SKKN NHỮNG BÀI TOÁN VỀ CỰC TRỊ TRONG CHƯƠNG TRÌNH THCS

Đặt vấn đềSau nhiều năm dạy toán học ở bậc trung học cơ sở, tôi nhận thấy kháiniệm cực trị không đợc xây dựng thành một hệ thống lý thuyết hoàn chỉnh màchỉ hình thành từng bớc cho học si

Đặt vấn đề

Sau nhiều năm dạy toán học ở bậc trung học cơ sở, tôi nhận thấy kháiniệm cực trị không đợc xây dựng thành một hệ thống lý thuyết hoàn chỉnh màchỉ hình thành từng bớc cho học sinh qua một số bài tập trong sách giáo khoa.Nhng các bài toán cực trị lại là một vấn đề thờng gặp trong các kỳ thi, các đợtkiểm tra hàng năm Do đó việc hình thành khái niệm cực trị một cách hệ thốngcho học sinh và việc giải quyết các baì toán này của học sinh còn gặp nhiều trởngại Xuất phát từ những kinh nghiệm có đợc của bản thân qua thực tế giảngdạy, từ những kiến thức mà tôi đã lĩnh hội đợc trong chơng trình đại học toán và

sự tìm hiểu thêm các tài liệu tham khảo, đặc biệt là sự hớng dẫn tận tình của các

Thầy, Cô giáo Tôi mạnh dạn chọn đề tài : “Những bài toán cực trị trong chơng

trình Trung học cơ sở” làm đề tài điều kiện tốt nghiệp của mình.

Qua đề tài, tôi mong rằng bản thân mình sẽ tìm hiểu sâu hơn về vấn đềnày, tự phân loại đợc một số dạng toán về cực trị, nêu lên một số phơng phápgiải cho từng dạng bài tập Từ đó giúp học sinh có thể dễ dàng hơn trong việcnắm các kiến thức về dạng toán này Tôi hy vọng có thể giúp học sinh phát triển

t duy sáng tạo, khả năng phân tích, tổng hợp, khái quát hoá qua các bài tập gópphần nhỏ nâng cao hiệu quả giờ học của học sinh

Nội dung đề tài gồm 3 phần:

Phần I : Khái quát chung

Phần II : Các bài toán cực trị trong đại số

Phần III : Các bài toán cực trị trong hình học

Phần I :

Khái quát chung

A/Mục đích yêu cầu:

1/ Đối với giáo viên:

- Xây dựng đợc cơ sở lý thuyết để giải bài toán cực trị

- Tuyển chọn, phân loại đợc các dạng bài tập cơ bản và nêu lên các phơngpháp chính giải từng loại về bài toán cực trị

- Dự đoán đợc các sai sót của học sinh, nêu đợc những điểm cần chú ý khigiải các bài toán về cực trị

2/ Đối với học sinh:

- Hiểu đợc bản chất của khái niệm cực trị và nắm đợc các bớc giải của bàitoán cực trị

- Nhận dạng đợc từng loại bài toán cực trị, vận dụng sáng tạo các phơngpháp giải toán cực trị vào từng bài cụ thể, từ dễ đến khó

- Bớc đầu ứng dụng đợc các bài toán cực trị vào đời sống

B Lý thuyết chung:

Các bài toán cực trị có nguồn gốc từ rất xa xa trong lịch sử toán học Nóbắt nguồn từ hoạt động thực tiễn của con ngời, ngày nay các bài toán cực trị đợcnghiên cứu rất nhiều và có ứng dụng rộng rãi trong đời sống và kỹ thuật Chúnggóp phần hình thành nên các ngành của toán học nh quy hoạch tuyến tính, lýthuyết điều khiển tối u

Trong bài viết này, tôi chỉ đề cập đến những bài toán cực trị giải khôngdùng phơng pháp đạo hàm

