Tọa độ và ứng dụng

Từ thực tế giảng dạy cho học sinh ôn thi Đại học, Cao đẳng và học sinh trong đội tuyển học sinh giỏi các năm qua cũng như do yêu cầu chuyên môn đòi hỏi sự nghiên cứu vận dụng phối hợp cá

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

số và hình học Euclide Công trình này của ông có ảnh hưởng đến sự phát triển của ngành hình học giải tích, tích phân và khoa học bản đồ Tọa độ luôn gắn liền với một hệ tọa độ xác định, bao gồm gốc tọa độ và các trục tọa độ Tùy theo mục đích và tính chất của việc khảo sát đối tượng này hay đối tượng khác, người ta chọn các hệ tọa độ khác nhau Trên đường thẳng, tọa độ của một điểm là khoảng cách từ điểm đó đến một điểm cố định gọi là gốc tọa độ Trong mặt phẳng thường dùng các hệ tọa độ Descartes, tọa độ Afin, tọa độ cầu, tọa độ trụ Người ta đưa tọa độ cong vào đường cong và mặt cong Phương pháp toạ độ ra đời đã giúp con người dùng ngôn ngữ đại số thay cho ngôn ngữ hình học, giúp con người đạt đến đạt đến đỉnh cao của sự khái quát hoá và trừu tượng hoá toán học trong nhiều lĩnh vực

Từ thực tế giảng dạy cho học sinh ôn thi Đại học, Cao đẳng và học sinh trong đội tuyển học sinh giỏi các năm qua cũng như do yêu cầu chuyên môn đòi hỏi sự nghiên cứu vận dụng phối hợp các nguồn kiến thức nhằm đem đến cho học sinh các phương pháp hữu hiệu giải các bài toán trong các đề thi Đại học, Cao đẳng, đề thi học sinh giỏi, tôi nhận thấy phương pháp vectơ, tọa độ (trong mặt phẳng và trong không gian) là một công cụ có ứng dụng khá rộng rãi: giải phương trình, hệ phương trình, giải và biện luận phương trình, hệ phương trình; chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức; chứng minh các quan hệ hình học và tính toán các đại lượng hình học

Thực tế những năm qua tôi nhận thấy trong các đề thi Đại học, Cao đẳng thường xuất hiện bài toán hình học không gian tổng hợp (cổ điển) mà ở

đó lời giải đòi hỏi vận dụng khá phức tạp các kiến thức hình học không gian như: chứng minh quan hệ song song, quan hệ vuông góc, dựng hình để tính góc và khoảng cách, tính thể tích khối đa diện…Việc tiếp cận các lời giải đó thực tế cho thấy thật sự là một khó khăn cho học sinh, thậm chí cả giáo viên, chẳng hạn bài toán tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau Trong khi đó, nếu bỏ qua yêu cầu bắt buộc phải dựng hình mà chỉ dừng ở mức độ tính toán thì rõ ràng phương pháp tọa độ tỏ ra hiệu quả hơn vì tất cả mọi tính toán đều đã được công thức hóa Bên cạnh đó việc vận dụng các Bất đẳng

chứng minh đẳng bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức trong các đề thi học sinh giỏi Quốc gia, Quốc tế và đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng cũng có những hiệu quả nhất định so với các phương pháp khác Với những lí do như trên, từ thực tế giảng dạy, với kinh nghiệm thu được và sự hướng dẫn, chỉ bảo tận tình của TS Lê Đình Định, tôi đã thực hiện

