Đề cương đề tài Toán học THPT: Sử dụng đồ thị để tính diện tích

Hình vẽ được vẽ chi tiết, sống động, công phu. Các công thức toán học được đánh cẩn thận. Học sinh thường chỉ nhớ công thức tính diện tích hình phẳng một cách máy móc, khó phát huy tính linh hoạt sáng tạo, đặc biệt là kỹ năng đọc đồ thị để xét dấu các biểu thức, kỹ năng “ chia nhỏ” hình phẳng để tính; kỹ năng cộng, trừ diện tích. Đây là một khó khăn rất lớn mà học sinh thường gặp phải. Vì thế tôi quyết định chọn đề tài này để nghiên cứu

Đề cương đề tài: Sử dụng phương pháp đồ thị để tính diện tích hình phẳng Tên đề tài “SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐỒ THỊ ĐỂ TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG” Lý chọn đề tài Chủ đề ứng dụng tích phân kiến thức chương trình toán giải tích lớp 12 Việc dạy học vấn đề học sinh giúp học sinh hiểu rõ ý nghĩa hình học tích phân, đặc biệt tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số,tính thể tích vật thể tròn xoay tạo quay hình phẳng quanh trục hoành trục tung Đây nội dung thường gặp đề thi học kì II, đề thi tốt nghiệp THPT, đề thi CĐ, ĐH Nhìn chung học vấn đề này, đại đa số học sinh (kể học sinh giỏi) thường gặp khó khăn, sai lầm sau: - Nếu hình vẽ thi học sinh thường không hình dung hình phẳng - Hình vẽ minh họa sách giáo khoa sách tập “chưa đủ” để giúp học sinh rèn luyện tư từ trực quan đến trừu tượng Từ học sinh chưa thấy gần gũi thấy tính thực tế hình phẳng học - Học sinh chưa thực hứng thú có cảm giác nhẹ nhàng học vấn đề này, trái lại học sinh có cảm giác nặng nề, khó hiểu - Học sinh thường nhớ công thức tính diện tích hình phẳng cách máy móc, khó phát huy tính linh hoạt sáng tạo, đặc biệt kỹ đọc đồ thị để xét dấu biểu thức, kỹ “ chia nhỏ” hình phẳng để tính; kỹ cộng, trừ diện tích Đây khó khăn lớn mà học sinh thường gặp phải Vì định chọn đề tài để nghiên cứu Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu đề tài nhằm cung cấp cho học sinh kiến thức sử dụng phương pháp đồ thị để tính diện tích hình phẳng, tìm tòi giải pháp để nâng cao chất lượng giảng dạy, khơi nguồn sáng tạo, rèn luyện kỹ đọc đồ thị cho học sinh, làm cho việc tính tích phân trở nên dễ dàng Học sinh khắc phục “sai lầm” khó khăn gặp toán tính diện tích hình phẳng chương trình giải tích 12 Thuận lợi cho SVTH: Phan ThÞ Thanh Nhµn - §HSP To¸n K55 Đề cương đề tài: Sử dụng phương pháp đồ thị để tính diện tích hình phẳng việc tăng cường tính trực quan, đẩy mạnh ứng dụng công nghệ thông tin vào dạy học Từ đó, em học sinh thích thú học tốt vấn đề Đối tượng phạm vi nghiên cứu a Đối tượng nghiên cứu Những toán ứng dụng tích phân việc tính diện tích hình phẳng chương trình sách giáo khoa 12 b Phạm vi nghiên cứu Sách Toán Đại số lớp 12 số tài liệu tham khảo khác Giả thuyết khoa học Qua toán tính diện tích hình phẳng chương trình sách GK 12 bản, nhận thấy học sinh không cần vẽ hình Tuy nhiên học sinh vẽ hình toán giải nhanh trực quan Đối với hình phẳng giới hạn ba đồ thị hàm số trở lên học sinh buộc phải vẽ hình làm xác (Dạng thường gặp đề thi đại học cao đẳng) Nhiệm