Xét hàm số n biến: F (x,y,z ) liên tục trên miền đóng D ∈ Rn

Nếu F(x,y,z ) ≤ A với mọi (x,y,z) ∈ D = const

Đồng thời ∃ (x0,y0,z0 ) sao cho F(x0,y0,z0 ) = A, thì A gọi là giá trị lớnnhất của F (x0,y0,z0 ) trên D Ký hiệu max F (x0,y0,z0 ) = A

Tơng tự, nếu F (x0,y0,z0 ) ≥ A (a = const) ∀ (x,y,z ) ∈ D

Và ∃ (x0,y0,z0 ) ∈ D sao cho F (x0,y0,z0 ) = a

Thì a là giá trị nhỏ nhất của F (x,y,z ) trên D

Ký hiệu: min F (x,y,z ) = a

Trong chơng trình Trung học cơ sở, thông thờng n =1 3; Nh vậy để giảimột bài toán cực trị, thông thờng ta tiến hành theo 2 bớc:

Bớc 1: Chỉ rõ F (x,y,z ) ≥ a (hoặc ≤ A)

(Với A; a là hằng số) ∀ (x,y,z ) ∈ D

Bớc 2: Chỉ ra đợc (x0,y0,z0 ) ∈ D sao cho F (x0,y0,z0 ) = a (hoặc = A)

Phần II

một số bài toán cực trị trong đại số

I/ Cực trị của hàm đa thức một biến:

- Trong bài toán cực trị, ta có thể đổi biến Cụ thể nh ví dụ 1 ta có thể dặt

y = x + 2 kho đó A = ( y-1) 2 + ( y-1) 2

II/ Cực trị của hàm số đa thức nhiều biến số:

Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của đa thức

đa thức nhiều biến)

+ Trong quá trình giải ta có thể dùng cách đổi biến

VÝ dô 5: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña M

¸p dông ph¬ng ph¸p nµy ta cã thÓ lµm cho vÝ dô 3 vµ vÝ dô 4

VÝ dô 6: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc

A = ax2 + by2 + cx + dy + e (a,b,c,d,e = const ; a,b > 0)

ab

abe ad

Dấu đẳng thức xảy ra ⇔ x- 2y +

5

11 = 0 ⇒ Mmin = 0 ⇔ x- 2y +

M =

5 4 4

3

2 − x+

4 ) 1 2 (

Chú ý: Sẽ không chính xác nếu lập luận rằng M có tử là hằng số nên M lớn nhất

khi mẫu nhỏ nhất

Lập luận trên có thể dẫn đến sai lầm, chẳng hạn với phân thức

1 khi a,b cùng dấu

Ví dụ 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

N =

5 4

6 6 2

2

2

+ +

+ +

x x

x x

Giải: N =

5 4

6 6 2

2

2

+ +

+ +

x x

x

5 4

1 2 5

4

2

2 2

+ +

+ + + + +

x x

x x x x

(x + 1)2 ≥ 0 ∀ x

= 1 +

1 ) 2 (

) 1 (

2

2

+ +

Dấu “ = ” xảy ra ⇔ x = -1 vậy min N = 1 ⇔ x = -1

Ví dụ 8: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

P =

1 2

x

x

Giải: P =

1 2

x

) 1 (

1 1 1 2

−

+

− + +

−

x

x x x

3.4- Một số bài tập tơng tự:

Bài tập 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

A = 2

9 5 6

1

+

+ +

x

x x

x

Bài tập 6: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:

D =

5 4 4

3

2 − x+

E = 2

) 1 (x+

x

G =

2

1 2

max f (x) = A

d, Giả sử ta có

min f(x) = a với f (x) xét trên đoạn (a1,b1)

Nếu f (x) ≥ 0 ta có: max f (x) = max f (x) = A trên đoạn (a1,b1)

min f (x) = min f (x) = a trên đoạn (a1,b1)

Nếu max f (x) ≥ 0 còn min f (x) ≤ 0 trên đoạn (a1,b1)