luận văn với đề tài: "Tọa Độ Và Ứng Dụng" để hoàn thành chương trình cao

học của mình

Trong luận văn này tôi đưa ra 2 nội dung lớn là: Ứng dụng của bất đẳng thức vec-tơ và Tọa độ trong hình hộp Với nội dung thứ nhất, tôi trình bày cách chọn tọa độ cho véc-tơ và vận dụng các bất đẳng thức véc-tơ để gải các bài toán về phương trình, hệ phương trình, chứng minh đẳng bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất Thông qua các ví dụ minh họa, các bạn sẽ thấy hiệu quả của việc sử dụng bất đẳng thức vec-tơ trong việc tìm lời giải cho các bài toán này Với nội dung thứ hai, lấy ý tưởng từ Đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng trong những năm qua, tôi sử dụng phương pháp gán tọa độ cho hình hộp đứng trong hệ tọa độ trực chuẩn, thông qua hình hộp đứng tôi có thể gắn tọa độ cho hình chóp tứ giác, tam giác Việc gán tọa độ cho các hình trên sẽ giải quyết khá dễ dàng các bài toán hình không gian phức tạp, vì mọi yêu tố hình học đều được đại số hóa Bên cạnh đó tôi đang mở rông hướng nghiên cứu phương pháp gán tọa độ cho hình hộp xiên trong hệ tọa độ không trực chuẩn, tiến đến phương pháp gán tọa độ cho mọi hình hộp

Mặc dù được sự hướng dẫn tận tình, chu đáo của TS Lê Đình Định cùng với sự nỗ lực cố gắng của bản thân, nhưng vì thời gian có hạn và năng lực hạn chế, chắc chắn luận văn không thể tránh được những khuyết điểm, những chỗ chưa đạt yêu cầu Tôi rất mong có được những góp ý, đánh giá quý báu của các thầy cô và bạn bè đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Mục lục

LỜI MỞ ĐẦU 3

Mục lục 5

Danh mục các kí hiệu, các từ viết tắt: 7

CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ 8

1 Mặt phẳng tọa độ Oxy 8

Tọa độ điểm và vec-tơ: 8

3, Không gian Euclide 9

3.1 Một số khái niệm chung về tích vô hướng – Không gian Euclide 9

3.1.1 Định nghĩa: 9

3.1.2 Định nghĩa: 9

3.1.3 Định nghĩa: 9

3.3 Sự độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính 10

3.3.1 Tổ hợp tuyến tính: 10

3.2.1 Hệ vector độc lập tuyến tính – Hệ vector phụ thuộc tuyến tính: 10

MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG VEC TƠ 11

1.1 Áp dụng để giải phương trình đại số: 11

1.2 Áp dụng để giải phương trình lượng giác: 12

2 Áp dụng chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất: 12

TỌA ĐỘ THEO HÌNH HỘP ĐỨNG 14

1 GẮN TỌA ĐỘ CHO HÌNH HỘP ĐỨNG CÓ ĐÁY LÀ TỨ GIÁC 14

1.1 Gắn tọa độ cho Hình hộp chữ nhật - Hình lập phương 14

1.1.1 Hình hộp chữ nhật 14

1.1.2 Hình lập phương 14

1.2 Gắn tọa độ cho hình hộp đứng có đáy là hình bình hành 15

1.3 Gắn tọa độ cho Hình hộp đứng có đáy là hình thang vuông 16

Cho hình hộp đứng ABCDA'B'C'D' có đáy là hình thang vuông ABCD vuông tại A Biết AB = a, AD = b, BC = d, AA' =c 16

Chọn hệ trục tọa độ Axyz như hình vẽ bên 16

Với A(0;0;0), B(a;0;0), 16

D(0;b;0), C(a;d;0), A'(0;0;c) 16

3.1 Cách gắn toạ độ 16

3.1.1 Đối với hình hộp chữ nhật và hình lập phương: 16

3.1.2 Đối với hình hộp đứng có đáy là hình thoi, ta chia đôi hình hộp đứng bởi mặt phẳng (ACC'A') hặc (BDD'B'), ta được lăng trụ đứng có đáy là hình tam giác cân.z 17

4.1 Nhận xét chung: 18

4.2.Hình chóp tứ giác có ba mặt vuông 19

4.3.Hình chóp đều: 20

4.4 Hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, đường cao AO với BD AC O  21

4.5 Hình chóp tứ giác có đáy là hình chữ nhật và có 1 mặt bên vuông với đáy 21

4.6.Hình chóp tứ giác gần đều: 24

4.7 Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy là hình thang vuông 25

Chọn hệ trục toạ độ Axyz như hình vẽ Với:A( 0 ; 0 ; 0 );B(a; 0 ; 0 );D( 0 ;b; 0 );C(a;b; 0 );S( 0 ; 0 ;c). 25