vụ nghiên cứu - Tìm hiểu sở lý luận sử dụng phương pháp đồ thị để tính diện tích hình phẳng - Các phương pháp tính diện tích hình phẳng - Nghiên cứu tập tính diện tích hình phẳng sách giáo khoa Toán Đại số 12 - Đưa ví dụ minh họa tập tương tự Các phương pháp chủ yếu dùng trình nghiên cứu a Phương pháp nghiên cứu lý luận Phương pháp đọc sách nghiên cứu tài liệu b Phương pháp nghiên cứu thực tiễn Dàn ý nội dung công trình nghiên cứu SVTH: Phan ThÞ Thanh Nhµn - §HSP To¸n K55 Đề cương đề tài: Sử dụng phương pháp đồ thị để tính diện tích hình phẳng GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I CƠ SỞ LÝ LUẬN y = f ( x) • Dựa vào đồ thị hàm số đoạn - Nếu đoạn [ a; b] đoạn đồ thị hàm số [ a; b ] y = f ( x) để suy dấu f(x) nằm phía “trên” trục hoành f ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ [ a; b ] - Nếu đoạn [ a; b ] đồ thị hàm số y = f ( x) nằm phía “dưới” trục hoành f ( x) ≤ 0, ∀x ∈ [ a; b ] y = f ( x) • Dựa vào đồ thị hàm số f ( x) − g ( x) - Nếu đoạn y = g ( x) đoạn [ a; b ] để suy dấu đoạn [ a; b ] đồ thị hàm số y = f ( x) nằm phía“trên” đồ thị hàm số y = g ( x) f ( x) − g ( x) ≥ 0, ∀x ∈ [ a; b ] - Nếu đoạn y = g ( x) [ a; b ] đồ thị hàm số y = f ( x) nằm phía “dưới” đồ thị hàm số f ( x) − g ( x) ≤ 0, ∀x ∈ [ a; b ] II CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH DIỆN TÍCH CỦA HÌNH PHẲNG 2.1 Hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số trục hoành 2.1.1 Hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số thẳng x=a, x=b Chú ý: Giả sử hàm số y = f ( x) y = f ( x) liên tục đoạn , trục hoành hai đường [ a; b ] y = f ( x) Khi hình thang cong giới hạn đồ thị hàm số , trục hoành hai đường thẳng x = a, x = b có diện tích S tính theo công thức: SVTH: Phan ThÞ Thanh Nhµn - §HSP To¸n K55 Đề cương đề tài: Sử dụng phương pháp đồ thị để tính diện tích hình phẳng S= ∫ b a f ( x) d ( x) (1) Để tính diện tích S ta phải tính tích phân (1), muốn ta phải “phá” dấu giá trị tuyệt đối • Nếu • Nếu f ( x) ≥ 0, ∀x ∈ [ a; b ] f ( x) ≤ 0, ∀x ∈ [ a; b ] S = S = ∫ b a ∫ b a ∫ f ( x) d ( x) a = f ( x) d ( x) = b ∫ b a f ( x )dx −( f ( x ))dx Muốn “phá” dấu giá trị tuyệt đối ta phải xét dấu biểu thức f(x) thường có hai cách làm sau: Cách 1: Dùng định lí “dấu nhị thức bật nhất”, định lí “dấu tam thức bậc hai” để xét dấu biểu thức f(x); phải giải bất phương trình f(x) ≥ 0, f(x) ≤ đoạn [ a; b ] Cách 2: Dựa vào đồ thị hàm số f(x) đoạn - Nếu đoạn [ a; b ] đồ thị hàm số y = f ( x) y = f ( x) đoạn [ a; b] để suy dấu nằm phía “trên” trục hoành f ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ [ a; b ] - Nếu đoạn [a; b] đồ thị hàm số y = f ( x) nằm phía “dưới” trục hoành f ( x ) ≤ 0, ∀x ∈ [ a; b ] Cách 3: Nếu f(x) không đổi dấu [a; b] ta có: S= 2.1.2 ∫ b a f ( x) d ( x) ∫ b a = f ( x) d ( x) Một vài ví dụ minh hoạ cách tính tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối Ví dụ 1: Tính I = ∫ x + dx −2 SVTH: Phan ThÞ Thanh Nhµn - §HSP To¸n K55 Đề cương đề tài: Sử dụng phương pháp đồ thị để tính diện tích hình phẳng Xét dấu nhị thức bậc x f ( x) = x + - -2 f (x) = 