Sử dụng đồ thị để giải phương trình bất phương trình

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI Đơn vị: Trường THPT Chuyên Lương Thế Vinh Mã số:…………………………………… SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM SỬ DỤNG ĐỒ THỊ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẤT PHƯƠNG TRÌNH Người thực hiện: Lý Thị Loan Thảo Lónh vực nghiên cứu: Quản lý giáo dục…………… Phương pháp dạy học môn:………  Phương pháp giáo dục… Lónh vực khác: …………………………… Có đính kèm: Mô hình Phần mềm Phim ảnh Hiện vật khác Năm học: 2011 - 2012 SƠ LƯC LÍ LỊCH KHOA HỌC I THÔNG TIN VỀ CÁ NHÂN Họ tên: Lý Thị Loan Thảo Ngày tháng năm sinh: 18 – 11 - 1980 Chức vụ: + Đảng : Đảng viên + Chính quyền: Đơn vị công tác: Trường THPT Chuyên Lương Thế Vinh II TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO: + Trình độ: Thạc só + Tốt nghiệp: Đại Học Sư Phạm Tp Hồ Chí Minh III KINH NGHIỆM KHOA HỌC: Đã trực tiếp tham gia giảng dạy 10 năm Sáng kiến kinh nghiệm năm gần đây: - Sử dụng hàm số để tìm điều kiện có nghiệm phương trình vô tỉ - Một số ứng dụng tam thức bậc hai - Phương trình bậc cao - Dùng phương pháp tọa độ để giải toán hình học không gian SỞ GD & ĐT ĐỒNG NAI CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc Lập – Tự Do – Hạnh phúc Đơn vị:……………………………… PHIẾU NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NĂM HỌC: 2011 - 2012 Tên sáng kiến kinh nghiệm: SỬ DỤNG ĐỒ THỊ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH- BẤT PHƯƠNG TRÌNH Họ tên tác giả: Lý Thị Loan Thảo Đơn vị ( Tổ) : TOÁN Lónh vực: Quản lý giáo dục: Phương pháp dạy học môn:…… Phương pháp giáo dục:……… Lónh vực khác:…………………………… Tính mới: - Có giải pháp hoàn toàn - Có giải pháp cải tiến, đổi từ giải pháp có Hiệu quả: - Hoàn toàn triển khai áp dụng toàn nghành với hiệu cao - Có tính cải tiến đổi từ giải pháp có triển khai áp dụng toàn ngành có hiệu cao - Hoàn toàn triển khai áp dụng đơn vị có hiệu cao - Có tính cải tiến đổi từ giải pháp có triển khai áp dụng đơn vị có hiệu cao Khả áp dụng: - Cung cấp luận khoa học cho việc hoạch định đường lối, sách: Tốt Khá Đạt - Đưa giải pháp khuyến nghị có khả ứng dụng thực tiễn, dễ thực dễ vào sống: Tốt Khá Đạt -Đã áp dụng thực tế đạt hiệu cao, có khả áp dụng đạt hiệu phạm vi rộng: Tốt Khá XÁC NHẬN CỦA TỔ CHUYÊN MÔN Đạt THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ ( Ký, ghi rõ họ tên) ( Ký ghi rõ họ tên, đóng dấu) SỬ DỤNG ĐỒ THỊ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẤT PHƯƠNG TRÌNH Bài tập áp dụng : I Giải phương trình: 1.Cơ sở lí thuyết  Hoành độ giao điểm đồ thị hàm số y  f  x  đồ thị hàm số y g  x  nghiệm phương trình : f  x  g  x   Nghiệm phương trình f  x  g  x  hoành độ giao điểm đồ thị hàm số y  f  x  đồ thị hàm số y g  x  Phương pháp  Tìm