Ta có: max f (x) = max (A; a )

min f (x) = 0

Nếu f (x) < 0 ta có: max f (x) = - min f (x) trên đoạn (a1,b1)

min f (x) = - max f (x) trên đoạn (a1,b1)

Chứng minh:

a, Luôn đúng theo định nghĩa

b, Với mọi f (x), g (x) ta luôn có

- f (x) ≤ f (x) ≤ f (x)

- g (x) ≤ g (x) ≤ g (x)

Cộng từng vế hai bất đẳng thức kép ta có

- (f (x) + g (x)) ≤ f (x) + g (x) ≤ f (x) + g (x)

⇒  f (x) + g (x) ≤ f (x) + g (x)

Dấu đẳng thức xảy ra ⇔ f (x) và g (x) cùng dấu ⇔ f (x).g (x) ≥ 0 ⇒ f (x) = (f (x) - g (x)) + g (x) ≤ f (x) -g (x) + g (x)

⇒ f (x) -g (x) ≤ f (x) - g (x)

Dấu đẳng thức xảy ra ⇔ f (x) g (x) ≥ 0

d, Việc chứng minh câu d là hiển nhiên

Nhận xét: Việc chứng minh câu b,c có thể bình phơng hai vế

( Xét các trờng hợp có thể xảy ra)

Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

A = x +1 + 2x + 5 + 3x- 8

Nhận xét: Từ bất đẳng thức f (x) + g (x) ≥ f (x) + g (x)

Ta mở rộng đợc: f (x) + g (x) + + h(x)  ≥ f (x) + g (x) + + h(x)

Dấu đẳng thức xảy ra ⇔ f (x), g (x), , h(x) cùng dấu

(Việc chứng minh đơn giản)

Giải: A = x +1 + 2x + 5 + 18-3x

áp dụng bất đẳng thức trên ta có:

A ≥ x +1 + 2x + 5 + 18-3x = 24 = 24

Dấu đẳng thức xảy ra ⇔ x +1, 2x + 5, 18-3x cùng dấu

⇔ - 1 ≤ x ≤ 6

4.2- Các ví dụ:

Ví dụ 9: Tìm giá trị nhỏ nót của biểu thức sau:

A = x-1996 +  x- 2000

Giải:

Cách 1: Chia khoảng để xét

Nếu x < 1996: A = -x + 1996- x + 2000 = 3996- 2x

Do x < 1996 ⇒ 2x < 3993; -2x > -3992

A = 3996- 2x > 3996- 3992 = 4 ⇒ A> 4 (1)

Nếu 1996 ≤ x ≤ 2000: A = x- 1996 + 2000- x = 4 (2)

Nếu x > 2000 thì A = x- 1996 + x- 2000 = 2x- 3996 x > 2000 ⇒ 2x > 4000 ⇒ 2x- 3996 > 4000- 3996 ⇒ A > 4 (3)

Từ (1), (2), (3) ⇒ min A = 4 ⇔ 1996 ≤ x ≤ 2000 Cách 2: áp dụng bất đẳng thức x + y≥x +y dấu “ = ” xảy ra khi xy ≥ 0 Ta có: A = x- 1996 + x- 2000 = x- 1996 + x- 2000 = x- 1996 + 2000- x≥ x- 1996- x +2000 = 4 Vậy A ≥ 4 ⇔ (x- 19996) (2000- x) ≥ 0

Lập bảng xét dấu: x 1996 2000

x- 1996 - 0 +  +

2000- x +  + 0

-(x-1996) (2000- x) 0 + 0 (x- 1996) (2000- x) ≥ 0 ⇔ 1996 ≤ x ≤ 2000

Vậy min A = 4 ⇔ 1996 ≤ x ≤ 2000

VÝ dô 10: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc sau:

1 = - (x-

2

1 )2 - 2

1

≤ -

21

Theo ý (d) v× max f(x) = -

2

1 ⇔ x =

21

P(x,y) ≥ A ∀(x,y) ∈ D

Ví dụ 11: (Đa về hàm giá trị tuyệt đối)

