Nhìn bài toán hình học phẳng thuần túy bằng con mắt tọa độ_SKKN toán THPT

- Sử dụng công cụ tọa độ là giải pháp được đề cập và luận bàn trong bài viếtnày.. Ý nghĩa và tác dụng: - Giải pháp sử dụng công cụ tọa độ mang lại nhiều ý nghĩa và tác dụng: Với việc sửd

SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO BÌNH ĐỊNH

THUẦN TÚY “BẰNG CON MẮT TỌA ĐỘ”

Người thực hiện: Huyønh Duy

Thuûy

Năm học 2012-2013

tìm giải pháp của đề tài.

công cụ tọa độ

Người thực hiện: Huỳnh Duy

- Dạng bài: Chứng minh hai đường thẳng song song 49

Người thực hiện: Huỳnh Duy

- Dạng bài: Chứng minh 1 điểm di động trên 1 đường cố định

A P H P Ầ H N Ầ A N : M M Ở Ở Đ Đ Ầ Ầ U U

I I Đ Ặ Đ T ẶT V V Ấ Ấ N N Đ Đ Ề Ề:

1 Thực trạng của vấn đề:

của toán học, ẩn chứa vẻ đẹp diệu kỳ, là một trong những bài toán rất phổ thông và cóvai trò quan trọng trong toán học và đời sống Trong các kỳ thi chọn học sinh giỏi cấptỉnh, cấp quốc gia, quốc tế, thí sinh thường xuyên phải va chạm với bài toán khá “hócbúa” gây nhiều khó khăn, trăn trở này Vì thế việc tìm hiểu và tường minh một giảipháp khả dĩ là kỳ vọng của tác giả

- Sử dụng công cụ tọa độ là giải pháp được đề cập và luận bàn trong bài viếtnày

* Những câu hỏi rất “tự nhiên” được đặt ra là:

- Dựa vào dấu hiệu nào, đặc điểm gì mà ta vận dụng công cụ tọa độ ?

- Với mỗi bài toán, việc xây dựng hệ trục tọa độ được hình thành qua nhữngcông đoạn nào?

- Liệu rằng có thể xác lập được một nguyên tắc chung với các bước thực hiện có trình tự trong việc vận dụng công cụ tọa độ hay không?

Bằng sự trải nghiệm, người viết cố gắng giải đáp những câu hỏi đã đặt ra vớiước vọng góp một chút suy nghĩ bé nhỏ của mình để cùng quý thầy cô tạo ra một gócnhìn đa chiều về bài toán rất phổ thông và quan trọng này

2 Ý nghĩa và tác dụng:

- Giải pháp sử dụng công cụ tọa độ mang lại nhiều ý nghĩa và tác dụng: Với việc sửdụng công cụ tọa độ, ta đã đại số hóa bài toán hình học Biến những quan hệ thuầntúy trong hình học sang yếu tố về “lượng”, chính vì thế “cơ hội” giải bài toán caohơn và có đường lối hơn Điều này là rất quan trọng trong dạy toán, học toán

3 Phạm vi nghiên cứu của đề tài:

Phạm vi nghiên cứu mà đề tài hướng tới là:

- Hình thành cô đọng lượng kiến thức thiết yếu, nền tảng làm cơ sở cho giải pháp

sử dụng công cụ tọa độ

- Xây dựng nguyên tắc xác định hệ trục tọa độ Đề các tương ứng với mỗi loại

- Khám phá, phân tích nhiều lời giải trên một bài toán, làm rõ quan hệ hữu cơ,

sự hỗ trợ, bổ sung cho nhau giữa các cách giải, từ đó hoàn thiện kiến thức và nắm bắtbài toán một cách thấu đáo và có chiều sâu

II.IPI.HPƯHƠƯNƠGNGPHPÁHPÁTPITẾINẾHNÀHNÀHNH:

1 Cơ sở lý luận và thực tiễn:

Qua quá trình giảng dạy, người viết luôn nâng cao ý thức tự học, tinh thần cầutiến, lắng nghe, học hỏi ở nhiều thế hệ thầy cô Tìm tòi, tham khảo những tài liệu cóliên quan, khai thác, khám phá, phát hiện, kiến tạo, xử lý và tích lũy thông tin

2 Các biện pháp tiến hành, thời gian:

* Từ những dạng bài trong các kỳ thi chọn học sinh giỏi, người viết suy nghĩ , “mỗxẻ”, tìm ra biện pháp, ý tưởng theo cách của riêng mình, tạo ra một cách nhìn

* Người viết xin cam đoan rằng: Đề tài này tự bản thân mình xây dựng với tất cả lòng

đề tài nào

B NỘI DUNG

I I M M Ụ Ụ C C T TI I Ê Ê U U

- Với kết cấu và yêu cầu chung của chương trình hiện nay, việc giải tốn bằng cơng cụtọa độ được đặc biệt nhấn mạnh

- Với việc xử lý các tính chất, quan hệ hình học bằng phép tốn đại số, người viết hy

học tốn, bằng một giải pháp mạnh “giải pháp sử dụng cơng cụ tọa độ”

II MƠ TẢ GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI.

