Sáng kiến kinh nghiệm một số phương pháp giải phương trình bất phương trình mũ và logarit

Đề tài MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH- BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT Trong chương trình Toán phổ thông trung học: Phương trình- Bất phương trình- mũ và lôgarit là một chủ đề nằm

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH ĐỒNG NAI

TRƯỜNG THPT NGÔ QUYỀN

Mã số:

CHUYÊN ĐỀ

Người thực hiện: BÙI THỊ THANH HÀ

Lĩnh vực nghiên cứu:

Phương pháp dạy học bộ môn Toán  Phương pháp giáo dục 

Có đính kèm:

 Mô hình  Phần mềm  Phim ảnh  Hiện vật khác

Năm học: 2011 - 2012

A SƠ LƢỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC

I THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN

1 Họ và tên: BÙI THỊ THANH HÀ

2 Ngày tháng năm sinh: 11- 10 - 1969

3 Giới tính: Nữ

4 Địa chỉ: C2/9, Kp6, P.Trung Dũng, Tp Biên Hoà

5 Điện thoại: 0613 946 783

6 Chức vụ: Giáo viên - Chủ tịch công đoàn

7 Đơn vị công tác: Trường THPT Ngô Quyền

II TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO

1 Trình độ chuyên môn: Cử nhân khoa học

2 Năm nhận bằng: 1991

3 Chuyên ngành đào tạo: Toán học

III KINH NGHIỆM KHOA HỌC

1 Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Giảng dạy toán

2 Số năm kinh nghiệm: 20 năm

B Đề tài MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH- BẤT PHƯƠNG TRÌNH

MŨ VÀ LÔGARIT

Trong chương trình Toán phổ thông trung học: Phương trình- Bất phương trình-

mũ và lôgarit là một chủ đề nằm trong chương II của lớp 12, bài tập phần này rất

đa dạng đòi hỏi học sinh cần phải có các kiến thức, kỹ năng giải các phương trình- bất phương trình đã được học ở lớp dưới cùng với các kiến thức được trang bị thêm trong chương này Làm tốt các bài tập của chủ đề này sẽ giúp học sinh tự tin hơn trong việc giải các loại phương trình - bất phương trình nói chung Đối với học sinh các lớp ban A của trường THPT Ngô Quyền thì việc trang bị thêm các dạng bài tập

ở mỗi chương sẽ tạo hứng thú cho các em học tập

Chuyên đề được chia thành 3 phần:

 Phần thứ nhất: Giới thiệu các kiến thức cơ bản về mũ và loogarit, cách

giải

các phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit thường gặp

 Phần thứ hai: Trên cơ sở lý thuyết đưa ra một số bài tập tham khảo để học

sinh luyện tập

 Phần thứ ba: Đưa vào một số bài toán có cách giải liên hệ với các dạng

toán

khác để thấy được sự đa dạng trong cách giải phương trình - bất phương trình

mũ và lôgarit, nhằm bồi dưỡng học sinh khá, giỏi yêu thích môn toán (phần này còn tùy theo trình độ học sinh từng lớp mà đưa ra , khi đưa ra phần này giáo viên cần hướng dẫn sơ bộ để học sinh có hướng giải quyết)

Chắc chắn rằng chuyên đề không thể tránh khỏi những thiếu sót, xin quý thầy (cô) đóng góp ý kiến để nội dung chuyên đề được hoàn thiện hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn

Người viết chuyên đề

Bùi Thị Thanh Hà

II NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ:

A) LÝ THUYẾT VỀ MŨ VÀ LÔGARIT:

I Lũy thừa:

1/ Với a, b *

R

 , m,nR ta có:

• am an = am+n • (am)n= am.n • (a.b)n =an.bn

•

n n

n

a a

b b

  

 

  •

m

m n n

a a a



 • ax > 0,  x R

2/ Với a >0 , m, nZ , n > 1 , ta có:

•

1

n n

a  a •

m

n m n

2

n n a khi n k a

a khi n k

 



3/ Với a0, nN ta có:

• a0

=1 • a-1 =1

a

 4/ Với số a dương và m, nR ta có:

• Khi a >1 thì : am < an  m < n

• Khi 0 < a < 1 thì : am < an  m > n

II Lôgarit:

1/ • logab = c ac = b

• logab có nghĩa 0 1

0

a b

 



 

 • logab>0 ; 1

0 , 1

a b

a b





  

2/ Với 0<a1; b>0 ta có:

• log 1a =0 • loga a=1 • ac = bc=loga b • loga b

a = b 3/ Với 0<a1; b tùy ý ta có: loga a b b

4/ Với 0 <a 1, b, c > 0 ta có:

• log ( )a b c loga bloga c • loga b

c = loga b- loga c • loga b

  loga b

• log

a b=1

 loga b • loga n b m = m

n loga b • log n

m a

m b n

 loga b

5/ Với 0<a, b1, c>0 ta có:

• loga b.logb c=loga c • log 1

log

a

b

b

a

 • log log

log

b a

b

c c

a



6/ Với 0 <a 1, b, c > 0 ta có:

• Khi a > 1 thì : logab > logac  b > c

• Khi a > 1 thì : logab > logac  b > c

7/ Lôgarit cơ số 10 được gọi là lôgarit thập phân, kí hiệu: log10a = loga

Lôgarit cơ số e được gọi là lôgarit tự nhiên, kí hiệu: logea= lna

III Đạo hàm của các hàm số mũ và hàm số lôgarit:

- Với mọi x ta có: • (ex

)' = ex • (ax)' = ax.lna

- Với mọi x > 0 ta có: • (lnx)' =1

x • (logax)' = 1

ln

x a

- Với u = u(x) ta có: • (au

)' = u'.au.lna • (eu)' = u'.eu

- Với u = u(x) và u > 0 ta có: • (lnu)' = u'

u • (logau)' = '

.ln

u

u a

IV Phương trình mũ: có các cách giải sau

1/ Đưa về cùng cơ số:

Với 0 <a1 ta có: af(x) = ag(x) f(x) = g(x)

2/ Đặt ẩn phụ: tìm một lũy thừa chung f(x)

Đặt t = af(x) , t >0 ta có: a2f(x) = t2, a3f(x) = t3

3/ Lôgarit hóa 2 vế: dùng trong trường hợp 2 vế phương trình là tích của nhiều lũy

thừa và là một số dương

Cơ số của lôgarit được chọn là cơ số của lũy thừa có số mũ phức tạp nhất

4/ Sử dụng tính đơn điệu: Dự đoán và chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất

* Chú ý: - Nếu hàm số y=f(x)luôn đồng biến (hoặc nghịch biến) và liên tục trên khoảng

K thì số nghiệm của phương trình f(x)=m trên K không nhiều hơn một và f(u)=f(v)u=v

- Các hàm số y = ax với xR và y = logax với x >0 dồng biến khi a > 1 và nghịch biến khi 0 < a < 1

V Bất phương trình mũ: có các cách giải sau

1/ Đưa về cùng cơ số : áp dụng tính chất

Với a > 1 thì: af(x) > ag(x) f(x) > g(x)

Với 0 < a <1 thì: af(x)  ag(x) f(x)  g(x)

2/ Đặt ẩn phụ: tìm một lũy thừa chung f(x)

Đặt t = af(x) , t >0 ta có: a2f(x) = t2, a3f(x) = t3

VI Phương trình lôgarit: có các cách giải sau

1/ Đưa về cùng cơ số:

logaf(x) = logag(x)  f(x) = g(x) >0 với 0 <a 1

2/ Đặt ẩn phụ : với f(x) > 0 Đặt t = logaf(x) thì lognaf(x) = tn

3/ Sử dụng tính đơn điệu: Dự đoán và chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất

VII Bất Phương trình lôgarit: có các cách giải sau

1/ Đưa về cùng cơ số: áp dụng tính chất:

Với a > 1 thì logaf(x) > logag(x)f(x) > g(x) >0

Với 0<a<1 thì logaf(x)logag(x) 0 < f(x) g(x)

2/ Đặt ẩn phụ: với f(x) > 0 Đặt t = logaf(x) thì loganf(x) = tn

B) CÁC BÀI TẬP CƠ BẢN:

(GV cho học sinh làm các bài tập này và tiến hành sửa trên lớp)

Bài 1/.Giải các phương trình

.0, 2 25

0, 04

x

  Đáp số : x = 0; x = 5/2

b) 2

3x 2.3x  15 0 Đáp số : x= log35

c) 1 3

5x  5 x 26  0 Đáp số : x = 1; x = 3

d)2x  17.2 x7.2x20 Đáp số : x = 0; x= -1; x = 1

e) 3.4x 2.10x 25x  0 Đáp số : x = 0

Bài 2/.Giải các phương trình

a) 2 3  2 3 4

    Đáp số : x = 2; x = -2

Hướng dẫn:  2 3   2 31, đặt t=  2 3

x

 thì   1

x

t

b)  1   2

   Đáp số : x= 5

2

Hướng dẫn:  10 3  10 3  1

c)     2

   Đáp số : x = 0 ; x = -2

7 4 3  (2 3) và (2 3).(2 3) 1 d) 2

2

1 1

.