2x + Suy - +∞ + + x + ≥ 0, ∀x ∈ [ −2;0] I = ∫ x + dx = ∫ x + 4dx x + x −2 −2 −2 Do 0 = - [(-2)2+ 4(-2)] =4 Ví dụ 2: K = ∫ x − x + dx = 2.1.3 ∫ (x − x + 2)dx + ∫ −1 + 6 ( x − x + 2) dx = =1 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số với trục hoành Bài toán Tính diện tích hình phẳng giới hạn hàm số y = x2, trục hoành hai đường thẳng x = 0, x = Giải: S = ∫ x dx Cách 1: Diện tích S hình phẳng Vì x ≥ 0, ∀x ∈ [ 0; 2] 2 0 S = ∫ x dx = ∫ x dx =  x3   ÷   = (đvdt) y -2 O fx = x2 A 1B SVTH: Phan ThÞ Thanh Nhµn - §HSP To¸n K55 x Đề cương đề tài: Sử dụng phương pháp đồ thị để tính diện tích hình phẳng Hình Cách 2: Hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x2, trục hoành hai đường thẳng x = 0, x = (phần tô màu) Dựa vào đồ thị ta có: S = ∫ x dx = Bài toán Hình thang sau giới hạn đường thẳng x = Hãy tính diện tích hình thang Giải: y A O -2 -1 B y = −x − , y = 0, x = x fx = -x-2 -4 Hình Diện tích S hình phẳng Từ hình vẽ, suy ra: S = ∫ − x − dx = ∫ ( x + ) dx 0 − x − ≤ 0, ∀x ∈ [ 0;3] = S = ∫ - x - dx =  x2   + 2x ÷    02  32 21 + 2.3 −  + 2.0  = + = 2 2  (đvdt) Bài toán Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số −x − y = f ( x) = x −1 , trục hoành đường thẳng x = -1,x=0 SVTH: Phan ThÞ Thanh Nhµn - §HSP To¸n K55 Đề cương đề tài: Sử dụng phương pháp đồ thị để tính diện tích hình phẳng Hình Giải: ∫ -1 Diện tích S hình phẳng S = −x − ≥ 0, ∀x ∈ [ −1;0] x −1 Từ hình vẽ, suy ∫ −1 S= ∫ −1 = = −x − dx x −1  −x −  ∫−1  x − ÷dx ∫ = -x - dx x -1 −1 =    −1 − ÷dx = ( − x − 3ln x − ) x −1    − ( x − 1) −   ÷dx x −1   −1 ( −0 − 3ln1) − ( − 3ln ) = −0 − 3ln1 − + 3ln = 3ln − (đvdt) Ghi nhớ: Nếu phương trình f(x) = có k nghiệm phân biệt x1, x2, …, xk thuộc (a; b) khoảng (a; x1 ), (x1; x2), …, (xk; b) biểu thức f(x) có b dấu không đổi f ( x) dx ∫ a b Khi ∫đóf ( xđể ) dx =tính x)dx + phân + + ∫ f ( x)dx ta tính sau: ∫ f (tích ∫ f ( x)dxS= S= b x1 x2 a a a xk SVTH: Phan ThÞ Thanh Nhµn - §HSP To¸n K55 Đề cương đề tài: Sử dụng phương pháp đồ thị để tính diện tích hình phẳng Bài toán 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = xlnx, trục hoành, trục tung đường thẳng x = e y GiaoDiem F(x) = x.ln(x) A O x e Hình Giải: Trục tung có phương trình x = Từ hình vẽ ta có: Diện tích S cần tìm S = Đặt ∫ e x ln xdx  du = dx  u = ln x  x ⇒  dv = xdx v = x   Do S = ∫ e x ln xdx = x2 ln x e −∫ e x2 dx x = x2 ln x e e − ∫ xdx = e2 + (đvdt) 2.1.4 Diện tích hình tròn, hình elip a Diện tích hình tròn: Trong hệ toạ độ Oxy cho đường tròn có phương trình x2 + y2 = r ( r > 0) Khi hình tròn có diện tích là: S = π r2 (P) -r -3 -2-2 -1 O r -1 SVTH: Phan ThÞ Thanh Nhµn - §HSP To¸n K55 Đề cương đề tài: Sử dụng phương pháp đồ thị để tính diện tích hình phẳng Hình Giải: Ta có Với x2 + y = r ⇔ y = ± r − x2 y≥0 ta có: y = r − x2 ∫ r −r Và có diện tích S1= Do S = 2S1 = có đồ thị nửa đường tròn phía trục hoành r − x dx = 2∫ 2 r π r r − x dx = 2 π r b Diện tích elip Trong hệ toạ độ Oxy cho elíp có phương trình: x2 y2 + =1 a b2 Chứng minh tương tự ta có diện tích elip là: S = -2 -1 O (đvdt) (E) b -a a.bπ , 0