KỸ THUẬT HẰNG SỐ VẮNG TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC 1. MỞ ĐẦU 1.1. Lí do chọn đề tài Dạy học môn toán ở trường phổ thông là hướng tới việc dạy cho học sinh biết giải toán. Tuy nhiên khả năng của mỗi học sinh là khác nhau. Cùng một thầy cô giáo truyền đạt với cùng một nội dung nhưng có học sinh làm được và có những học sinh gặp khó khăn với vấn đề đó. lí do ở đây là từ phía học sinh hay phía thầy cô? Theo bản thân tôi thì từ hai phía: Từ phía thầy cô là không đơn giản hoá những vấn đề phức tạp để học sinh nắm được dễ dàng hơn; thầy cô truyền đạt kiến thức một cách máy móc; thầy cô chỉ mô tả lại những gì đã được viết trong sách giáo khoa hay các tài liệu tham khảo, không phân tích, không nhấn mạnh những nội dung trọng tâm, không giải mã được các điểm mấu trốt của bài toán. Từ phía trò là khả năng của một bộ học sinh còn hạn chế; cảm thấy khó tiếp thu với cách thầy cô truyền đạt. Bài toán giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình chứa căn là dạng toán chúng ta thường gặp trong các kì thi tuyển sinh ĐH&CĐ. Và chúng ta đã biết có rất nhiều cách để giải bài toán này như: biến đổi tương đương, đặt ẩn phụ, phương pháp đánh giá, phương pháp hàm số tuy nhiên đối với học sinh lớp 10 thì có một vài phương pháp là chưa thể dùng được hoặc có những bài toán đã được tích hợp rất nhiều kĩ năng trong đó mà một bộ phận học sinh không thể phát hiện ra cách giải và thầy cô cũng chưa khái quát được phương pháp chung cho nó. Lê Văn Tiến - GV Trường THPT Yên Định 2 1 KỸ THUẬT HẰNG SỐ VẮNG TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC Sau khi tìm hiểu, tiến hành giải các bài toán loại này tôi đã chọn đề tài “ Kỹ thuật hằng số vắng trong giải phương trình chứa căn thức” 1.2. Cơ sở thực tiễn Từ việc đọc tài liệu, thông qua các tiết luyện tập và dạy bồi dưỡng cho các đối tượng học sinh. Tôi nhận thấy cần thiết phải khái quát dạng bài toán trên nhằm đưa ra một lối tư duy đơn giản và hiệu quả trong dạy học, gỡ bỏ những rào cản về mặt kiến thức cho học sinh, giúp các em có thêm một công cụ trong giải toán. 1.3. Cơ sở khoa học Giải quyết tốt nội dung trong đề tài sẽ giúp đa số học sinh có thể làm được bài tập, hơn thế nữa là giúp một bộ phận Thầy, Cô giáo trong việc đánh giá, nhìn nhận năng lực tiếp thu của học sinh, trên cơ sở đó để lựa chọn cách thực hiện hoạt động giáo dục phù hợp với năng lực của từng đối tượng học sinh. 1.4. Nhiệm vụ nghiên cứu Đề tài này tập trung giải quyết các nội dung: - Khái quát cách giải cho một lớp bài toán, gỡ bỏ rào cản về mặt kiến thức cho học sinh. - Chỉ ra cách tạo “hằng số vắng” cho bài toán. - Phương pháp nghiên cứu: Nghiên cứu lí luận và thực nghiệm sư phạm. 2. NỘI DUNG Lê Văn Tiến - GV Trường THPT Yên Định 2 2 KỸ THUẬT HẰNG