tập xác định D phương trình  Biến đổi phương trình dạng f  x  g  x  (thường y g  x  đường thẳng phụ thuộc tham số )  Vẽ đồ thị hàm số y  f  x  đồ thị hàm số y  g  x  tập D  Dựa vào đồ thị suy kết luận Ví du 1ï: a) Vẽ đồ thị hàm soá : y  f (x)  2x    x b) Giải phương trình : f ( x ) 2 c) Biện luận theo m số nghiệm phương trình : x    x m Giải y a) Xét hàm số y  x    x +) Phá dấu giá trị tuyệt đối ta  -x nêu x<    y  f  x  3x - nêu x   x + nêu x >3    y=m -4 -2 ½ x -2 +) Từ có đồ thị hàm số (hình vẽ) b) Nghiệm phương trình hoành độ giao điểm đồ thị hàm số y  f  x  đường thẳng y=2 Dựa vào đồ thị ta thấy phương trình có nghiệm x = - 4; x = c) Soá nghiệm phương trình số giao điểm đồ thị hàm số y  f  x  đường thẳng y= m Dựa vào đồ thị có: - Nếu m < - 5/2 , phương trình vô nghiệm - Nếu m = - 5/2 , phương trình có nghiệm x = ½ - Nếu m > - 5/2 , phương trình có nghiệm Ví du 2ï: Cho hàm số : y = x2 +3x a) Vẽ đồ thị (P) hàm số b) Dùng đồ thị, biện luận theo m số nghiệm phương trình : x2 +3x – m + = Giải a) Vẽ đồ thị (P) có đỉnh (  ;  ) hướng bề lõm lên phía (hình vẽ ) b) Phương trình cho tương đương với phương trình : x2 +3x = m– Do số nghiệm phương trình số giao điểm đồ thị (P): y =x2 + 3x (d): y = m –1 - Vẽ (P): parabol có đỉnh (  ;  ) hướng bề lõm lên phía - (d): y= m–1 đường thẳng song song trùng với truïc Ox y (P) (d) m-1 -3/2 O  x Dựa vào đồ thị ta có: - Nếu m –    m    (d) không cắt (P),vậy phương trình vô nghiệm 4 - Neáu m –1=-9/4  m   (d) tiếp xúc (P) M (  ;  )  pt có nghiệm kép x=4 3/2 - Neáu m–1    m    (d) cắt (P) điểm phân biệt  pt có nghiệm phân 4 biệt Ví du 3ï: Cho phương trình : x2 +5x + 3m – = a).Tìm m để phương trình có nghiệm âm phân biệt b).Tìm m để phương trình có nghiệm thỏa mãn: x1 < - < x2 c).Tìm m để phương trình có nghiệm phân biệt nhỏ -1 Giải Ta có phương trình  x2+5x =1–3m  nghiệm phương trình hoành độ giao điểm (P) : y=x2+5x (d) : y=1– 3m + Đồ thị hàm số (P): y = x2 +5x ( hình vẽ ) + (d) đường thẳng song song trùng với trục Ox y (P) 1-3m  (d) -1 O x -4  25 a) Để phương trình có nghiệm âm phân biệt  (d) cắt (P) điểm phân biệt nằm bên trái trục oy Dựa vào đồ thị ta thấy toán thỏa maõn   25 29   3m    m  4 b) Để phương trình có nghiệm thỏa mãn x1 < - < x2  (d) cắt (P) điểm nằm phía đt x= -1 Dựa vào đồ thị ta thấy toán thỏa mãn  – 3m > -  m < 5/3 c Phương trình có nghiệm phân biệt nhỏ –  (d) cắt (P) điểm phân biệt có hoành độ nhỏ – ( tức giao điểm nằm bên trái đường thẳng x= - ) Dựa vào đồ thị ta thấy toán thỏa mãn   25 29   3m     m  4 Ví du 4ï: a) Vẽ đồ thị hàm số y  x  x  b) Tìm m để phương trình : x  x  m có nghiệm pb Giải a) Đặt f(x) = x2 – 5x + Ta coù  f (x) y  f ( x )   f ( x ) neáu f ( x ) 0 f (x)  neáu (C’) từ suy cách vẽ: - Vẽ (C) : y = f(x) - Giữ phần đồ thị (C) nằm phía trục ox - Lấy đối xứng phần đồ thị (C) nằm phía trục ox qua trục ox Đồ thị hàm số (C’) hai phần đồ thị thu y m ¼ O x b) Số nghiệm phương trình số giao điểm đồ thị (C’) hàm số y  f x  đường thẳng (d): y = m Dựa vào đồ thị ta có : phương trình có nghiệm phân biệt  (d) cắt (C’) điểm phân biệt  < m < 1/4 Ví du ï: Tìm m để phương trình sau có nghiệm dương : x x    m 0 Giải Phương trình  x x   m Nghiệm phương trình hoành độ giao điểm đồ thị (C) hàm số y  x x   đường thẳng (d): y = m y Vẽ đồ thị hàm soá y x x    x  3x  nêu x< Coù y   x  3x  nêu x 3 Cách vẽ: - vẽ đồ thị hàm số y = - x2 +3x – , lấy phần đồ thị ứng với x < - vẽ đồ thị hàm số y = x2 – 3x – , lấy phần đồ thị ứng với x 3 x -1 y=m -4 Đồ thị ( C) hai phần đồ thị thu +) (d) đường thẳng song song trùng với trục Ox +)Để phương trình có nghiệm dương (d) phải cắt (C ) điểm có hoành độ dương (điểm nằm bên phải trục oy) Dựa vào đồ thị ta thấy với m > – (d) (C) có giao điểm có hoành độ dương Vậy với m > – phương trình có nghiệm dương II Giải bất phương trình: 1.Cơ sở lí thuyết Nghiệm bất phương trình f ( x )  g( x ) hoành độ điểm thuộc đồ thị hàm số y  f  x  nằm hoàn toàn phía so với đồ thị hàm số y g  x  Phương pháp  Tìm tập xác định D bất phương trình  Biến đổi bất phương trình dạng f ( x )  g( x )  Vẽ đồ thị hàm số y  f  x  đồ thị hàm số y g  x  tập D  Dựa vào đồ thị suy kết luận Bài tập áp dụng : Ví dụ 1: Cho hàm số y= f(x) = x2 – 4x + có đồ thị (P) a) Vẽ đồ thị hàm số (P) Dựa vào đồ thị hàm số (P), tìm giá trị x cho f(x) < Dùng đồ thị hàm số , giải bất phương trình : x2 – 4x + > x-1 b) Giải: a) Vẽ đồ thị hàm số (P) có đỉnh (2,-1) hình vẽ Ta có giá trị x thỏa f(x)< hoành độ điểm thuộc (P) nằm phía trục hoành Dựa vào đồ thị, ta có f(x) <  < x < y (P) (d) O x -1 b) Vẽ đt (d) : y = x-1 hệ trục với (P) Nghiệm bất phương trình x2 – 4x + > x-1 hoành độ điểm thuộc (P) nằm hoàn toàn phía so với đt (d) Dựa vào đồ thị, ta có nghiệm bất phương trình : x Ví dụ 2: Định m để bất phương trình sau có nghiệm :  x  2x  m Giải: - Đặt f(x) = -x2 + 2x có đồ thị (P) - Vẽ đồ thị hàm số (P) có đỉnh (1,1) hình vẽ - Vẽ đường thẳng (d) : y = m đường thẳng song song trùng với trục Ox y (d) m O x (P) - Tập nghiệm bất phương trình tập hợp giá trị x ứng với phần đường thẳng (d) nằm phía (P) 10 - Dựa vào đồ thị ta có bất phương trình có nghiệm  m< Ví dụ 3: Định m để bất phương trình sau có nghiệm : x2  x  m  x  x2 Giải: Bất p/trình  x  x  x  x  m  x  x m     x  x  m Đặt (P) : y = -x2 + 2x - (P2) có đỉnh (1,1) hình vẽ - Vẽ đường thẳng (d) : y = m đường thẳng song song trùng với trục Ox y m x (P) Tập nghiệm bất phương trình tập hợp giá trị x ứng với phần đường thẳng (d) nằm phía (P) nằm Ox Dựa vào đồ thị ta có bất phương trình có