Một số bài toán về cực trị trong không gian oxyz

Lời giài đề nghị 1/ M thuoäc P sao cho tam giaùc MAB coù chu vi nhoû nhaát: Ta có CVABC = AB + MA+ MB , do AB không đổi nên CVABC nhỏ nhất khi và chỉ khi MA+MB nhoû nhaát... Ñieàu kieän [r]

MỘT SỐ BAØI TOÁN CỰC TRỊ TRONG KHÔNG GIAN Oxyz (Tài liệu bổ trợ luyện thi Đại Họcmôn Toán theo chương trình Chuẩn & Nâng Cao) Môn Toán lớp 12 Bài toán Trong không gian Oxyz cho hai điểm : A( 1; 4; 2) ; B( -1; 2; 4), mặt phẳng (P):x+y-z+6=0 và đường x 1 z  z thaúng d :   2 1/ Tìm toạ độ điểm M trên (P) cho tam giác MAB có chu vi nhỏ 2/ Tìm toạ độ điểm M trên d cho tam giác MAB có chu vi nhỏ Lời giài đề nghị 1/ M thuoäc (P) cho tam giaùc MAB coù chu vi nhoû nhaát: Ta có CV(ABC) = AB + MA+ MB , AB không đổi nên CV(ABC) nhỏ và (MA+MB) nhoû nhaát P(A)=1+4-2+6=9 > vaø P(B)= -1+2-4+6=3 > neân A vaø B naèm moät beân maët phaúng (P); đó điểm M cần tìm là giao điểm đường thẳng (A’B) và mặt phẳng (P) ; với A’ là điểm đối xứng cuûa A qua (P) Thật , ta có :MA+MB = MA’+ MB = A’B ; với điểm N trên (P) thì NA+NB= NA’+NB  A’B ( Xét tam giác A’NB) , dấu đẳng thức xãy N  M (đpcm) Giaûi: x   t  Phöông trình cuûa ñöông thaúng AA’:  y   t z   t  Hình chieáu vuoâng goùc H cuûa M treân (P) laø giao ñieåm cuûa AA’ vaø (P) : H(-2;1;5) H laø trung ñieåm cuûa AA’ neân: A’(-5;4;8) x  1  t  Phương trình đường thẳng A’B:  y   t z   t  Điểm M là giao điểm đường thẳng A’B và (P) : M(-3;3;6) Đáp số : M(-3;3;6) Ghi Chú: Bài toán vô nghiệm A và B nằm hai bên mặt phẳng (P) 2/ Tìm M thuoäc d cho tam giaùc MAB coù chu vi nhoû nhaát Ta có CV(ABC)= AB+MA+MB, AB không đổi nên CV(ABC) nhỏ và (MA+MB) nhoû nhaát x   t  Phöông trình tham soá cuûa d:  y  2  t Ñaët M(1-t;-2+t;2t)  d z  t  MA  t  6  t   2  t  2 MB    t  2 35  5  t  20 t  40   t     3  4  t   4  t  2 2  7  t  28t  36   t     3 Lop12.net    35   7   t    Ta được: MA  MB   t      3 9  3   2 35  5  7 Vaäy (MA+MB) nhoû nhaát vaø chæ f t    t      t    nhoû nhaát 9  3  3 Ta tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa f(t)  35  7 5  ; B'  ;  ; M ' ( t;0) Trong maët phaúng Oxy, choïn ñieåm ba : A'  ;  3  3     Ta coù f(t)= M’A’ + M’B’ neân f(t) nhoû nhaát vaø chæ (M’A’+M’B’)nhoû nhaát, ñieàu naày xaõy   ba điểm A’,B’,M’ thẳng hàng hay M ' A'  t M ' B' ( M’ thay đổi trên Ox còn A’ và B’ nằm 57 hai beân Ox) Ñieàu kieän cuøng phöông cuûa hai veùctô cho t  3(1  )   2(1  )   10  14   Đáp Số : M ; ;   3(1  ) 3(! ) 3(1   Ghi chú: 1/ Có thể tìm điểm M phương pháp hình học sau: gïọi A1 và B1 là hình chiếu vuông góc A và B trên d Điểm M cần tìm là điểm chia đoạn thẳng A1B1 theo tỉ số: AA1 10    14  k Ta tìm : A   ;  ;  B1   ; ;  ; k   ( Ta có thể chứng minh cách 3 BB1   3 3 dựng điểm