Tọa độ và ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - NGUYỄN XUÂN VINH TỌA ĐỘ VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - Năm 2013 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - NGUYỄN XUÂN VINH TỌA ĐỘ VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Phƣơng pháp toán sơ cấp Mã số: 60 46 40 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC: TS Lê Đình Định Hà Nội - Năm 2013 LỜI MỞ ĐẦU Tọa độ điểm số đƣợc thứ tự, đặc trƣng cho vị trí điểm đƣờng thẳng, mặt phẳng hay không gian Phƣơng pháp tọa độ để xác định vị trí điẻm trƣớc tiên đƣợc sử dụng thiên văn học địa lí (thơng qua kinh độ, vĩ độ) Phƣơng pháp đƣợc nhà toán học Pháp R Descartes đƣa vào toán học, mở thời kỳ cho phát triển tốn học Ơng ngƣời có cơng hợp đại số hình học Euclide Cơng trình ơng có ảnh hƣởng đến phát triển ngành hình học giải tích, tích phân khoa học đồ Tọa độ gắn liền với hệ tọa độ xác định, bao gồm gốc tọa độ trục tọa độ Tùy theo mục đích tính chất việc khảo sát đối tƣợng hay đối tƣợng khác, ngƣời ta chọn hệ tọa độ khác Trên đƣờng thẳng, tọa độ điểm khoảng cách từ điểm đến điểm cố định gọi gốc tọa độ Trong mặt phẳng thƣờng dùng hệ tọa độ Descartes, tọa độ Afin, tọa độ cầu, tọa độ trụ Ngƣời ta đƣa tọa độ cong vào đƣờng cong mặt cong Phƣơng pháp toạ độ đời giúp ngƣời dùng ngôn ngữ đại số thay cho ngơn ngữ hình học, giúp ngƣời đạt đến đạt đến đỉnh cao khái quát hoá trừu tƣợng hoá toán học nhiều lĩnh vực Từ thực tế giảng dạy cho học sinh ôn thi Đại học, Cao đẳng học sinh đội tuyển học sinh giỏi năm qua nhƣ u cầu chun mơn địi hỏi nghiên cứu vận dụng phối hợp nguồn kiến thức nhằm đem đến cho học sinh phƣơng pháp hữu hiệu giải toán đề thi Đại học, Cao đẳng, đề thi học sinh giỏi, nhận thấy phƣơng pháp vectơ, tọa độ (trong mặt phẳng không gian) cơng cụ có ứng dụng rộng rãi: giải phƣơng trình, hệ phƣơng trình, giải biện luận phƣơng trình, hệ phƣơng trình; chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức; chứng minh quan hệ hình học tính tốn đại lƣợng hình học Thực tế năm qua nhận thấy đề thi Đại học, Cao đẳng thƣờng xuất tốn hình học khơng gian tổng hợp (cổ điển) mà lời giải đòi hỏi vận dụng phức tạp kiến thức hình học khơng gian nhƣ: chứng minh quan hệ song song, quan hệ vng góc, dựng hình để tính góc khoảng cách, tính thể tích khối đa diện…Việc tiếp cận lời giải thực tế cho thấy thật khó khăn cho học sinh, chí giáo viên, chẳng hạn tốn tính khoảng cách hai đƣờng thẳng chéo Trong đó, bỏ qua yêu cầu bắt buộc phải dựng hình mà dừng mức độ tính tốn rõ ràng phƣơng pháp tọa độ tỏ hiệu tất tính tốn đƣợc cơng thức hóa Bên cạnh việc vận dụng Bất đẳng thức vectơ để gải số toán : giải phƣơng trình, hệ phƣơng trình, chứng minh đẳng bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức đề thi học sinh giỏi Quốc gia, Quốc tế đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng có hiệu định so với phƣơng pháp khác Với lí nhƣ trên, từ thực tế giảng dạy, với kinh nghiệm thu đƣợc hƣớng dẫn, bảo tận tình TS Lê Đình Định, tơi thực luận văn với đề tài: "Tọa Độ Và Ứng Dụng" để hồn thành chƣơng trình cao học Trong luận văn đƣa nội dung lớn là: Ứng dụng bất đẳng thức vec-tơ Tọa độ hình hộp Với nội dung thứ nhất, tơi trình bày cách chọn tọa độ cho véc-tơ vận dụng bất đẳng thức véc-tơ để gải tốn phƣơng trình, hệ phƣơng trình, chứng minh đẳng bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ Thơng qua ví dụ minh họa, bạn thấy hiệu việc sử dụng bất đẳng thức vec-tơ việc tìm lời giải cho toán Với nội dung thứ hai, lấy ý tƣởng từ Đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng năm qua, sử dụng phƣơng pháp gán tọa độ cho hình hộp đứng hệ tọa độ trực chuẩn, thơng qua hình hộp đứng tơi gắn tọa độ cho hình chóp tứ giác, tam giác Việc gán tọa độ cho hình giải dễ dàng tốn hình khơng gian phức tạp, yêu tố hình học đƣợc đại số hóa Bên cạnh tơi mở rơng hƣớng nghiên cứu phƣơng pháp gán tọa độ cho hình hộp xiên hệ tọa độ không trực chuẩn, tiến đến phƣơng pháp gán tọa độ cho hình hộp Mặc dù đƣợc hƣớng dẫn tận tình, chu đáo TS Lê Đình Định với nỗ lực cố gắng thân, nhƣng thời gian có hạn lực hạn chế, chắn luận văn tránh đƣợc khuyết điểm, chỗ chƣa đạt u cầu Tơi mong có đƣợc góp ý, đánh giá quý báu thầy cô bạn bè đồng nghiệp để luận văn hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn! Mục lục LỜI MỞ ĐẦU Mục lục Danh mục kí hiệu, từ viết tắt: CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ Mặt phẳng tọa độ Oxy Tọa độ điểm vec-tơ: 3, Không gian Euclide 3.1 Một số khái niệm chung tích vơ hƣớng – Khơng gian Euclide 3.1.1 Định nghĩa: 3.1.2 Định nghĩa: 3.1.3 Định nghĩa: 3.3 Sự độc lập tuyến tính phụ thuộc tuyến tính 10 3.3.1 Tổ hợp tuyến tính: 10 3.2.1 Hệ vector độc lập tuyến tính – Hệ vector phụ thuộc tuyến tính: 10 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG VEC TƠ 11 1.1 Áp dụng để giải phƣơng trình đại số: 11 1.2 Áp dụng để giải phƣơng trình lƣợng giác: 12 Áp dụng chứng minh bất đẳng thức tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất: 12 TỌA ĐỘ THEO HÌNH HỘP ĐỨNG 14 GẮN TỌA ĐỘ CHO HÌNH HỘP ĐỨNG CĨ ĐÁY LÀ TỨ GIÁC 14 1.1 Gắn tọa độ cho Hình hộp chữ nhật - Hình lập phƣơng 14 1.1.1 Hình hộp chữ nhật 14 1.1.2 Hình lập phƣơng 14 1.2 Gắn tọa độ cho hình hộp đứng có đáy hình bình hành 15 1.3 Gắn tọa độ cho Hình hộp đứng có đáy hình thang vng 16 Cho hình hộp đứng ABCDA'B'C'D' có đáy hình thang vuông ABCD vuông A Biết AB = a, AD = b, BC = d, AA' =c 16 Chọn