1 Tính mới và tính sáng tạo của giải pháp:

- Tính mới của giải pháp dự thi thể hiện ở 7 điểm sau:

(7 điểm mới này cũng đồng thời khắc phục được những nhược điểm của giải pháp đã biết).

Ba là:

Chỉ ra được trên cùng một bài tốn, ta cĩ thể xác lập được các hệ trục tọa độ Đềcác với những vị trí khác nhau, mà bài tốn vẫn cho cùng kết quả Điều này thể hiệntính độc đáo, sự “tự do” khơng bị gị bĩ, cứng nhắc của giải pháp Đây lại là một ưuđiểm rõ ràng của giải pháp

- Chuẩn hóa độ dài các đoạn thẳng và đơn vị trục.

mức thấp nhất việc sử dụng các tham số, điều chỉnh giá trị của các tham số để nhậnđược những tọa độ “đẹp” giúp các phép toán trở nên đơn giản

+ Khai thác các tính chất và phép toán liên quan đến véctơ và tọa độ như:

- Điều kiện theo tọa độ để 2 véc tơ vuông góc

- Điều kiện theo tọa độ để 2 véc tơ cùng phương

- Tính khoảng cách từ 1 điểm đến đường thẳng dựa theo tọa độ

- Tính số đo của góc hợp bởi 2 đường thẳng dựa theo tọa độ …

+ Với sự trợ giúp của công nghệ máy tính ta không “ngại” khâu tính toán

Hoặc chọn hệ trục tọa độ Đề các vuông góc Ixy Trong đó I là trung điểm đoạn

AB B thuộc tia Ox

T TA A M M G G I I Á Á C C C C Â Â N N

* Trường hợp tam giác ABC cân tại A

Thông thường ta xây dựng hệ trục tọa độ đề các vuông góc như sau:

- Hạ đường cao từ đỉnh của tam giác cân đến cạnh đối diện

AO ⊥ BC

- Chọn hệ trục tọa độ đề các vuông góc Oxy trong đó:

+ O (0; 0) là gốc tọa độ

A

+ Đỉnh C thuộc tia Ox

+ Đỉnh A thuộc tia Oy

* Chuẩn hóa độ dài

T T A A M M G G I I Á Á C C

Chọn hệ trục tọa độ Đề các vuông góc

Gốc tọa độ O là trung điểm cạnh BC

C thuộc tia Ox

C thuộc tia Ox

HÌN H H ÌN C H H C Ữ HỮ NH NH ẬT ẬT

- Chọn một đỉnh của hình chữ nhật làm gốc tọa độ

- Hai cạnh liên tiếp của hình chữ nhật nằm

* Chuẩn hóa độ dài:

I

Không mất tính tổng quát, ta đặt chiều dài,

chiều rộng của hình chữ nhật lần lượt là:

Khi đó ta nhận được những kết quả thật đẹp

Chẳng hạn: Tâm của hình chữ nhật là I (a, b)

Phương trình đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật là:

(x − a)2 + ( y − b)2 = a2 + b2

H H Ì Ì N N H H T T H H O O I I

góc với nhau, nên ta có thể chọn giao

điểm 2 đường chéo là gốc tọa độ

- Mỗi đường chéo nằm trên mỗi trục

ĐƯỜNG TRÒN ĐƯỜNG TRÒN

(Vì dựa theo cos2a + sin2a = 1)

- Xét hình lục giác đều ABCDEF, đường chéo AC và cạnh AF vuông góc nhau

- Chọn hệ trục tọa độ đề các vuông góc Axy trong đó:

+ A (0 ; 0)+ F thuộc tia Ax+ C thuộc tia Ay

- Chuẩn hóa độ dài:

Không mất tính tổng quát, ta chuẩn hóa độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp lục giác đều bằng 2h.

Ta có những tọa độ “thật đẹp”: A (0, 0)

C(0; 2 3h) E(3h; 3h)

CÁC LOẠI HÌNH KHÁC CÁC LOẠI HÌNH KHÁC

* Điều quan trọng cần nhận rõ rằng có loại hình, khi chọn hệ trục tọa độ Đề các vuông góc, ta có thể chỉ chọn một trục tọa độ, trục còn lại không cần quan tâm tới, bài toán vẫn giải tốt.