SỐ VẮNG TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC 2.1. Cách tạo “ Hằng số vắng”: Bài toán 1: Giải phương trình: 2 3 1 6 3 14 8 0x x x x+ − − + − − = (1) (Đề thi ĐH khối B – 2010) Đáp án của Bộ giáo dục và đào tạo Điều kiện: 1 6 3 x− ≤ ≤ Pt(1) ( ) ( ) 2 3 1 4 1 6 3 14 5 0x x x x⇔ + − + − − + − − = ( ) ( ) ( ) ( ) 3 5 5 5 3 1 0 3 1 4 6 1 3 1 5 3 1 0 3 1 4 6 1 x x x x x x x x x x − − ⇔ + + − + = + + − + ⇔ − + + + = + + − + 5 3 1 3 1 0 (*) 3 1 4 6 1 x x x x = ⇔ + + + = + + − + Pt(*) vô nghiệm, do VT > 0 với 1 6 3 x− ≤ ≤ Vậy phương trình có một nghiệm x = 5. Bình luận: Đáp án trên không có gì sai sót, tuy nhiên tôi đã nhận được rất nhiều thắc mắc của học sinh là con số 4 và 1 được lấy từ đâu? tại sao lại là hai con số đó mà không phải là hai con số khác và Lê Văn Tiến - GV Trường THPT Yên Định 2 3 tạo ra như thế nào? tạo ra như thế nào? KỸ THUẬT HẰNG SỐ VẮNG TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC nó được tạo ra như thế nào? Đúng thật là một vấn đề cần chú ý đối với học sinh và việc tạo ra hai con số đó là tự phát hay có một qui luật nào không? Việc tạo ra hai con số trên là có một qui luật. tôi sẽ giúp các em tìm ra qui luật đó và đây cũng là nội dung của đề tài “Kỹ thuật hằng số vắng” . Khi thực hiện tìm hằng số vắng của bài toán các em hãy nhẫm một nghiệm của phương trình, nhận thấy phương trình (1) có nghiệm x 0 = 5. Tìm hằng số vắng: con số 4 = 0 3 1 3.5 1 4x + = + = con số 1 = 0 6 6 5 1x− = − = Đây là lí do và cách để tạo hai con số 4 và 1. Bài toán 2: Giải phương trình: 2 2 12 5 3 5x x x+ + = + + (1) (OLYMPIC 30/4 đề nghị) Giải: Để phương trình có nghiệm thì : 2 2 5 12 5 3 5 0 3 x x x x+ − + = − ≥ ⇔ ≥ Ta nhận thấy : x 0 = 2 là nghiệm của phương trình, như vậy có thể tạo ra hằng số vắng như sau: 2 2 0 12 2 12 4x + = + = 2 2 0 5 2 5 3x + = + = Lê Văn Tiến - GV Trường THPT Yên Định 2 4 Hằng số 1 Hằng số 2 KỸ THUẬT HẰNG SỐ VẮNG TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC Pt(1) ⇔ ( ) ( ) 2 2 12 4 5 3 3 6x x x+ − − + − = − ( ) 2 2 2 2 4 4 3 2 12 4 5 3 x x x x x − − ⇔ − = − + + + + ( ) 2 2 2 2 2 3 0 2 12 4 5 3 x x x x x x + + ⇔ − − − = ⇔ = ÷ + + + + (Do 2 2 2 2 5 3 0, 3 12 4 5 3 x x x x x + + − − < ∀ > + + + + ) Vậy phương trình có nghiệm x = 2. 2.2. Gỡ bỏ rào cản kiến thức Bài toán 1: Giải phương trình: 2 3 6 7 1x x x+ + = − − (3) (Đề thi HSG tỉnh Lâm Đồng) Đáp án: Điều kiện: 1x ≥ Pt (3) 2 3 6 1 7x x x⇔ + + − + = +) Nhận thấy x = 1 không phải là nghiệm của phương trình; +) Với x > 1, xét hàm số: ( ) ( ) 2 3 6 1 1f x x x x x= + + − + > Ta có ( ) ( ) 2 3 1 1 ' 2 0, 1 2 1 3 6 f x x x x x = + + > > − + Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng ( ) 1;+∞ nên pt(3) có không quá 1 nghiệm trên ( ) 1;+∞ , mặt khác f(2) = 7 nên phương trình (3) có