hệ trục tọa độ Axyz nhƣ hình vẽ bên 16 Với A(0;0;0), B(a;0;0), 16 D(0;b;0), C(a;d;0), A'(0;0;c) 16 3.1 Cách gắn toạ độ 16 3.1.1 Đối với hình hộp chữ nhật hình lập phƣơng: 16 3.1.2 Đối với hình hộp đứng có đáy hình thoi, ta chia đơi hình hộp đứng mặt phẳng (ACC'A') hặc (BDD'B'), ta đƣợc lăng trụ đứng có đáy hình tam giác cân.z 17 3.1.3 Đối với hình hộp đứng đáy hình bình hành ABCD, 18 4.1 Nhận xét chung: 18 4.2.Hình chóp tứ giác có ba mặt vng 19 4.3.Hình chóp đều: 20 4.4 Hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy hình chữ nhật, đƣờng cao AO với O  AC  BD 21 4.5 Hình chóp tứ giác có đáy hình chữ nhật có mặt bên vuông với đáy 21 4.6.Hình chóp tứ giác gần đều: 24 4.7 Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy hình thang vuông 25 Chọn hệ trục toạ độ Axyz nhƣ hình vẽ Với: A(0;0;0); B(a;0;0); D(0; b;0); C(a; b;0); S (0;0; c) 25 GẮN HỆ TRỤC TỌA ĐỘ CHO TỨ DIỆN THƠNG QUA HÌNH HỘP ĐỨNG 26 5.1 Phƣơng pháp gắn tọa độ: 26 5.1.1 Tam diện vuông 26 5.1.2 Tứ diện bốn mặt vuông 27 5.1.3.Tứ diện có cạnh bên cng góc với đáy 28 5.1.4 Tứ diện có mặt bên vng góc với đáy 29 Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD hình thoi,AC = a, AD = b, AA' = h,S trung điểm A'C',cắt hình hộp mặt phẳng (SAB),(SBC)ta đƣợc tứ diện SABCcó (SAC )  ( ABC ), SAC cân S,  ABC cân A biết BA = BC = m, đƣờng cao SO = h, AC = a 29 5.1.6 Tứ diện gần 30 KẾT LUẬN 35 Danh mục kí hiệu, từ viết tắt: Z: Tập hợp số nguyên R: Tập hợp số thực Rn: Không gian thực n chiều = Bằng ≠ Khác u Vec-tơ phƣơng n Vec tơ pháp tuyến Lớn Lớn Bé Bé Suy Tƣơng đƣơng Thuộc Không thuộc Giao hai tập hợp >  <        !  Tổng Duy Tồn Giá trị tuyệt đối u,v Chuẩn Tích có hƣơng hai vec-tơ u v  Vng góc // Song song (P) Mặt phẳng P V Thể tích S Diện tích C Chu vi CHƢƠNG CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ Mặt phẳng tọa độ Oxy Tọa độ điểm vàvec-tơ:  Cho u   x1; y1  , v   x2 ; y2  số thực k Khi đó:       u  v   x1  x2 ; y1  y2  , u  v   x1  x2 ; y1  y2  , k u   k x1; k x2  , độ dài véc tơ  u  x12  y12       Tích vơ hƣớng hai véc tơ: u.v  u v cos  u, v  (Định nghĩa),  u.v  x1.x2  y1 y2 (BT tọa độ)    u.v  Cơng thức tính góc hai véc tơ: cos u, v     u.v   x1.x2  y1 y2 x12  y12 x22  y22 Hệ trục tọa độ không gian chiều: Tọa độ điểm vectơ Trong hình học phẳng, ta biết hệ trục tọa độ mặt phẳng Hệ đƣợc kí hiệu Oxy Bây ta thiết lập hệ trục tọa độ không gian Trong không gian, xét ba trục tọa độ Ox, Oy, Oz có chung điểm gốc O đơi vng góc với (h.1) ĐỊNH NGHĨA Hệ gồm ba trục Ox, Oy, Oz đôi vng góc đƣợc gọi hệ trục tọa độ vng góc khơng gian 3, Khơng gian Euclide Trong khuôn khổ phần ta đề cập đến khái niệm tích vơ hướng, độ dài vector hay góc hai vector trường số thực 3.1 Một số khái