LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀICó thể nói rằng bài toán bất đằng thức nói chung và bài toán tìm GTNN, GTLN nói riêng là một trong nhưng bài toán được quan tâm đến nhiều ở các kỳ thi học sinh giỏi, tuy
Trang 1I LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Có thể nói rằng bài toán bất đằng thức nói chung và bài toán tìm GTNN, GTLN nói riêng là một trong nhưng bài toán được quan tâm đến nhiều ở các kỳ thi học sinh giỏi, tuyển sinh Đại học,…và đặc biệt hơn nữa là với xu hướng ra
đề chung của Bộ GD – ĐT Trong kỳ thi tuyển sinh Đại học thì bài toán bất đẳng thức là bài toán khó nhất trong đề thi mặc dù chỉ cần sử dụng một số bất đẳng thức cơ bản trong Sách giáo khoa nhưng học sinh vẫn gặp nhiều khó khăn
do một số sai lầm do thói quen Trong quá trình trực tiếp giảng dạy và nghiên cứu tôi thấy đây là dạng toán không chỉ khó mà còn khá hay, lôi cuốn được các
em học sinh khá giỏi Để giúp học sinh hiểu sâu hơn về bài toán cực trị đặc biệt
là các trường hợp dấu đẳng thức xảy ra, tôi viết chuyên đề “Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức”, để viết sáng kiến kinh nghiệm và trao đổi với đồng nghiệp
Đứng trước thực trạng trên, với tinh thần yêu thích bộ môn, nhằm giúp các em hứng thú hơn, tạo cho các em niềm đam mê, yêu thích môn toán, mở ra một cách nhìn nhận, vận dụng, linh hoạt, sáng tạo các kiến thức đã học, tạo nền tảng cho các học sinh tự học, tự nghiên cứu Được sự động viên, giúp đỡ của các thầy trong hội đồng bộ môn Toán của sở GD, Ban Giám hiệu, đồng nghiệp trong tổ Toán – Tin học trường THPT hàm Rồng Tôi đã mạnh dạn viết chuyên đề
“K thu t ch n i m r i ỹ ậ ọ đ ể ơ trong bất đẳng thức”.
II THỰC TRẠNG TRƯỚC KHI THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI
1 Thuận lợi
- Kiến thức đã được học, các bài tập đã được luyện tập
- Học sinh hứng thú trong tiết học, phát huy được khả năng sáng tạo, tự học và yêu thích môn học
- Có sự khích lệ từ kết quả học tập của học sinh khi thực hiện chuyên đề
- Được sự động viên của BGH, nhận được động viên và đóng góp ý kiến cuả đồng nghiệp
Trang 22 Khó khăn
- Giáo viên mất nhiếu thời gian để chuẩn bị các dạng bài tập
- Đa số học sinh yếu bất đằng thức bài toán tìm GTNN, GTLN
3 Số liệu thống kê
Trong các năm trước, khi gặp bài toán liên quan đến bất đằng thức bài toán tìm GTNN, GTLN số lượng học sinh biết vận dụng được thể hiện qua bảng sau:
III NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ
1 Cơ sở lý luận
Cung cấp cho học sinh không chỉ kiến thức mà cả phương pháp suy luận, khả năng tư duy Từ những kiến thức cơ bản phải dẫn dắt hoc sinh có được những kiến thức nâng cao một cách tự nhiên (chứ không áp đặt ngay kiến thức nâng cao)
2 Nội dung
2.1 BÀI TOÁN MỞ ĐẦU
Bài toán 1 Cho , 0
1
a b
a b
>
+ ≤
2 1
P
ab
Giải
P
ab
Dấu “=” xảy ra
tồn tại Min ? ?P
Lời giải 2 Ta có:
P
Không nhận
biết được
Nhận biết, nhưng không biết vận dụng
Nhận biết và biết vận dụng ,chưa giải được hoàn chỉnh
Nhận biết và biết vận dụng , giải được bài hoàn chỉnh
Trang 3Mặt khác
2 1
a b
ab≤ + =
3
P
Dấu “=” xảy ra
1 2 1
a b
+ + =
+ =
Lời bình: Bài toán 1 áp dụng bất đẳng thức 1 1 4
a b+ ≥ a b
+ Lời giải 1 tại sao sai?