5 GẮN HỆ TRỤC TỌA ĐỘ CHO TỨ DIỆN THÔNG QUA HÌNH HỘP ĐỨNG 26

5.1 Phương pháp gắn tọa độ: 26

5.1.1 Tam diện vuông 26

5.1.2 Tứ diện bốn mặt vuông 27

5.1.3.Tứ diện có cạnh bên cuông góc với đáy 28

5.1.4 Tứ diện có mặt bên vuông góc với đáy 29

Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi,AC = a, AD = b, AA' = h,S là trung điểm của A'C',cắt hình hộp trên bởi các mặt phẳng (SAB),(SBC)ta được tứ diệnSABCcó(SAC)  (ABC), SACcân tại S, ABC cân tại A biết BA = BC = m, đường cao SO = h, AC = a 29

5.1.6 Tứ diện gần đều 30

KẾT LUẬN 35

Danh mục các kí hiệu, các từ viết tắt:

2 Hệ trục tọa độ trong không gian 3 chiều:

Tọa độ điểm và vectơ

Trong hình học phẳng, ta đã biết hệ trục tọa độ trên mặt phẳng Hệ đó đƣợc kí hiệu là Oxy hoặc Bây giờ ta thiết lập hệ trục tọa độ trong không gian

Trong không gian, xét ba trục tọa độ Ox, Oy, Oz có chung điểm gốc O và đôi một vuông góc với nhau (h.1)

ĐỊNH NGHĨA 1

Hệ gồm ba trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc được gọi là hệ trục tọa

độ vuông góc trong không gian

3, Không gian Euclide

Trong khuôn khổ phần này ta chỉ đề cập đến khái niệm tích vô hướng, độ dài vector hay góc giữa hai vector trên trường số thực

3.1 Một số khái niệm chung về tích vô hướng – Không gian Euclide

Cho E là một không gian vector Euclide Với mỗi xE , ta gọi độ dài của x

ký hiệu là ||x|| là một số thực không âm và có giá trị là || ||x  x x,

3.3 Sự độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính

3.3.1 Tổ hợp tuyến tính:

*Định nghĩa: Cho V là một không gian vectơ trên trường R và v v1, 2, ,v nlà

các phần tử của V Ta nói vectơ v là tổ hợp tuyến tính của các vectơ

1 , 2 , , n

v v v nếu tồn tại các vô hướng   1 , 2 , , nK sao cho

1 1 2 2 n n

v v   v    v

3.2.1 Hệ vector độc lập tuyến tính – Hệ vector phụ thuộc tuyến tính:

* Định nghĩa: Họ các vectơ v v1, 2, ,v n của không gian vectơ V trên trường R được gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu tồn tại các vô hướng  1, 2, , n K

không phải tất cả đều bằng 0 sao cho: 1 1v  2 2v   n n v  0

Họ vectơ không phụ thuộc tuyến tính được gọi là hệ độc lập tuyến tính

CHƯƠNG 2 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG VEC TƠ

+) a.b a.b

+) a b  ab

+)u1 u2 u3  u n  u1  u2  u3   u n

1.1 Áp dụng để giải phương trình đại số:

Ví dụ 1: (Olympic 30 tháng 4 năm 2007) Giải phương trình sau :

Giải : Điều kiện : x 0

1.2 Áp dụng để giải phương trình lượng giác:

Ví dụ 1: (Đề 24-Bộ đề tuyển sinh đại học năm 1996)

sin x 0 với mọi x  2 

cos 3x 1 cos 3  x  2 1 sin  x  2  2 

cos 3x 1 cos 3  x  2 1 sin  x = 2

2 2

CHƯƠNG 3 TỌA ĐỘ THEO HÌNH HỘP ĐỨNG

1 GẮN TỌA ĐỘ CHO HÌNH HỘP ĐỨNG CÓ ĐÁY LÀ TỨ GIÁC

1.1 Gắn tọa độ cho Hình hộp chữ nhật - Hình lập phương

1.2 Gắn tọa độ cho hình hộp đứng có đáy là hình bình hành

1.2.1 Nếu hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D'

có đáy là hình thoi:

Chọn cao độ nằm trên đường thẳng nối hai đáy

Hai trục tọa độ còn lại nằm trên hai đường chéo

1.2.2 Nếu hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy là hình bình hành:

Cho lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy là hình bình hành ABCD.Biết AB = b;AD = a;; AA' = c và góc BAD = α

Trên mặt phẳng (ABCD) kẻ tia Ax vuông góc với AB AD1 = a sinα;

AD2 = a cosα ( C1 là hình chiếu của C xuống AyCC1= a sinα Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ

1.3 Gắn tọa độ cho Hình hộp đứng có đáy là hình thang vuông

Cho hình hộp đứng ABCDA'B'C'D' có đáy là hình thang vuông ABCD

vuông tại A Biết AB = a, AD = b, BC = d, AA' =c

Chọn hệ trục tọa độ Axyz như hình vẽ bên

Với A(0;0;0), B(a;0;0),

D(0;b;0), C(a;d;0), A'(0;0;c)

3.GẮN TOẠ ĐỘ CHO LĂNG TRỤ ĐỨNG CÓ ĐÁY LÀ TAM GIÁC

3.1 Cách gắn toạ độ

3.1.1 Đối với hình hộp chữ nhật và hình lập phương:

Ta chia đôi các hình hộp đó bởi mặt phẳng (ACC'A') hoặc (BDD'B')

như hình vẽ ta được trụ đứng có đáy là tam giác vuông

┐

- Sau khi cắt, ta được lăng trụ đứng

có đáy là tam giác vuông

- Cách chọn hệ trục toạ độ giống như

đối với hình hộp chữ nhật

A(0;0;0); B(a;0;0); C(0;a;0)

A'(0;0;a); B'(a;0;a); C'(0;a;a)

- Sau khi cắt, ta được lăng trụ đứng

có đáy là tam giác vuông cân

- Cách chọn hệ trục toạ độ giống như đối với hình lập phương

A(0;0;0); B(a;0;0); C(0;a;0) A'(0;0;0); B'(a;0;0); C'(0;a;0)

3.1.2 Đối với hình hộp đứng có đáy là hình thoi, ta chia đôi hình hộp đứng bởi mặt phẳng (ACC'A') hặc (BDD'B'), ta được lăng trụ đứng có đáy là hình tam giác cân z

A

A '

C

B '

C '

- Cách chọn hệ trục toạ độ cho lăng trụ đứng có đáy là tam giác cân tương tự

như cách chọn hệ trục toạ độ cho hình hộp đứng có đáy là hình thoi (Được mô

tả hình vẽ trên)

3.1.3 Đối với hình hộp đứng đáy là hình bình hành ABCD,

Đã biết AB=a;AD=b; AA' = c ; góc BAD =α ta cắt hình hộp bởi mặt phẳng

(ACC'A') hoặc (BDD'B') ta được lăng trụ đứng có đáy là tam giác đã biết độ

dài 2 cạnh và số đo góc xen giữa

Cách chọn hệ trục toạ độ cho lăng trụ đứng trên giống như cách chọn hệ tọa

độ cho lăng trụ đứng có đáy là hình bình hành Ta có: AO(0;0;0); B(0;b;0); D(asinα;a cosα;0); A'(0;0;c); B'(0;b;c); D'(asinα;a cosα;c);

4 GẮN TOẠ ĐỘ CHO HÌNH CHÓP GÓC TỨ GIÁC

x

a

4.2.Hình chóp tứ giác có ba mặt vuông

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'(Hoặc hình lập phương ABCD.A'B'C'D'), ta cắt các hình trên bằng các mặt phẳng (A'DC), (A'BC) ta được hình chóp tứ giác có 3 mặt vuông

a Đối với hình lập phương ABCD.A'B'C'D':

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz nhƣ hình vẽ Ta có oạ độ hình chóp A'.ABCD là:

)

; 0

; 0 ( ' );

0

;

; 0 ( );

0

;

; ( );

0

; 0

; ( );

0

; 0

Chọn hệ trục toạ độ nhƣ hình vẽ trên, ta có toạ độ các đỉnh của hình chóp

2

; 2 ( );

0

;

; ( );

0

;

; 0 ( );

0

; 0

; ( );