x x

x x

e

e e

 

   Đáp số : x = 0; x = - 3/4

e) 2

3 x (2x 9).3x 9.2x  0 Nhận xét: ta xem đây là phương trình bậc 2 ẩn 3x và 2x là tham số , khi đó pt 3 9 2

0

x

x x

    

Bài 3/.Giải các phương trình

a) log42log 1 log (1 3log3  2  2 x) 1 Đáp số : x = 285

b) 2

2

log (x   1) log (x 1) ĐK: x >1 Đáp số : x=1+ 5

2 (x =0 ; x=1- 5

2 : loại)

c)logx1(3x 5)  3 ĐK: 1

0

x x

 



 

 Đáp số : x = 1 (x = -2: loại) d)log 10 1 log 3 1log( 1)

2

     ĐK: x > 1 Đáp số : x= 26 (x = -35: loại)

Hướng dẫn: pt log 10  x log x  1 log 3 log10 

e) log (2 x2  3x 2) log (2 x2 7x 12) 3 log 3  2 ĐK:

4 1

x x x

   



  



  



Đáp số : x =0; x= -5

Bài 4/.Giải các phương trình

a) 2

log x log x 1 1 ĐK: 1

2

x Hướng dẫn: Đặt t= log2 x1 , t0 ta có: log2x = t2 - 1

ptt4 - 2t2 +t = 0 ĐS: 1 125

2

x x x



b)log (52 x 1).log (2.52 x  2) 2

Hướng dẫn: Lưu ý log (2.52 x  2) log 2.(52 x   1) 1 log (52 x 1)

Đáp số : x = log53 ; x= log5(5/4)

2x 1

log  4 2

     Đáp số : x= 5/2 (x = -1 : loại) Hướng dẫn: ĐK: x > 1, đưa về cùng cơ số 2

ptlog2(x -1) + log2(2x +1) = 1 + log2(x+2)

d) 3 1 2

2

x   x  x  x ĐK: x > -2 Đáp số: x= 9 (x= -2, x= -6: loại)

e) 3 8 1 36

x

x x  Đáp số : x=2; x= log 2 1  3  Hướng dẫn: Lấy lôgarit cơ số 2 hai vế ta được phương trình: (x -2)log23 = 2

1

x x





Bài 5/ Giải các bất phương trình

a) 1 2 1

25x  0, 2 x.625x Đáp số : x > 1

b) 4 2 2 2 2 3

0,1x x 0,1 x Đáp số : x 1

2



3.7 x37.140x26.20 x Đáp số : 20

7

3 log 2

x d) 7 1 1 7

10 x  6.10 x  5 0 Đáp số : log 2 1 log 3 1

e) 2 2 6 3 2 3 1 2 2 6 3

2 x  x  6x  x  3 x  x Đáp số : 3 5 3 5

Bài 6/ Giải các bất phương trình

a)log7 2 0

3

x

x

 Đáp số : x < 2

b)  2 

1

2

c)

2

log 3l ogx + 3

1 log 1

x

x

 Đáp số : 0 < x < 10

Hướng dẫn: Đặt t = logx

4

log (3 1).log

x

Đáp số : x0;1  2;

Hướng dẫn: ĐK: x >0, đặt t= log (34 x 1) , bpt trở thành: t(t - 2) 3

4

 e) log 64 log 16 2x  x2  3 Đáp số : 3

x

x

  





 



Hướng dẫn: ĐK:

0 1 1;

2

x

x x







  

 Đưa về log2x và đặt t= log2x

C) CÁC BÀI TẬP TỰ LUYỆN VÀ NÂNG CAO:

(Học sinh tự làm theo tổ ở nhà dưới sự hướng dẫn của GV)

Bài 1/ Giải các phương trình sau:

a)

b)

c)

d)

e) + 45 - 9 = 0

f)

Bài 2/ Giải các phương trình sau:

a)

b)

c)

e)

f)

Bài 3/ Giải các phương trình sau:

b)

c)

d)

e)

f)

Bài 4/ Giải các phương trình

a) 5 8 1 100

x

x x 

b) 2

3 x 3x 5 5

c)   2   

3 log 2 4 2 log ( 2) 16 0

x x  x x  

log (x x  1).log (x x   1) log x x  1

e) log3xlog4xlog12x

Bài 5/ Giải các phương trình

a)

log xlog xlog x

log (x 1)   2 log 4  x log (x 4)

c) 2

log x  (x 4).log x x   3 0

d) 2 1 2 ( 1)2

4xx2x 2x 1

e) 2

log x log x log x log x.log x 0

Bài 6/.Giải các bất phương trình

a)   3  1

3 x 8.3x x  9.9 x  0

c)