- Còn hơn thế nữa, trên cùng một bài toán, ta có thể lựa chọn những hệ trục tọa

độ Đề -các vuông góc khác nhau, nhưng vẫn đem lại kết quả như nhau.

- Như vậy việc chọn hệ trục tọa độ là rộng đường, không bị “gò bó”, “cứng nhắc”,

NHỮNG KIẾN THỨC THIẾT YẾU TRONG

SỬ DỤNG CÔNG CỤ TỌA ĐỘ

* Với việc hình thành hệ trục tọa độ trong mặt phẳng, ta giải được các bài toán thường

gặp sau đây, dựa theo các bước đã được “mặc định” đây là thế mạnh “rất riêng”

của giải pháp sử dụng công cụ tọa độ

Bài toán: TÌM QUỸ TÍCH ĐIỂM M.

Ta thực hiện như sau:

- Gọi tọa độ điểm M (x; y)

- Dựa vào tính chất của điểm M có trong giả thiết, ta tính được:

- Khử tham số m, ta nhận được phương

- Khi đó, căn cứ vào điều kiện ràng buộc của tham số m ta giới hạn được quỹ tích điểm M (nếu có).

* Trường hợp, một trong hai thành phần tọa độ không phụ thuộc vào tham số m thì điểm M di động trên đường thẳng nằm ngang hoặc thẳng đứng

- Công đoạn còn lại: giới hạn quỹ tích

Bài toán: Chứng minh đường thẳng (d) đi qua một điểm cố định.

sau:

Để chứng minh đường thẳng (d) đi qua một điểm cố định ta thực hiện các bước

- Biến đổi phương trình đường thẳng (d) về dạng:

Giải hệ phương trình trên ta được tọa độ điểm cố định

Bài toán: Chứng minh đường thẳng (∆) tiếp xúc với một đường

Bài toán: Chứng minh điểm M di động trên một đường cố định.

Để chứng minh điểm M di động trên một đường cố định, thông thường ta định hướng giải như sau:

- Viết phương trình hai đường thẳng di động đi qua điểm M

- Giải hệ phương trình ta nhận được tọa độ giao điểm M (x, y)



Bài toán: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc.

-Ta vận dụng biểu thức tọa độ của tích vô hướng

a ⊥ b ⇔ a.b = 0

⇔ a1a2 + b1b2 = 0

Hoặc chứng minh tích hai hệ số góc của 2 đường thẳng bằng (-1)

Bài toán: Chứng minh ba điểm thẳng hàng.

- Ta vận dụng điều kiện để 2 véctơ AB = (h, k )

và

AC = (m, n)

cùng phương

Bài toán: Chứng minh hai đường thẳng song song.

- Ta vận dụng điều kiện 2 véctơ cùng phương.

Bài toán: TÌM DIỆN TÍCH

- Ta vận dụng công thức tính khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng

r r

cos(d1, d2 ) = cos(a,b) = r r

a b

B B À À I I T T Ậ Ậ P P M MI I N N H H H H Ọ Ọ A A

Trong mỗi bài tập minh họa người viết tìm tòi, phát hiện những đặc điểm tiềm

ẩn, trao đổi suy nghĩ, phân tích lời giải Bởi mỗi lời giải mang một nét đẹp riêng vàngoài việc cập nhật cho ta giải pháp xử lý bài toán, còn hàm chứa một lượng kiến thức thiết yếu.

DẠNG BÀI TÍNH TOÁN DẠNG BÀI TÍNH TOÁN

Cho tam giác ABC có B□EC là góc nhọn, trong đó E là trung điểm của cạnh AB Trên tia EC lấy điểm M sao cho B□ME = E□CA

Ký hiệu α là số đo của góc B□EC

Cách giải 1: Thuần túy hình học.