Lời giải 2 tại sao lại tách 1 1 1
2ab = 6ab+ 3ab? ? Làm sao nhận biết được điều đó…?
Đó chính là kỹ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức Và qua chuyên đề này chúng ta sẽ hiểu sâu hơn về kỹ thuật “chọn điểm rơi” trong việc giải các bài toán cực trị.
2.1 PHƯƠNG PHÁP CHỌN ĐIỂM RƠI
1 Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức Cauchy
Bất đẳng thức Cauchy là một bất đẳng thức quen thuộc và có ứng dụng rất rộng
rãi Đây là bất đẳng thức mà bạn đọc cần ghi nhớ rõ ràng nhất, nó sẽ là công cụ hoàn hảo cho việc chứng minh các bất đẳng thức
* Bất đẳng thức Cauchy
Cho n số thực không âm a a1 2 , , , (a n n ≥ 2) ta luôn có:
1 2
1 2
n n
n
n
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a1 =a2 = L =a n
* Một vài hệ quả quan trọng:
n
i
n
L
L
+Cho 2n số dương (n Z n∈ , ≥ 2): a a1 2, , , , , , ,a b b n 1 2 b n ta có:
n( 1 1)( 2 2) ( ) n 1 2 n 1 2
Trong chứng minh bất đẳng thức, đôi khi việc ghép và sử dụng các bất đẳng thức cơ sở không được thuận lợi và dễ dàng Khi sử dụng liên tiếp nhiều bất đẳng thức ta phải chú ý tới điều kiện để bất đẳng thức xảy ra, để điều kiện này luôn được thỏa mãn suốt quá trình ta sử dụng bất đẳng thức trung gian Và bất
Trang 4đẳng thức Cauchy là một trong những bất đẳng thức đó Để thấy được kĩ thuật
này như thế nào ta sẽ đi vào một số ví dụ sau:
Ví dụ 1: Cho a≥3.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S=a+
a
1
Phân tích và tìm tòi lời giải
Xét bảng biến thiên của a,
a
1
và S để dự đoán Min S
a
1
3
1
4
1 5
1 6
1 7
1 8
1 9
1 10
1
11
1
12
30 1
S 3
3
1
4
4
1
5
5
1
6
6
1
7
7
1
8
8
1
9
9
1
10
10
1
11
11
1
12
12
30 1
Nhìn lại bảng biến thiên ta thấy khi a tăng thì S càng lớn và từ đó dẵn đến việc dự đoán khi a=3 thì S nhận giá trị nhỏ nhất.Để dễ hiểu và tạo sự ấn tượng ta
sẽ nói rằng Min S=
3
10
đạt tại “Điểm rơi : a=3”
Do bất đẳng thức côsi chỉ xảy ra dấu bằng tại điều kiện các số tham gia phải bằng nhau ,nên tại “Điểm rơi:a=3”ta không thể sử dụng bất đẳng thức côsi trực tiếp cho 2 số a và
a
1
vì 3≠
3
1
Lúc này ta sẽ giả định sử dụng bất đẳng thức côsi cho cặp số
a
a 1
,
α sao cho tại “điểm rơi:a=3”thì a
α tức là ta có lược đồ
“điểm rơi” sau đây:
Sơ đồ:
3 1 3
1 1
3
=
⇒
=
⇒
=
=
α α
α α
a a
Từ đó ta biến đổi theo sơ đồ “Điểm rơi”được nêu trên
Lời giải: S=a+
a
1
+
a
9
8a
≥2
a
a 1
9 ⋅ +
9
3
8 ⋅
=
3 10
Vậy với a=3 thì Min S=
3 10
Ví dụ 2: Cho a≥6.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S=a2 +
a
18
Sơ đồ điểm rơi :
a=6 ⇒
=
=
6 18
36 6
18
2
a
a
α ⇒
=
=
α α
α
36
36 6 18
2
6
18 18
=
Trang 5Lời giải: S=a2+
a
18
+
a
6 2
2
+ −2 6
1
1 a2 ≥ 2
a
6 2
2
⋅ + −2 6
1
=6
6
a a
6 2
1
6 2
1 1 6
6 6
−
Vậy với a=6 thì Min S=2a+3 6
Ví dụ 3: Cho , 0
1
a b
a b
>
+ ≤
ab
Sai lầm thường gặp:
Sai lầm 1: Ta có :
2ab+ ab≥ 2ab ab = Vậy P≥ + 4 2 2 nên MinP= 2(2 + 2)
Sai lầm 2:
Dấu bằng xảy ra
2 2
2
1
a b
+ =
+ =
Thay 1
2
a b= = vào ta được
7
P≥ ⇒MinP= 7 khi 1
2
a b= =
Nguyên nhân sai lầm:
Sai lầm 1: Học sinh chưa có khái niệm “điểm rơi”, việc tách 1 1 1
ab = ab+ ab là
do thói quen để làm xuất hiện a2+b2+ 2ab= + (a b)2
1
2
1
a b
ab
a b
=
+ =
Dấu “=” bất đẳng thức không xảy ra ⇒
không kết luận được MinP = + 4 2 2
Trang 6Sai lầm 2: Học sinh đã có khái niệm điểm rơi, dự đoán được dấu bằng khi
1
2
a b= = nên đã tách các số hạng và MinP= 7 khi 1
2
a b= = là đúng, nhưng bước cuối học sinh làm sai
Ví dụ như (1 −x)2+ ≥x x, dấu bằng xảy ra khi x= 1⇒Min x( −1)2+x =1??.
Lời giải đúng:
Do P là biểu thức đối xứng với a b, , ta dự đoán MinP đạt tại 1
2
a b= = , ta có:
4 2
Dấu bằng xảy ra
2 2
2 2
2
1
a b
+ =
+ =
Ví dụ 4: Cho , 0
1
a b
a b
>
+ ≤
S
Sai lầm thường gặp:
Ta có:
3
S
3.
2
+
59
3
MinS =
Nguyên nhân sai lầm:
3 3 3 2
3
1
a b
+ =
+ =
Lời giải đúng:
Ta dự đoán dấu bằng xảy ra khi 1
2
a b= = , và ta thấy:
3 3 3 2 3 2 ( ) 3
a + +b a b+ ab = +a b vì thế ta muốn xuất hiện (a b+ )3, ta áp dụng bất đẳng thức 31 3 12 1 2
31 3 12 1 2 3 9
Trang 7Ta khơng đánh giá tiếp được cho nên ta phải áp dụng bất đẳng thức cho 5 số:
3
4
S
a b
Dấu bằng xảy ra khi 1
2
a b= =
2 Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức Bunhia
Cũng như bất đẳng thức Cauchy bất đẳng thức này cũng cần cĩ một
phương pháp để cân bằng các hệ số khi ta giải các bài tốn liên quan đến bất đẳng thức này
* Bất đẳng thức Bunhia
Cho 2n số dương (n Z n∈ , ≥ 2): a a1 2 , , , , , , ,a b b n 1 2 b n ta cĩ:
(a b +a b + + L a b n n) ≤ (a +a + + L a n)(b +b + + L b n)
Dấu “=’ xảy ra 1 2
(quy ước nếu 0 0)
n
n
a
* Một vài hệ quả quan trọng
2 2 1 1 2 2 2
2 1 2 2
2
2
1 a a n b b b n a b a b a n b n
Dạng 2: (a a a n) (b b2 b n2) a1b1 a2b2 a n b n
2
2 1 2 2
2
2
1 + + + ⋅ + + ≥ +
Dạng 3: (a +a + +a n) (⋅ b +b2 + +b n2) ≥a1b1 +a2b2 + +a n b n