2

0

x

x

x

d) 2

3

2

x

e) log2x log3x  1 log2x.log3x

Bài 7/ Giải các phương trình sau:

a)

b)

c)

d)

Bài 8/ Giải các phương trình sau:

a)

c)

d)

Bài 9/ Giải các phương trình sau:

a) 3 2

2 x   x 8x-14

b) log 6

log (x3 x)log x

c)

2

2

3 2

3

2x 4x+5

x  x  



Bài 10/ Tìm m để mỗi phương trình sau có nghiệm:

b)

c) 1 1 2 1 1 2

9 x (m2).3 x 2m 1 0

Bài 11/ Tìm m để phương trình :  3 2 2  3 2 2 4 0

m

     (1) có nghiệm x0

Bài 12/ Tìm m để mỗi phương trình sau có nghiệm duy nhất:

a) 42x +2 + 4x - 1 - 5m = 0

b)

Bài 13/ a) Tìm m để p.trình : 22x+1 -2x+3 -2m =0 (1) có 2 nghiệm phân biệt

b) Chứng minh rằng phương trình 33x + a.32x+b + b.3x+a - 1 = 0 (1) có ít nhất 1 nghiệm với mọi a, b

Bài 14/ Tìm m để phương trình

log x log x 1 2m 1 0 có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn 3

1;3

b)  2

2

4 log x log x m 0 có nghiệm thuộc khoảng (0; 1)

HƯỚNG DẪN GIẢI PHẦN C)

Bài 1/ a) Đáp án: x = 5.

b) Đáp án: x =

c) Đáp án: x = -5, x =

d) Đáp án: x =

e) Chia cả hai vế cho , rồi đặt t = (với t > 0) dẫn đến phương trình = 0

= > x = -2

f)

Khi đó: , dẫn đến phương trình

Giải phương trình ẩn t này, ta tìm được t = 2 và

Với t = 2 thì

Với t = thì

Bài 2/ a) Điều kiện x > 1

Đặt , dẫn đến phương trình

b) Điều kiện Ta có :

Đặt ta có phương trình

Quy đồng mẫu số và rút gọn dẫn đến

Phương trình này có hai nghiệm

Đối chiếu với điều kiện các giá trị tìm được đều thỏa mãn Dẫn đến

c) Đặt dẫn đến phương trình

- Đáp án x = 3 và x = 81

d) Đặt ta có:

Với t = 0 thì

Với t = -5 thì

e) Nhận xét , đặt t =

( với ) dẫn đến phương trình

f) Đặt ( với ) dẫn đến phương trình



là nghiệm duy nhất

b) Chia hai vế cho , ta được:

Đặt vế trái là ta thấy

Với , ta có

Với , tương tự ta có

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất

c) Chia cả hai vế cho



biến trên R ; nghịch biến trên R và

Với ta có ;

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất khi

e) Biến đổi đưa về lôgarit cơ số 2

f) Biến đổi phương trình về dạng tích



b) Đặt u= 3x5, u >0 và v= 3x Ta có hệ pt:

2

2

5 5

v u

u v

  





 



2 2

0

v u u v

0 ( )

u v

u v l

 



 Đáp số: 3

17 1 log

2

x  c) Đặt t= log3(x+2) pt trở thành :   2  

x t  x t 

Ta xem đây là phương trình ẩn t với x là tham số ta có: t = -4 hoặc 4

3

t x





t = -4  161

81

x

  

4

3

t

x



 log3(x+2) 4

3

x



 (đb , nb) x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình d) Đặt t= 2

2

log (x x  1) 2

1 2t

1 2t

Pttt: t - tlog32 = tlog62 t=0 , t= - log62 Đáp số: x= 1, x= 3

3

2log 6 log 6



 e) log3xlog4xlog12x (1) ĐK: x > 0

* x = 1: thỏa phương trình (1)

*x 1: (1) 1 1 1

log 3x log 4x log 3 log 4x x

 (Cm phương trình vô nghiệm)

Bài 5/ a) Đáp số: x = 1

b) ĐK: 4 4

1

x x

  



 

 , ptlog2 x1 4log (42 x x)( 4)

Đáp số: x = 2 ; x = 2 - 2 6

c) ĐK: x >0, đặt t= log2x

phương trình trở thành: 2

t  x t x   t=1, t= 3-x (đb, nb) Đáp số: x = 2

d) pt 2 2 2

2 xx 2x 2x 1

Đặt u= 2( 2 )