nghiệm duy nhất x = 2. Lê Văn Tiến - GV Trường THPT Yên Định 2 5 KỸ THUẬT HẰNG SỐ VẮNG TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC Bình luận: Với cách giải sử dụng phương pháp hàm số như trên thì học sinh lớp 10 là chưa phù hợp. tuy nhiên nếu sử dụng kỹ thuật hằng số vắng thì sẽ phù hợp với kiến thức của học sinh lớp 10. Cách giải phù hợp đối với học sinh lớp 10 – “Gỡ rào cản kiến thức” Tạo hằng số vắng: Nhận thấy x 0 = 2 là nghiệm của phương trình (3), 3 3 0 6 2 6 2x + = + = 0 1 2 1 1x − = − = Bài làm Điều kiện: 1x ≥ Pt (3) ( ) ( ) 2 3 6 2 1 1 4 0x x x⇔ + − + − − + − = ( ) ( ) ( ) 2 3 3 2 2 2 2 0 1 2 6 2 6 4 x x x x x x x − − ⇔ + + − + = − + + + + + ( ) ( ) ( ) 2 3 3 1 1 2 2 0 1 2 6 2 6 4 x x x x x ⇔ − + + + = − + + + + + ( ) 2 3 3 2 1 1 2 0 (*) 1 2 6 2 6 4 x x x x x = ⇔ + + + = − + + + + + Phương trình (*) vô nghiệm với 1x∀ ≥ . Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 2. Lê Văn Tiến - GV Trường THPT Yên Định 2 6 Hằng số 1 Hằng số 2 KỸ THUẬT HẰNG SỐ VẮNG TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC Bài toán 2 Giải hệ phương trình: 3 2 2 3 2 (1) 6 1 4 (2) x y x y x y + = − − + + − = (Đề thi HSG tỉnh Vĩnh Phúc) Giải: Điều kiện: 2 0 1 x y y + ≥ ≤ Pt (1) ( ) 2 1 ( / ) 2 2 2 3 0 2 3 ( ) x y t m x y x y x y l + = ⇔ + + + − = ⇔ + = − Với 2 1 1 2x y y x+ = ⇔ = − thay vào (2), ta có: 3 6 2 4x x+ + = (*) “ Ta sử dụng kỹ thuật hằng số vắng để giải phương trình (*): nhận thấy phương trình có nghiệm x 0 = 2 và 3 3 0 6 2 6 2x + = + = ; 0 2 2.2 2x = = ” phương trình (*) ( ) ( ) 3 6 2 2 2 0x x⇔ + − + − = ( ) ( ) 2 3 3 2 2 2 0 2 2 6 2 6 4 x x x x x − − ⇔ + = + + + + + ( ) ( ) 2 3 3 1 2 2 0 2 2 6 2 6 4 x x x x ⇔ − + = + + + + + ( ) 2 3 3 2 1 2 0 (**) 2 2 6 2 6 4 x x x x = ⇔ + = + + + + + Phương trình (**) vô nghiệm với 0x ≥ . Với x = 2, suy ra y = - 3. Vậy hệ phương trình có nghiệm (2; - 3). Lê Văn Tiến - GV Trường THPT Yên Định 2 7 KỸ THUẬT HẰNG SỐ VẮNG TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC Thông thường thì phương trình (*) được giải bằng phương pháp hàm số. Nhưng nếu thế thì sẽ không phù hợp với học sinh lớp 10 và chúng ta thấy nếu sử dụng kỹ thuật hằng số vắng thì bài toán này rất quen thuộc với các em học sinh lớp 10. 2.3. Bài tập vận dụng Giải các phương trình 1. 3 1 5 4x x x− − = − 2. 3 1 4 5x x x− = − − + 3. 2 2 1 3 4x x x− + + = − 4. 2 2 15 2 3 8x x x+ + = + + 5. 