2
2 1 2 2
2
2
1
Dấu bằng: Dạng 1, dạng 2
n
n
b
a b
a b
a
=
=
=
2
2 1
1
2
2 1
1 = = = ≥
⇔
n
n
b
a b
a b a
Ví dụ 1:Cho
≥ + +
>
6
0 , ,
c b a
c b a
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2
2 2
a
c c
b b
Phân tích và tìm tịi lời giải:Xét dang đặc biệt với n=2:
2 2
2 1
2 2
2
1 ]
[a +a b +b ≥a b +a b Dấu bằng xẩy ra 0
2
2 1
1 = ≥
⇔
b
a b a
Ý nghĩa: chuyển đổi một biểu thức ở trong căn thành một biểu thức khác ở ngồi căn Xét đánh giá giả định với các số α, β
Trang 8( )
+
≥ +
+ +
= +
b
a b
a b
β α β
α β
2 2
2 2
2 2 2
(1)
+
≥ +
+ +
= +
a
b c
b c
β α β
α β
2 2 2 2 2 2 2 2
(2)
+
≥ +
+ +
= +
a
c a
c a
β α β
α β
2 2 2
2 2 2
(3)
1 1 1 ) (
1
S c b a c
b a
+ + + +
β α
Do S là một biểu thức đối xứng với a, b, c nên dự đoán S=So tại điểm rơi
a=b=c=2, khi đó tất cả các bất đẳng thức (1), (2), (3) đồng thơi xảy ra dấu bằng tức là ta có sơ đồ điểm rơi sau:
b b
a
β
1
=
Sơ đồ: a=b=c=2 ⇒ αb = β1c ⇔ = 1 = 1 = 1 = 14
a
c c
b b
a
β
α
⇒
a
c
β α
1
= Kết hợp với biến đổi theo “kỹ thuật điểm rơi trong cối ” ta có lời giải sau:
Lời giải đúng:
≥ +
= +
b
a b
a b
17
1 ) 1 4 (
1 17
1
2
2 2
2
≥ +
+
= +
c
b c
b c
17
1 ) 1 4 (
1 17
1
2
2 2
2
+
≥ +
+
= +
a
c a
c a
17
1 ) 1 4 (
1 17
1
2
2 2
2
⇒ S≥ 171 4a+4b+4c+ a1+b1+c1= 171 154 (a+b+c)+a4+b4+4c+ a1+b1+1c
2
17 3 3 2
45 17
1 1
1 1 4 4 4 6 6 4
15 17
1
=
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅ +
⋅
≥
c b a
c b a
Với a=b=c=2 thì Min S=
2
17 3
a,b,c > 0
4
= α
1
=
β
Trang 9Ví dụ 2: Cho Tìm Min của S=
b a
c a c
b c b
a
+ + + +
+ +
2
a+b+c≥ 6
Bình luận và lời giải
Phân tích để tìm lời giải: Xét đánh giá giả định với các số α , β
c b
a c
b
a
+ +
≥ +
+
2
2 1
(1)
a c
b a
c
b
+ +
≥ +
+
2
2 1
(2)
b a
c b
a
c
+ +
≥ +
+
2
2 1
(3) _
⇒ + S ≥ a+b+c + a+b + b+c + c+a
1 1
1 )
(
2
α
a c c b b a c
b a
+
+ +
+ + +
+ + +
2
β α
Do biểu thức đối xứng với a,b,c nên dứ đoán S=So tại điểm rơi a=b=c=2, khi đó các bất dẳng thức (1), (2), (3)đồng thời xảy ra dấu bằng tức là có sơ đồ điểm rơi sau đây:
*Sơ đồ điểm rơi:
b
a
β α
1
=
4 1 1 1 1
a
c c
b b
a b
b
β
α β
α
a
c
β α
1
=
Từ đó ta có lời giải sau đây:
*Lời giải đúng:
c b
a c
b
a
+ +
≥ +
+
2 2
+
a c
b a
c
b
+ +
≥ +
+
2 2
4
= α
1
=
β
Trang 10b a
b b
a
c
+ +
≥ +
+
2 2
⇒ S≥ a+b+c + a+b + b+c + c+a
1 1
1 )
( 4 17
a c c b b a c b a a c c b b a c
b
a
+ + + + + + + +
≥ + +
+ +
+
+
.