nghiệm  0< m < Ví dụ 4: Định m để bất phương trình sau có nghiệm : x  3x  m   x Giải: Bất p/trình  x   x  x  m   x    x    x 4x  m   2x  m         x  4x   m x  2x   m Đặt (P1) : y = -x2 + 4x -3 vaø (P2) : y= -x2 + 2x +3 - Vẽ (P1) có đỉnh (2,1) ; (P2) có đỉnh (1,4) hình vẽ - Vẽ đường thẳng (d) : y = m đường thẳng song song trùng với trục Ox 11 y (d) m O x (P2) (P1) - Tập nghiệm bất phương trình tập hợp giá trị x ứng với phần đường thẳng (d) nằm phía (P2) nằm (P1) - Dựa vào đồ thị ta có bất phương trình có nghiệm  m < Ví dụ : Giải biện luận bất phương trình theo m : x  2x   m Giải: Bất phương trình  x    x 3   x       x  x   m  x  x   m Đặt (P1) : y = x2 -2x -3 (P2) : y= -x2 + 2x +3 - Vẽ (P1) có đỉnh (1,-4) ; (P2) có đỉnh (1,4) hình vẽ - Vẽ đường thẳng (d) : y = m đường thẳng song song trùng với trục Ox y (P1) (P2) (d) m -1 O x - Tập nghiệm bất phương trình tập hợp giá trị x ứng với phần đường thẳng (d) nằm phía (P2) (P1) 12 Ta có : - Hoành độ giao điểm (d) (P1) nghiệm phương trình : x2 -2x -3 = m  x2 -2x -3 - m =  x1 1  m   x 1  m  - Hoành độ giao điểm (d) (P2) nghiệm phương trình : -x2 +2x +3 = m  x2 -2x -3 + m =  x 1   m  x 1   m - Dựa vào đồ thị ta có * m 0 : bất phương trình vô nghiệm * 0< m < : bất phương trình có nghiệm x1  x  x  x  x  x * m 4 : bất phương trình có nghiệm x1  x  x Ví dụ : Cho heä  x   x 2  x  a 0  4x  6a 0 a)Tìm a để hệ bất phương trình có nghiệm b)Tìm a để hệ bất phương trình có nghiệm Giải: Hệ bất phương trình a   x  x   x  x  a 0     x  4x   x  x  a 0 a   Đặt (P1) : y = -x2 -2x vaø (P2) : y  x  4x - Vẽ (P1) có đỉnh (1,1) ; (P2) có đỉnh (2,  ) hình vẽ - Vẽ đường thẳng (d) : y = a đường thẳng song song trùng với trục Ox 48 - (P1) giao (P2) điểm O(0,0) vaø A( , 49 ) y (P2) A -2 O x -1 -2/3 a (d) (P1) Các điểm M(x,a) thỏa mãn hệ bất phương trình nằm phần gạch chéo, Dựa vào đồ thị , ta có : 13 a) Hệ bất phương trình có nghiệm  a 1 b) Hệ bất phương trình có nghiệm Ví dụ : Cho bất phương trình x2  x  m   a 0    a 1 (1) Định m để : a).Bất phương trình (1) có nghiệm b).Bất phương trình (1) có nghiệm âm c).Bất phương trình (1) thỏa mãn với x  ( 1,0) Giải: Bất phương trình (1)  x  m   x2  x2   x  m   x2  x2  x   m   x2  x  Đặt (P1) : y = -x2+x +3 vaø (P2) : y= x2 + x -3  13   13  - Vẽ (P1) có đỉnh  ,  ; (P2) có đỉnh   ,  hình vẽ     - Vẽ đường thẳng (d) : y = m đường thẳng song song trùng với trục Ox Tập nghiệm bất phương trình tập hợp giá trị x ứng với phần đường thẳng (d) nằm phía (P2) (P1) y 13/4 y=m -1 ½ x ½ -3 -14/3 Do : 14 14 a) Bất phương trình (1) có nghiệm  (d) nằm Parabol    m  14 14 b) Bất phương trình (1) có nghiệm aâm    m  c) (P1) : x = -1 (P2) : x = -1  y 1  y  Bất phương trình (1) thỏa mãn với x  ( 1,0)    m  Ví dụ : Giải biện luận bất phương