Trên tia CE lấy điểm I sao cho E là trung điểm CI Khi đó ta có ACBI là hình bình hành

⇒ C□IB = □ACE

Suy ra: ∆MBI cân tại B

Kẻ BJ ⊥ MI , ta có J là trung điểm MI

Trường hợp 1: E□CB < 900

Mà C□EB < 900

Nên điểm J nằm giữa C và E

Ta lại có E nằm giữa C và I (do E là trung điểm CI)

Do đó: E nằm giữa I và J

⇒ JI = JE + EI (*)

Vì M thuộc tia EC nên M

(điều trái với giả thiết ta đang xét là góc E□CB < 900 )

Như vậy M không thể nằm giữa E và C

Mà M thuộc tia EC

= cosα

Trường hợp 2:

E□CB > 900

Mà C□EB < 900 nên điểm C nằm giữa J và E (3)

Ta lại có E nằm giữa C và I Do đó E nằm giữa I và J

Suy ra: IJ = IE + EJ = IE + EC+ CJ = 2CE + CJ(***)

Ta chứng minh điểm M không thể nằm giữa E và C

Thật vậy, giả sử M nằm giữa E và C

Mà E□MB = E□CA = C□EB − C□AE < C□EB < 900

mâu thuẩn nhau

Do đó điểm M không nằm giữa E và C Mà M thuộc tia EC nên C nằm giữa M

và E Khi đó, ta có:

M□ CB = 1800 − E□CB < 900

C□MB = E□MB = E□CA = C□EB −C□AE < 900

Mà J là chân đường cao kẻ từ B xuống đường thẳng CM Nên J nằm giữa C và

M Suy ra: JM = CM – CJ (****)

Từ (***) và (****) kết hợp với J là trung điểm IM

Suy ra: 2CE +CJ = CM – CJ

AB

sin β sin B□CE

⇔ sin 1

β >

1sin

B□CE

⇒ sin β < sin B□CE

⇒ C nằm giữa E và M Xét tam giác BEM.

A

Chọn hệ trục tọa độ Đề các vuông góc Exy, với điểm C thuộc tia Ex Trên trục

Ex lấy điểm D sao cho E là trung điểm đoạn DC

- Phân tích cách giải 2:

+ Dựa theo định lý cosin, định lý sin trong tam giác ta đánh giá được

sin β < sin B□CE Từ đó, chỉ ra vị trí điểm C nằm giữa 2 điểm M và E

+ Điều này cũng chính là điểm quyết định trong cách giải bài toán

ta không phải xét các trường hợp cho góc B□CE Bài toán giải thật gọn gàng, côđọng Đây chính là ưu điểm rõ ràng của cách giải sử dụng công cụ tọa độ

* Như vậy bằng hai con đường khác nhau, các cách giải 1 và 2 đều cùng đíchđến là chứng tỏ rằng điểm C nằm giữa 2 điểm M và E Điều này không cần phải quan

DẠNG BÀI: CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG

Cho tam giác ABC I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, D là trungđiểm cạnh AB, E là trọng tâm của tam giác ACD Chứng minh rằng: Nếu AB = ACthì IE ⊥ CD

(Đề thi vô địch Anh Quốc)

Cách giải 1: Thuần túy hình học.

Gọi H và F lần lượt là trung điểm các cạnh BC và AC

Gọi N là giao điểm của AH và CD

và

(3)suy

ra:I

Cách giải 2: Vận dụng công cụ véc tơ.

Xéttíchv

ô hướn

g T

a có:

EI.CD

EI.CD = ( AI

− AE)(CB + BD)

( Vì DI

uuur uuur uuur uuur uuur uuur

uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur

uuur uuur uuur uuur

uuur uuur uuur uuur uuur

1 uu u r uuur uuur uuur

1 uuur uuur uuur

 3 3

1 uuur uuur  1 uuur1 uuur  1 uuur 2 1 uuur uuur

= −2( AB − 2 AC) AC − AB − AB + AB.AC

1 uuur uuur 1 uuur 2 1 uuur 2 1 uuur uuur1 uuur 2 1 uuur uuur

1 uuur 2 1 uuur 2 1 uuur 2

= = AB 0 6 + AC 3 − 2 AB

Cách giải 3: Sử dụng công cụ tọa độ.

Gọi O là trung điểm cạnh BC

Ta có uur uuurEI.CD = −c  −3c   + y −a  a

= 0 2

(do đẳng thức (*))

Vài điều trao đổi về 3 cách giải đã trình bày.

“tháo gỡ”.

- Phân tích cách giải 2:

toán được

BD

Ta nhận được AI.CB

= 0 ,

DI.BD = 0

Từ đó ta chứng minh được

- Phân tích cách giải 3:

AB, nên DI ⊥ AB ” Điều nầy thể hiện quan hệ biện chứng mang tính hỗ trợ,

bổ sung cho nhau giữa các cách giải

Chính vì thế, từ ý tưởng cho cách giải này, ta có thể diễn đạt vấn đề theo hướng của cách giải khác

DẠNG BÀI: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC LIÊN QUAN ĐẾN ĐỘ DÀI ĐOẠN THẲNG

Trong tam giác ABC góc □ACB = 600 D, E, F là các điểm tương ứng nằm trên

các cạnh BC, AB, AC

Gọi M là giao điểm của AD và BF

Giả sử CDEF là hình thoi

Chứng minh rằng: DF2 = DM.DA

(Đề thi chọn đội tuyển Quốc gia Singapore)

Cách giải 1: Sử dụng tam giác đồng dạng

Do đó:

A

⇔ DF 2 = DM DA

(điều phải chứng minh)

Cách giải 2: Sử dụng công cụ tọa độ.