2 2 4 6 11x x x x− + − = − + Lê Văn Tiến - GV Trường THPT Yên Định 2 8 KỸ THUẬT HẰNG SỐ VẮNG TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC 3. KẾT LUẬN Đề tài đã giải quyết được các vấn đề sau: 1) Đề tài đã chỉ ra được các vướng mắc của một lớp đối tượng học sinh trong khi giải toán, tiếp thu kiến thức mà khi viết tài liệu các tác giả xem nó như là những nội dung mà tất cả học sinh đều nắm được một cách đơn giản. 2) Đề tài đã chỉ ra hướng đi nhằm đơn giản các đơn vị kiến làm cho học sinh tiếp thu kiến thức nhẹ nhàng hơn, rễ hiểu hơn. 3) Đề tài đã tạo ra cho các thầy, cô giáo một thay đổi trong quá trình nhìn nhận, đánh giá năng lực của một bộ phận học sinh. 4) Đề tài có thể được dùng trong những tiết luyện tập để nâng cao kết quả hoạt động giáo dục. 5) Đề tài của tôi đã được kiểm nghiệm trong các năm học giảng dạy lớp 10, được học sinh đồng tình và đạt được kết quả, nâng cao khả năng giải phương trình chứa căn thức. Các em hứng thú học tập hơn, ở những lớp có hướng dẫn kỹ thuật này các em học sinh với mức học trung bình trở lên đã có kỹ năng giải các bài tập. Học sinh biết áp dụng tăng rõ rệt. Cụ thể ở các lớp khối 10 sau khi áp dụng sáng kiến này vào giảng dạy thì số HS hiểu và có kỹ năng giải được các dạng toán nói trên, kết quả qua các bài kiểm tra thử như sau : Năm Lớp Tổng Điểm 8 trở Điểm từ 5 Điểm dưới 5 Lê Văn Tiến - GV Trường THPT Yên Định 2 9 KỸ THUẬT HẰNG SỐ VẮNG TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC học số lên đến 8 Số lượng Tỷ lệ Số lượng Tỷ lệ Số lượng Tỷ lệ 2011- 2012 10C1 46 36 78.2 % 7 15.2 % 3 6.6 % 10C2 48 30 62.5% 10 20.8% 8 16.7 % 10C4 48 15 31.3 % 20 41.7 % 13 27 % Như vậy tôi thấy kỹ thuật hằng số vắng có hiệu quả trong giảng dạy. Theo tôi khi dạy phần toán giải phương trình vô tỉ giáo viên cần chỉ rõ các dạng toán và cách giải tương ứng để học sinh nắm được bài tốt hơn. Các bạn đồng nghiệp thân mến. Các kỹ thuật giải toán được tôi nêu trong đề tài này tưởng như không có gì đặc biệt, tuy nhiên nó lại tạo ra một hướng giải toán hiệu quả và phù hợp với đại bộ phận học sinh. Quá trình giảng dạy tôi đã nhận được không ít những câu hỏi, thắc mắc và bằng cách sử dụng kỹ thuật trên hướng dẫn cho học sinh thì học sinh nắm được vấn đề và giải tốt các bài toán tương tự. Đề tài này có thể không tránh khỏi những sai sót nhỏ, mong các bạn đóng góp ý kiến để đề tài được hoàn thiện hơn. Xin chân thanh cảm ơn! Yên Định, tháng 4 năm 2012 Lê Văn Tiến - GV Trường THPT Yên Định 2 10 . Văn Tiến - GV Trường THPT Yên Định 2 2 KỸ THUẬT HẰNG SỐ VẮNG TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC 2.1. Cách tạo “ Hằng số vắng : Bài toán 1: Giải phương trình: 2 3 1 6 3 14 8 0x x x x+ − − +. + Phương trình (*) vô nghiệm với 1x∀ ≥ . Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 2. Lê Văn Tiến - GV Trường THPT Yên Định 2 6 Hằng số 1 Hằng số 2 KỸ THUẬT HẰNG SỐ VẮNG TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH. 7 nên phương trình (3) có nghiệm duy nhất x = 2. Lê Văn Tiến - GV Trường THPT Yên Định 2 5 KỸ THUẬT HẰNG SỐ VẮNG TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC Bình luận: Với cách giải sử dụng phương