trình theo m : x  x  x m (1) Giải: Ta có : x  x  x m            x  x 0  (1) x m x  (2 ) 0   x m 2 x  x  x 1 (3) m Đặt (P1) : y = x2 - 2x (P2) : y= -x2 + 2x ; (P3) : y = x2 (C) đồø thị (P1) thỏa (1) , (P2) thỏa (2) , (P3) thỏa (3) - (P1) có đỉnh (1,-1) , bề lõm hướng lên - (P1) có đỉnh (1,1) , bề lõm hướng xuống - (P1) có đỉnh (0,0) , bề lõm hướng lên - (d) : y = m đường thẳng song song trùng với trục Ox y (P1) (P3) (d) m - (P2) x Tập nghiệm bất phương trình tập hợp giá trị x ứng với phần đường thẳng (d) nằm phía (P1) ; (P2) (P3).m 15 Hoành độ giao điểm (d) (P1) nghiệm phương trình x2 -2x = m  x2 -2x - m = ' 1  m 0  m  phương trình có nghiệm : x1 1  m  (do(1)) Hoành độ giao điểm (d) (P2) nghiệm phương trình -x2 +2x = m  x2 -2x + m = ' 1  m 0  m 1 phương trình có nghiệm : x 1   m (do(2)) Hoành độ giao điểm (d) (P3) nghiệm phương trình x2 = m m    x3  m ( do(3)) Vậy : - m  : phương trình vô nghiệm - m 0 : phương trình có nghiệm x = -  m  : phương trình có nghiệm x1  x  x - m 1 : phương trình có nghiệm x1  x  x 16 BÀI TẬP: Cho phương trình : x   x  m a.Giải phương trình với m = - b.Biện luận theo m số nghiệm phương trình c.Tìm m để phương trình có nghiệm dấu 14 d Tìm m để phương trình có nghiệm x1,x2 thỏa mãn:   x1 0;  x2  Cho phương trình : x  3x  18 m a.Biện luận theo m số nghiệm phương trình b.Tìm m để phương trình cho có nghiệm dương Tìm m để phương trình : Cho phương trình : x  x  m có ngiệm phân biệt x  x  x   m 0 a.Bieän luận theo m số nghiệm phương trình b.Tìm m để phương trình có nghiệm nghiệm lớn Giải biện luận phương trình : Định m để bất phương trình sau có nghiệm : x2  x  m  x  Giải biện luận bất phương trình theo m : x  x  x  x 2 m Giải biện luận bất phương trình theo m : Giải biện luận bất phương trình theo m : x 10 Cho bất phương trình x  x  m  x  x  x  x  m   2x x2  x  m  x  3x  m  x  x  (1) Định m để : a) Bất phương trình (1) có nghiệm b) Bất phương trình (1) có nghiệm dương c) Bất phương trình (1) thỏa với x  (1,2) 11 Định m để bất phương trình với x thuoäc R : x  x  x  m m 12 Định m để hệ bất phương trình sau có nghiệm :  x   x  y  4y  m 0  y  4x  m 0 17 ... dấu) SỬ DỤNG ĐỒ THỊ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẤT PHƯƠNG TRÌNH Bài tập áp dụng : I Giải phương trình: 1.Cơ sở lí thuyết  Hoành độ giao điểm đồ thị hàm số y  f  x  đồ thị hàm số y g  x  nghiệm phương. .. số nghiệm phương trình b.Tìm m để phương trình có nghiệm nghiệm lớn Giải biện luận phương trình : Định m để bất phương trình sau có nghiệm : x2  x  m  x  Giải biện luận bất phương trình theo... đt (d) Dựa vào đồ thị, ta có nghiệm bất phương trình : x Ví dụ 2: Định m để bất phương trình sau có nghiệm :  x  2x  m Giải: - Đặt f(x) = -x2 + 2x có đồ thị (P) - Vẽ đồ thị hàm số (P)