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

Ví dụ 12: (áp dụng bất đẳng thức Cauchy)

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

x

x x

1

16 16 25

30 9

x

x x

x

−

− + +

5 3

Vậy min C = 4 ⇔ x =

5

3

5.3- Bài tập ứng dụng:

Bài tập 8: Tìm giá trị nhỏ nhất của:

A = 1996 + x2 −2x

B = x2 +2x+1 + x2 −2x+1

C =

2 1

3

−

−

−

x

x

Bài tập 9: Tìm giá trị lớn nhất của:

D = x− 2 + 3 −x

E = 8−2x + 2x−3 G = 3 6 + − − x x x VI/ Cực trị có điều kiện: Các bài toán về cực trị có điều kiện rất đa dạng và thuộc loại toán khó Để giải quyết đợc các bài toán dạng này, đòi hỏi phải kết hợp nhiều bớc trung gian một cách hợp lý và khéo léo Từ điều kiện đã cho ta biến đổi đa thức về dạng có một đối số rồi giải theo cách giải ở trên 6.1- Các ví dụ: Ví dụ 14: Cho hai số thực x,y thoả mãn diều kiện x2 + y2 = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị lớn nhất của x + y Giải: Với x,y R ta đều có: (x+y)2 + (x-y)2 = x2 + 2xy + y2 + x2- 2xy +y2 = 2(x2 + y2) = 2 (Vì x2 + y2 = 1) Do (x-y)2 ≥ 0 dấu “=” xảy ra ⇔ x= y Nên (x+y)2 ≤ 2 x+y ≤ 2 - 2 ≤ x +y ≤ 2 Khi x = y ta có x2 + x2 = 1 ⇔ x2 = 2 1 ⇔ x= 2 2 − + Vậy max (x+y) = 2 x = y = 2 2 min (x+y) = - 2 x = y = 2 2 − Ví dụ 15: Tìm giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức N = 2x+ 3y- 4z Biết rằng x,y,z ≥ 0 và thoả mãn hệ phơng trình

2x+y+3z = 6 (1)

3x+4y-3z = 4 (2)

Giải: Từ hệ phơng trình điều kiện ta có: 5x+5y = 10 ⇔ x +y = 2 ⇔ y = 2-x (3)

Thay (2) vào (1) ta có: 2x+2-x+3z = 6 ⇔ z =

4

3- ă 3

x

Thay (3) vào (2) vào biểu thức N ta có:

⇒Nmin(Nmax) ⇔

3

x có giá trị nhỏ nhất (giá trị lớn nhất) mà 3 > 0 cố

định ⇒ Nmin (Nmax) ⇔ xmin (xmax)

Ví dụ 16: Cho a,b,c ∈ -1;2 thoả mãn a+ b+ c = 0

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

2

1 4

Giải: Điều kiện x ≤ 2

Giải: Ta chứng minh rằng P > 0 x,y,z

Biến đổi P về tam thức bậc hai đối với x

P= f(x) = 19x2- 2(8z - 18y)x + (54y2 + 16z2- 24yz)

Ta có: ∆ ′x = (8z- 18y)2- 19 (54y2 + 16z2- 24yz)

Vậy min P= 0 khi x = y = z = 0

Ví dụ 18: Xác định a,b sao cho hàm số y =

đạt giá trị lớn nhất bằng 4, nhỏ nhất bằng –1

Giải: ta phải tìm a,b để 1≤

≤ 4 (1) khi nào dấu bằng xảy ra (1) ⇔

≤ 4

≥ 1 ∀ x và dấu “=” xảy ra đợc 4x2- ax + 4-b ≥ 0 ∀ x và dấu “=” cũng xảy ra đợc

ax đạt giá trị lớn nhất bằng 4 và giá trị nhỏ nhất bằng –1

VIII/ Tìm cực trị dựa vào miền giá trị hàm số:

+

−

x x

x x

Giải: Để biểu thức A nhận giá trị a ⇔ phơng trình ẩn x sau đây có

−

x x

x

x (1) ⇔ax2 + ax + a = x2-x+1

⇔ (a-1)x2 +(a+1)x +(a-1)=0

Trờng hợp 1: Nếu a= 1 thì (2) có nghiệm x = 0

Trờng hợp 2: Nếu a ≠ 1 thì để (2) có nghiệm cần và đủ là ∆ ≥ 0 tức là

3

1 hoặc a = 3 thì nghiệm của (2) là:

x=

) 1 ( 2

) 1 (

1

a

a

− +

Với a=

3

1 thì x = 1 với a = 3 thì x= -1 Gộp cả hai trờng hợp (1) và (2) ta có:

MinA =

3

1 ⇔ x = 1 MaxA = 3 ⇔ x = -1

Ví dụ 20: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của

f(x) =

1 2 3

3 10 2

2

2

+ +

+ +

x x

x

x với x ∈R Giải: Gọi y0 là giá trị tuý ý của hàm số Vậy phơng trình sau đây (ẩn x) cónghiệm:

1 2 3

3 10 2

2

2

+ +

+ +

x x

x ∈ D x ∈ D

x x ∈ /R

b, Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của:

g(x) = 2 2 2 4

) 1 (

3 4 3

x

x x

+

+ + x ∈ /R

c, Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của:

h(x) =

1

1 2

x x

a, Cho đẳng thức côsi (Cauchy)

Cho n số không âm a1, a2, a12 ta có bất đẳng thức

n

a a

a1+ 2 + + 12 ≥

12 2

1

2

) ( ≤ ∑

=

n

j j

b

1

2

) ( Dấu “=” xảy ra ⇔ ∃ k ai = k bj ∀ i = 1; n

a1+ 2 + + k

≥ k a1a2 a k

Ta phải chứng minh mệnh đề dúng với n = k + 1

Giả sử a1 ≤ a2 ≤ ak ≤ ak+1 ( Nếu điều kiện không thoả mãn thì tathay đổi vị trí và đặt lại thứ tự)

⇒ak+1 ≥

k

a a

a1 + 2 + + k

Đặt

k

a a

a1+ 2 + + k = x thì x ≥ 0 ⇒ ak+1 = x+y với y ≥ 0 và xk ≥ a1a2 .ak ( Do giả thiết quy nạp) ta

a a a

1

+ +

k

y k

+

+ + +

k

a a a

Nếu A= 0 thì a1 =a2 == =a n = 0 bất đẳng thức đợc chứng minh

Nếu B = 0 ta cũng có b1 =b2 = =b n ⇒ bất đẳng thức luôn đúng

Với A ≠ 0 và B ≠ 0, x bất kỳ ∈ R

1 1 1 2 2 1

2 1

2 2

0 ) (

)

( 2 )

(

2

2 2 2

2 1 2

2 1 1 2 2 2

2

2

1

≥ +

−

⇒

≥ + + + +

+ +

− +

+ +

B Cx Ax

b b b x b a b

a b a x

a a

a b

1

9.2- Các ví dụ:

Ví dụ 21: (áp dụng bất đẳng thức Cauchy)

Cho a,b,c là ba số dơng có tích abc = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểuthức:

y = ( 1+a) ( 1+b) ( 1+c)

Giải: Vì a,b,c dơng áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

1+a ≥ 2 a

x 1+b 2≥ b

1+c 2≥ c

y = ( 1+a) ( 1+b) ( 1+c) ≥ 8 abc mà abc = 1

⇒ y≥ 8 vậy min y = 8 khi a = b = c = - 1

Ví dụ 22: Cho a > 1; b > 1 tìm giá trị nhỏ nhất của:

1 1

2 2

a P

Giải: Vì a > 1; b > 1 0

1

; 0 1

2 2

a

áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

) 1 )(

1 (

2 1 1

2 2 2

b b

a

1 1

2 1 1

2 2

b b

Vậy từ (*) ta có: 2 2 2 8 (*)