2 x x , v=21x2 , ta có: u +v = uv +1 u= 1, v= 1

Đáp số: x= 0, x= -1, x= 1

e) Đặt u= log2x, v= log3x , ta có:

u2 -u +v -uv =0 u= v, u=1

Đáp số: x =1; x =2

Bài 6/ a) Đáp số: x < 1 hoặc x > 3

b) Cách 1: bpt 2 4 4 4

3 x 3x x  9.3x x  9.9 x  0 Đặt u= 3x

, v = 4

3 x u +v >0 Bpt trở thành: u2 + uv - 9uv - 9v2 > 0(u+v).(u - 9v )> 0

Cách 2: Chia 2 vế của phương trình cho 32x ta được: 4 2( 4 )

1 8.3  x x 9.3 x x  0

Đáp số: x > 5

c) Tìm nghiệm của tử ( x =2), nghiệm của mẫu (x = 1/2) , lập bảng xét dấu

Đáp số: 1 2

2  x

2

3

2

2 0

x

x

x



  



 

  



Đáp số: 2 x 2

e) Đặt u= log2x, v = log3x , bpt trở thành: u + v < 1 + uv

Đáp số: 0 <x <2 hoặc x >3

Bài 7/ a) Lấy lôgarit cơ số 5 cả hai vế

Đáp số:

b) Điều kiện và Lấy lôgarit cơ số x cả hai vế rồi đặt

, dẫn đến phương trình Đáp số: và

c) Đặt (với ), ta có (1)

- Coi (1) là phương trình bậc hai ẩn t, ta tìm được và

 Với thì , do đó

Hàm số luôn đồng biến và

Hàm số luôn nghịch biến và

Do đó là nghiệm duy nhất của

d) Đặt (với ), dẫn đến phương trình

, rồi làm tương tự như câu c)

(1)

Chia hai vế của (1) cho ta được phương trình : Đặt , ta có dẫn đến phương trình

, tức là (2)

Vế trái của (2) là hàm nghịch biến (vì các cơ số ), còn vế phải của (2) là hằng số, nên phương trình có nghiệm duy nhất Suy ra

b) Chia cả hai vế của phương trình cho , ta có

Sau đó lập luận tương tự như phương trình (2) của câu a)



c) Biến đổi phương trình về dạng

Dẫn đến rồi đặt (với ), ta có phương trình

Với hai nghiệm và (loại) Do đó

d) Đáp số: Vô nghiệm

Bài 9/ a) ĐK: x  3 Đặt f(x) = 3

2 x , g(x) = - x2 +8x - 14 , ta chứng minh được f(x)

là hàm nghịch biến còn g(x) là hàm đồng biến với x  3 Do đó phương trình đã cho có nhiều nhất là 1 nghiệm , mặt khác f(3) = g(3) nên x = 3 là nghiệm duy nhất của p.trình b) ĐK: x.> 0, đặt t = log6x x = 6t , khi đó phương trình trở thành: 6t + 3t = 2t

3

2

t

t  

  (*), Xét f(t) =

3 3 2

t

t  

    , ta chứng minh được f(t) đồng biến trên R

và f(-1) = 1 nên t = -1 là nghiệm duy nhất của phương trình (*)

Vậy x= 6-1 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho

c) Vì x2 +x +3 > 0 x và 2x2 + 4x + 5 > 0x nên phương trình xác định x

log (x   x 3) log (2x  4x+5)=7(2x  4x+5)-7(x  x 3)

3

3

log (2x  4x+5)+7(2x  4x+5)(*) Xét hàm số f(t) = log3t + 7t với t >0 , ta chứng minh được f(t) đồng biến với t > 0 Nên (*) 2 2

(2x  4x+5)=(x  x 3)x2 +3x +2 =0 1

2

x x

 



   



Bài 10/ a) Đặt ( với t > 0 ) Bài toán trở thành:

Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm dương

Điều kiện để (1) có nghiệm là

Gọi các nghiệm của (1) là t1 và t2 (t1 t2 ), theo hệ thức Vi-ét suy ra t2 > 0 Vậy với thì phương trình (1) có ít nhất nghiệm t2 > 0

suy ra phương trình đã cho có nghiệm

b) Đặt (với t > 0) Bài toán trở thành:

Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm dương

Điều kiện để (2) có nghiệm là

Gọi các nghiệm của (2) là , theo hệ thức Vi-ét:

 Với

 Với

Vậy với thì phương trình (2) có ít nhất nghiệm , suy ra phương trình đã cho có nghiệm

c) Đặt t= 1 1 2

3 x  3  t 9, khi đó phương trình trở thành: t2 - (a -2).t + 2a +1 =0 (1)