niệm chung tích vơ hƣớng – Khơng gian Euclide 3.1.1 Định nghĩa: Cho V không gian vector trƣờng  Một tích vơ hướng V ánh xạ đƣợc xác định nhƣ sau: , : V V   (x, y )  x, y thỏa điều kiện sau: i ) x  x ', y  x, y  x ', y ii ) kx, y  k x, y x, x ', y V k  iii ) x, x  0, x  3.1.2 Định nghĩa: Không gian vector V trƣờng số thực  có trang bị tích vơ hƣớng , đƣợc gọi không gian vector Euclide Ký hiệu: E  (V , , ) với tích vơ hƣớng , 3.1.3 Định nghĩa: Cho E không gian vector Euclide Với x  E , ta gọi độ dài x ký hiệu ||x|| số thực khơng âm có giá trị || x || x, x 3.3 Sự độc lập tuyến tính phụ thuộc tuyến tính 3.3.1 Tổ hợp tuyến tính: *Định nghĩa: Cho V khơng gian vectơ trƣờng R v1 , v2 , , phần tử V Ta nói vectơ v tổ hợp tuyến tính vectơ v1 , v2 , , tồn vô hƣớng 1 ,  , ,  n K cho v  1v1   2v2    nvn 3.2.1 Hệ vector độc lập tuyến tính – Hệ vector phụ thuộc tuyến tính: * Định nghĩa: Họ vectơ v1 , v2 , , không gian vectơ V trƣờng R đƣợc gọi phụ thuộc tuyến tính tồn vơ hƣớng 1 ,  , ,  n  K tất cho: 1v1   2v2   nvn  Họ vectơ khơng phụ thuộc tuyến tính đƣợc gọi hệ độc lập tuyến tính 10 4.2.Hình chóp tứ giác có ba mặt vng Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'(Hoặc hình lập phƣơng ABCD.A'B'C'D'), ta cắt hình mặt phẳng (A'DC), (A'BC) ta đƣợc hình chóp tứ giác có mặt vng a Đối với hình lập phƣơng ABCD.A'B'C'D': z z A' A' D' a C' B' a A D a A y D y a B a C B x a C x  toạ độ hình chóp A'ABCD: A(0;0;0); B(a;0;0); C(a; a;0); D(0;0; a); A' (0;0; a) b Đối với hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D': z A' z A' D' C' B' c c A y A D b a a b B B C x D C 19 x y Chọn hệ trục tọa độ Oxyz nhƣ hình vẽ Ta có oạ độ hình chóp A'.ABCD là: A(0;0;0); B(a;0;0); D(a; b;0); C(0a; b;0); A' (0;0; c) 4.3.Hình chóp đều: Ở trƣờng hợp 4.2.a, ta di chuyển đỉnh A' hình lập phƣơng ABCD.A'B'C'D' dọc theo đƣờng chéo A'C' tới A'  S (S  A' C'B' D' ), ta đƣợc hình chóp tứ giác S.ABCD z A' z D' A' S B' C' a A S D a y a O B x C A B O C C x Chọn hệ trục toạ độ nhƣ hình vẽ trên, ta có toạ độ đỉnh hình chóp a a 2 S.ABCD là: O(o; o; o); B(a;0;0); D(0; a;0); C (a; a;0); S ( ; ;0) 20 y 4.4 Hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy hình chữ nhật, đƣờng cao AO với O  AC  BD Ở trƣờng hợp hình 1b, ta di chuyển đỉnh A' hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' dọc theo đƣờng chéo A'C' tới A'  S (S  A' C 'B' D' ), ta đƣợc hình chóp tứ giác S.ABCD có đặc điểm nhƣ z z A' A' D' S S c B' C' c A D b b D y a a B B C O O x c A C x Chọn hệ trục toạ độ Axyz nhƣ hình vẽ, với: a b A(0;0;0); B(a;0;0); D(0; b;0); C (a; b;0); S ( ; ;0) 2 4.5 Hình chóp tứ giác có đáy hình chữ nhật có mặt bên vng với đáy a, Hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật, mặt