3 )
(
4
3
9 )
( 4 )
1 1 1 (
9 )
(
4
3 2 2 2 a b b c c a a b c a b c c
b
a
+ + +
+ +
= + + + + + +
+ +
+
+
≥
) (
6 2
9 )
( 6 2
9 8
) (
8
31
c b a c
b a
c b a c
b
a
+ +
+ + + +
+ + + +
+
=
2
51 4
9 4
93 ) (
6 2
9
) (
6 2
9 8
3
6
8
31
+ + +
+
⋅ + + +
⋅
≥
c b a c
b a
c b a
2
17 3 17 2
17 3 17
2
51
=
=
≥
2
17 3
Ví dụ3: Cho a, b, c > 0 thoả mãn a+b+c+ 2abc≥ 10 Chứng minh rằng
4 2
9 8 4
2
9 8 4
2
9
2
2 2 2 2
2 2 2
2 + + + + + + + a + b c ≥
c
b a c b
a c b a
*Lời giải:
Dự đoán điểm rơi: a = b = c = 2
Sử dụng bất đẳng thức bunhiacôpski có:
ca b a
a c b
+
4 2
9 8 4 18 2
2 2 2 2
b
b a c
+
4 2
9 8 4 18 2
2 2 2 2
bc a c
c b a
+
4 2
9 8 4 18 2
2 2 2 2
_
≥
⇒
c b a
.
) (
6 2
2 2
4 2
4 2
4
2
) (
6 ) 2
( ) 2
( ) 2
( 4
4 4
c b a abc abc
abc c
c
b b
a
a
c b a ab c ca bb bc
a c
c
b b
a
a
+ + + +
+ +
⋅ +
⋅ +
⋅
≥
+ + + + + + +
+ +
+ +
+
+
+
=
6 6 24 / 72 72
10 6 12 ) 2 (
6
* Bài tập tương tự (trích dẫn trong các đề thi đại học)
Trang 11Bài1: Cho , , 0
1
x y z xyz
>
, chứng minh rằng:
3 3
: Nếu 1 là đề thi Đại học khối D năm 2005
Bài 2: Cho x y z, , là 3 số thỏa x y z+ + = 0, chứng minh rằng:
3 4 + x + 3 4 + y + 3 4 + z ≥ 6(đề tham khảo 2005)
Bài 3: Cho a≥ 2,b≥ 3,c≥ 4, tìm GTLN: ab c 4 bc a 2 ca b 3
P
abc
=
Bài 4: Cho a b c, , là các số dương thỏa mãn 3
4
a b c+ + = Chứng minh rằng:3a+ 3b+3b+ 2c+3c+ 3a ≤ 3 (ĐTK 2005)
Bài 5: Cho , , 0
1
a b c
a b c
>
+ + ≤
, tìm GTNN của các biểu thức sau:
P
ab bc ca
S
ab bc ca
Q
ab bc ca
Chú ý:
Cần chú ý hai bất đẳng thức Cơsi và Bunhiacơpxki, biết được các dấu hiệu khi nào dùng bất đẳng thức nào.Phát hiện các dấu hiệu như cĩ các bình phương thì thường phải nghĩ tới Bunhiacopxki, cĩ điều kiện các số dương thì khả năng nghĩ tới Cơsi Cách giải phải đi ngược qui trình thơng thường Đầu tiên phải dự đốn được điểm rơi xảy ra tại đâu, sau đĩ lồng ghép các số trong bất đẳng thức sao cho khi xảy ra dấu bằng tại đúng điểm rơi đã dự đốn…
IV KẾT QỦA
Chuyên đề này đã được thực hiện giảng dạy khi tơi tham gia dạy 10NC và Luyện thi Đại học trong hai năm gần đây Trong quá trình học chuyên đề này, học sinh thực sự thấy tự tin, biết vận dụng khi gặp các bài tốn liên quan, tạo cho học sinh niềm đam mê, yêu thích mơn tốn, mở ra cho học sinh cách nhìn
Trang 12nhận, vận dụng, linh hoạt, sáng tạo các kiến thức đã học, tạo nền tảng cho học sinh tự học, tự nghiên cứu
Kết quả sau khi thực hiện chuyên đề:
Không nhận
biết được
Nhận biết, nhưng không biết vận dụng
Nhận biết và biết vận dụng ,chưa giải được hoàn chỉnh
Nhận biết và biết vận dụng , giải được bài hoàn chỉnh
V GIẢI PHÁP MỚI