4.4 Hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, đường cao AO với O ACBD

Ở trường hợp hình 1b, ta di chuyển đỉnh A' của hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' dọc theo đường chéo A'C' tới khi A' S (S  A'C' B'D' ),khi đó

ta được hình chóp tứ giác S.ABCD có đặc điểm như trên

Chọn hệ trục toạ độ Axyz như hình vẽ, với:

) 0

; 2

; 2 ( );

0

;

; ( );

0

;

; 0 ( );

0

; 0

; ( );

0

; 0

; 0

A

4.5 Hình chóp tứ giác có đáy là hình chữ nhật và có 1 mặt bên vuông với đáy

a, Hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, mặt bên (SAB) (hoặc (SAO);

(SBC);(SCD) là tam giác cân tại S, (SAB)  (ABCD).

- Từ hình hộp chữ nhật (hặc hình lập phương) ABCD.A'B'C'D', di chuyển đỉnh A' dọc theo A'B', tới khi A' S (với S là trung điểm A'B') ta được hình chóp S.ABCD có tính đặc điểm như trên

- Chọn hệ trục toạ độ Axyz như hình vẽ

Với:A( 0 ; 0 ; 0 );B(a; 0 ; 0 );D( 0 ;b; 0 );C(a;b; 0 );S( 0 ; 0 ;c).

* Chú ý: Nếu không muốn chọn gốc toạ độ là A; ta có chọn hệ trục toạ độ

2 ( );

0

;

; 2 ( );

0

; 0

; 2 ( );

0

; 0

; 2 ( );

0

; 0

; 0

b, Hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, mặt bên (SAD) là tam giác vuông tại S, (SAD)  (ABCD)

Từ hình hộp chữ nhật (hoặc hình lập phương) ABCD.A'B'C'D', ta di chuyển đỉnh A' trên cạnh A'D' tới khi A' S (SA'D'sao cho: AS ˆ D  90 0 )khi đó ta được hình chóp tứ giác S.ABCD có đặc điểm như trên

- Chọn hệ trục toạ độ Axyz như hình vẽ

Với:A( 0 ; 0 ; 0 );B(a; 0 ; 0 );D(a;b; 0 );C(a;b; 0 );S( 0 ; 0 ;c).

Ghi chú: + Ta áp dụng gắn toạ độ cho những bài tập mà hình chóp S.ABCD cho biết (hoặc có thể dễ dàng tính toán được) đáy ABCD có AB=a, AD=b chiều cao SH=c

- Nếu không chọn gốc toạ độ là A, ta có thể chọn gốc toạ độ là H (H là chân đường cao hạ từ S xuống (ABCD)) ta được hệ trục Hxyz

Giả sử hình chóp SABCD có: SA=a,

SD=b, AD=c (a2b2 c2),CD ABd

ta tính SH = h qua công thức:

2 2

2

1 1

1

b a

) 0

;

; ( );

; 0 ( );

0

; 0

;

0

(

2 2 2

2

2 2 2

2

h a d C h a d

B

h b D h a A

h S h

- Từ hình lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy là hình thoi, ta di chuyển đỉnh A' dọc theo A'C' tới khi A' S(S  A'C' B'D' ).khi đó ta đƣợc hình chóp S.ABCD có tính chất nhƣ trên

; 0 ( );

0

; 2

; 0 ( );

0

; 2

; 0 ( );

0

;

; 2 ( );

0

; 0

; 2 ( );

4.7 Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy là hình thang vuông

Ta cắt hình trên bằng các mặt phẳng (A'DC), (A'CB) ta đƣợc hình chóp

tứ giác 3 mặt vuông, có đáy là hình thang vuông

5 GẮN HỆ TRỤC TỌA ĐỘ CHO TỨ DIỆN THÔNG QUA HÌNH HỘP ĐỨNG

5.1 Phương pháp gắn tọa độ:

5.1.1 Tam diện vuông

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB=a; AD=b; AA' = c, ta cát hình hộp trên bởi mặt phẳng (A'BD) ta được tam diện vuông AA'BD

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ Với:

)

; 0

; 0 ( ' );

0

;

; 0 ( );

0

; 0

; ( );

SAB ABDcó

S ( )  ( ),  câm tại S và ABD vuông tại A