Khôngmấttính

tổngquát

C(0,0)FA

∆

C D F

là ta

m giácđều)

PhtrìnhđườthCD:

x

−

a y

PhươngtrìnhđườngthẳngAE:

a

−

3)

hệ phương trình

a

−

1)

Vài điều trao đổi về 2 cách giải đã trình bày.

Tiếp tục theo hướng suy nghĩ như trên, ta cần phải chứng minh:

- CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG ĐI QUA ĐIỂM CỐ ĐỊNH.

- TÌM QUỸ TÍCH TRUNG ĐIỂM ĐOẠN THẲNG.

Cho một điểm M nằm tùy ý trên đoạn thẳng AB Dựng các hình vuông AMCD

và MBEF về cùng một phía với AB Các đường tròn tâm P và Q lần lượt ngoại tiếp hai hình vuông AMCD và MBEF cắt nhau tại M và N

1/ Chứng minh AF và BC cắt nhau tại N

2/ Chứng minh đường thẳng MN đi qua 1 điểm cố định

3/ Tìm quỹ tích trung điểm của PQ khi M thay đổi

(Đề thi vô địch Toán quốc tế)

* C C á á c c h h g g i i ả ả i i 1 1:: TThhuuầầnn ttúúyy hhììnnhhhhọọcc .

1 Chứng minh AF và BC cắt nhau tại N:

C D

Suy ra 4 điểm N’, B , E, F cùng nằm trên một đường tròn.

Do đó N’ nằm trên đường tròn tâm Q Như vậy N’ là điểm chung của 2 đường tròn tâm P và Q

Mà AF và BC không đi qua điểm M

Vậy AF và BC cắt nhau tại N

2 Chứng minh đường thẳng MN đi qua 1 điểm cố định:

Suy ra đường tròn ngoại tiếp tam giác ANB là đường tròn cố định có đườngkính AB

Gọi S là giao điểm của đường trung trực đoạn AB với phần cung AB không chứa điểm N Ta có S là điểm cố định

Từ điều này khẳng định rằng đường thẳng MN đi qua điểm cố định S

3 Tìm quỹ tích trung điểm của PQ khi M thay đổi:

= 90o

nên KPMQ là hình chữ nhật

Gọi I là giao điểm của 2 đường chéo của hình chữ nhật KPMQ

I chính là trung điểm của PQ và KM

- Tam giác KAB có:

định nên K cố định

= 45o

- Gọi O và T lần lượt là trung điểm của KA và KB

- Ta có : O và T cố định

- Ta có OI // AM

IT // MB

Mà 3 điểm A, M, B thẳng hàng nên 3 điểm O, I, T thẳng hàng

OT ( I ≠ O, I ≠ T )

Vậy quỹ tích trung điểm I của PQ là đoạn thẳng OT ( trừ 2 điểm O và T)

Cách giải 2: Sử dụng công cụ tọa độ.

Suy ra 4 điểm B, N’, E, F cùng nằm trên một đường tròn.

Do đó N’ nằm trên đường tròn tâm Q Như vậy N’ là điểm chung của 2 đường tròn tâm P và Q

Mà AF và BC không đi qua điểm M

Vậy AF và BC cắt nhau tại N

2 Chứng minh đường thẳng MN đi qua 1 điểm cố định:

trên đoạn AB

Gọi I (x, y) là trung điểm của PQ

Ta có:

Những điều trên dù không phức tạp tuy nhiên khó định hướng.

- Phân tích cách giải 2:

+ Tứ giác AMCD là hình vuông nên ta chọn gốc tọa độ trùng với đỉnh A

Khi đó các điểm B, C, D, M, E, F, P, Q có tọa độ “đẹp”

+ Việc giải các bài toán:

Chứng minh đường thẳng đi qua điểm cố định, tìm quỹ tích trung điểm đoạnthẳng, bằng cách sử dụng công cụ tọa độ bao giờ cũng thuận lợi hơn, bởi các bướcthực hiện được định hướng bài bản, rõ ràng (điều này đã trình bày trong phần kiếnthức thiết yếu)

+ Cần lưu ý rằng nếu chọn gốc tọa độ trùng với điểm B, bài toán vẫn giải tốt