bên (SAB) (hoặc (SAO); (SBC);(SCD) tam giác cân S, (SAB)  ( ABCD ) 21 y - Từ hình hộp chữ nhật (hặc hình lập phƣơng) ABCD.A'B'C'D', di chuyển đỉnh A' dọc theo A'B', tới A'  S (với S trung điểm A'B') ta đƣợc hình chóp S.ABCD có tính đặc điểm nhƣ z z A' D' S S B' C' c a B x A y b D A D H C B C x - Chọn hệ trục toạ độ Axyz nhƣ hình vẽ Với: A(0;0;0); B(a;0;0); D(0; b;0); C(a; b;0); S (0;0; c) * Chú ý: Nếu không muốn chọn gốc toạ độ A; ta có chọn hệ trục toạ độ a a a a b D Hxyz sau: H (0;0;0); A( ;0;0); B( ;0;0); C ( ; b;0); D( ; b;0); S (0;0; c) z S c A H a C B x 22 y y b, Hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật, mặt bên (SAD) tam giác vng S, (SAD)  ( ABCD ) Từ hình hộp chữ nhật (hoặc hình lập phƣơng) ABCD.A'B'C'D', ta di chuyển đỉnh A' cạnh A'D' tới A'  S (S  A' D' cho: ASˆ D  90 ) ta đƣợc hình chóp tứ giác S.ABCD có đặc điểm nhƣ z z S S A' D' c c B' y b y A b A H H D D a B C B x C x - Chọn hệ trục toạ độ Axyz nhƣ hình vẽ Với: A(0;0;0); B(a;0;0); D(a; b;0); C (a; b;0); S (0;0; c) Ghi chú: + Ta áp dụng gắn toạ độ cho tập mà hình chóp S.ABCD cho biết (hoặc dễ dàng tính tốn được) đáy ABCD có AB=a, AD=b chiều cao SH=c - Nếu khơng chọn gốc toạ độ A, ta chọn gốc toạ độ H (H chân đường cao hạ từ S xuống (ABCD)) ta hệ trục Hxyz 23 z Giả sử hình chóp SABCD có: SA=a, SD=b, AD=c (a  b  c ), CD  AB  d S ta tính SH = h qua công thức: 1   2 h a b a h  h(0;0;0); S (0;0; h), H 2 D y A A(0; a  h ;0); D(0; b  h ;0); b c B(d ; a  h ;0); C (d ; a  h ;0) B d C x 4.6.Hình chóp tứ giác gần đều: Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi, SO  (ABCD ) với O  AC  BD - Từ hình lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy hình thoi, ta di chuyển đỉnh A' dọc theo A'C' tới A'  S (S  A' C'B' D' ) ta đƣợc hình chóp S.ABCD có tính chất nhƣ z S z A' D' A S B' C' O D A y x O B D C x 24 B C y Chọn hệ trục độ Oxyz nhƣ hình vẽ Giả sử AC = a, BD = b, SO = h  Toạ độ hình chóp S.ABCD có toạ độ đỉnh là: b b a a O(0;0;0); B( ;0;0); D( ; b;0); C (0; ;0); A(0; ;0); S (0;0; h) 2 2 4.7 Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy hình thang vng Ta cắt hình mặt phẳng (A'DC), (A'CB) ta đƣợc hình chóp tứ giác mặt vng, có đáy hình thang vng z z S A' D' C' B' c c A b D A y a B d d C x D y a B b x Chọn hệ trục toạ độ Axyz nhƣ hình vẽ Với: A(0;0;0); B(a;0;0); D(0; b;0); C(a; b;0); S (0;0; c) 25 C GẮN HỆ TRỤC TỌA ĐỘ CHO TỨ DIỆN THƠNG QUA HÌNH HỘP ĐỨNG 5.1 Phƣơng pháp gắn tọa độ: 5.1.1 Tam diện vng Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB=a; AD=b; AA' = c, ta z AA'BD cát hình hộp mặt phẳng (A'BD) ta đƣợc tam diện vuông z A' A' D' c B' c C' b A A D b D y a y a B B C x x Chọn hệ trục tọa độ Oxyz nhƣ hình vẽ Với: A(0;0;0); B(a;0;0); D(0; b;0); A' (0;0; c) *Chú ý: Nếu di chuyển điểm A' tới vị trí S trung điểm A'B', ta đƣợc tứ diện S ABDcó(SAB)  ( ABD ), SAB câm S  ABD vuông A z z A' A' B' S S c D' C' D D b y b B a H C 26 x c x y a - Chọn hệ trục tọa độ Axyz nhƣ hình vẽ với: A(0;0;0); B(a;0;0); D(0; b;0); S ( ;0; c) 5.1.2 Tứ diện bốn mặt vng Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB=a; AD=b; AA' = c, cắt hình hộp mặt phẳng (A'BD) (A'AC) ta đƣợc tứ diện A'ABC có đặc điểm nhƣ z z D’ A’ C’ B ’ b A A' D x B' y A a C a C B y b x B S ABCcó (SAB)  ( ABC ), SAB Chọn hệ trục tọa độ Bxyz nhƣ hình vẽ với B(0;0;0); A(a;0;0); C(0; b;0); A' (0;0; c) *Chú ý: Nếu di chuyển điểm A' với vị trí S trung điểm S A'C', ta tứ diện câm S  ABC vuông C 27 z z A ’ D’ S S x c C’ B’ b A D y A H a y a B C C b B x a b0 ; c) 2 Chọn hệ trục tọa độ Bxyz nhƣ hình vẽ Với B(0;0;0); A(a;0;0); C (0; b;0); S ( ; 5.1.3.Tứ diện có cạnh bên cng góc với đáy Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy hình bình hành Biết góc BAD  , AB=a; AD=b; AA' = c, cắt hình hộp mặt phẳng (A'BD) ta đƣợc tứ diện A' ABCcóA' A  ( ABD) A, biết BAˆ D   , AB  a; AD  b; AA'  c z z D' A' A' B' C' c A B1 x B2 b D α C1 c y A B1 a B C 28 x B2 α a B b C y - Chọn hệ trục tọa độ Axyz nhƣ hình vẽ với: A(0;0;0); C(0; b;0); B(a sin  ; a cos  ;0); A' (0;0; c) 5.1.4 Tứ diện có mặt bên vng góc với đáy Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD hình thoi,AC = a, AD = b, AA' = h,S trung điểm A'C',cắt hình hộp mặt phẳng (SAB),(SBC)ta đƣợc tứ diện SABCcó (SAC )  ( ABC ), SAC cân S,  ABC cân A biết BA = BC = m, đƣờng cao SO = h, AC = a z z A’ D’ S S h C’ B’ h A h A D D b m O B a O C x y B x Chọn hệ trục tọa độ Oxyz nhƣ hình vẽ: Với a a a2 O(0;0;0); A(0; ;0); C (0; ;0); B( m  ;0;0); S (0;0; h) 2 5.1.5 Tứ diện Cho lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy hình thoi cạnh a, BAˆ D  60 AA'  a Gọi O’ giao A’C’ B’D’ Di chuyển điểm A’ tới 29 C y vị trí điểm S A’C’sao cho: A' S  A' D' Khi ta đƣợc tứ diện S.ABD có cạnh a đƣợc tứ diện z z D’ A’ A’ S S O’ C’ a a B ’ y y A A D D 60 60 a I a O O C B B x x Chọn hệ trục tọa độ Axyz nhƣ hình vẽ Với A(0;0;0); D(0; a;0); B( a a a a a ; ;0); S ( ; ; ) 2 5.1.6 Tứ diện gần Cho hình hộp mặt phẳng (A’B’C’) (A’BD);(C’BD) ta đƣợc tứ diện D.A’BC’ có cạnh đối: A’B=C’D=m; A’C’=BD=n; A’D=B’C=P 30 a  c  m  Với: a  c  n 2  2 b  c  p z D’ A’ C’ p p C’ B’ A’ n m n y D A D m C B x B Với việc gắn tứ diện C’ABD vào hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ nhƣ trên, ta thấy tọa độ đỉnh tứ diện C’A’BD tọa độ đỉnh C’,A’,B,D hình hộp chữ nhật: A' (0;0;0); D(0; b;0); B(a;0;0); C' (a; b; c) Ứng dung quan trọng: Nếu toán yêu cầu xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện gần đều, ta việc nội tiếp tứ diện vào hình hộp chữ nhật theo cách Khi tâm bán kính hình cầu ngoại tiếp tứ diện tâm bán kính hình cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật Tâm hình cầu giao điểm A'C AC' (Hoặc B'D BD'), bán kính hình cầu nửa độ dài A'C (hoặc AC', B'D BD') 31 KẾT LUẬN Sau thời gian tìm hiểu nghiên cứu luận văn đạt đƣợc kết nhƣ sau Chƣơng 1: Các kiến thức cở Luận văn hệ thống lại toàn kiến thức tọa độ Chƣơng trình Trung học phổ thơng: tọa độ điểm, véc-tơ, đƣờng thẳng mặt phẳng Oxy, đƣờng thẳng, mặt phẳng không gian chiều Oxyz Khái quát khơng gian Euclide ứng dụng giải tốn phổ thơng Chƣơng 2: Ứng dụng bất đẳng thức Véc tơ để giải phƣơng trình, chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn (GTLN), giá trị nhỏ (GTNN) biểu thức Luận văn nêu đƣợc ứng dụng bất đẳng thức vec-tơ thơng hệ thống ví dụ đề thi tuyển sinh đại học, thi Olympic toán Từ ngƣời đọc hiểu đƣợc cách chọn vec-tơ cho phù hợp với loại bất đẳng thức vận dụng để giải tập áp dụng Chƣơng 3: Tọa độ hình hộp Bằng cách nội tiếp khối đa diện hình hộp chữa nhật, hình hộp đứng có đáy hình bình hành, hình hộp đứng có đáy hình thang vng, luận văn đƣa cách tọa độ cho khối đa diện để giải tốn khó hình khơng gian Phƣơng pháp dễ tiếp cận cho học sinh nhƣ giáo viên trình giảng dạy 32 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Văn Mậu(Chủ biên), Bất đẳng thức số vấn đề liên quan (Tài liệu dùng cho lớp bồi dƣỡng giáo viên THPT-Hè 2005) [2] Văn Nhƣ Cƣơng, Sách giáo khoa Hình học 12, NXB GD năm 2000 [3] Phan Huy Khải, Các phƣơng pháp giải toán Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, NXB Đại Học Sƣ Phạm [4] Phạm Kim Hùng (2011), Sáng tạo bất đẳng thức, NXB Hà Nội [5] Đề thi Olympic Toán học quốc tế, 1965-2005 [6] Đề thi Tốn tồn quốc, 1996-2005 [7] Tạp chí Tốn học tuổi trẻ [8] Tập đề thi Olympiad 30-4 [9] Tập đề thi Việt Nam -TST [10] Tuyển tập đề thi tuyển sinh Đại học -Cao đẳng [11] Thƣ viện trực tuyến ViOLET [12] www.diendantoanhoc.net [13] www.mathlinks.ro [14]Văn Nhƣ Cƣơng, Đồn Quỳnh (chủ biên) Sách giáo khoa Hình học 12, NXB GD năm 2009 33 ... thẳng, tọa độ điểm khoảng cách từ điểm đến điểm cố định gọi gốc tọa độ Trong mặt phẳng thƣờng dùng hệ tọa độ Descartes, tọa độ Afin, tọa độ cầu, tọa độ trụ Ngƣời ta đƣa tọa độ cong vào đƣờng cong... Tọa độ gắn liền với hệ tọa độ xác định, bao gồm gốc tọa độ trục tọa độ Tùy theo mục đích tính chất việc khảo sát đối tƣợng hay đối tƣợng khác, ngƣời ta chọn hệ tọa độ khác Trên đƣờng thẳng, tọa. .. "Tọa Độ Và Ứng Dụng" để hoàn thành chƣơng trình cao học Trong luận văn đƣa nội dung lớn là: Ứng dụng bất đẳng thức vec-tơ Tọa độ hình hộp Với nội dung thứ nhất, tơi trình bày cách chọn tọa độ