M là thoả đề bài từ bài toán dựng hình đơn giản không gian) 2/ Phương pháp hình học trên cho thấy : đặc biệt , (AB) song song với d thì điểm M cần tìm là giao điểm d với mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB Một số bài toán cực trị khác không gian Oxyz: Bài toán 2: Cho hai điểm A ; B và đường thẳng d Tìm trên d điểm M để : a) (MA2+MB2) nhoû nhaát   b) MA  MB nhoû nhaát c) Tam giaùc MAB coù dieän tích nhoû nhaát Bài toán 3: Cho điểm A và đường thẳng d Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d có d(M,d) lớn (Đề thi Đại Học Khối A năm 2008) Bài toán : Cho hai đường thẳng d và d’ Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d và tạo với d’ góc lớn Bài toán : Cho mặt phẳng (P) và đường thăng d Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa d và tạo với mặt phẳng (P) góc nhỏ Bài toán 6: Cho hai điểm A;B và đường thẳng d Trong các đường thẳng qua A và cắt d, viết phương trình đường thẳng có khoảng cách đến B là : a) Lớn b) Nhỏ nhát Lop12.net CỰC TRỊ TRONG KHÔNG GIAN (Bài Toán ) ******************** Bài tập minh hoạ :Trong không gian Oxyz, cho hai điểm : A(1;4;2) , B(-1;2;4) và đường thẳng x 1 y  z (d ) :   Tìm toạ độ điểm M trên (d) cho: 1     1/ MA  MB nhoû nhaát /(MA  MB ) nhoû nhaát 3/ Dieän tích tam giaùc MAB nhoû nhaát Lời giải tham khảo 1/ MA  MB nhoû nhaát Caùch 1: Phöông phaùp giaûi tích   Với M( 1-t ; -2+t ; 2t ) thuộc (d) thì: MA  ( t ;  t ;  t ) ; MB  (2  t ;  t ;  t )     Do đó : MA  MB  (2  t ; 10  t ;  t )  MA  MB  24( t  2)  44  44   Vaäy MA  MB nhoû nhaát laø 44 t-2=0 hay t=2 Đáp số : M(-1; 0; ) Caùch 2: Phöông phaùp hình hoïc Với điểm M trên (d)    Goïi I laø trung ñieåm cuûa AB , ta coù theo qui taéc coäng veùc tô thì : MA  MB  MI     Do đó : MA  MB = 2.MI Vậy MA  MB nhỏ và MI nhỏ Điều nầy xảy IM vuông góc với (d) , nghĩa là M là hình chiếu vuông góc I trên (d) (do I cố định) Giải : Đặt M(1-t ; -2+t ; 2t)  (d ) Trung điểm I AB có toạ độ I(0;3;3)   Do đó MI  (1  t ;  t ;  t ) Đường thẳng (d) có véctơ phương: a  (1 ; 1; 2)   MI  (d )  MI a   (1  t )(1)  (5  t )(1)  (3  t )(2)   t  Đáp số : M(-1;0;4) 2/ (MA2+ MB2) nhoû nhaát: Caùch 1: Phöông phaùp giaûi tích M(1-t; -2+t ; 2t)  (d ) cho: MA 2+MB2 = (t2+(6-t)2+(2-2 t)2+(-2+t)2+(4-t)2+(4-2t)2 = 12t2 – 48 t +76 = 12(t-2)2 +28  28 Vaäy (MA2+MB2) nhoû nhaát laø 28 t=2 hay M(-1;0;4) Caùch 2: Phöông phaùp hình hoïc: Gọi I là trung điểm AB ; ta có hệ thức độ dài trung tuyến MI tam giác MAB: MI AB ; AB laø haèng soá neân : (MA 2+MB2) nhoû nhaát vaø chæ MA  MB   MI nhỏ nhất, mà I cố định nên MI nhỏ IM vuông góc với(d) hay M là hình chiếu vuoâng goùc cuûa I treân (d) Giải: Đặt M(1-t ; -2+t ; 2t)  (d ) Trung điểm I AB có toạ độ I(0;3;3) Lop12.net