1 1

2 1 1

2 2

b b

a

Vậy P ≥ 8 do đó min P = 8 khi a = b= 2

Ví dụ 23: (áp dụng bất đẳng thức Bunhiakopsky)

Cho hai số dơng x,y luôn nghiệm đúng với hệ thức:

y x

3 2

3

2 + ≤

y x

3 2

1 + 2 = +

≥

2+ 3 = 6

y x

Dấu “=” xảy ra khi

3 2

5 + khi x =

6

6 3 , 6

6

2 + = +

y

Ví dụ 24:

a, Tìm giá trị lớn nhất của: A = (x2 - 3x + 1) ( 21 + 3x- x2)

b, Tìm giá trị nhỏ nhất của: B =

x

x x

2

1 4

2

1 4

16 2

2 / 1

1 1

1+ + = ⇔x=

9.3- Nhận xét:

a, Bài toán cực trị: Chỉ ra tất cả cacd giá trị của biến để xảy ra dấu đẳngthức bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất chỉ cần chứng tỏ tồn tại giá trị củabiến để xảy ra dấu của đẳng thức

b, Trong tất cả các hằng đẳng thức ta cần chú ý đến hai mệnh đề sau: + Nếu hai số có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất ⇔ hai số

đó bằng nhau

+ x ,y ∈R , xy = const ⇒ (x+y)min ⇔ x = y ( Nh ở ví dụ 24)

9.4- Bài toán tơng tự:

Bài tập 12: a, Cho x, y sao cho 0 ≤ x ≤ 4; 0 ≤ y ≤ 4

Tìm giá trị lớn nhất của Q = (3-x) ( 4-y) ( 2x+3y)

b, Giả sử x,y,z,t thoả mãn x2 + y2 + z2 = 1; 1 ≤ t ≤ 2

Tìm giá trị lớn nhất của R = xyz + txy+ txz+ tyz+ tx+ ty + tz

c, Cho 2 số x,y thoả mãn x2 + y2 = 1

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của H = 3x + 4y

d, Biết x + y + z = 1

Tìm giá trị nhỏ nhất của: M =

z

z y

y x

.

1 1

X/ Sáng tạo bài toán cực trị:

Ví dụ: Từ một số phơng pháp đi tìm ực trị ta có thể vận dụng và khái quát thànhmột số bài tập mới

Trong việc giải toán cực trị phải biết vận dụng linh hoạt và sáng tạo tuỳtheo yêu cầu của một số bài toán

Sau đây là một số ví dụ:

Ví dụ 25: a, Tìm giá trị lớn nhất của A = x3 ( 16- x3) với (0 < x3 < 16)

b, Tìm giá trị nhỏ nhất của B =

x x

Ví dụ 26: Cho biểu thức M = x2+ y2 + 2z2 + t2 Với x,y,z,t ∈ N

Tìm giá trị nhỏ nhất của M là các giá trị tơng ứng của x,y,z,t biếtrằng

x2- y2 + t2 = 21 (1)

x2+ 3y2 + 4z2 = 101 (2)

( Thi học sinh giỏi toàn quốc 1985)

Giải: Lấy (1) cộng (2) theo từng vế ta đợc:

2(x2+ y2 + 2z2 + t2 )- t2 = 122

61

2 61

2

≥ +

vậy min M = 61 khi x = 5, y = 2, z = 4, t= 0

Ví dụ 27: Cho x,y ∈R thoả mãn x2+ y2 = 1

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của x+y

Giải: Từ (x+y)2 = x2 + 2xy + y2 ≤ 2 (do x2+ y2 = 1)

từ bài toán trên ta có thể phát triển thành bài toán khác nh sau:

1, x2 + ay2 = 2 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của S = x + 2y

2, 4x2 + 9y2 = 2 tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của S = 2x + 3y