau đó lộn ngợc chai lại và đo độ cao h 2 của không khí trong chai. Cuối cùng tính toán theo công thức : )( 4 21 2 hh d V += 6. Thể tích hình cầu. Với chiếc thớc dây có thể xác định thể tích của một vật thể hình cầu không? Dùng thớc dây tạo ra một lỗ tròn nhỏ nhất mà vật thể hình cầu đó có thể lọt qua đợc từ đó ta xác định chiều dài l của đờng tròn lớn. Khi đó thể tích của vật thể đó bằng 2 3 6 l . 7. Đúng nửa cốc. Một chiếc cốc hình trụ đợc đổ đầy sữa, liệu có thể rót ra đúng một nửa số sữa mà không cần sử dụng các dụng cụ đo hay không? Ta nghiêng cốc rót đúng đến khi xuất hiện góc ngoài của đáy cốc khi đó cốc còn lại đúng một nửa số sữa. Trên thực tế còn rất nhiều những bài toán thực tế đợc ứng dụng giải nhờ vào toán sơ cấp nhng tôi chỉ giới thiệu một số bài toán tiêu biểu để các bạn tham khảo và có thể ứng dụng và thực tế bản thân. Phần II Kết luận chung Việc dạy các em học tập tốt trên lớp lầ rất cần thiết giúp các em có kiến thức về khoa học tự nhiên, khoa học xã hội, về cuộc sống nhng để các em biết áp dụng kiến thức nhất là kiến thức Toán học sơ cấp vào thực tế cuộc sống thì mỗi thày cô giáo sẽ là cầu nối để giúp đỡ hớng dẫn các em, mang lại cho các em niềm say mê hứng thú học tập khám phá sáng tạo mới góp phần vào việc đào tạo những chủ nhân tơng lai có tài, đức cho đất nớc, sống có ích cho xã hội. Hi vọng rằng với đề tài này sẽ là món quà tri thức về Toán gửi tặng các thày cô giáo và các em học sinh ở bậc Tiểu học và THCS. Nếu từ các bài toán mà tôi đa ra các thày cô giáo và các em học sinh ở bậc Tiểu học và THCS lại có thể ứng dụng vào thực tế xảy ra với bản thân hoặc nảy sinh những ý tởng mới thì thật là tuyệt vời. Chúc các thày cô giáo và các em học sinh ở bậc Tiểu học và THCS thành công. Gia Phơng, ngày 20 tháng 4 năm 2009 Ngời viết SKKN Trần Quốc Hng . học sơ cấp tại thực địa. Có một số em biết vận dụng nhng chỉ là những tình huống đơn giản. Việc ứng dụng Toán học nói chung và Toán học sơ cấp nói riêng là vô hạn, việc ứng dụng Toán học sơ cấp. thông qua các buổi sinh hoạt ngoại khoá. 4. Cấu trúc của đề tài. Nội dung 1: ứng dụng Toán sơ cấp vào việc cộng trừ nhân chia các số. Nội dung 2: ứng dụng Toán sơ cấp vào đo đạc và tính toán trên. đợc ứng dụng giải nhờ vào toán sơ cấp nhng tôi chỉ giới thiệu một số bài toán tiêu biểu để các bạn tham khảo và có thể ứng dụng và thực tế bản thân. Phần II Kết luận chung Việc dạy các em