Dạng toán Kü thuËt chän ®iÓm r¬i trong bất đẳng thức nói chung rất đa dạng và phong phú Mỗi bài toán lại có rất nhiều cách giải khác nhau, việc lựa chọn sử dụng linh hoạt các kiến thức đã học sẽ làm cho học sinh phát triển tư duy sáng tạo Chuyên đề này chỉ mang tính chất gợi mở cung cấp cho học sinh cách nhìn mới, phát huy sự sáng tạo Để đạt kết quả cao học sinh cần luyện tập nhiều, có thêm nhiều thời gian để sưu tầm các tài liệu tham khảo liên quan
VI THỰC TIỄN GIẢNG DẠY
1 Quá trình áp dụng
Bằng một chút vốn hiểu biết và kinh nghiệm giảng dạy một số năm, tôi đã
hệ thống được một số kiến thức liên quan, sưu tầm và tích lũy được một số bài tập phù hợp theo mức độ từ dễ đến khó để cho học sinh tham khảo tự giải
2 Hiệu quả sau khi sử dụng
Sau khi học sinh học xong chuyên đề này học sinh thấy tự tin hơn, hứng thú hơn, tạo cho học sinh niềm đam mê, yêu thích môn toán, mở ra một cách nhìn nhận, vận dụng, linh hoạt, sáng tạo các kiến thức đã học, tạo nền tảng cho học sinh tự học và tự nghiên cứu
3 Bài học kinh nghiệm
Trang 13Từ thực tế giảng dạy chuyên đề này, một kinh nghiệm được rút ra là trước hết học sinh phải nắm chắc các kiến thức cơ bản, biết vận dụng linh hoạt các kiến thức này, từ đó mới dạy các chuyên đề mở rộng, nâng cao, khắc sâu kiến thức một cách hợp lý với các đối tượng học sinh nhằm bồi dưỡng năng khiếu, rèn kỹ năng cho học sinh
Chuyên đề này chủ yếu đưa ra các bài tập từ đơn giản đến nâng cao từ đó hình thành kỹ năng, phương pháp giải Do đó khi giảng dạy phải cung cấp nhiều dạng bài tập khác nhau để phát triển tư duy của học sinh
VII KẾT LUẬN
Một bài toán có thể có rất nhiều cách giải song việc tìm ra một lời giải hợp
lý, ngắn gọn thú vị và độc đáo là một việc không dễ Do đó đây chỉ là một chuyên đề trong rất nhiều chuyên đề, một phương pháp trong hàng vạn phương pháp để giúp phát triển tư duy, sự sáng tạo của học sinh Giáo viên trước hết phải cung cấp cho học sinh nắm chắc các kiến thức cơ bản sau đó là cung cấp cho học sinh cách nhận dạng bài toán, thể hiện bài toán từ đó học sinh có thể vân dụng linh hoạt các kiến thưc cơ bản, phân tích tìm ra hướng giải, bắt đầu từ đâu
và bắt đầu như thế nào là rất quan trọng để học sinh không sợ khi đứng trước một bài toán khó mà dần dần tạo sự tự tin, gây hứng thú say mê môn toán, từ đó tạo cho học sinh tác phong tự học, tự nghiên cứu
Tuy nội dung của chuyên đề khá rộng, song trong khuôn khổ thời gian có hạn người viết cũng chỉ ra được các ví dụ, bài toán điển hình
Rất mong sự đóng góp ý kiến của các bạn quan tâm và đồng nghiệp để chuyên đề này được đầy đủ hoàn thiện hơn
VII TÀI LIỆU THAM KHẢO
1 Bài tập đại số lớp 10, Bài tập hình học 12 – nhà XBGD năm 2008
2 Tạp chí Toán học và tuổi trẻ năm 2010
3 Các dạng Toán LT ĐH của Phan Huy Khải- NXB Hà Nội năm 2002
4 263 bài bất đẳng thức của Nguyễn Vũ Thanh-NXB Giáo Dục
5 Bất đẳng thức của Trần Văn Hạo-NXB Giáo Dục năm 2009
Thanh Hóa, ngày 09 tháng 05 năm 2013
Người thực hiện